【课件】“上海卷 第16题 ”（北部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

此处放视频头像 不放文字 所讲题目：立体几何空间旋转轨迹专题探究 姓名：周晶晶 所在单位：上海市仙霞高级中学 一、原题（2026年上海卷第16题） 如图空间直角坐标系中，正方体，顶点为坐标原点，棱、、分别在轴、轴、轴上，将正方体绕体对角线,旋转一周，试问点的运动轨迹会经过( )个空间卦限. A.1 B.3 C.4 D.7 此处放视频头像 不放文字 JINGJING ZHOU (JZ) - 本题的目标是求点C的运动轨迹经过几个空间卦限，需要解决两个问题：点C的运动轨迹和经过的卦限，本质上是要确定点C的运动轨迹与坐标平面的位置关系（圆与坐标平面的位置关系），可以有两种思路：代数法和几何法.代数法就是把轨迹方程求出来，再和坐标平面的方程联立，根据解的个数确定两者的位置关系.几何法则需要先根据轨迹平面和旋转轴垂直，找到轨迹所在的平面，再在平面当中根据几何特征，判断轨迹圆与坐标平面的位置关系. 点C的运动轨迹经过的空间卦限 点C的运动轨迹与坐标平面的位置关系（圆与坐标平面的位置关系） 代数法：联立方程，根据解的个数确定位置关系： 联立方程为3个：圆上点与圆心距离满足的方程，圆所在平面方程，坐标平面方程. 几何法（转化为平面问题）：先找到轨迹圆所在平面，再在平面上探究其位置关系 将圆所在平面扩大至与坐标平面相交，再探究交线与圆心的位置关系 观察图形，可知圆心恰好是正三角形∆𝑃𝑄𝑅的中心，只需判断半径与内切圆半径的大小关系 解法一 空间直角坐标法（通用万能解法） 不妨设正方体的棱长为，则，，，可得，. 设点在体对角线上的投影为，，，则 ,可得 解法一 空间直角坐标法（通用万能解法） ，，即，且. 可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，在点的轨迹任取一点，则 ，则 解法一 空间直角坐标法（通用万能解法） ，整理可得. 令可得，解得，即 交点坐标为，可知点的轨迹与平面相切. 解法一 空间直角坐标法（通用万能解法） 令可得，解得，即交点坐标为，可知点的轨迹与平面相切. 令可得，解得，即交点坐标为，可知点的轨迹与平面相切. 所以点的轨迹经过空间中的个卦限. 解法二 几何定义法（考场速解优法） 首先找到的轨迹： 注意到平面垂直于，因此的轨迹就在平面上，而且刚好是的外接圆. 为了知道这个轨迹圆是否经过其他卦限，先画出平面与三个坐标平面的交线.因为平 解法二 几何定义法（考场速解优法） 面平面，由面面平行的性质定理可知，平面与平面的交线平行于其与平面的交线，同理可得另外两条交线分别平行于、，即为图中的、、三条线，其中，，. 解法二 几何定义法（考场速解优法） 可知为边长为的正三角形，且其中心为，且内切圆半径.于是可知点的轨迹即为的内切圆，此时圆上任意点坐标符号全为非负，所以点的轨迹经过空间中的个卦限. 母题方法小结 空间坐标法：逻辑固定统一，适用于不规则复杂几何体，通用性更强； 几何定义法：计算量小，填空选择题优先使用. 本题核心解题逻辑：定旋转轴、作垂线求半径和圆心、判断坐标平面与圆的位置关系. 二、变式训练 如图空间直角坐标系中，正方体，顶点为坐标原点，棱、、分别在轴、轴、轴上，将正方体绕体对角线,旋转一周，试问点的运动轨迹会经过( )个空间卦限. A.1 B.3 C.4 D.7 此处放视频头像 不放文字 JINGJING ZHOU (JZ) - 本题的思路与原题高度相符，几何法较原题甚至更为简单，只需注意两个点所在位置的区别即可. 点B的运动轨迹经过的空间卦限 点B的运动轨迹与坐标平面的位置关系（圆与坐标平面的位置关系） 代数法：联立方程，根据解的个数确定位置关系： 联立方程为3个：圆上点与圆心距离满足的方程，圆所在平面方程，坐标平面方程. 几何法（转化为平面问题）：先找到轨迹圆所在平面，再在平面上探究其位置关系 观察图形，可知截面圆恰好是正三角形⊿𝐴1𝐵𝐷的外切圆，与三个坐标平面都相交 解法一 空间直角坐标法（通用万能解法） 不妨设正方体的棱长为，则，，，可得，. 设点在体对角线上的投影为，，，则 ,可得 解法一 空间直角坐标法（通用万能解法） ·，解得，则，即，且. 可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，在点的轨迹任取一点，则 解法一 空间直角坐标法（通用万能解法） ， 整理可得. 令可得，解得或，即交点坐标为和，可知点的轨迹与平面相交. 解法一 空间直角坐标法（通用万能解法） 令可得，解得或，即交点坐标为和，可知点的轨迹与平面相交. 令可得，解得或，即交点坐标为和，可知点的轨迹与平面相交.所以点的轨迹经过空间中的个卦限. 解法二 几何定义法（考场速解优法） 首先找到的轨迹： 注意到平面垂直于，因此的轨迹就在平面上，而且刚好是的外接圆. 而平面与三个坐标平面的交线分别是图中的、、三条线，可知轨迹圆与三个坐标 解法二 几何定义法（考场速解优法） 平面均相交.在劣弧上，任意点坐标符号满足、，，即在第四卦限；在劣弧上，任意点坐标符号满足、，，即在第二卦限；在劣弧上，任意点坐标符号满足、，，即在第五卦限.所以点的轨迹经过空间中的个卦限. 三、试题溯源和推广 前置知识 单页双曲面 在几何学中，单叶双曲面（有时称为旋转双曲面或圆形双曲面）是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面.这里只介绍它的标准方程和部分核心几何性质,方便后续推广试题的理解. 此处放视频头像 不放文字 三、试题溯源和推广 前置知识 单页双曲面 1. 标准方程 特征：平方项两正一负，右端. 此处放视频头像 不放文字 三、试题溯源和推广 前置知识 单页双曲面 2. 核心几何性质 （1）对称性 中心二次曲面，对称中心为原点；关于3个坐标平面、3条坐标轴全部对称. （2）截面特征 水平面：截线为椭圆；得到 此处放视频头像 不放文字 三、试题溯源和推广 前置知识 单页双曲面 2. 核心几何性质 最小椭圆，叫作腰椭圆；越大，椭圆越大. 竖直平面或：截线一般为双曲线. （3）最重要特点：双重直纹面 曲面由两族互不相交的直线（直母线）编织而成（见右图）！曲面上任意一点，都恰好穿过两条不同族的直母线. 此处放视频头像 不放文字 三、试题溯源和推广 推广试题 如图空间直角坐标系中，正方体，顶点为坐标原点，棱、、分别在轴、轴、轴上，将正方体绕体对角线,旋转一周，棱的运动轨迹会形成一个曲面，过旋转轴的平面截该曲面的轨迹为双曲线，试求该双曲线的离心率. 此处放视频头像 不放文字 三、试题溯源和推广 推广试题 如图空间直角坐标系中，正方体，顶点为坐标原点，棱、、分别在轴、轴、轴上，将正方体绕体对角线,旋转一周，棱的运动轨迹会形成一个曲面，过旋转轴的平面截该曲面的轨迹为双曲线，试求该双曲线的离心率. 此处放视频头像 不放文字 JINGJING ZHOU (JZ) - 本题的目标是求双曲线的离心率，题目中没有出现双曲线的焦点、准线等等，无法据此得出关于a、b、c的具体信息，因此需要找一些特殊点来构造等式.首先我们可以通过找到双曲线顶点的位置，利用顶点到原点的距离等于a这一特征来求a.再在双曲线上找一个特殊点，求得它的坐标，再代入方程，从而进一步求b.在a、b都已知的情况下，再利用a^2+b^2=c^2求c，进而求离心率. 构造新坐标系，建立双曲线的标准方程 双曲线顶点即为BC中点M轨迹圆上一点，到圆心距离即为a 点C轨迹圆与双曲线交点坐标易求，可代入双曲线方程求b 求c，进而可求离心率 解法 特殊点法 不妨设正方体的棱长为. 为了简便计算，不妨在双曲线所在平面上建立新的平面直角坐标系：以旋转轴方向为轴正方向，的中点为原点，中垂线为轴建立如图平面直角坐标系，并设双曲线的方程为（其中）.       解法 特殊点法 根据定义，可知双曲线上到旋转轴的最短距离为，这个距离恰好是中点到旋转轴的距离.在中，可知，，过点作的中垂线，垂足为，可知就是到旋转轴的距离，且       解法 特殊点法 (即). 设双曲线与点的轨迹圆在第一象限交于点，双曲线与点的轨迹圆在第四象限交于点，由于点的轨迹圆半径为，可知点的横坐标为.可知点和点关于轴对称，点、分别是点、的轨迹圆圆心，可知四边形恰好是个矩形，       解法 特殊点法 即，所以点的纵坐标为.点的坐标为.代入双曲线方程得,可得，从而，.       试题解答小结 基础知识：双曲线的相关概念. 基本方法：通过找到双曲线上一些特殊点的坐标，借助其与、、的关系，求出双曲线的离心率. 数学思想：数形结合、从特殊到一般、化归. 核心素养：直观想象、逻辑推理. 四、备考建议 1．分类刷题梳理三类旋转载体：棱柱、棱锥、正方体，区分竖轴、普通斜线、体对角线斜轴； 2.分清两类轨迹形态：无约束完整圆、受几何体/二面角限制的圆弧，不混淆计算方式； 3.借助立体动画强化空间建模，减少仅凭直观想象产生的判断错误； 此处放视频头像 不放文字 四、备考建议 4.建立专属错题集，重点整理点线距离算错、旋转约束漏看两类典型失分问题； 5.日常坚持一题双解训练，几何法提速、坐标法严谨验证，适配填空压轴答题需求. 此处放视频头像 不放文字 谢谢倾听，请批评指正! $