广东河源市紫金县紫城第二中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

九年级上学期第一次月考答案 一、1-10 BBDAD BCBCC 二、11. 12. 22.5° 13. 0 14. k≤3且k≠1 15. 三、 16． 解方程： （1） 解：方程中的， 所以方程根的判别式为， 所以方程的解为， 即． （2）（用因式分解法） 解：， ， ， 则或， 解得，． 17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，连接AE、CF．求证：四边形AECF是菱形． 【答案】见详解 【详解】证明：∵EF垂直平分AC， ∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AFO＝∠CEO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴AF＝CF＝CE＝AE， ∴四边形AECF是菱形． 18.已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是正数，求的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：∵方程， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根． （2）解：∵ ∴， ∴或， ，， ∵该方程的两个实数根都是正数， ． 19.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE． （1）求证：四边形BFCE是平行四边形； （2）当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）当AB＝AC时，四边形BECF是菱形，理由见详解 【小问1详解】 证明：∵在△ABC中，D是BC边的中点， ∴BD＝CD， ∵CF∥BE， ∴∠CFD＝∠BED， 在△CFD和△BED中， ， ∴△CFD≌△BED（AAS）， ∴CF＝BE， ∴四边形BFCE是平行四边形； 【小问2详解】 解：当AB＝AC时，四边形BECF是菱形；理由如下： ∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形 ∵ D是BC边的中点， ∴ AD⊥BC， ∴ EF⊥BC， ∴ 四边形BECF是菱形． 20．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1） （2）降价5元 【小问1详解】 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； 【小问2详解】 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 21．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【答案】（1）见详解 （2）四边形是菱形 （3）当时，四边形是正方形 【小问1详解】 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 理由是：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 22．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：， 可得：当时，代数式有最小值，最小值为2． 请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【解析】（1）解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． （2）解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 23．小赵学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． （1）问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； （2）问题解决： 如图②，连接，求证：； （3）拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2）见详解 （3），理由见详解 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵点G为中点， ∴，； 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵正方形，矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 ，理由如下： 连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，由（2）知：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上册第一次月考质量监测试题 【测试范围：九年级上册第1章-第2章】（北师大版2026） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。) 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A．（a、b、c为常数） B． C． D． 2.下面几种说法正确的（ ） ①对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ②一组对边平行一组邻边相等的四边形是菱形 ③两条对角线相等的平行四边形是矩形 ④对角线相等且垂直的四边形是正方形 A. ①②③ B. ①③ C. ③④ D. ②④ 3.根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 4．如图，菱形周长为20，对角线相交于点，是的中点，则的长是（ ）． A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 6. 如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为（ ） A. B. C. D. 7．某商店3月份盈利2400元，5月份的盈利达到3456元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率是多少？如果设每月盈利的平均增长率是x，那么可列方程（　　） A．2400（1+x）2＝3456 B．2400（1﹣x）2＝3456 C．2400（1+2x）2＝3456 D．2400（1﹣2x）2＝3456 8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ） A. B. C. D. 9．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为540m2，求小路的宽，若设小路的宽为xm，则根据题意所列方程正确的是（　　） A．（20+x）（32+x）＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540 C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．32×20﹣32x﹣20x＝540 10．如图，在正方形中，点为对角线中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，有下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的倍；④．其中正确结论的是（       ）． A.①②③ B. ① ②④ C. ①③④ D.②③④ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 把一元二次方程 化成一般形式： ． 12.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=_____． 13． 一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 14．若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+2=0有实数根，则k的取值范围是______． 15．如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，则的值为______． 三．解答题（本题共8小题，共75分，16题12分，17-20，每题8分, 21-22，每题10分，23题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16． 解方程： （1） （2）（用因式分解法） 17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，连接AE、CF．求证：四边形AECF是菱形． 18.已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是正数，求的取值范围． 19.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE． （1）求证：四边形BFCE是平行四边形； （2）当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由． 20．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 21．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 22．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：， 可得：当时，代数式有最小值，最小值为2． 请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 23．小赵学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． （1）问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； （2）问题解决： 如图②，连接，求证：； （3）拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $