【课件】新定义 综评（北部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

高观点下新定义题的结构转化与方法迁移 ——以 2026 年新高考I卷、上海卷和天津卷为例 殷雄 南京市第十四中学 此处放视频头像 不放文字 目录 01. 学生视角---新高考I卷19题[节选] 02. 学生视角---上海卷21题[节选] 03. 学生视角---天津卷19题[节选] 04. 新定义问题的特点 05. 新定义问题的备考措施---学生 06. 新定义问题的教学策略---教师 07. 附录 ［2026年新高考I卷节选］函数定义域为当，对任意记 （1）若奇函数，，证明. （2）设满足：若则，且当，. (i)证明：. (ii)严格递增. 代数意义 几何意义 此处放视频头像 不放文字 若,则 本质：把从 搬到 （1）若为奇函数，，证明. 若,则. 推出矛盾 命题否定 为，构造成立 若则 （2）设满足：若，则.且当， 证明：. 图象解释 在 单调递增 期望 若则 （2）设满足：若，则.且当， 证明：在严格递增. 图象解释 推出矛盾 命题否定 令 为，构造成立 若则 （2）证明：当，. 图象解释 在 单调递增 推出矛盾 命题否定 足够小，构造成立 若则 （2）证明：当，. 图象解释 [2026上海卷节选］是的一个排列.对函数.若对于任意都有.则称关于，，一个排列；关于的排列总数记为. (1)对 满足条件的 求 的取值范围； (2)对有令 证明：若 严格递减，则存在 使 ；若 严格递增，则存在 使 此处放视频头像 不放文字 例如，排列 对应 解得 排列成立 排列的含义 (1)对满足条件的求的取值范围； l l l l (2)对有令 证明：若 严格递减，则存在使； (2)对有令 证明：若 严格递减，则存在使； l l l l 图象解释 (2)对有.令.证明：若 严格递增，则存在使. 已出现 存在有构造反例特征 (2)对有令.证明：若 严格递增，则存在使. l l l l 图象解释 (2)对有令.证明：若 严格递增，则存在使. 无界 l 严格递增 累加 推出矛盾 命题否定 例题 裂项相消 目标 图象解释 ［2026 年天津卷节选］已知数列,定义 为元素的个数. （1）求 （2）求 令 原定义中的条件＂或 表示 分别来自两类取值， 因此 由于取遍正偶数，取遍奇数（的幂次），由此得到两类取值互不重合，即 与含义 （1）求 （2）求 两个特点：一是上限 为偶数，二是 使各项符号正负交替，这样可以将相邻两项进行正负抵消一部分.因此，可以把相邻的奇数项和偶数项两两配对. 为便于表示，令 于是 从增加到 时，新的偶数 必然进入集合；而 不可能是 的幂，所以恰好只增加一个新元素 于是 在中，正偶数有 个. 对和 关系分析 再记 则 代入得 反套路！ 对和 关系分析 对分析 由   可得   因此,在以为横轴、为纵轴的坐标系中，作曲线.对于固定的整数就是该列中位于曲线下方（含曲线）的整数格点个数.即 图象解释 为了使换序计数更直观，在图中取 ．此时 ，横向表示 ，纵向表示 ．每一个阴影方格代表一个满足 的有序对 .按列统计得到 按行统计则分别得到总数均为． 对分析 此处放视频头像 不放文字 现计算有序对的个数.固定后，，故符合条件的有个.于是 对分析 此处放视频头像 不放文字 新定义题目 新定义在题中的作用 思维形态 新高考Ⅰ卷 提供推理机制：函数值序可以转化为集合包含，并反复搬运位移 单核心、可重复、链式结构 上海卷 提供判定标准：把排列转成函数序，但具体函数序要分别证明 统一入口、内部多分支 天津卷 提供累计统计量：必须与交错权数、奇偶、格点等其他结构结合 多结构拆分、再组合 三道高考题微总结 此处放视频头像 不放文字 1. 难点前移：从“会不会算”转向“能不能看懂” 新定义题解构以后，涉及的往往仍是函数、数列、集合、不等式等高中基本知识，真正的困难更多集中在解题前端：能否读懂定义、辨认变量角色，并把陌生表述转化成熟悉的数学关系. 所以这类题往往给人一种感觉：看起来很陌生，真正拆开以后数学内容并不复杂. 新定义问题的特点 此处放视频头像 不放文字 2. 信息压缩：从“条件很多”转向“抓住真正起作用的关系” 新定义题经常给出较多对象、条件和符号，但真正决定结论的往往只是少数关键关系. 因此解题不能只问：“这个条件能推出什么？” 新定义问题的特点 此处放视频头像 不放文字 2. 信息压缩：从“条件很多”转向“抓住真正起作用的关系” 还要进一步问：“这个条件在整道题里到底起什么作用？” 例如，是确定大小关系、提供不变量、完成取补，还是制造矛盾.其核心过程就是把表面的复杂信息不断压缩，找到真正控制结论的结构.前面所讲的三道题本质上都属于这种信息压缩. 新定义问题的特点 此处放视频头像 不放文字 3. 打破套路：从“识别题型”转向“识别结构” 传统训练容易形成“看到什么题型，就调用什么方法”的习惯，而新定义题恰恰会故意隐藏这些熟悉的知识标签. 所以学生不能只依赖：数列题用数列方法、集合题用集合方法……而要重新判断： 这个陌生定义背后，实际上是什么数学结构？ 也就是说，新定义题在一定程度上是在削弱机械套题型的优势，考查学生能否跳出原有思维定势，在新的表述下重新组织已有知识. 新定义问题的特点 此处放视频头像 不放文字 4. 能力升级：从“掌握知识”转向“组织、迁移和构造知识” 新定义题所使用的知识可能并不高级，但对能力的要求并不低.它不仅要求学生“会某个知识点”，更要求学生：知道什么时候用、为什么用、以及怎样根据目标重新组织这些知识。 因此，这类题最终考查的是一种更综合的能力：面对陌生问题，能够重新理解定义、识别结构，并迁移已有知识完成解决。 新定义问题的特点 此处放视频头像 不放文字 1. 先读懂定义，再进入计算 面对新定义题，不要急于套公式、做运算，而应先弄清楚变量分别代表什么、条件在比较什么、新定义到底描述了什么关系.可以养成“圈变量—标角色—翻译定义”的习惯，并通过短时间的“冷启动训练”，专门训练第一次接触陌生定义时如何快速进入问题. 新定义问题的备考措施---学生 此处放视频头像 不放文字 2. 主动转化，寻找熟悉的数学结构 看懂定义之后，还要进一步思考：“能不能换一种更熟悉的方式表达？”例如，看到累计量尝试研究相邻差，看到总量不变考虑补项，看到两点关系考虑作差或位移.逐渐建立“陌生表达—熟悉结构”之间的联系，避免始终围绕原定义机械操作. 新定义问题的备考措施---学生 此处放视频头像 不放文字 3. 学会目标反推，让构造有方向 解题过程中不能只从已知条件不断往前推，还应从结论反过来想：我要得到什么？现在还缺什么？哪个条件可能帮助我得到它？ 这样辅助点、辅助量和中间结论就不再完全依赖“灵感”，而是由目标和条件共同产生. 新定义问题的备考措施---学生 此处放视频头像 不放文字 4. 重视复盘，把“做过一道题”变成“获得一种经验” 做完题以后，不只订正答案，还要复盘：这道题卡在哪里？关键转化是什么？最后回到了什么高中知识？ 错题本可以重点记录“为什么没想到”，如定义误读、变量混淆、没有发现等价关系、只会顺推不会反推等.这样积累的不是一道道题的答案，而是面对陌生问题时可以迁移的经验. 新定义问题的备考措施---学生 此处放视频头像 不放文字 1. 把定义解读作为课堂训练的一部分 不能默认学生已经读懂定义，也不宜一上来就进入标准解法.可以专门设置定义解读环节，让学生解释变量角色、用自己的话复述定义、举简单例子或反例.新定义题很多困难本身就发生在解题前端，因此“怎么读题”也应该成为教学内容. 新定义问题的教学策略---教师 此处放视频头像 不放文字 2. 建立“结构库”，而不是“题型库” 备课时不应只按“函数新定义题、数列新定义题”这种分类，而应进一步提炼题目背后的结构，例如：累计与差分、总量不变与取补、迭代与递推、位移与平移、整体比较与恒成立等。这样面对新的包装时，教师才能迅速看到其数学骨架，并帮助学生建立知识之间的联系。 新定义问题的教学策略---教师 此处放视频头像 不放文字 函数新定义题 结构1 结构2 结构3 结构1 函数 数列 概率 2. 建立“结构库”，而不是“题型库” 题型库 结构库 结构库建设的本质，不是积累题目，而是积累可迁移的数学结构。 新定义问题的教学策略---教师 此处放视频头像 不放文字 3. 通过变式和条件增删提升迁移能力 一道典型题讲完以后，可以继续追问：删掉这个条件还成立吗？把条件减弱或加强会怎样？换一种定义包装还能不能使用原来的结构？ 教师也可以尝试逆向分析命题过程，从具体解法进一步进行结构抽象和条件剥离。这样既能帮助学生理解哪些条件真正关键，也能避免把新定义题再次固化成新的题型模板。 新定义问题的教学策略---教师 谢谢倾听，请批评指正! 此处放视频头像 不放文字 附录 01.教师视角---2026新高考I卷19题 02.教师视角---2026上海卷21题 03.教师视角---2026天津卷19题 04.结构库的构建逻辑 此处放视频头像 不放文字 记 对任意，记 称为严格上水平集. 定义 则 = 教师视角---2026新高考I卷19题 此处放视频头像 不放文字 对 记 教师视角---2026新高考I卷19题 命题1 设函数满足条件,且 . 1.若,则. 2.若,则是的非空真子集；并且对任意不同的及任意 ,均有,其中. 此处放视频头像 不放文字 证明：任取不同的. 由及条件有;结合式 得将其平移个单位,得到 令.下面分别说明周期的正、负整数倍情形. 当时，显然有 . 当时，反复平移可得 当时,由集合等式双向性便可得证. 教师视角---2026新高考I卷19题 此处放视频头像 不放文字 若,则最大值；若,又因空且与交，故非空真子集.图中用函数进行了示意，但命题本身并不要求由区间组成. 教师视角---2026新高考I卷19题 此处放视频头像 不放文字 进一步研究右侧点集时，只需假设左侧已知区间单调不减；右侧低函数值点集的严格递增将由上述周期结构和包含条件推出，而不是作为先验假设. 设，函数 满足条件，并存在，使 且在上单调不减. 记其中允许取扩展实数值. 教师视角---2026新高考I卷19题 此处放视频头像 不放文字 先考查左侧函数.命题1表明，左侧若出现重复函数值，相应的水平结构会受到周期性约束.结合左侧的单调不减性，可以得到以下命题. 命题2 若 且 则 . 证明：反设，令.由命题1，.又因，可取使.当充分大时，.周期性给出.但左侧单调不减性又给出 矛盾. 教师视角---2026新高考I卷19题 此处放视频头像 不放文字 由命题2还可得到： 当时，左侧下确界不会在内取到.事实上，若存在使，任取.由是下确界且在 上单调不减，有 因而 . 但由命题2，因 ，应有 矛盾.因此不会在 内取到. 教师视角---2026新高考I卷19题 此处放视频头像 不放文字 这个命题主要说明在左侧的函数只有两种情况，要么一直严格递增，要 么先严格递增再水平，我们举两个例子，并绘出图象，但要注意这两个例子只是形态示例. 教师视角---2026新高考I卷19题 此处放视频头像 不放文字 下面再引入右侧点集.令并定义 命题3 在上述假设下，有 证明：反设存在 ，使由的定义，可取，满足 令 由于且，故又因 教师视角---2026新高考I卷19题 此处放视频头像 不放文字 由条件得 从而，即但，所以.由在 上单调不减， 矛盾.因此成立. 教师视角---2026新高考I卷19题 此处放视频头像 不放文字 定理4 在上述假设下，有以下结论. （1）若且，则在上严格递增；若,则在上单调不减. （2）若,则；对,均有. （3）若且 ,则 且 . （4）若且 ,则 且 . （5）若且 ,则 ,从而 . 教师视角---2026新高考I卷19题 此处放视频头像 不放文字 （1）证明 设 .任取 ，且 ，令 取 ，使 .由命题2 故 . 又因为 教师视角---2026新高考I卷19题 此处放视频头像 不放文字 教师视角---2026新高考I卷19题 所以由条件得 于是 ，即 故 在 上严格递增. 再任取 ，且 .若 此处放视频头像 不放文字 教师视角---2026新高考I卷19题 则令，有 . 对任意 ，由 可得 此处放视频头像 不放文字 从而 ，即 . 但 这与 在 上单调不减矛盾.故 即 在 上单调不减. 教师视角---2026新高考I卷19题 此处放视频头像 不放文字 （2）证明 由命题3，有故 任取 .反设 取 ，使 并令 则 由命题2得 教师视角---2026新高考I卷19题 此处放视频头像 不放文字 教师视角---2026新高考I卷19题 又因为 所以 由于，则 故 . 此处放视频头像 不放文字 注意到 于是 这与 矛盾.因此以对任意 ，均有 . 第均由命题3及为实值函数直接得到. 教师视角---2026新高考I卷19题 此处放视频头像 不放文字 定理5[另解] 是排列 证明 令 则 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 记 集合记录可以出现在排列首位的编号，集合记录可以出现在排列末位的编号.由此立即得到三元情形下的计数结论. 定理6 设为关于的 排列总数，则 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 证明 由上面的等价表述，排列 若暂不考虑 ，首位编号与末位编号共有 种有序选择.由于 必须是的排列，首、末编号不能相同；而 恰好发生在所选编号同时属于 与 ，因此需要排除 种情形.又因为首位 与末位 一旦确定，中间编号 即唯一确定， 故 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 定理7 设 为定义在区间 上的实值函数.对 的排列若对任意均有.以及 则称满足边界前缀条件. 记 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 则满足边界前缀条件的排列总数为 证明 由于是的一个排列，对每个固定的 ，有 因此 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 故满足边界前缀条件，当且仅当 若暂不考虑 ，首位与末位共有种有序选择.其中当且仅当该编号属于 所以合法的首、末编号共有 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 每确定一组不同的首、末编号以后，其余个编号在中间个位置可以任意排列，共有 排法.因此满足边界前缀条件的排列总数为 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 定理8 设 是是定义在区间 上的函数.对 的排 列，若对每个都有 则称满足前缀支配条件.全部 个排列都满足该条件，当且仅当 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 证明 必要性.假设个排列均满足前缀支配条件.任取，考虑仅交换第与第个编号的排列 取的第个前缀条件，可得 消去两边的公共项，得到 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 由于任意，因此 充分性.假设上述大小关系成立.任取排列 及 将 按从小到大排列为 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 任取排列 由于，故 于是 因此任意排列 均满足前缀支配条件，充分性成立. 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 原题第（2）问的证明已经给出了一条清晰的处理路径：递减情形通过 建立函数值分层，递增情形则先在左端点排除大部分排列，再处理唯一剩余的三点比较.若继续追问“哪些条件真正决定了这两步能够成立”，首先可以注意到，的具体解析形式并非关键；它主要承担的是相对于建立比较层次的作用.因此，下面先将比较函数作抽象化处理，再沿着剩余的三点关系继续提炼真正起作用的条件. 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 定理9 设 ，并在上定义 则有 （1） 若严格递减，且对所有成立，则； （2） 若在 上有上界，并且在左端点处满足 则. 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 说明 第（1）问仍由 一次确认四个排列，证明与原题递减情形相同.第（2）问中，左端点条件立即给出 从而同样先排除四个排列，只剩恒成立的与可能成立的 .若后者成立，则必须在上恒有 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 即固定步长下的二阶差分始终非负.此时已经给出一个正的初始增量，而有上界又排除了后续增量始终不减的可能.该反证机制将在下述定理10中统一表述.因此，定理9的作用并不是提供一条新的证明路线，而是从原题证明中识别出比较函数真正承担的功能：递减情形需要它在整个区间上位于的上方；另一方向只需在左端点把压到下方.原题中的只是实现这种函数值分层的一种具体选择. 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 定理9第（2）问的后半段还可以继续抽象.那里真正用于排除持续离散凸性的，并不是函数的全局单调性，而只是某个固定步长下已经出现一个正增量.由此得到如下结论. 定理10 设 ，函数 在 有上界，并满足 则必存在整数 ，使 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 其中 证明同原题第二问后半段保持一致，故省略.定理10把定理9中的反证机制从具体排列问题中剥离出来：一旦某个固定步长上出现正增量，有界性就不允许后续增量始终不减.特别地，若 严格递增且有上界，则对任意允许的 与任意 都可应用定理10.   教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 因此固定步长下的负二阶差分不仅必然出现，而且会在任意远处出现.这说明严格递增只是保证“处处存在正增量”的充分条件，而不是离散非凸性的本质假设. 原题中采用等权平均.若将其改为加权平均，则上述＂正增量与有界性＂的矛盾机制存在一个准确的临界权重. 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 定理11 设，函数上界，并满足定义则有 （1）若，则不可能对所有恒有 （2）若，则存在严格递增且有上界的函数，使对所有恒成立. 因此，在存在正初始增量的条件下，是上述结论的临界权重. 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 证明 先设 ，反设下式恒成立. 令 取 ，得到 等价于 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 即 由于 ，有 ；又由 知 .故 从而 与有上界矛盾. 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 再设 . 记 任取并定义 由于严格递增且有上界.对任意，令，则 其中最后一个不等式由得到.因此相应的不等式可以在整个恒成立. 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 定理11进一步说明，原题中的等权平均并非任意选择.当左端权重达到或超过时，只要已经有一个正的初始增量，若相应的加权中点不等式持续成立，就会迫使后续增量不衰减，最终与函数有上界矛盾；而当左端权重小于 ，允许增量按几何速度衰减，从而与有界性相容.等权情形 正处在两种行为的分界位置. 教师视角---2026上海卷21题 此处放视频头像 不放文字 另解 当 时， 因此，满足 的整数 共有，于是 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 图象解释 此处放视频头像 不放文字 求和换序高等解释 定义示性函数 其中 对固定的恰好等于满足的的个数. 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 因此 从而 若记 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 那么式实际上就是在计算整数点集合中元素的个.固定统计，相当于按照第一坐标将分组.第 列所含格点数恰好为，于是 由于与均只在有限集合中取值，可以直接利用有限加法的交换律和结合律交换两个求和指标的顺序： 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字   交换以后，固定 进行统计，相当于按照第二坐标对同一整数点集合进行分组。对于固定的 ,有 由于为奇数，为整数。因此，在中，满足条件的共有 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 于是 上述做法为定理12的二维情况. 定理12 设都是有限集合，函数，那么对于任意排列 ，即任意改变求和指标的先后顺序，都有   教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 下面引入阿贝尔求和，并不是将其作为学生考场作答所必须掌握的方法，而是把它作为教师理解题目结构和进行教学拓展的工具. 前面的学生解法实际上分别抓住了原和式的两个方面：一方面，交错权数具有明显的局部消去结构，可以通过相邻配对处理；另一方面，是一个累计计数，真正有效的信息并不在各个 本身，而在相邻两项之间何时发生跳跃. 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 阿贝尔求和恰好能够把这两个方面统一起来：对累计量考查相邻差分，对与其相乘的权数则考查相应的尾和，从而把原来的逐项求和转化为“跳跃大小乘以跳跃后的尾部权重”. 这也体现了“高等背景不等于高等解法”：高等数学中的结构可以帮助教师深化认识、解释不同方法之间的联系，但学生仍然可以完全依靠高中知识完成求解. 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 阿贝尔求和公式 设，并令因此有 式是阿贝尔求和的一种尾和形式.它首先是一个代数恒等式，对任意实数数列 都成立，并不要求各项非负，也不要求 具有单调性. 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 若进一步假设 ,式可以借助阶梯区域作直观解释.为使图形简洁，仅取 作为示意. 图中表示的是同一个阶梯区域的两种分割方式：前者按列计算，后者按层计算.由此在 的情形下直观得到 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 图象解释 此处放视频头像 不放文字 回到本题，本质上是一个随阈值 增大而逐步增加的累计计数，而与之相乘的权数为.因此，式的尾和形式与本题的结构特别贴合.为突出求和上限对尾和的影响，暂将上限记为正整数 ，并令 由式得 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 式说明，对于累计计数 ，真正参与计算的并不是各个 本身，而是它的相邻增量若把 看成随阈值逐步增加的阶梯函数，那么 记录第 处是否发生跳跃以及跳跃的大小；而 表示这一跳跃发生以后，直到求和终点 为止全部权数的总和. 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 特别地，当 时，第 处没有新的元素进人累计集合，相应项在式中自动消失.因此，原来需要逐项处理的和式，被压缩为只在真正的跳跃点上求和. 这里引入一般上限，只是为了把尾和恒等式的结构写清楚，并不另行讨论一般上限问题.回到原题，立即取此，下面只需确定两件事：在哪些位置发生跳跃，以及这些跳跃点所对应的权数尾和是多少. 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 在本题中由于 为奇数，所以 为偶数.令由前面对累计集合结构的分析，当且仅当为正偶数或 ，其他情形均为0,且两类跳跃点互不重合. 为了计算这些跳跃点的尾和，定义前缀和 将相邻两项配对，有，所以 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 由于 为偶数，.从而 于是式只需在两类跳跃点处求和.正偶数跳跃点为 .因此它们的总贡献为 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 另一方面，由于 ，不超过的3的幂恰好为这些跳跃点均为奇数，所以 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 因此其总贡献为 两部分相加时，一次项 与 恰好抵消，于是 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 进一步与学生视角中的计算对照可以看到，两种方法的中间结果恰好对应相邻配对得到的 ，正是全部偶数跳跃点的尾和贡献；换序计数得到的另一部分，则对应全部 3 的幂跳跃点的尾和贡献 .因此，阿贝尔求和并没有提供新的计算来源，而只是把学生解法中分开出现的两种处理重新组织起来： 相邻配对 偶数跳跃的尾和贡献； 换序计数 的幂跳跃的尾和贡献． 教师视角---2026天津卷19题 此处放视频头像 不放文字 [框架结构]已知,记且,.同时满足：对于任意给定的，集合的角终边互异,其中对于任意的设函数 （1）求证:集合集合角具有相同终边集； （2）求证:集合至少存在一个元素使得 （3）设为函数在上的最大值.求在上的最小值（用表示）,并给出证明. 结构库的构建逻辑 此处放视频头像 不放文字 [函数题]已知,记且.同时满足:对于任意给定的,集合中的个角的终边所在直线互异.对于任意,在任意一个长度为的半开区间内,将方程的全部实根记为 （1）求证:集合集合有相同的终边直线集； 结构库的构建逻辑 此处放视频头像 不放文字 （2）求证:集合至少存在一个元素使得 （3）对每个实根,记设为这些中的最小值.求在上的最大值,并给出证明. 结构库的构建逻辑 此处放视频头像 不放文字 [几何题]已知棱长为正四面体,整数.从区间选取点列中实数,且每个 在棱分别取点使 记四边形 （1）证明:矩形,求其两条邻边长. 结构库的构建逻辑 此处放视频头像 不放文字 （2）证明:在这 矩形中,至少存在一个矩形,其两条邻边长之差的绝对值不超过 并说明常数 能再减小. （3）设 这 矩形面积中的最大值.求 所有满足条件的的最小值,并证明你的结论. 结构库的构建逻辑 此处放视频头像 不放文字 [应用题]某测绘小组在平地上选定两点已知直径,在直线同侧作半圆测绘仪固定在点一次可发出观测射线,除点分别与半圆于这些射线按从射线垂直于方向依次排列,相邻两条射线的夹角相等,且这射线覆盖的总角度为每个连接得到直角三角形记 （1）设半圆一点,求于表达式. 结构库的构建逻辑 此处放视频头像 不放文字 （2）证明:在这直角三角形中,至少存在一个三角形,其较短直角边与较长直角边之比不小于 （3）对半圆上一点定义三角形观测质量系数为.测绘小组拟制定一个统一标准:若某次观测满足称该次观测为＂合格观测＂.要求无论第一条观测射线如何选取,只要满足题设的等角观测条件,这 观测中总能保证至少有一次为合格观测.求这个统一标准最大可取值. 结构库的构建逻辑 此处放视频头像 不放文字 前述四道原创试题，均源于第四届全国初高中命题比赛作品《高观点下的初等数学——一道三角多项式极小、极大值问题》. 第一步，剥离具体数值，以纯字母形式抽象出极值问题的母结构；第二步，将这一结构分别迁移到三角函数、立体几何和应用问题中.虽然题目情境不同，但其底层逻辑与推理结构保持一致. 具体解答可参考2026年9月《中学数学（增刊）》 结构库的构建逻辑 $