精品解析：河南省洛阳市洛阳强基联盟2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图所示，已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，若，则实数（ ） A. 或 B. 1或2 C. 2 D. -2 7. 已知关于的不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系正确的有（ ） A. B. C. D. ⫋⫋ 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 的最小值为2 B. ， C. D. 的最小值为2 11. 用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A. B. ， C. 若集合，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则的真子集个数为________． 13. 已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是_____. 14. 若，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）求； （2）求. 16. 已知命题：实数满足；命题：实数满足. （1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. （1）若，，求证：； （2）若，，且，求的最小值. 18. 如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）写出关于的表达式； （2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 19. 已知关于的不等式的解集构成集合A，其中. （1）若，求A； （2）若A中有4个整数，求a的取值范围； （3）若，解关于x的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】由全称量词命题的否定可知，，的否定是，. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的概念分析即可. 【详解】由，可知，充分性不成立； 由，必要性成立； 即“”是“”的必要不充分条件. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，可得，故C正确； 对于D，若，，，则，，，故D错误. 5. 如图所示，已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，， 则阴影部分表示的集合为. 6. 已知集合，，若，则实数（ ） A. 或 B. 1或2 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的关系与运算，即可求出的值． 【详解】若，则，显然满足题意； 若，则，不成立； 若，解得，或，若，则不满足元素的互异性，所以.故选A. 7. 已知关于的不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且，5是一元二次方程的两根. 于是，解得， 则不等式化为，即， 解得，所以不等式的解集是. 8. 已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式恒成立可得出，再利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】对任意的，不等式恒成立， 则小于或等于的最小值， 因为， 即当时，取最小值，所以，， 因为，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系正确的有（ ） A. B. C. D. ⫋⫋ 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因为是整数，所以，A错误； 对于B，因为为无理数，所以，B正确； 对于C，因为，所以，C正确； 对于D，由于为正整数集，为自然数集，为整数集，所以⫋⫋，D正确． 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 的最小值为2 B. ， C. D. 的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A选项，当时，，A错误； 对于B选项，当时，，，当时，，当时，，，B正确； 对于C选项，，所以，C正确； 对于D选项，，等号成立的条件是，即，，这显然不成立，所以D错误. 11. 用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A. B. ， C. 若集合，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】分别分析集合和集合中方程根的个数，再根据不同条件进行判断. 【详解】对于选项： 集合，判别式恒成立，集合有两个元素，，故正确. 对于选项： 集合. 第一部分：，解得或. 当时，有2个不同的根；当时，有1个根. 第二部分：，判别式. 当，即或，此时方程有2个不同的根； 当，即或，此时方程有1个相同的根； 当，即，此时方程无实数根. 由于对于的任意值，方程的根与的根不会相等， 所以当或时，两个方程共有4个实数根，； 当或时，两个方程共有3个实数根，； 且时，两个方程共有2个实数根，； 当时，两个方程共有1个实数根， 所以的值可能为1，2，3，4，故错误. 对于选项 当时，，此时； 当时，； 当时，，此时或； 当时，. ，，故正确. 对于选项： 若，当且仅当，此时或，故错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则的真子集个数为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以的真子集个数为． 13. 已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】讨论、，结合二次函数的性质列不等式求参数范围即可. 【详解】当时，显然恒成立； 当时，由二次函数性质知，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 14. 若，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】分离常数，再利用基本不等式求解． 【详解】已知 由于，由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为集合， 集合， 所以. 【小问2详解】 因为全集，，， 所以或， 所以或. 16. 已知命题：实数满足；命题：实数满足. （1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求解一元二次不等式得出和，再根据命题为真取交集即可； （2）先求解一元二次不等式，再根据充分不必要条件列式计算求参. 【小问1详解】 若，解，得，即命题. 解，得，即命题. 因为和都是真命题，所以，即实数的取值范围是. 【小问2详解】 由，得. 因为是的充分不必要条件， 所以且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 17. （1）若，，求证：； （2）若，，且，求的最小值. 【答案】（1）证明：因为，， 则， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用作差法，结合因式分解即可得证； （2）利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 18. 如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）写出关于的表达式； （2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 【答案】（1） （2）当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列式得出修建新墙费用和维修旧墙费用即可得出总费用； （2）结合（1）应用基本不等式计算结合取等条件计算求解. 【小问1详解】 依题意，新墙总长度为，修建新墙费用为元，维修旧墙费用为元， 因此， 所以修建此矩形场地的总费用. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， 当且仅当，即时，， 所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元. 19. 已知关于的不等式的解集构成集合A，其中. （1）若，求A； （2）若A中有4个整数，求a的取值范围； （3）若，解关于x的不等式. 【答案】（1）或 （2） （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法分情况讨论求出集合A，再结合A中有4个整数求解即可； （3）由可得或，进而分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，不等式为， 即，所以， 所以或. 【小问2详解】 当时，该不等式可化为，即，不满足题意； 当时，该不等式可化为， 所以，则或， 因为，所以，，， 若A中有4个整数，则这4个整数分别为1，2，，， 则； 同理可得时，或， 因为，所以，，， 若A中有4个整数，则这4个整数分别为1，2，，， 则，即. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 因为，，所以，解得或. 不等式，可化为， 该不等式等价于， 当时，，该不等式等价于， 因为，则， 所以原不等式的解集为； 当时，，，解不等式得或， 所以原不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $