精品解析：河南平顶山市第四十四中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期学业水平测试（一） 九年级数学 温馨提示： 1、本试卷共2页三大题满分120分考试时间100分钟请用黑色水笔直接答在答题卡上． 2、答卷前将姓名、班级、考号、考场、座号等项目在答题卷上填写清楚． 一、选择题（共10小题．共30分） 1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是( ) A. AB＝AD B. AC⊥BD C. AC＝BD D. ∠DAC＝∠BAC 2. 如图，E、F、G、H分别是四边形的四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ） A. 有一个角是直角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 3. 由，可得比例式( ) A. B. C. D. 4. 根据下列表格对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A. ＜3.24 B. 3.24＜＜3.25 C. 3.25＜＜3.26 D. 3.25＜＜3.28 5. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 7. 某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. x（x+1）=1892 B. x（x−1）=1892×2 C. x（x−1）=1892 D. 2x（x+1）=1892 8. 如图，点D在的边上，添加下列条件，不一定能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线、交于点O，，过点O作于点E，若，则菱形的面积为（ ） A. 32 B. C. 64 D. 10. 如图，在菱形中，已知，，，点在的延长线上，点在的延长线上，有下列结论：①；②；③；④若，则点到的距离为．则其中正确结论的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共5小题，共15分） 11. 若，则________． 12. 方程的解为_____________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，并且．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点的坐标为 ______． 14. 如图，在正方形中，，，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为____________． 15. 如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3．点E为射线 BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为__________ ． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，是矩形的对角线． （1）作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）设的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． ①直接写出四边形的形状： ； ②在①的条件下，若，，求四边形的边的长． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，且，求m的值． 19. 如图，平行四边形中，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，． ①当____________时，四边形是矩形． ②当____________时，四边形是菱形． 20. 阅读理解： 已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：． 证明：∵， ∴． ∴． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，且a≠b，c≠d，证明． 21. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）当为多少时，四边形成为矩形？ （2）四边形能否成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 22. 驻马店市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 23. 某校数学活动小组探究了如下数学问题： （1）问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； （2）变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期学业水平测试（一） 九年级数学 温馨提示： 1、本试卷共2页三大题满分120分考试时间100分钟请用黑色水笔直接答在答题卡上． 2、答卷前将姓名、班级、考号、考场、座号等项目在答题卷上填写清楚． 一、选择题（共10小题．共30分） 1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是( ) A. AB＝AD B. AC⊥BD C. AC＝BD D. ∠DAC＝∠BAC 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D选项正确， 不能得出，故C选项不正确， 故选：C. 【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 2. 如图，E、F、G、H分别是四边形的四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ） A. 有一个角是直角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解． 【详解】解：要是四边形是矩形，应添加条件是对角线互相垂直， 理由是：连接、，两线交于O， 根据三角形的中位线定理得：，，，， ∴，， ∴四边形一定是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形一定是矩形， 故选：C． 3. 由，可得比例式( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，∴，故选项错误； B、，∴，故选项错误； C、，∴，故选项错误； D、，∴，即，故选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 4. 根据下列表格对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A. ＜3.24 B. 3.24＜＜3.25 C. 3.25＜＜3.26 D. 3.25＜＜3.28 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据图表数据确定出代数式的值为0的x的取值范围即可． 由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25． 故选B. 考点: 图象法求一元二次方程的近似根． 5. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 7. 某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. x（x+1）=1892 B. x（x−1）=1892×2 C. x（x−1）=1892 D. 2x（x+1）=1892 【答案】C 【解析】 【详解】∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x－1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x(x－1)＝1892． 故选：C． 8. 如图，点D在的边上，添加下列条件，不一定能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； B. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； C. ，不能判定，该选项符合题意； D. ∵，， ∴， 该选项不符合题意． 9. 如图，菱形的对角线、交于点O，，过点O作于点E，若，则菱形的面积为（ ） A. 32 B. C. 64 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键． 根据菱形的性质得，根据，，得，得，即可得到，即可解答． 【详解】解：菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 则菱形的面积为， 故选：B． 10. 如图，在菱形中，已知，，，点在的延长线上，点在的延长线上，有下列结论：①；②；③；④若，则点到的距离为．则其中正确结论的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①只要证明即可判断；②根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可判断；③根据相似三角形的判定方法即可判断；④求得点到的距离即可判断．综上即可得答案. 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∵∠ABC=60°， ∴是等边三角形， ∴∠ACD=∠ACB=60°，AB=AC， ∴∠ABE=∠ACF=120°， ∵， ∴∠BAE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，．故①正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴和不会相似，故③不正确； 过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，，， ∴． ∴． ∴点到的距离为，故④不正确． 综上，正确结论有①②，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题． 二．填空题（共5小题，共15分） 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可． 【详解】由可得，， 代入． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键． 12. 方程的解为_____________． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程移项整理后，提取公因式因式分解，即可求出方程的解． 【详解】解： ， ， 或 ， ，． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，并且．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点的坐标为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】作，由旋转的性质得，再根据矩形的性质可得，然后根据勾股定理得，则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点D， 由旋转的性质得． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 即， ∴点． 14. 如图，在正方形中，，，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，掌握正方形的性质是关键．根据正方形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ，即， ，即是直角三角形， 点H是的中点， ， 故答案为：． 15. 如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3．点E为射线 BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为__________ ． 【答案】或 【解析】 【详解】解：根据题意得：∠B=∠BNM=∠AMN=90°， ∴四边形ABNM是矩形， ∴AB=MN=3，AM=BN， 根据折叠的性质得：，， 点B′为线段MN的三等分点时，分两种情况： ①当时， 在 中，由勾股定理得：AM=， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得x=； ②当时， 在中，由勾股定理得：AM=， 设， 在中，由勾股定理得， 解得x=． 故答案为：或 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解决此题的关键是合理的运用折叠的性质以及分情况讨论． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先移项，再利用直接开平方法，即可求解； （2）利用因式分解法，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 17. 如图，是矩形的对角线． （1）作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）设的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． ①直接写出四边形的形状： ； ②在①的条件下，若，，求四边形的边的长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）①菱形；② 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点B、D为圆心，大于为半径画弧，分别交于点M、N，作直线，则问题可求解； （2）①由题意易得，易得，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求证；②由矩形的性质可得，设，则，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是矩形，， ∴， 由①可设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， ∴． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】（1）只要证明△>0恒成立即可； （2）由题意可得，进行变形后代入即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，方程的两实根为， ， ， 即， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的存在条件的应用，属于基础试题. 19. 如图，平行四边形中，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，． ①当____________时，四边形是矩形． ②当____________时，四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， （2）①7.5；②5 【解析】 【分析】（1）证，推出，根据平行四边形的判定推出即可； （2）①证明，推出，即可得出答案；②证明是等边三角形，推出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当时，四边形是矩形；理由如下： 作于P，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故答案为：； ②当时，四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：5． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质以及矩形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 20. 阅读理解： 已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：． 证明：∵， ∴． ∴． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，且a≠b，c≠d，证明． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据计算即可； （2）先在等式两边同时减去1再结合计算即可； 【详解】（1）∵， ∴； （2）略 【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键． 21. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）当为多少时，四边形成为矩形？ （2）四边形能否成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当t=s时，四边形ABQP成为矩形 （2）四边形PBQD不能成为菱形．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，对边相等建立方程求解即可； （2）先由平行四边形建立方程求出时间，再判定邻边是否相等，判断出不能是菱形即可． 【小问1详解】 解：∵∠B=90°，APBQ， ∴当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形， 此时有t=22-3t，解得t=． ∴当t=s时，四边形ABQP成为矩形； 【小问2详解】 解：四边形PBQD不能成为菱形，理由如下： ∵PDBQ， ∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形． 由PD=BQ，得16-t=22-3t，解得t=3， 当t=3时，PD=BQ=13，BP=， ∴四边形PBQD不能成为菱形． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，解本题的关键是用方程（组）的思想解决问题上，是一道中考常考题． 22. 驻马店市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得， 整理，得， ∴ 解得， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴不合题意，舍去． ∴． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 23. 某校数学活动小组探究了如下数学问题： （1）问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； （2）变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到BP和CQ的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到BP和AQ的数量关系； （3）连接BD，如图（见详解），先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段BP的长，接着设正方形ABCD的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：判断，理由如下： ∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接BD，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，DE与PF交于点Q， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为3． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $