【课件】“新高考2卷 第18题 ”（北部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

此处放视频头像 不放文字 曲线藏道 思维为核 ——2026全国Ⅱ卷18题解法探究与试题变式 内蒙古赤峰二中 邢媛媛 孙广仁 范小菊 试题呈现 01 试题分析 02 解题过程 03 试题溯源 04 目录 CONTENTS 试题变式与拓展 05 复习启示 06 一、试题呈现 已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为．（1）求的离心率． （2）设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为．当在上运动时，点的轨迹为．（ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 椭圆通径 轨迹方程 圆锥曲线对称性 抓椭圆基本量约束 抓动点与交点关系 抓参数t的分类讨论 命题评析——命题背景 模型深度融合 核心逻辑清晰 本题将椭圆基础性质、动点轨迹生成、二次曲线对称性质三层逻辑串联；先用通径条件定椭圆基本参数，再依托直线相交生成动点轨迹，最后研究曲线对称特征，层层递进，完整呈现解析几何 “定曲线 — 找动点 — 研曲线性质” 标准研究路径。 第 (1) 问基础定量计算，落实基础性；第 (2)(i) 问侧重坐标消参、轨迹推导，考查代数转化能力；第 (2)(ii) 问探究曲线对称中心，属于开放探究设问，突出强调侧重逻辑思辨，践行新高考 “多想少算” 命题导向。 无实际应用背景，纯粹依托几何模型命题，结合新课标评价体系来看,完全贴合新高考 “基础性、综合性、创新性、应用性” 四翼考查要求；试题素材源自教材椭圆通径、相关点求轨迹例题，落实 “源于教材、高于教材” 的命题原则，引导教学回归解几核心思想。 命题梯度清晰分层考查能力 剥离复杂情境直击解几本质 4 二、思路分析 18题第（1）问求离心率   将代入得     将代入得   则且得，     则且得，     离心率 方法二：推导法 方法一：横坐标直接代入法 方法三：通径公式法   将（）代入   二、思路分析 2.优化法1 思路1：交轨法两直线联立 思路3：换元转化 思路4：参数思想 思路5：坐标变换 18题第（2）问（i）问求轨迹方程   1.相关点法 3.相似三角形法 平行线分线段比例法 7.仿射变换法 6.优化解法 比例参数 消元法 5.三角换元法 4.共线向量法 反解代入椭圆方程求解 思路2：几何条件代数化 系数不为0， 即 时，曲线为椭圆，对称中心为（）. 系数为0， 即：时，   ,即：时,曲线为抛物线，无对称中心   时，曲线为椭圆，对称中心为（）. 时，曲线为双曲线，对称中心为（）. 思路1：含参数t的分类讨论 思路3：极坐标参与转化，对离心率分类讨论 思路4：不变量 18题第（2）问（ii）问求轨迹方程   思路2：转化为圆锥曲线统一定义，对离心率分类讨论 ,即：时,曲线为抛物线，无对称中心   时，曲线为双曲线，对称中心为（）. 由题意，椭圆方程为，则.设过焦点垂直于轴的直线交椭圆于两点. 令，代入椭圆方程得，即 因为，所以，即,所以通径为(实则通径为 )， 根据题设条件，弦长为，且，可得方程：,解得. 由离心率公式，代入得：， 故椭圆的离心率为. 秒杀：通径公式法 由题可将（）代入得 三、解题过程：第（1）问 3.2第（2）题第（ⅰ）问 思路1：交轨法两直线联立 方法1：相关点法 设，不能设，联立两直线方程反解得 （） 1.定主动点、从动点 2.找坐标关系 3.代入原曲线 4.化简整理 相关点法求轨迹 3.2第（2）题第（ⅰ）问 思路1：交轨法两直线联立 方法2：优化法1 联立 截距式 反解得 同上 1.定主动点、从动点 2.找坐标关系 3.代入原曲线 4.化简整理 相关点法求轨迹 3.2第（2）题第（ⅰ）问 思路1：交轨法两直线联立 方法3：相似三角形平行线分线段成比例AB在OA上，竖直投影成比例 在GB上，反解 得同上 1.识别相似结构 2.相似比转坐标 3.代入已知曲线 4.轨迹判定 相似三角形求轨迹 思路2：几何条件代数化 方法4：共线向量法 由O、P、A三点共线，设，则又P、B、G三点共线， 与 共线， 反解同上 1.识别共线 2.坐标拆分 3.代入约束 4.化简定义域 共线向量求轨迹 3.2第（2）题第（ⅰ）问——思路3：换元转化 方法5：三角换元法 设 联立得 两边同除得 ，代入 得  （） 1.参数化主动点 2.坐标关系转移 3.三角恒等式消参 4.补充定义域 三角换元法求轨迹 3.2第（2）题第（ⅰ）问——思路4：参数思想 方法6：优化解法（比例参数一步消元） 在OA上，令截距式 代入得 ，（） 1.引入比例参数 2.定比分点坐标转换 3.整体代入 + 作差消参 4.整理轨迹 + 补充定义域 比例参数消元法求轨迹 3.2第（2）题第（ⅰ）问——思路5：坐标变换 方法7：仿射变换法 令 椭圆变为单位圆 设，对应变换后  对应 ) 设与的交点为，联立与， 还原到原坐标 （） 1.坐标变换 2.新坐标联立 3.还原到原坐标 4.整理轨迹 + 补充定义域 仿射变换法求轨迹 18题第（2）问（ii）问求轨迹方程（原始轨迹化简：） 思路1：含参数t的分类讨论 系数为0，即：时，,即：, 曲线为抛物线，无对称中心。 系数不为0，即先平移消去一次项，化简为标准型： , 即： 18题第（2）问（ii）问求轨迹方程——思路1：含参数t的分类讨 令得.变形得：+ 时，曲线为椭圆，对称中心为（）. 时，曲线为双曲线，对称中心为（）. 18题第（2）问（ii）问求轨迹方程(原始轨迹化简：） 思路2：转化为圆锥曲线统一定义，对离心率分类讨论 仿射变换：令. ,设,为到原点的距离， 为到直线的距离 为两个距离的比，根据定义值为定值，即在坐标系下的曲线离心率，结合仿射变换不改变曲线类型， ,即：时,曲线为抛物线，无对称中心 时，曲线为椭圆，对称中心为（）. 时，曲线为双曲线，对称中心为（）. 原始轨迹化简： 18题第（2）问（ii）问求轨迹方程 思路3：极坐标参与转化，对离心率分类讨论 极坐标转化：极点在原点，极轴沿轴正向， 原方程整理得：，化简得， 圆锥曲线极坐标通式： 对比两式得焦准距，故将 对方程右侧变形得： 化为圆锥曲线极坐标标准形式 2.坐标关系转移 3.三角恒等式消参 4.补充定义域 仿射后的坐标系下，极坐标变换 18题第（2）问（ii）问求轨迹方程 思路3：极坐标参与转化，对离心率分类讨论 代入方程可得：，故， ,即：时,曲线为抛物线，无对称中心 时，曲线为椭圆，对称中心为（）. 时，曲线为双曲线，对称中心为（）. 18题第（2）问（ii）问求轨迹方程（轨迹化简：） 思路4：不变量不退化 ,即：时,曲线为抛物线，无对称中心 时，曲线为椭圆，对称中心为（）. 时，曲线为双曲线，对称中心为（）. 四、试题溯源——4.1教材溯源 【人教B版】选择性必修一教材128页习题：圆系方程、圆锥曲线的本源定义、二元二次方程约束条件、坐标法求轨迹. 【人教A版】教材116页11题与2003全国21题 圆系方程、圆锥曲线的本源定义、二元二次方程约束条件、坐标法求轨迹 四、试题溯源——4.2高考真题溯源 2003年分类讨论 参数范围高度同源 五、变式 【变式一】已知抛物线C：.点在抛物线C上，其中.过点作抛物线C的切线，记该切线与直线的交点为. (1)求过点P的抛物线切线方程； (2)设，求点的轨迹方程； (3)判断点Q的轨迹是否有中心，若有，求其中心，并说明将该轨迹平移到以其中心为原点后所得曲线的类型. 为什么有的轨迹随参数改变曲线类型改变，有的轨迹是固定单一曲线？ 本质区别在于参数是否出现在二次项系数中 解答（1）：设切线方程过点P直线设为,带入到抛物线方程中，得： 因为直线与抛物线相切，所以化简得 因此切线方程为 解答（2）：设， 联立消去 解答（3）： 于是, 平移后方程不含一次项，故原轨迹有中心，其中心为（1,1）. 又二次部分uv−u2对应非退化双曲型二次曲线， 因此平移到以中心为原点后所得的曲线为双曲线. 五、变式 【变式二】材料一：二次方程可以表示圆，椭圆，双曲线，抛物线等二次曲线，其中椭圆，双曲线，抛物线的曲线方程可以通过坐标旋转变换，平移变换得到相应曲线的标准方程． 材料二：在平面直角坐标系中，点绕原点O按逆时针方向旋转角后，可得点．根据上述材料回答以下问题： (1)求曲线绕原点O按逆时针方向旋转后的曲线方程； (2)探索角满足什么条件时，方程（）对应的曲线经过旋转后所得曲线方程中的系数为0； (3)曲线，点为曲线上任意一点，过点且与曲线在点处切线垂直的直线l分别交直线，直线于两点，线段的中点为.当点运动时，记点的轨迹为曲线，判断曲线是什么曲线并给出相应说明. 视角 1：知识纵向贯通视角 —— 补齐真题缺失的 “含xy交叉项二次曲线” 研究维度 视角 2：阅读材料探究式命题视角 —— 落实新高考 “现场学习、即时应用” 素养 坐标旋转变换消交叉项、二次曲线一般式综合探究 解答（1）：设绕着原点按逆时针旋转角θ后得到点，根据坐标旋转公式：，即 当时，.代入方程，则旋转后的曲线方程： 解答（2）：将代入方程 ，将上述方程记为： ， 当时，即 当时，θ满足 解答（3）：曲线的轨迹为去除顶点的双曲线，理由：在方程 中 ，根据上一问探究：当时，将曲线按逆时针旋转方程按照 六、复习启示 2026年圆锥曲线命题彻底打破“联立方程-韦达定理”的固有套路，清晰传递出“重基础、强思维、反套路、重应用”的导向.高中数学教学与后续备考必须彻底摒弃机械刷题的陈旧模式，回归解析几何的学科育人本质.立足课标与教材，夯实底层逻辑与知识体系，深挖圆锥曲线逻辑背景，强化几何性质与物理情境的融合.强化开放探究训练，培育高阶数学思维品质，构建多维交叉视角，立体化重塑圆锥曲线认知. 谢谢倾听，请批评指正! $