15.3.1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学学案聚焦等腰三角形的判定定理“等角对等边”，通过对比等腰三角形性质与判定（等边对等角与等角对等边）梳理知识脉络，以表格归纳、证明方法（辅助线添加）及经典模型（角平分线+平行线）为学习支架，帮助学生构建知识体系。 该资料亮点在于练习设计层次分明，从基础判断推理到综合应用，结合尺规作图与实际情境（如折叠长方形纸），培养学生的推理能力、几何直观和应用意识，参考答案详细解析易错点，助力学生深化理解，提升数学思维。

学案：15.3.1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 人教版八年级上册 第十五章 轴对称 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版八年级上册 一、学习目标 1. 掌握等腰三角形的判定定理——等角对等边（有两个角相等的三角形是等腰三角形），能进行严格的证明，会用几何语言正确表述。 2. 能运用等角对等边识别图形中的等腰三角形，综合运用平行线性质、角平分线定义等进行推理和计算。 二、知识梳理 1. 等腰三角形的判定定理 项目 内容 判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成"等角对等边"）。 几何语言 在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC。 2. 判定定理的证明方法 方法 辅助线 证明依据 方法一 作∠BAC的平分线AD AAS：∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD 方法二 作BC边上的高AD AAS：∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠C，AD=AD 3. 等腰三角形性质与判定的对比 性质 判定 简称 等边对等角 等角对等边 表达式 AB=AC ⇒ ∠B=∠C ∠B=∠C ⇒ AB=AC 4. 经典模型：角平分线 + 平行线 → 等腰三角形 步骤 推理过程 条件 BF平分∠ABC，DE//BC 推导 ∠DFB=∠FBC（内错角）=∠DBF（角平分线） 结论 DB=DF（等角对等边），△BDF是等腰三角形 三、课堂练习 练习1（针对训练——判断推理） 判断下列推理是否正确，并说出理由。 图（1）：∵∠1 =∠2，∴ BD = DC.(等角对等边) 图（2）∵∠1 =∠2，∴ DC = BC.(等角对等边)           练习2（教材P81练习 第1题） 如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°。分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。                     练习3（教材P80 例2） 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC。 求证：AB=AC。                 练习4（教材P81 例3——尺规作图） 已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形。 （提示：利用等腰三角形三线合一的性质——底边上的高也是底边上的中线。）                 练习5（随堂演练1） 已知△ABC的三边长分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ） A. a:b:c = 2:3:4 B. a=3，b=4，c=3 C. ∠B=50°，∠C=80° D. ∠A:∠B:∠C = 1:1:2         练习6（随堂演练2） 如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一个条件是__________。（答案不唯一）           练习7（随堂演练3——教材P81练习 第2题） 如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？                 练习8（随堂演练4——教材P81练习 第3题） 如图，AC和BD相交于点O，且AB//CD，OA=OB。求证OC=OD。                 练习9（随堂演练5） (1) 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E。图中有哪些等腰三角形？ (2) 上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？                         四、参考答案 练习1 答案 两道题都错误。 图（1）：∠1和∠2不在同一个三角形中（∠1在△ABD中，∠2在△ACD中），不能用等角对等边。 图（2）：∠1和∠2虽然在同一个三角形中，但∠1所对的边是DC，∠2所对的边是BC，因此∠1=∠2推不出DC=BC。 关键：等角对等边必须在同一个三角形中使用，且两个角所对的边才是相等的边。 练习2 答案 解：在△BDC中，∠DBC=36°，∠C=72°， ∴∠1 = 180° - ∠DBC - ∠C = 180° - 36° - 72° = 72°。 ∠1是△ABD的一个外角， ∴∠1 = ∠A + ∠2，即72° = 36° + ∠2， ∴∠2 = 36°。 等腰三角形有： △ABD中，∠A = ∠2 = 36°，∴AD = BD（等角对等边）。 △BDC中，∠1 = ∠C = 72°，∴BC = BD（等角对等边）。 △ABC中，∠ABC = 36°+36° = 72° = ∠C，∴AB = AC（等角对等边）。 答：∠1 = 72°，∠2 = 36°；图中共有三个等腰三角形——△ABD、△BDC、△ABC。 练习3 答案 证明：∵AD//BC， ∴∠1 = ∠B（两直线平行，同位角相等）， ∠2 = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又AD平分∠CAE， ∴∠1 = ∠2。 ∴∠B = ∠C。 ∴AB = AC（等角对等边）。 关键：利用平行线性质将角的关系转移到三角形中，再通过等量代换得到∠B=∠C。 练习4 答案 作法： (1) 作线段AB = a； (2) 作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； (3) 在MN上取一点C，使DC = h； (4) 连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形。 依据：等腰三角形底边上的高也是底边上的中线（三线合一），因此底边上的高所在直线就是底边的垂直平分线。 练习5 答案 答案：A. a:b:c = 2:3:4 解析： A：三边之比为2:3:4，三边互不相等，且无法推出两角相等，不能判定等腰三角形。 B：a=c=3，有两边相等，是等腰三角形（定义法）。 C：∠B=50°，∠C=80°，则∠A=180°-50°-80°=50°，∠A=∠B=50°，等角对等边。 D：∠A:∠B:∠C=1:1:2，∠A=∠B，等角对等边。 方法总结：判定等腰三角形有两条途径——(1)两边相等，(2)两角相等（等角对等边）。 练习6 答案 答案：BE = CD（答案不唯一） 解析：由AB=AC得∠B=∠C。要使AD=AE，可由以下思路： 思路一：添加BE=CD，可证△ABE≌△ACD（SAS），得AD=AE。 思路二：添加∠BAD=∠CAE，可证△ABD≌△ACE（ASA），得AD=AE。 思路三：添加BD=CE，同理可证△ABD≌△ACE（SAS）。 练习7 答案 解：是等腰三角形。理由如下： 由折叠可知△BCD ≌ △BFD， ∴∠1 = ∠2。 又四边形ABCD是长方形， ∴AD // BC， ∴∠3 = ∠2（两直线平行，内错角相等）。 ∴∠1 = ∠3。 ∴BE = DE（等角对等边）。 即重合部分△BDE是一个等腰三角形。 关键：折叠→对应角相等 + 平行线→内错角相等 → 等量代换 → 等角对等边。 练习8 答案 证明：∵AB // CD， ∴∠B = ∠D，∠A = ∠C。 又OA = OB， ∴∠A = ∠B（等边对等角）。 ∴∠C = ∠D。 ∴OC = OD（等角对等边）。 关键：本题综合运用了等腰三角形的性质（等边对等角）和判定（等角对等边），体现了性质与判定的联合使用。 练习9 答案 解：(1) 等腰三角形有：△ABC、△ADE、△BDF、△CEF、△BCF，共5个。 理由： AB=AC → △ABC是等腰三角形。 DE//BC → ∠ADE=∠ABC=∠ACB=∠AED → AD=AE → △ADE是等腰三角形。 BF平分∠ABC，DE//BC → ∠DFB=∠FBC=∠DBF → DB=DF → △BDF是等腰三角形。 CF平分∠ACB，DE//BC → ∠EFC=∠FCB=∠ECF → EC=EF → △CEF是等腰三角形。 ∠FBC=∠FCB（由AB=AC推得）→ BF=CF → △BCF是等腰三角形。 (2) 去掉AB=AC后，△BDF和△CEF仍然是等腰三角形。 理由： BF平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF。 又DE//BC， ∴∠DFB=∠CBF=∠ABF， ∴DF=DB（等角对等边），△BDF是等腰三角形。 同理，∠EFC=∠BCF=∠ACF， ∴EF=EC（等角对等边），△CEF是等腰三角形。 结论：角平分线+平行线是判断等腰三角形的经典模型，即使没有AB=AC，△BDF和△CEF始终是等腰三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $