精品解析：云南省部分校2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试题

2026—2027学年第一学期质量检测（10月） 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合， 则，集合， 则. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 所以． 3. 已知平面向量满足，，则（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以 则. 4. 已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，渐近线方程为，故， 所以，所以， 所以离心率. 5. 已知高三某同学去参加数学竞赛，竞赛一共三道题，每道题正确或错误的结果互不影响，该同学答对三道题的概率分别是.若至少答对两道题即算竞赛成绩合格，则该同学竞赛成绩合格的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将“至少答对两道题”分为“恰好答对两道题”和“三道题全对”四个互斥事件，利用三道题答题结果相互独立，分别求出各事件的概率后相加． 【详解】设这位同学答对三道题的事件分别为，，， 因为该同学答对三道题的概率分别是，，，所以（A），（B），（C）， 则该同学竞赛成绩合格的概率. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式和辅助角公式化简等式左边，即可求得结果. 【详解】， 7. 已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用圆台上下底半径与母线求出高，由判定圆台存在内切球，内切球半径等于圆台高的一半；再分别套用公式算出圆台全面积与内切球表面积，最后作比化简得到结果． 【详解】 由题可知圆台的高为， 该圆台的内切球半径为， 所以圆台的表面积为， 球的表面积为， 所以此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为． 8. 已知偶函数的定义域为，且为奇函数，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对称性求得函数的周期，再结合求得，，，最后结合周期性求解即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点中心对称，即 ， 所以，且时，， 又为偶函数，所以的图象关于轴对称，且 所以， 所以，， 所以，即的周期， 因为，，， 所以. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为 B. 直线恒过定点 C. 圆心到直线的最大距离为 D. 设直线与圆相交于两点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用圆的标准方程求出圆心和半径；选项B，将直线整理为，该式对任意实数恒成立得到，解出的值，从而得到定点的坐标；选项C，由直线恒过定点，得到圆心C到直线的距离d最大为，利用两点间的距离公式求解；选项D，由弦长公式求，最大时最小，利用勾股定理求出. 【详解】对于选项A，因为得， 所以圆的圆心坐标为，半径为，故A正确； 对于选项B，将直线的方程整理为， 该式对任意实数恒成立， 因此需满足，解得，即定点的坐标为，故B正确； 对于选项C，因为直线恒过定点， 所以圆心到直线的距离最大为， ，故C错误； 对于选项D，由弦长公式得， 因此最大时最小，所以，故D正确. 10. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. B. 数列的公比 C. D. 若，则数列的前项和 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，利用等比数列的性质求解；选项B，利用等比数列的定义求解；选项C，利用等比数列的通项公式和前项和公式求解；选项D，利用裂项相消法求解. 【详解】因为数列为等比数列，所以，又，则，故A正确； 因为，，所以，，故B正确； 因为，，所以，则，故C正确； 因为， 所以，故D错误. 11. 已知抛物线经过点为焦点，且，直线与曲线交于点，点分别是曲线与线段上的动点，则（ ） A. 抛物线的方程为 B. C. 的最小值是6 D. 若直线与轴垂直，且，则点的坐标为或 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，用抛物线的定义建立关于的方程，从而确定抛物线的方程；对B，把点的坐标代入抛物线方程求；对C，仍由定义把转化为点到准线的距离，再用"折线长不小于垂线段长"求最小值；对D，由与轴垂直设出点的坐标，用向量数量积建立方程解出点的坐标. 【详解】因为F为抛物线的焦点，且，所以由抛物线的定义，可得， 解得，所以，故A正确； 又因为M的横坐标为1，所以，解得，故B错误； 由抛物线的定义，知等于点P到准线的距离， 所以的最小值为点Q到准线的距离，为，故C错误； 由题得，设，因为直线与轴垂直，所以， ，又因为， 所以，即，解得， 再将代入得.因此点的坐标为，故D正确. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差中项求得，再由等差数列项之间的关系求得公差，即可求得首项，然后由等差数列前项和公式求得结果. 【详解】因为，所以， 设的公差为d，则，则， 则. 13. 已知函数，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数得到每一段上对应的不等式，利用指、对数函数的单调性求解即得. 【详解】由题意，当时，由可得，解得，故得； 当时，由可得，解得； 综上可得，不等式的解集为. 14. 已知正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则三棱锥与四棱锥的体积之比为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，，，两者代换即可得答案. 【详解】因为分别为的中点，所以与相似，相似比为， 所以，三棱锥与以为顶点，底面在同一平面上，则高相等， 所以，即. 三棱锥与四棱锥以为顶点，底面在同一平面上，则高相等，且底面积， 所以， 所以， 所以. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为. （1）求； （2）求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简题设三角函数式，并结合三角形内角的取值范围确定角； （2）利用余弦定理求边，再求三角形的周长． 【小问1详解】 由，得， 因为，所以， 所以，解得． 【小问2详解】 由余弦定理得， 所以， 所以的周长为. 16. 云南作为中国的旅游大省，以其独特的自然景观和丰富的民族文化吸引着大量游客，加快推动全省旅游高质量发展，坚决守护好云南旅游这块金字招牌成为了云南省人民政府的重要任务.大理市对来旅游的部分游客发起满意度调查，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分绘制成如下频率分布直方图. （1）求； （2）根据频率分布直方图，估计游客综合满意度得分的第80百分位数； （3）若规定综合满意度得分不低于80分为对大理市非常满意，用样本频率估计总体概率，从进行满意度打分的游客中随机抽取3人，记其中“对大理市非常满意”的人数为，且各满意度得分相互独立.求的分布列并计算数学期望与方差. 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 3 数学期望为，方差为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出a的值， （2）利用百分位数的意义可求第80百分位数； （3）由题意可知X服从二项分布，利用二项分布概率公式可求分布列；进而求得期望和方差. 【小问1详解】 由，解得， 故. 【小问2详解】 80分以下的频率为，90分以下的频率为， 所以第80百分位数落在之间，设其为， 则有，解得， 所以游客综合满意度得分的第80百分位数为. 【小问3详解】 通过频率分布直方图计算得“对大理市非常满意”的概率为， 由题意可知X服从二项分布，即. X的可能取值为0，1，2，3，则；； ；，所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为，方差为 17. 如图，在四棱锥中，底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：法一：因为底面，， 所以以A为原点，建立下图所示空间直角坐标系， 设， 则， 故， ，故， ，故， 又，平面， 所以平面． 法二：因为，E是的中点， 所以， 又， ，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为平面，， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，求出向量，证明同时垂直于平面内两条相交直线与，证出线面垂直； 法二：利用几何法由线面垂直得出线线垂直，进而利用线面垂直判定定理证明结论； （2）求出平面的法向量，利用直线与平面所成角的向量公式，通过直线方向向量和法向量的夹角关系计算线面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设平面的法向量为， 则，令，则，故， 设直线与平面所成角为， 则． 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，点是椭圆上的一个动点，到的最大距离为3，直线与交于两点． （1）求椭圆的方程； （2）求的面积的最大值； （3）若的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用焦距求出，结合椭圆上点到焦点最大距离求出，再求出，写出椭圆标准方程； （2）底边固定，当点纵坐标绝对值最大时高最大，代入面积公式求最大值； （3）将两点代入椭圆方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，写出直线方程并验证判别式． 【小问1详解】 由焦距为2得， 到的最大距离为， 所以， ， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 当为椭圆短轴顶点时， 与两焦点所围成的△面积最大， 所以， 所以△的面积的最大值为． 【小问3详解】 设，， 代入椭圆方程得，， 两式相减得， 由中点，得，， 代入得直线斜率，故直线l的方程为， 即，将直线l的方程代入椭圆方程得， ，符合题意， 所以直线l的方程为． 19. 已知函数，函数的图象与的图象关于轴对称. （1）求函数的解析式； （2）当时，证明：； （3）当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）设， 则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，单调递增， 所以，所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用可求函数解析式； （2）令，求导，利用基本不等式可求函数的最小值，可得结论； （3）由题意得，求导，利用的单调性可得，即对恒成立，令，利用导数求得的最小值，进而可求得实数的最大值. 【小问1详解】 因为函数的图象与的图象关于轴对称， 所以. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由得， 即， ， 所以在上单调递增，所以， 即对恒成立. 令， 当时，， 所以在上单调递增， 所以，故，解得， 即实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期质量检测（10月） 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足，，则（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 4. 已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 已知高三某同学去参加数学竞赛，竞赛一共三道题，每道题正确或错误的结果互不影响，该同学答对三道题的概率分别是.若至少答对两道题即算竞赛成绩合格，则该同学竞赛成绩合格的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知偶函数的定义域为，且为奇函数，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为 B. 直线恒过定点 C. 圆心到直线的最大距离为 D. 设直线与圆相交于两点，则的最小值为 10. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. B. 数列的公比 C. D. 若，则数列的前项和 11. 已知抛物线经过点为焦点，且，直线与曲线交于点，点分别是曲线与线段上的动点，则（ ） A. 抛物线的方程为 B. C. 的最小值是6 D. 若直线与轴垂直，且，则点的坐标为或 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，且，则_________. 13. 已知函数，则不等式的解集为________． 14. 已知正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则三棱锥与四棱锥的体积之比为_________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为. （1）求； （2）求的周长. 16. 云南作为中国的旅游大省，以其独特的自然景观和丰富的民族文化吸引着大量游客，加快推动全省旅游高质量发展，坚决守护好云南旅游这块金字招牌成为了云南省人民政府的重要任务.大理市对来旅游的部分游客发起满意度调查，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分绘制成如下频率分布直方图. （1）求； （2）根据频率分布直方图，估计游客综合满意度得分的第80百分位数； （3）若规定综合满意度得分不低于80分为对大理市非常满意，用样本频率估计总体概率，从进行满意度打分的游客中随机抽取3人，记其中“对大理市非常满意”的人数为，且各满意度得分相互独立.求的分布列并计算数学期望与方差. 17. 如图，在四棱锥中，底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，点是椭圆上的一个动点，到的最大距离为3，直线与交于两点． （1）求椭圆的方程； （2）求的面积的最大值； （3）若的中点的坐标为，求直线的方程． 19. 已知函数，函数的图象与的图象关于轴对称. （1）求函数的解析式； （2）当时，证明：； （3）当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $