精品解析：江苏扬州中学教育集团树人学校2026-2027学年八年级上学期数学巩固练习6

初二数学巩固练习6 一、单选题（每题3分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 没有立方根 C. 的立方根是 D. 的算术平方根是 3. 如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（ ）． A.   B.   C.   D.   5. 如图，表示实数的点落在（ ） A. 段④ B. 段③ C. 段② D. 段① 6. 如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的边的垂直平分线相交于点O，点M，N在边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于点，交于点，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题（每题3分） 9. 81的算术平方根是_______． 10. 如图，，则的长是________． 11. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为________． 12. 给出下列一组数：，，，，，其中，无理数的个数是_______个． 13. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，若的面积为5，则的长为________． 14. 如图，在中，，，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是4，则的面积为________． 15. 如图，等边与正方形重叠，其中D、E两点分别在、上，且，若，，则的面积为________． 16. 如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为________． 17. 如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，始终保持，当点经过_____秒时，与全等．（注：点与不重合） 18. 如图所示，中，，M、N分别为上动点，且，连接，当最小时，________． 三、解答题 19. 计算： （1） （2） 20. 求下列各式中的的值： （1）； （2）． 21. 已知是的算术平方根，是的立方根． （1）求a，b的值． （2）化简: ． 22. 如图，在中，D是上一点，，交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 利用网格画图并填空： （1）在上找一点P，使点P到和的距离相等； （2）在射线上找一点Q，使； （3）若正方形网格的边长为1，则点P到的距离为 ． 24. 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． （1）求证：． （2）若，求的长． 25. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 26. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是，小数部分为． （1）的整数部分是 ，小数部分是 ． （2）点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 （填序号即可）． ①，均为有理数；②；③；④． （3）若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 27. 综合实践 （1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为 ． （2）探索证明：如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为15，则与的面积之和为 （直接填写结果，不需要写解答过程） 28. 在四边形中． （1）如图，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系． 小易同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是 ． （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由． （3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学巩固练习6 一、单选题（每题3分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】C 【解析】 【分析】验证两条较短线段的长度之和是否大于最长线段，即可判定三条线段能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，所以不能组成三角形，选项不符合题意； B选项，，所以不能组成三角形，选项不符合题意； C选项，，所以能组成三角形，选项符合题意； D选项，，所以不能组成三角形，选项不符合题意． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 没有立方根 C. 的立方根是 D. 的算术平方根是 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：、根据平方根的定义可知的平方根是，该选项不符合题意； B、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意； C、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意； D、根据算术平方根的定义可知的算术平方根是，该选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查平方根，立方根和算术平方根，解题的关键是熟练运用其定义，本题属于基础题型． 3. 如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质：根据题意可得，再证明，可得，进而即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. 电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（ ）． A.   B.   C.   D.   【答案】B 【解析】 【分析】将已知数据代入公式，直接求解电流． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴（舍去负值）， ∴ 电流为． 5. 如图，表示实数的点落在（ ） A. 段④ B. 段③ C. 段② D. 段① 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根以及估算无理数的大小，先确定的取值范围，然后求出的取值范围，再对应数轴上的每一段范围即可确定答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴表示的点落在段②． 故选：C． 6. 如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，的边的垂直平分线相交于点O，点M，N在边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质定理得，进而得出，再根据三角形内角和定理得，然后求出，最后根据求出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于点，交于点，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】结论①：设，，利用三角形外角性质，表示出，，可得，因此不成立． 结论②：由平分，根据角平分线性质，点到、距离相等，三角形面积之比等于底边长之比，得到，不一定等于，故此结论不一定正确． 结论③：已知，平分外角，是等腰三角形，是顶角平分线，根据等腰三角形三线合一，既是高也是中线，所以垂直平分，结论一定成立． 结论④：平分，平分外角，可得平分外角，由，利用平行线内错角相等得到，等量代换得，根据等角对等边，证出，结论一定成立． 【详解】解：验证①：设 ，，则 ． 在中，， ∴， 故①不正确； 验证②：∵平分， ∴设点到、的距离均为，则 故 ，而 不一定等于 ，故②不一定正确； 验证③：，且平分，由等腰三角形三线合一，得垂直平分，故③一定成立． 验证④：平分，平分外角 平分外角 ， ， ， 故④一定成立． 二、填空题（每题3分） 9. 81的算术平方根是_______． 【答案】9 【解析】 【详解】解：81的算术平方根是9． 10. 如图，，则的长是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质， 利用全等三角形的性质证明，可得，从而可得答案．熟记全等三角形的对应边相等是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：5 11. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论腰长，根据三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 1．当是腰长，是底边长时，三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系，可构成三角形， ∴此时等腰三角形的周长为； 2．当是腰长，是底边长时，三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系，可构成三角形， ∴此时等腰三角形的周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为或． 12. 给出下列一组数：，，，，，其中，无理数的个数是_______个． 【答案】 【解析】 【分析】先根据无理数的定义逐个判断，然后再统计无理数的个数即可． 【详解】解：是整数，属于有理数；是无限不循环小数，是无理数；是分数，属于有理数；开平方开不尽，是无限不循环小数，是无理数；，是整数，属于有理数； 故，无理数共有个． 13. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，若的面积为5，则的长为________． 【答案】 2 【解析】 【分析】利用角平分线的性质定理，过点作边的垂线，将转化为的高，结合三角形面积公式求解.  【详解】解：过点作于点. ∵是边上的高， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 14. 如图，在中，，，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是4，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先得出，再得出，，然后根据求解即可． 【详解】解：∵点是的中点，且（阴影部分）的面积是4， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴． 15. 如图，等边与正方形重叠，其中D、E两点分别在、上，且，若，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质以及线段间的关系求出的长，然后根据正方形性质以及角度关系得到，利用“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质计算求出中边上的高，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：如图，过点F作于Q， 则，即是直角三角形． ∵是等边三角形，， ∴，． ∵，， ∴是等边三角形，且边长为1， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．连接，，先求出，的长．由于是等腰三角形，点H是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵，点为中点， ∴， ∴的面积是30， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为12． 故答案为：12． 17. 如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，始终保持，当点经过_____秒时，与全等．（注：点与不重合） 【答案】或或 【解析】 【分析】设点经过t秒时，与全等；由斜边，分类讨论或时的情况，求出t的值即可． 【详解】解：设点经过秒时，与全等；此时， 分情况讨论： （1）当点在点的左侧时，，则， ∴， ∴； （2）当点E在点B的右侧时， ①，时， ， ∴； ②，时， ， ∴． 综上所述，点经过或或秒时，与全等． 18. 如图所示，中，，M、N分别为上动点，且，连接，当最小时，________． 【答案】1 【解析】 【分析】过点B在下方作，且，连接证明，则，得到当三点共线时，的值最小，证明，则，得到，即可得到答案． 【详解】解：过点B在下方作，且，连接 ∵ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ 当三点共线时，的值最小， 此时，在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 20. 求下列各式中的的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根是解题的关键； （1）根据平方根求解方程即可； （2）根据立方根求解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴ 【小问2详解】 解： ∴ ∴． 21. 已知是的算术平方根，是的立方根． （1）求a，b的值． （2）化简: ． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【小问1详解】 解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：将代入得， ． 22. 如图，在中，D是上一点，，交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：在和中， ， ； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据定理即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质得到，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ． 23. 利用网格画图并填空： （1）在上找一点P，使点P到和的距离相等； （2）在射线上找一点Q，使； （3）若正方形网格的边长为1，则点P到的距离为 ． 【答案】（1）使点P在上，到和的距离相等，如图： （2）在射线上找一点Q，使，如图， （3）2.4 【解析】 【分析】（1）取格点M，L，使，，连接交于点P，即可； （2）过的中点作垂线与射线交于一点Q，根据线段垂直平分线的性质可得； （3）设点P到的距离为h，则点P到的距离为h，根据，求出h的值即可． 【小问1详解】 解：由作法得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分， ∴点P到和的距离相等； 【小问2详解】 解：由作法得：点Q在线段的垂直平分线上， ∴； 【小问3详解】 解：设点P到的距离为h，则点P到的距离为h， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 即点P到的距离为2.4． 24. 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的平分线，，于E， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）设，则，证明，则，得到,据此列方程并解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴， 解得，即的长为． 25. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 【答案】 证明：（1）∵CE⊥AB， ∴∠AEF＝∠CEB＝90°． ∴∠AFE+∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CFD+∠ECB＝90°， 又∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠EAF＝∠ECB． 在△AEF和△CEB中， ∵， ∴△AEF≌△CEB（ASA）； （2）∵△AEF≌△CEB， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC ∴CD＝BD，BC＝2CD． ∴AF＝2CD． 【解析】 【分析】（1）先证∠EAF＝∠ECB，再结合∠AEF＝∠CEB＝90°且AE＝CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB； （2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键． 26. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是，小数部分为． （1）的整数部分是 ，小数部分是 ． （2）点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 （填序号即可）． ①，均为有理数；②；③；④． （3）若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】（1）； （2）②③④ （3） 【解析】 【分析】（1）估算的范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出点表示的数的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算的范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【小问1详解】 解：，即， 的整数部分是，小数部分是． 【小问2详解】 解：设点表示的数为，由图可知，， 则，， 是无理数， 为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， ， 故②正确； ，， ， ，即， 故③正确； ，， ， 故④正确． 综上，正确的说法有②③④． 【小问3详解】 解：，即， 则， ， 则，， ． 27. 综合实践 （1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为 ． （2）探索证明：如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为15，则与的面积之和为 （直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）8 （2）证明：∵，，， ∴， 同理可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （3）10 【解析】 【分析】（1）证出，则可得，，据此求解即可； （2）证出，则可得，，据此即可得证； （3）先求出，再得出，则，进而可得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：∵的边上的高与的边上的高相同，且， ∴，即， ∵的面积为15，， ∴， 解得， 同（2）可证：， ∴， ∴， 即与的面积之和为10． 28. 在四边形中． （1）如图，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系． 小易同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是 ． （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由． （3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系是 ． 【答案】（1） （2）结论仍成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）延长到点，使．连接，先判定，进而得出，，再结合，判定，进而得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再结合，判定，进而得出结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再结合，判定，最后根据，推导得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，延长到点，使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ． 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，． ，， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $