3.1.1 第2课时 函数的概念（二）（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数的概念（二），涵盖区间表示、同一函数判断及值域求解，通过课前预习表格梳理区间定义，课中探究以例题变式衔接，构建从基础到应用的学习支架，帮助学生逐步深化对函数三要素的理解。 其亮点在于以数学思维为核心，通过同一函数判断的多例对比培养推理意识，用配方法、换元法等求值域发展数学语言表达，如例3结合二次函数配方与换元转化，助力学生系统掌握方法，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

3.1 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 1 第2课时 函数的概念（二） 2 探究点一 区间的应用 探究点二 同一函数的判断 探究点三 求函数的值域 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.会判断两个函数是否为同一个函数. 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求一些简单函数的值域. 4 知识点一 区间表示 设，，且 ,规定如下： 定义 符号 数轴表示 课 前 预 习 5 定义 符号 数轴表示 续表 课 前 预 习 6 知识点二 同一个函数 1.函数的三要素:________、____________________和______. 2.如果两个函数的____________,并且____________________________, 即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 定义域 对应关系（解析式） 值域 定义域相同 对应关系（解析式）完全一致 课 前 预 习 7 【诊断分析】 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗? 解：不一定.因为定义域和值域不能确定函数的对应关系. 如 与,两个函数的定义域和值域均为实数集 , 但这两个函数不是同一个函数,因为对应关系不同. 课 前 预 习 8 探究点一 区间的应用 例1 将下列集合用区间以及数轴表示出来： （1） ； 解：用区间表示为 ，用数轴表示如图所示. （2）或 ； 解：或用区间表示为 ， 用数轴表示如图所示. 课 中 探 究 9 例1 将下列集合用区间以及数轴表示出来： （3）且 ； 解：且用区间表示为 ， 用数轴表示如图所示. （4） . 解：用区间表示为 ，用数轴表示如图所示. 课 中 探 究 10 变式（1）下列集合不能用区间的形式表示的个数为( ) ；,； ； 是等边三角 形；或；, . A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] 区间形式可以表示连续数集，是无限集. ①②是自然数集的子集，③是空集，均为有限集， 都不能用区间形式表示； ④是图形的集合，不是数集； 是有理数集，数轴上大于1的有理数不是连续的； 只有⑤能用区间的形式表示，区间形式为 .故选D. √ 课 中 探 究 11 （2）已知为一确定区间，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为为一确定区间，所以 ， 即，解得 .故选A. √ 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 用区间表示数集时需注意： （1）区间左端点值小于右端点值； （2）区间两端点之间用“，”隔开； （3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； （4）以“<m></m> ”“<m></m> ”为区间的一端时，这端必须用小括号. 课 中 探 究 13 探究点二 同一函数的判断 例2（1）（多选题）下列各组函数中,两个函数是同一个函数的有 ( ) A., B., C., D., √ √ 课 中 探 究 14 [解析] 对于A,的定义域为,的定义域为 , 所以两函数不是同一个函数; 对于B，两函数的定义域都为 ，且， 所以两函数是同一个函数； 对于C，函数 的定义域为，而函数的定义域 为 ，定义域不同，所以两函数不是同一个函数； 对于D，两函数的定义域都为 ，且对应关系相同， 所以两函数是同一个函数.故选 . 课 中 探 究 15 （2）试判断函数与函数 是 否为同一个函数，并说明理由. 解：不是同一个函数.对于函数，由 解 得，故定义域为. 对于函数 ，由， 解得或，故定义域为 或 . 显然两个函数的定义域不同，故不是同一个函数. 课 中 探 究 16 变式 判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由. （1）已知一个直角三角形的两条直角边长的和为 ，其中一条 直角边的长为，直角三角形的面积为，则表示与 关系的 函数和 . 解：不是同一个函数.虽然两个函数的对应关系相同，但是前者的定 义域为，后者的定义域为 . （2）和圆的面积关于圆的半径 的函数. 解：是同一个函数，两个函数的定义域相同，对应关系也相同， 故是同一个函数. 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 判断两个函数是否为同一个函数时应注意的三点： （1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数， 即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数. （2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、 因变量是没有限制的. （3）在化简解析式时，必须是等价变形. 课 中 探 究 18 探究点三 求函数的值域 例3 求下列函数的值域. （1）， ； 解：， ，， ， 即函数，的值域为 . 课 中 探 究 19 例3 求下列函数的值域. （2） ； 解： ， ， ， 即函数的值域为 . 课 中 探 究 20 例3 求下列函数的值域. （3） . 解：方法一:因为，且 ， 所以，所以原函数的值域为 ． 方法二:令，则 ，所以原函数的值域为 ． 课 中 探 究 21 变式 求下列函数的值域. （1） ; 解： , 因为,所以,则，即 , 故,所以的值域为 . 课 中 探 究 22 变式 求下列函数的值域. （2） ； 解：令,则 ,所以 ,由二次函数的性质知, 当,即时,取得最大值， 故函数 的值域为 . 课 中 探 究 23 变式 求下列函数的值域. （3） . 解：设,则, 当 时, ;当时,视其为关于 的一元二次方程, 由,解得, 又 ，故或. 综上,函数的值域为 . 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 求函数值域时,应根据各个式子的不同结构特点,选择不同的方法，常 用方法如下: （1）观察法：对于一些比较简单的函数, 通过对解析式的简单变形 和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域. （2）配方法：若函数是二次函数形式，即可化为 <m></m>型的函数，则可通过配方再结合二次函数 的性质求值域. 课 中 探 究 25 （3）分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式,便于求值域. （4）换元法:对于一些无理函数（如 ）,通过换 元把它们转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求 原函数的值域. 课 中 探 究 26 拓展 求 的值域． 解：方法一:令，因为，所以关于 的方程 有解. 当，即时， ； 当时， ， 整理得，可得或 ． 综上，原函数的值域为 ． 课 中 探 究 27 方法二:令，则 . 当时，；当时， ， 当时，因为，当且仅当 时取等号， 所以，所以， 当 时，因为，当且仅当时取等号， 所以 ，所以 ． 综上，原函数的值域为 ． 课 中 探 究 课后习题 29 1.函数 的定义域是( ) A. B. C. D. [解析] 由可得故且 , 则函数的定义域是 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 2.下列区间与集合或 相对应的是( ) A. B. C. D. [解析] 可以表示为,可以表示为 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 3.（多选题）下列各组函数不是同一个函数的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 [解析] 对于A,函数的定义域为, 的定义域为 ,两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数; 对于B,函数, ,所以两个函数 的对应关系不同,所以不是同一个函数; 对于C,函数的定义域为 , 的定义域为 ,两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数; 对于D,函数与 的定义域与对应关系都相同, 所以是同一个函数.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 4.已知函数， 的相关数据如下： 0 1 0 设，的值域为 ，则( ) A.，，0， B.， C.，，0， D.， √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 [解析] 由表可知，即，函数的值域为，0， ， 故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.函数， 的值域为( ) A. B. C. D. [解析] ，因为 ， 所以，所以，所以 ， 所以函数，的值域为 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 6.（多选题）下列函数中，与函数 是同一个函数的是 ( ) A. B. C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 [解析] 由题意知函数的定义域为，值域为 . 的定义域为，与函数 的定义域不同， 不是同一个函数，故A错误； 的定义域为 ，定义域和对应关系与 均相同，是同一个函数，故B正确； 的定义域为 ，定义域和对应关系与 均相同，是同一个函数，故C正确； 的定义域为，与函数 的定义域不同， 不是同一个函数，故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 7.[2026·青岛二中高一月考] 已知函数的定义域为 ， 则函数 的定义域为______.（用区间表示） [解析] 由，得， 故函数 的定义域为， 要使有意义，则 即 可得，所以函数的定义域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 8.写出一个定义域为，值域为的函数 _ _____________________. （答案不唯一） [解析] 因为的定义域为，值域为 ， 所以函数的定义域为，值域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 9.（13分） （1）求下列函数的值域： ①, ; 解：，因为 ， 所以，所以，所以的值域为 . ② ； 解：令，得，故 ， 所以函数的值域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 （1）求下列函数的值域： ③ ； 解：因为函数的定义域为， ， 所以函数的值域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 （1）求下列函数的值域： ④ . 解：由题意 ， 令， ，则 ， 由一元二次函数的图象和性质可知在上随 的 增大而增大，在上随 的增大而减小， 所以 ， 即函数的值域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 9.（13分） （2）若函数的值域是，求函数 的值域. 解： 因为函数的值域是，所以函数 的 值域是，则的值域是 ， 所以函数的值域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 10.已知函数的定义域和值域都是，则函数 的定义 域和值域分别为( ) A.和 B.和 C.和 D.和 [解析] 因为函数的定义域为，则 ， 即，所以函数的定义域为. 又函数 的值域为，所以的值域为 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 11.（多选题）已知函数的定义域为 ， 值域为 ，则下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 [解析] 当时，，由，解得 或， 则函数的定义域 ，故A错误； 又函数的图象的对称轴方程为，且在上， 随的 增大而减小，在上，随的增大而增大，所以当 或2时， ，则，即 ， 则函数的值域，故C正确. 当 时，，因为 ， 所以函数的定义域 ，故B正确； 又，所以 ， 则函数的值域，故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若函数和的值域相同，但定义域不同，则称和 是“同象函数”．已知函数，写出一个与 是“同象函 数”的函数 ______________________. （答案不唯一） [解析] 的定义域为，因为，所以 的值域为. 若，则的定义域为，因为 ， 所以，所以的值域为， 所以与 的值域相同，定义域不同， 所以和 是“同象函数”. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 13. 的值域是___________________. [解析] 由,得 . 当时,方程无解,不符合题意;当 时,要使方程有解, 只需,即 , 可得或. 故函数的值域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 14.（15分）已知函数，是否存在实数 ，使得函 数的定义域和值域都是？若存在，求出 的值； 若不存在，请说明理由. 解： 的图象的对称轴为直线， 顶点坐标为 且图象开口向上. ， 当时，随的增大而增大，要使 的定 义域和值域都是 ， 则有，即 ，解得 或（舍去）， 存在实数 满足条件. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 15.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的 美誉.函数称为高斯函数,其中,表示不超过 的最大整 数,例如:,.已知函数 ,则函数 的值域是_________. ,0, 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] 令,由,得, 当 时,有;当 时,有 ， 解得,又,所以或 . 综上可得,则, 故 的值域是,0, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 16.（15分）函数 的图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函 数的图象的稳定点. （1）求函数 的图象的稳定点； 解：令，得，故函数 的图象的稳定点为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 16.（15分）函数 的图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函 数的图象的稳定点. （2）若函数的图象有两个关于原点对称的稳定点，求 的 值及函数的图象的稳定点； 解：设点是稳定点，则 ,即 ， 由题意知该方程有两个根，且这两个根互为相反数, 故，，解得 . 由，得 ，则稳定点为， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 16.（15分）函数 的图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函 数的图象的稳定点. （3）已知函数 ，若对任意实数 ，函数的图象恒有两个相异的稳定点，求 的取值范围. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 解：对任意实数，函数的图象恒有两个相异的稳定点， 即关于 的方程 恒有两个不相等的实数根， 即关于的方程 恒有两个不相等的实数根， 则 恒成立， 即关于的方程 恒成立， 所以，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 $