15.3.1等腰三角形的性质 导学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.3.1等腰三角形的性质 班级： 姓名： 【学习目标】 1.理解并掌握等腰三角形的性质. 2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题. 【学习重点】等腰三角形的性质及应用. 【学习难点】等腰三角形性质的证明. 【自学探究】 如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 问1:是什么三角形？ 问2:是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 问3:把 探究一：等腰三角形两底角相等 已知：中， 求证： 等腰三角形性质1： 等腰三角形两底角相等（简写“等边对等角”） 几何语言： 探究二：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 已知：中，， 为边上的中线 求证：高线，是的平分线 等腰三角形性质2： 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.(简写“三线合一”) 几何语言： 【典例解析】 例1 (1)若等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于 ; (2)等腰三角形一个底角为,它的另外两个角为______________； (3)等腰三角形一个角为,它的另外两个角为_________________； (4)等腰三角形一个角为,它的另外两个角为 例2.如图，在中，，点在上，.求各角的度数. 【达标测试】 1.在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是( ) A. B. C. D.平分 2.如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为____________ 3.已知一个等腰三角形的两个内角分别为和，求这个等腰三角形各内角的度数． 4.如图，中，，点 ， 分别是的边，上的点，且，求的度数 5.如图，在中，，为的中点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 参考答案 【自学探究】 问 1：三角形 ABC 是等腰三角形。 问 2：是轴对称图形，对称轴是底边 BC 上的中线（底边上的高、顶角角平分线所在的直线）。 问 3 重合的线段：AB 和 AC，BD 和 CD，AD 和 AD 重合的角：角 B 和角 C，角 BAD 和角 CAD，角 ADB 和角 ADC 探究一：等腰三角形两底角相等 证明： 过点 A 作 AD 垂直 BC，或者作角 BAC 平分线，或者取 BC 中点 D。 以作底边中线为例，BD 等于 CD，AB 等于 AC，AD 公共边。 三角形 ABD 全等于三角形 ACD，所以角 B 等于角 C。 性质 1：等边对等角 几何语言： 因为 AB 等于 AC，所以角 B 等于角 C。 探究二：三线合一 已知 AB 等于 AC，AD 是 BC 边上中线，可证三角形 ABD 全等于三角形 ACD。 得到角 ADB 等于角 ADC 等于 90 度，AD 垂直 BC；角 BAD 等于角 CAD，AD 平分顶角 BAC。 性质 2：三线合一 几何语言： 1. 如果 AB 等于 AC，BD 等于 CD，那么 AD 垂直 BC，AD 平分角 BAC。 2. 如果 AB 等于 AC，AD 垂直 BC，那么 BD 等于 CD，AD 平分角 BAC。 3. 如果 AB 等于 AC，AD 平分角 BAC，那么 BD 等于 CD，AD 垂直 BC。 【典例解析】 例 1 (1) 顶角 40 度，底角等于 70 度 (2) 底角 40 度，另外两个角 40 度，100 度 (3) 一个角 40 度，另外两个角：40 度，100 度 或者 70 度，70 度 (4) 一个角 110 度，另外两个角都是 35 度 例 2 解： 设角 A 等于 x 度。 AD 等于 BD，角 ABD 等于角 A 等于 x。 外角 BDC 等于角 A 加角 ABD 等于 2x。 BD 等于 BC，角 C 等于角 BDC 等于 2x。 AB 等于 AC，角 ABC 等于角 C 等于 2x。 三角形内角总和 180 度 x+2x+2x=180，x 等于 36。 角 A 等于 36 度，角 ABC 等于 72 度，角 C 等于 72 度。 【达标测试】 1. 答案：B 2. 答案：9 3. 解，分三种情况 情况一：两个都是底角，2x 减 2 等于 3x 减 5，x 等于 3。内角是 4 度，4 度，172 度。 情况二：2x 减 2 是顶角，3x 减 5 是底角 2x−2 +2*(3x−5)=180，x 等于 24。内角 46 度，67 度，67 度。 情况三：3x−5 是顶角，2x−2 是底角 3x−5 +2*(2x−2)=180，x 等于 27。内角 76 度，52 度，52 度。 三组答案全部符合条件。 4. 解： 设角 C 等于 x。 DE 等于 EC，角 EDC 等于角 C 等于 x。 外角 AED 等于角 EDC 加角 C 等于 2x。 AD 等于 DE，角 DAE 等于角 AED 等于 2x。 外角 ADB 等于角 DAE 加角 C 等于 3x。 AB 等于 AD，角 B 等于角 ADB 等于 3x。 已知角 B 等于 63 度，3x 等于 63，x 等于 21。 角 C 等于 21 度。 5.(1) 证明： AB 等于 AC，D 是 BC 中点，根据三线合一，AD 平分角 BAC。 DE 垂直 AB，DF 垂直 AC，角平分线上点到两边距离相等，所以 DE 等于 DF。 (2) 解： D 是 BC 中点，三角形 ABD 面积等于三角形 ACD 面积等于 9。 三角形 ACD 面积等于二分之一乘 AC 乘 DF。 AC 等于 AB 等于 6。 9=1/26DF，算出 DF 等于 3。 学科网（北京）股份有限公司 $