【课件】“新高考2卷 第17题 ”（北部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

此处放视频头像 不放文字 三角藏理，思维为本 ——以2026年新高考Ⅱ卷第17题为例 张博 王帅 内蒙古赤峰二中 此处放视频头像 不放文字 在△ABC中，已知cosB=，cos2(A+C)+sinAsinC=1． (1)证明：△ABC为钝角三角形； (2)若△ABC面积为，求△ABC周长． 2026年全国新高考Ⅱ卷T17 一、试题呈现 本题是恒等变换与解三角形的深度融合 （1）定性推理，不要求精确数值，侧重逻辑推导． （2）定量计算，践行新高考“多想少算”的命题导向． 贴合新高考“基础性、综合性、创新性、应用性”四翼． 用角的关系定形，用面积定边，最后求周长。 此处放视频头像 不放文字 解法一： 二、试题解答 借助cosAcosC的正负证明钝角 在△ABC中，已知cosB=，cos2(A+C)+sinAsinC=1． (1)证明：△ABC为钝角三角形． A+C=π-B cos(A+C)=-cosB cosB= cos2(A+C)+sinAsinC=1 sinAsinC= cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC cosAcosC= A,C中有且只有一个钝角 此处放视频头像 不放文字 因为A+B+C=π，所以所以故B为锐角， 因为三角形中最多只有一个钝角， 因此只需证cosAcosC<0即可． 由题cos2(A+C)+sinAsinC=1，故 解法一： (1)证明：△ABC为钝角三角形 借助cosAcosC的正负证明钝角 二、试题解答 此处放视频头像 不放文字 解法一： 已知sinAsinC，欲求cosAcosB，又因为cos(A+C)=cosB=34，故想到两角和的余弦公式：，所以 因为是在△ABC中，所以A与C中有且只有一个是钝角，所以△ABC是钝角三角形． (1)证明：△ABC为钝角三角形 借助cosAcosC的正负证明钝角 二、试题解答 此处放视频头像 不放文字 已知sinAsinC=由积化和差将sinAsinC=和代入得. 不妨设 解法二： (1)证明：△ABC为钝角三角形 借助积化和差求钝角的余弦值 二、试题解答 此处放视频头像 不放文字 所以 又因为C∈(0，π)，所以C为钝角，故△ABC为钝角三角形． 解法二： (1)证明：△ABC为钝角三角形 借助积化和差求钝角的余弦值 二、试题解答 此处放视频头像 不放文字 解法三： 同方法一得，代入，得． 由正弦定理可得ac=b2，不妨设a≤b≤c，则A≤B≤C． 因为cosB=>，所以A≤B<，所以A+B<． 故A+B<，则，则△ABC为钝角三角形． (1)证明：△ABC为钝角三角形 通过三角函数值精确角的范围 二、试题解答 此处放视频头像 不放文字 解法四： 在△ABC中，已知cosB=，cos2(A+C)+sinAsinC=1． (1)证明：△ABC为钝角三角形． A+C=π-B cos(A+C)=-cosB cosB= sinAsinC=1-cos2B=sin2B sinAsinC=sin2B⇔ac=b2 化二次齐次整式 二、试题解答 此处放视频头像 不放文字 由题cos2(A+C)+sinAsinC=1，得sinAsinC=1-cos2B=sin2B． 再由正弦定理sinAsinC=sin2B，可得ac=b2． 因为A+B+C=π，所以cos(A+C)=cosB=，即cosB=>0，故B为锐角． 由余弦定理 解法四： (1)证明：△ABC为钝角三角形 化二次齐次整式 二、试题解答 此处放视频头像 不放文字 因为A和C具有轮换对称性，不妨令A>C，故a=2c，从而a=2c，b=2c． 再由余弦定理： 因此△ABC为钝角三角形. 解法四： (1)证明：△ABC为钝角三角形 化二次齐次整式 二、试题解答 此处放视频头像 不放文字 过点A作BC的垂线，垂足为D． Rt△ABD中，由cosB=，设BD=3m，AB=4m，则AD=m． Rt△ACD中，CD=a-3m，AC=b. 由勾股定理得b2=7m2+(a-3m)2．又由方法三知ac=b2=a⋅4m，不妨设a≤b≤c． 联立得a2-10am+16m2=0，解得a=8m(舍)或a=2m． 又c=4m，所以a=c2，后续同方法四． 解法五： (1)证明：△ABC为钝角三角形 数形结合 二、试题解答 此处放视频头像 不放文字 由(1)知cosB=，又因为是在△ABC中，所以sinB=． 由题△ABC的面积为，故： 对条件cos2(A+C)+sinAsinC=1的处理，有两种处理角度： (2)证明：若△ABC面积为，求△ABC周长． 二、试题解答 此处放视频头像 不放文字 由题cos2(A+C)+sinAsinC=1，故： 角度一： sinAsinC=1-cos2B=sin2B 再由正弦定理： sinAsinC=sin2B⇔ac=b2 故b=，再由余弦定理： 化二次齐次整式 将cosB=，ac=2，b2代入上式即得a+c=3．因此C△ABC=3+． 二、试题解答 (2)证明：若△ABC面积为，求△ABC周长． 此处放视频头像 不放文字 因为A+B+C=π，所以： 角度二： 由题cos2(A+C)+sinAsinC=1，故： 再由正弦定理： 再由正弦定理： 再由余弦定理： 正弦定理的求出外接圆半径 将cosB=，ac=2， b2=2代入上式即得a+c=3．因此C△ABC=3+． 二、试题解答 (2)证明：若△ABC面积为，求△ABC周长． 此处放视频头像 不放文字 由(1)知cosB=，又因为是在△ABC中，所以sinB=． 解法二： 由题△ABC的面积为，故： 又由(1)a=2c，b=知，故： 延续(1)的方法四 因此C△ABC=3+． 二、试题解答 (2)证明：若△ABC面积为，求△ABC周长． 三 、 解法总结 (1)证明钝角三角形 (2)求周长 角 边 数形结合 求出a,b,c 算出sinAsinC 证明cosAcosC<0 求出cosC<0 积化和差 cosB的三角函数值 精确B的范围 计算cosC 先求b 化二次齐次整式 正弦定理求出外接圆半径 再求a+c 直接求出a,b,c 此处放视频头像 不放文字 人教A版必修二第54页第22题． 教材溯源： 四、试题溯源与模型拓展 人教B版必修四第20页B组第1题． 此处放视频头像 不放文字 2024年全国甲卷11题． 真题溯源1： 四、试题溯源与模型拓展 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若则 【题目分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可． 齐次式边角转化、整体思想 此处放视频头像 不放文字 2022年全国乙卷17题． 真题溯源2： 四、试题溯源与模型拓展 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, (1)证明： (2)若求△ABC的周长. 【题目分析】(1)利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，即可得证； (2)根据(1)的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得b+c，即可得解． 整体思想 此处放视频头像 不放文字 几何平均三角形 模型拓展1： 四、试题溯源与模型拓展 我们把满足下列条件之一的△ABC都叫做平均三角形： 三角形类型 边长特征 几何平均三角形 算数平均三角形 平方平均三角形 调和平均三角形 此处放视频头像 不放文字 通过角判断几何平均三角形的形状 角度1： 四、试题溯源与模型拓展 已知,设,则有,则, 因为,由正弦定理 所以 ①当时, 即, 此时△ABC为直角三角形; 几何平均三角形 此处放视频头像 不放文字 通过角判断几何平均三角形的形状 角度1： 四、试题溯源与模型拓展 已知,设,则有,则, 因为,由正弦定理 所以 ②当时, 即时, 此时△ABC为锐角三角形; 几何平均三角形 此处放视频头像 不放文字 通过角判断几何平均三角形的形状 角度1： 四、试题溯源与模型拓展 已知,设,则有,则, 因为,由正弦定理 所以 ③当时, 即时, 此时△ABC为钝角三角形. 几何平均三角形 此处放视频头像 不放文字 通过边判断几何平均三角形的形状 角度2： 四、试题溯源与模型拓展 设则 由对勾函数性质可知在单调递减，在单调递增，所以. 几何平均三角形 此处放视频头像 不放文字 通过边判断几何平均三角形的形状 角度2： 四、试题溯源与模型拓展 设则 . ①△ABC为钝角三角形时 不妨设，则有 可得 解得, 此时 几何平均三角形 此处放视频头像 不放文字 通过边判断几何平均三角形的形状 角度2： 四、试题溯源与模型拓展 设则 . ②△ABC为直角三角形时 不妨设, 则有, 即, 可得或（舍）, 此时 几何平均三角形 此处放视频头像 不放文字 通过边判断几何平均三角形的形状 角度2： 四、试题溯源与模型拓展 设则 . ③△ABC为锐角三角形时 只需要 即 解得, 此时 . 几何平均三角形 此处放视频头像 不放文字 综上，可整理得表格如下： 四、试题溯源与模型拓展 几何平均三角形 取值范围 三角形形状 此处放视频头像 不放文字 卡西尼卵形线 模型拓展2： 四、试题溯源与模型拓展 【定义】平面内动点P到两个定点（焦点）的距离乘积为定值，即其中正常数，则点P的轨迹称为卡西尼卵形线。 【与本题关联】定点为,动点为，边，则，所以点的轨迹是以为焦点的卡西尼卵形线。 此处放视频头像 不放文字 余弦变正弦： 条件变式1 五、变式推广 【变式1】在△ABC中，已知, 证明： △ABC 为钝角三角形. 【分析】余弦变正弦会导致第一问会失去“齐次式”特征，更注重的推导方向，锻炼学生把握已知条件的关键特征和精准定位公式的应变能力． 此处放视频头像 不放文字 余弦变正弦： 条件变式1 五、变式推广 【变式1】在△ABC中，已知, 证明： △ABC 为钝角三角形. 【解答】由诱导公式得, 又因为, 所以与, 因此钝角三角形得证． 此处放视频头像 不放文字 加法变减法: 条件变式2 【变式2】在△ABC中，已知, . 证明:△ABC为钝角三角形. 【分析】该变式更体现学生的应变能力, 将代换为, 即, 分别展开和角余弦、差角余弦, 联立后将 作为整体求出, 也可体现“多想少算”的整体法思想． 五、变式推广 此处放视频头像 不放文字 加法变减法: 条件变式2 【变式2】在△ABC中，已知, . 证明:△ABC为钝角三角形. 五、变式推广 【解答】因为, 即, ① 同理 ,② 此处放视频头像 不放文字 加法变减法: 条件变式2 【变式2】在△ABC中，已知, . 证明:△ABC为钝角三角形. 五、变式推广 【解答】联立得 所以与异号, 因此得证. 此处放视频头像 不放文字 钝角变锐角：证明钝角三角形证明锐角三角形 条件变式3 【变式3】在△ABC中, 已知, 证明：△ABC为锐角三角形. 【分析】钝角变成锐角, 将已知条件改成或其他数值, 目的是设计 通过数值变化约束角B的范围, 最终落脚点都是运用余弦正负判断角的大小. 五、变式推广 此处放视频头像 不放文字 钝角变锐角：证明钝角三角形证明锐角三角形 条件变式3 【变式3】在△ABC中, 已知, 证明：△ABC为锐角三角形. 五、变式推广 【解答】由诱导公式得, 又因为, 所以, 此处放视频头像 不放文字 钝角变锐角 条件变式3： 【变式3】, 证明：△ABC为锐角三角形. 【解答】所以与同号, 即和都是锐角, 又因为, 所以也是锐角, 因此△ABC为锐角三角形. 五、变式推广 此处放视频头像 不放文字 三角形问题变成外接圆问题 问题变式1： 【变式4】在△ABC中,已知, 且△ABC面积为, 求△ABC的外接圆半径和面积. 【分析】在原解题过程中, 结构在第一问对应的展开式, 第二问对应正弦定理, 而正弦定理又导向三角形外接圆半径, 因此该变式可以让学生锻炼条件之间的转换能力． 五、变式推广 此处放视频头像 不放文字 三角形问题变成外接圆问题 问题变式1： 【变式4】在△ABC中,已知, 且△ABC面积为, 求△ABC的外接圆半径和面积. 五、变式推广 【解答】由诱导公式, , 所以 此处放视频头像 不放文字 三角形问题变成外接圆问题 问题变式1： 【变式4】在△ABC中,已知, 且△ABC面积为, 求△ABC的外接圆半径和面积. 五、变式推广 【解答】联立两式得,由正弦定理有, 解得, 面积为 此处放视频头像 不放文字 三角形周长变成内切圆问题 问题变式2： 【变式5】在△ABC中，已知, c (1)证明： △ABC为钝角三角形; (2)若△ABC面积为求△ABC的周长; (3)在第（2）问的基础上，求△ABC内切圆的半径. 【分析】在原题基础上增加第(3)问, 引导学生有意识地使用 第(2)问周长结论, 通过等面积法求内切圆半径. 五、变式推广 此处放视频头像 不放文字 三角形周长变成内切圆问题 问题变式2： 【变式5】在△ABC中，已知, c (3)在第（2）问的基础上，求△ABC内切圆的半径. 【解答】(前两问不变，此处省略)设内切圆半径为，则 由(2)可知周长为, 所以 五、变式推广 此处放视频头像 不放文字 变成不等式求最值问题 知识点模块融合变式1： 【变式6】在△ABC中, 已知, △ABC面积为, 求的最小值. 【分析】该变式可以说是解三角形最常见的知识模块融合类型, 由推导刚好符合基本不等式的形态结构特征, 在此基础上还可以变成“求的最小值”;“求的最小值”等. 五、变式推广 此处放视频头像 不放文字 变成不等式求最值问题 知识点模块融合变式1： 【变式6】在△ABC中, 已知, △ABC面积为, 求的最小值. 【解答】因为, 所以,所以解得, 所以, 当且仅当时取等. 五、变式推广 此处放视频头像 不放文字 变成向量问题 知识点模块融合变式2： 【变式7】在△ABC中, 已知, 设单位向量, 求证： 与的夹角为钝角. 【分析】向量夹角体现在数量积运算中, 因此想到计算, 而坐标形式的设计, 正是和角余弦的展开式, 而另一方面, 正余弦定理本质也是向量在图形中的应用,该变式体现人教A版教材余弦定理推导过程的逆向运用． 五、变式推广 此处放视频头像 不放文字 变成向量问题 知识点模块融合变式2： 【解答】 ,且和不共线，所以和的夹角是钝角. 【变式7】在△ABC中，已知, 设单位向量，求证： 与的夹角为钝角. 五、变式推广 此处放视频头像 不放文字 变成解析几何问题 知识点模块融合变式3： 【变式8】在平面直角坐标系中, 为动点, 且满足, 求点的轨迹方程. 【分析】解三角形和平面向量本质都是平面几何知识点, 因此在平面直角坐标系中使用正余弦定理也很自然, 配合向量法简化运算难度, 同时考察数形结合思想． 五、变式推广 此处放视频头像 不放文字 变成解析几何问题 知识点模块融合变式3： 【变式8】在平面直角坐标系中, 为动点, 且满足, 求点的轨迹方程. 【解答】设, , , 所以, 显然,整理得, 所以, 即. 五、变式推广 此处放视频头像 不放文字 学情诊断： 六、学情诊断与教学建议 条件加工意识不足：浅层化简停滞，盲目变形出错； 单向思维定势：只想到证明单个角余弦值小于0，无法联想到证明两角余弦值乘积小于0； 中间结论认识不足：得到后不会处理； 整体构造思维缺失：求周长时缺少构造整体的意识. 此处放视频头像 不放文字 教学建议： 六、学情诊断与教学建议 锚定教材本源，深挖课标考点，落实备考根基; 关注基础知识，杜绝机械刷题，夯实知识根基; 提炼通式通法，弱化秒杀大招，强化迁移能力; 细化审题规范，固化答题流程，补齐答题漏洞; 落实限时训练，优化应试节奏，提升考场素养; 精准错题复盘，闭环查漏补缺，降低重复失分. 谢谢倾听，请批评指正! $