精品解析：山东青岛市即墨区第一中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段检测数学试题

即墨一中高一级部第一次阶段检测数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题（每题5分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 2. 已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】依题意中一定含有元素0，即可得，可得实数的取值范围. 【详解】易知，所以中有且仅有一个元素一定为0， 所以，因此可得或， 即实数的取值范围为或. 故选：B 3. 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 4. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得， 所以， 故选：A 5. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解命题为真的充要条件，再根据充分不必要条件对应集合是充要条件对应集合的真子集筛选选项. 【详解】 命题“”为真，等价于对所有恒成立. 当时，的取值范围为，最大值为4， 因此命题为真的充要条件是. 若某个条件是该命题为真的充分不必要条件，则这个条件对应的的取值集合是集合的真子集： A选项：是命题为真的充要条件，不符合要求； B选项：对应的集合是的真子集，满足“时命题必为真， 命题为真时不一定有”，是充分不必要条件，符合要求； C选项：时例如命题为假，无法推出命题为真，不是充分条件； D选项：时例如命题为假，无法推出命题为真，不是充分条件. 6. 若集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将集合中的式子都通分成分母为4的式子，然后可判断出答案. 【详解】因为，表示的是奇数， ，表示的是偶数， 所以. 故选：D 7. 设全集或，，则集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件逐个计算求解即可判断 【详解】因为或，， 所以，或， 对于A，或，所以A错误， 对于B， 因为或，所以，所以B错误， 对于C，，所以C正确， 对于D， ，所以D错误， 故选：C 8. 一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试.已知有100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为（　） A. 108名 B. 120名 C. 125名 D. 150名 【答案】A 【解析】 【分析】画出韦恩图，设出未知数，得到方程组，求出答案 【详解】设只参加数学的人数为，只参加物理的人数为，只参加化学的人数为， 参加数学和物理的人数为，参加数学和化学的人数为，参加物理和化学的人数为， 参加三门的人数为， 由题意得， 前面三个式子相加可得①， 由第四个式子可知②， 由第五个式子可知③， 联立②③可得，， 代入①得，解得， 则学生总数为. 二、多选题（每题6分，错选不得分，漏选按答案选项个数平均得分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“”的否定为“” B. 设，则“”是“”的必要不充分条件 C. 设，若集合与集合相等，则， D. 满足 的集合有4个 【答案】AC 【解析】 【分析】由命题的否定判断A选项，由充分必要条件的定义判断B选项，由集合相等以及集合的互异性计算得到结果判断C选项，由集合的子集写出满足要求的集合判断D选项. 【详解】根据全称命题的否定形式知，命题“”的否定为“”，所以A正确； 可以推出，而解得，所以“”是“”的充分不必要条件，所以B不正确； 根据题意或，当时，，不符合集合元素的互异性； 当时，，，则，解得（舍）或， 所以，，所以C正确； 由题意，集合包含集合，同时集合又是集合的真子集， 则所有符合条件的集合为，，，共3个，所以D不正确； 故选：AC. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A、B、D，利用二次函数的性质可判断C． 【详解】对于A，由于，当时等号成立， 因此的最大值为，故A正确； 对于B，由于， 当，时等号成立，因此的最小值为9，故B错误； 对于C，由于， 当时等号成立，因此的最小值为1，故C正确； 对于D，由于， 当时等号成立，因此的最小值为，故D正确． 11. 非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则．下列判断中，正确的有（　） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，假设，推出矛盾；B选项，先推出，进而推出；C选项，先得到，，从而得到；D选项，举出反例可得D错误 【详解】A选项，假设，令，由①可知， 令，由②可知， 令，此时不存在，不满足①，故假设不成立，所以，A错误； B选项，由题意可知，若且，由①得， 由②可知， 由①可知，B正确； C选项，若且，， 由B知，，，故，C正确； D选项，不妨取，则， 由A知，，故D错误. 三、填空题（每题5分） 12. 设集合，则集合的子集个数为________ 【答案】16 【解析】 【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解. 【详解】解：， 故A的子集个数为， 故答案为：16 13. 已知，，且，则a的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分和讨论结合条件即得结果． 【详解】由题意，集合， 当时，即，解得，此时满足， 当时，要使得，则或或 当时，可得，即，此时，满足； 当时，可得，即，此时，不满足； 当时，，无解. 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】#### 【解析】 【分析】先由题意得到“，”为真命题，讨论和两种情况，即可求出结果. 【详解】命题“，”为假命题，则其否定“，”为真命题. 当时，集合，符合. 当时，因为， 所以由，，得对于任意恒成立， 又，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. （1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据对进行变形，再根据不等式的性质计算求解； （2）用待定系数法将变形，根据已知范围确定的范围． 【详解】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． 16. 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即． 【小问2详解】 若为假命题，由（1）知， 若为假命题，则，为真命题， 即对恒成立， ，都为假命题时，． 至少有一个是真命题时，或． 17. 已知集合，． （1）若，求及； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出集合，根据并集的定义可求得集合，根据补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可得，分、两种情况讨论，根据题意以及集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围； （3）由题意可知集合是集合的真子集，可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由，解得，所以． 当时，，所以， 或，所以． 【小问2详解】 因为，所以， ①当时，，解得； ②当时，则，解得． 综上所述，实数的取值范围为． 【小问3详解】 由是的充分不必要条件，知集合是集合的真子集， 所以，解得， 当时，，此时是的真子集，符合题意. 故实数的取值范围是． 18. 回答下列问题： （1）已知，求的最大值； （2）已知，且满足，求的最小值． （3）已知，且，若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接使用基本不等式求解即可； （2）由，得，消去得到，再利用基本不等式求解即可； （3）恒成立等价于，利用换元法，再利用“1”的妙用可得，再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 当且仅当，即时取等号 【小问2详解】 由，得 于是，于是变形得，所以， 当且仅当时等号成立. 【小问3详解】 ，若恒成立， 则, 令，则， 于是 当且仅当，即时等号成立. 所以的取值范围为. 19. 已知二次函数. （1）证明：是方程有两个异号实根的充要条件； （2）若的解集为，对于，总，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】（1） 必要性：由于是常数且有一正实根和一负实根， 设两根为，则且， 充分性：由推出，从而有两个不相等的实数根， 设为，则，由知：，即两根异号， 所以（a，b，c是常数且）有一正一负两实根， 综上，是方程有两个异号实根的充要条件； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）从充分、必要性两方面证明，结合一元二次方程根的分布及韦达定理、判别式判断推出关系，即可证； （2）令，问题化为，上，分类讨论并结合二次函数的性质列不等式求参数范围； （3）根据已知有恒成立，进而有，则，应用换元法并应用基本不等式求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由的解集为，则，得，故， 令，，且，， 要使，总，使得成立， 所以，只需，而的对称轴为， ①当，即时，只需，即， ②当，即时，只需，即，不符合条件， ③当，即时，只需，即，不符合条件， 综上，； 【小问3详解】 若对任意，不等式恒成立， 整理得恒成立，显然， 所以，则， 所以， 令，因为，所以， 若时，此时， 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 即墨一中高一级部第一次阶段检测数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题（每题5分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 4. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 若集合，，则（ ）． A. B. C. D. 7. 设全集或，，则集合是（ ） A. B. C. D. 8. 一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试.已知有100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为（　） A. 108名 B. 120名 C. 125名 D. 150名 二、多选题（每题6分，错选不得分，漏选按答案选项个数平均得分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“”的否定为“” B. 设，则“”是“”的必要不充分条件 C. 设，若集合与集合相等，则， D. 满足 的集合有4个 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 11. 非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则．下列判断中，正确的有（　） A. B. C. 若，则 D. 若，则 三、填空题（每题5分） 12. 设集合，则集合的子集个数为________ 13. 已知，，且，则a的取值范围为_________． 14. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 四、解答题（共77分） 15. （1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 16. 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. 已知集合，． （1）若，求及； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18. 回答下列问题： （1）已知，求的最大值； （2）已知，且满足，求的最小值． （3）已知，且，若恒成立，求的取值范围． 19. 已知二次函数. （1）证明：是方程有两个异号实根的充要条件； （2）若的解集为，对于，总，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $