精品解析：广东省河源市紫金县紫城第二中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

九年级数学第二次月考试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是4．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是3，则另一条对角线的长是6，进而求出菱形的面积． 【详解】解：在菱形中，，， ∵对角线互相垂直平分， ∴，， 在中，， ∴． ∴则此菱形面积是：． 故选A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质．掌握菱形对角线互相垂直平分，面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 2. 若点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求解反比例函数解析式，把代入求出反比例函数解析式即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 3. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 5. 用配方法解关于x的一元二次方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．左右两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：∵， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：C． 6. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，选中“巴蜀文化”的概率是， 故选：A． 7. 如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若，点，点在直尺上，且分别与直尺上的刻度和对齐，在数轴上点表示的数是，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，数轴，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，点的坐标符合函数解析式．将点，，分别代入，求出，，，再比较即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，，， ∴． 故选B． 9. 在一个不透明的布袋中装有个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近，这个近似值就是这个事件的概率，再利用概率公式计算即可求解，掌握频率和概率的关系是解题的关键． 【详解】解：设布袋中黑球的个数为， 由题意得，， 解得， ∴布袋中黑球的个数可能有个， 故选：． 10. 在同一坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键． 由于本题不确定k的符号，可以根据一次函数经过的象限判断出k的符号，然后确定反比例函数经过的象限，然后与各选择项比较，从而确定答案． 【详解】解：A、一次函数经过一、三、四象限，则，则反比例函数经过一、三象限，故此选项错误，不符合题意； B、一次函数不可能过一、二、三象限，图象不正确，反比例函数图象过一、三象限，则，故此选项错误，不符合题意； C、一次函数经过一、二、四象限，则，则反比例函数经过二、四象限，故此选项错误，不符合题意； D、一次函数经过一、二、四象限，则，则反比例函数经过二、四象限，故此选项符合题意； 故选D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】∵两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴两个相似多边形的周长比为． 故答案为：． 12. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数图像经过象限与k的关系是解题的关键．根据反比例函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ． 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为： 1． 14. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，利用已知式子进行巧妙转化是解题的关键．设，，将其代入式子即可求解． 【详解】解：， 可设，， 代入得：． 故答案为：． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，可证明轴，得到；再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴轴， ∴； ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或 ，． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． （1）求m的取值范围； （2）当时，求另一个根的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ∴的取值范围是； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ， ， ∴， 另一个根的值是3． 18. 如图，在中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且． （1）求证：． （2）若，，，求BD的长． 【答案】（1） 证明：∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A， ∴ （2）BD的长是 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等两个三角形相似即可得证； （2）根据相似三角形的性质可知，设BD=，则AD=2，AB=3，从而列出方程解出x的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴． 设BD=，则AD=2，AB=3， ∵AE=4，AC=9， ∴， 解得（负值舍去）， ∴BD的长是． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． AI 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数； （3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）200， 补全条形统计图如下： （2）810人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：结合两幅图可得：（人）， ∴本次调查总人数为200； ∵（人）， ∴喜欢自制地球仪的有50人； 【小问2详解】 解：（人）， ∴该校参加环保调查学生人数约为810人； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足是E，连接DE交AC于F． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）求证：DF∥AB，DF＝； （3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形，简述你的理由． 【答案】 证明：如图 （1）∵AB＝AC，AD⊥BC垂足是D， ∴AD平分∠BAC，∠B＝∠5， ∴∠1＝∠2， ∵AE是△ABC的外角平分线， ∴∠3＝∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠3＝90°， 即∠DAE＝90°， 又∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 又∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． （2）∵四边形ADCE是矩形， ∴AF＝CF＝AC， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BD＝CD＝BC， ∴DF是△ABC的中位线， 即DF∥AB，DF＝． （3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形． ∵在Rt△ABC中，AD平分∠BAC ∴∠5＝∠2＝∠1＝45°， ∴AD＝CD， 又∵四边形ADCE是矩形， ∴矩形ADCE为正方形． 【解析】 【分析】（1）先根据AB=AC，AD⊥BC垂足是D，得AD平分∠BAC，然后根据AE是△ABC的外角平分线，可求出AN∥BC，故∠DAE=∠ADC=∠AEC=90°，所以四边形ADCE为矩形； （2）根据四边形ADCE是矩形，可知F是AC的中点，由AB=AC，AD平分∠BAC可知D是BC的中点，故DF是△ABC的中位线，即DF∥AB，DF=AB； （3）根据矩形的性质可知当△ABC是等腰直角三角形时，则∠5=∠2=45°，利用等腰三角形的性质定理可知对应边AD=CD．再运用邻边相等的矩形是正方形．问题得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查的是等腰三角形、矩形、正方形的判定与性质和三角形外角平分线的性质，具有一定的综合性，需要灵活应用． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上的一动点．连接，当的面积为3时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，再求解即可； （2）直接观察图象即可； （3）先求出，表示出，根据的面积为3，列出等式求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ， 在图象上 ， ，； 【小问2详解】 由图象可知：的解集为：或； 【小问3详解】 如图： ， 当时，， ， 设直线与x轴交于点C，则：时， 解得：，， 设，则：， 由题意，得：的面积， 解得：或； 或． 23. 在中，，，，一动点P从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿方向以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，是等腰直角三角形？ （2）当时，求t的值； （3）在运动过程中，线段能平分的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 在运动过程中，线段不能平分的面积； 理由：假设在运动过程中，线段能平分的面积，则， 由（2）知，， ， ， 而， 此方程无实数根， 在运动过程中，线段不能平分的面积． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的面积的求法，熟练掌握相关知识时解题的关键． （1）先表示出，，判断出，进而建立方程求解，即可得出答案； （2）利用“” 建立方程求解，即可求出答案； （3）假设在运动过程中，线段能平分的面积，进而利用“” 建立方程，判断出此方程无实数根，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由运动知，，， ， 点P在从C向点B运动，点Q从点A向点C运动， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ； 【小问2详解】 在中，，， ； ， ， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第二次月考试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 2. 若点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 用配方法解关于x的一元二次方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若，点，点在直尺上，且分别与直尺上的刻度和对齐，在数轴上点表示的数是，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在一个不透明的布袋中装有个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ） A. B. C. D. 10. 在同一坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为________． 12. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是________． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 14. 若，则的值为________． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． （1）求m的取值范围； （2）当时，求另一个根的值． 18. 如图，在中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且． （1）求证：． （2）若，，，求BD的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． AI 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数； （3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足是E，连接DE交AC于F． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）求证：DF∥AB，DF＝； （3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形，简述你的理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上的一动点．连接，当的面积为3时，求点P的坐标． 23. 在中，，，，一动点P从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿方向以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，是等腰直角三角形？ （2）当时，求t的值； （3）在运动过程中，线段能平分的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $