13.1 三角形的概念 同步练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

13.1三角形的概念 一、单选题 1．将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D． 2．如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列命题中①对顶角相等；②内错角相等；③平行线间距离处处相等；④三角形按边分类，可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若实数，满足，则以，的值为边长的等腰三角形的周长为（    ） A．20 B．l6 C．20或16 D．20或12 6．已知等腰三角形ABC的周长为 ， ，则AB的长度是（　　） A． B．6cm C．8cm 或6cm D．8cm 或6cm或4cm 7．等腰三角形的两边长为，，则周长为（    ） A． B． C．或 D．或 8．已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 9．如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．对于题目：已知等腰三角形的两边长分别为，，且，满足，求此等腰三角形的周长.轩轩说：“根据非负数的和为0，可得到关于和的方程组，解得，，所以此等腰三角形的周长为11.”笑笑说：“轩轩考虑问题不全面，此等腰三角形的周长还有另外一个值.”则下列说法正确的是（   ） A．笑笑说得不对，此等腰三角形的周长只有一个值为11 B．笑笑说得对，此等腰三角形的周长还有一个值为7 C．轩轩求得的结果不对，此等腰三角形的周长为12 D．他们两个说得都不对，此等腰三角形的周长还有第三个值为15 二、填空题 11．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有___________对． 12．甲木条长9厘米，乙木条长7厘米，用这两种长度的木条三根，围成一个等腰三角形，这个等腰三角形的周长是_______厘米 13．如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是__________．    14．已知线段，以为顶角的等腰的顶点C的轨迹是______. 15．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为10，则此等腰三角形的面积为_________． 三、解答题 16．如图，在中，，，，，，动点P从点C开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)填空：当时，______（用含t的式子表示）； (2)经过几秒，的面积等于？ (3)直接写出当t为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 17．已知中，与满足． (1)试判断的形状； (2)求的值． 18．如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形的顶点）上． (1)是______三角形；（按角分类） (2)的面积是______； (3)作出格点，使与全等，且以A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形．（作出一个符合要求的即可） 19．尺规作图（注：在答题纸上作图，并保留作图痕迹） 已知A，B是圆上两点，用直尺和圆规作圆的内接等腰三角形． 雯雯：如图1，以点A为圆心，长为半径作弧，交圆于点C，可以画出． 周周：以点B为圆心，为半径作弧，交圆于点C，也可以画出． (1)请按照周周的说法，在图2中画出等腰三角形． (2)雯雯思考后认为，她和周周的作法都不严谨，请说明理由． 20．一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 21．用的细绳围成等腰三角形，其腰长是底边长的2倍，求该等腰三角形的各边的长． 22．已知：在等腰三角形中，，上任意一点D，于点E，于点F，于点G．求证：．    23．已知等腰三角形的周长为20，若腰长是底边长的2倍，求底边的长． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《13.1三角形的概念》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B A D A C A A 1．C 【分析】本题考查了等腰三角形定义，根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【详解】解：是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，连接，根据三角形的面积公式可得，根据等腰三角形的性质即可求得OE+OF的值． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了命题与定理．根据对顶角的性质，平行线的性质，三角形的分类依据解答即可． 【详解】解：①对顶角相等是真命题； ②两条直线平行，内错角相等，原命题不是真命题； ③平行线间距离处处相等是真命题； ④三角形按边分类，可以分为等腰三角形和不等边三角形，原命题不是真命题； 真命题的个数是2个， 故选：B． 5．A 【分析】根据非负数的性质求出x、y，再分情况讨论求解． 【详解】解：根据题意得，x-4=0，y-8=0， 解得x=4，y=8， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8， ∵4+4=8， ∴不能组成三角形； ②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8， 能组成三角形， 周长=8+8+4=20． 综上所述，等腰三角形的周长是20． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论． 6．D 【分析】当AB为底边时，BC为腰；当AB为腰时，BC为腰或底边，分别求解即可． 【详解】解：（1）当为底边时，AB为腰， 由等腰三角形的性质，得 ； （2）当为腰时， ①若AB为腰，则 ； ②若AB为底，则 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想是解题的关键． 7．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【详解】解：①当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长． 故选：A． 8．C 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴是等边三角形，即锐角三角形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形的分类，解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，以及三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形． 9．A 【分析】本题考查点的坐标规律探索、等腰直角三角形的性质，仔细观察图形，找到点的坐标变化规律是解答的关键．先确定出在x轴的负半轴上，再写成、、、…的坐标，从而得到点的坐标的变化规律，然后即可求解． 【详解】解：由题意，∵， ∴在x轴的负半轴上， ∵，，，，…， ∴的横坐标为，即， 故选：A． 10．A 【分析】首先根据|2a﹣3b﹣7|+（2a+3b﹣13）2＝0，并根据非负数的性质列方程求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可． 【详解】解：∵|2a﹣3b﹣7|+（2a+3b﹣13）2＝0， ∴， 解得：， 当a为底时，三角形的三边长为1，1，5，由于1+1＜5，故不等构成三角形； 当b为底时，三角形的三边长为1，5，5，则周长为11， ∴等腰三角形的周长为11， 所以，笑笑说得不对，此等腰三角形的周长只有一个值为11 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．二元一次方程方程组，关键是根据1，5分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论． 11．3 【分析】找到以为边的三角形，即可得解． 【详解】解：以为公共边的“共边三角形”有与、与、与共3对． 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形的定义．理解并掌握“共边三角形”的定义，是解题的关键． 12．25或23 【分析】此题关键是分两种情况确定三角形的腰和底的长度， 因为根据题意不能确定腰和底的长度，所以分两种情况讨论：①当腰为厘米，底为厘米时，周长为厘米；②当腰为厘米，底为厘米时，周长为厘米． 【详解】解：①当腰为厘米，底为厘米时，能构成三角形， 周长为厘米 ②当腰为厘米，底为厘米时，能构成三角形， 周长为厘米 答：这个等腰三角形的周长是或厘米． 故答案为：或． 13．/ 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答案． 【详解】解：在中，的对边是． 故答案为：． 14．以点A为圆心，线段为半径的圆（点B除外） 【分析】根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，∵是等腰三角形，为顶角， ∴， ∴顶点C的轨迹是以点A为圆心，线段为半径的圆（点B除外）， 故答案为：以点A为圆心，线段为半径的圆（点B除外）． 15．25 【分析】依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到该等腰三角形腰上的高，再根据三角形面积计算公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示，AB=AC=10，∠A＝30°，过B作BD⊥AC于D， ∵∠A＝30°，AB＝10， ∴BD＝AB＝5， ∴S△ABC＝AC×BD＝×10×5＝25， 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，作出腰上的高并根据30°角求出高是解题关键． 16．(1) (2)秒或秒 (3)或 【分析】本题考查动点问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是学会用分类讨论的思想考虑问题． （1）先得出点运动的距离为:, 由,判断点在上，问题随之得解； （2） 先求出 ，分当点在上，和当点在上两种情况，结合三角形的面积列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）当是以为底边的等腰三角形时，即有，根据运动的特点，可得点运动的距离为: , 即有, 解得: ； 当是以为底边的等腰三角形时，过点作于点，利用等腰三角形的判定与性质可证明，即有,进而可得方程, 解方程即可求解． 【详解】（1）解：在中, ，, 根据运动的特点可知：点运动的距离为， ∵, ∴, 即点在上, ∴, ∴, 故答案为: ； （2）解：∵在中， , ， 当点在上, 如图， 的面积等于15 ， ， ， 解得：(秒)； 当点在上, 如图, 此时：点P运动的距离为： 的面积等于15 ， ， ， ， ， ， 解得：(秒)； 综上：经过 秒或秒, 的面积等于； （3） 解：当是以为底边的等腰三角形时，如图， 即有 ， ， 根据运动的特点，可得点P运动的距离为：， ， 解得： (秒)； 当 是以为底边的等腰三角形时，如图， 过点作于点， ∵在等腰中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 根据运动的特点，可得点运动的距离为：， ∴， 解得：； 综上所述： 或． 17．(1)锐角三角形 (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，三角形的分类． （1）根据非负数的和等于零，可得函数值，可得角的度数，根据角的大小，可得答案． （2）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的运算法则计算． 【详解】（1）解：由题意，得，． ∴， ∴， ∴是锐角三角形； （2）解：原式 ． 18．(1)钝角 (2)1 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的分类，轴对称图形等知识，解题的关键是： （1）根据三角形按角分类判断即可； （2）根据三角形面积公式求解即可； （3）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：是钝角三角形， 故答案为：钝角； （2）解：， 故答案为：1； （3）解：如图，即为所求， 或． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图——作圆内接等腰三角形．熟练掌握作线段等于已知线段，是解题的关键． （1）以点B为圆心，以边长为半径画弧交圆于另一点C，连接，即得； （2）考虑边是直径的情况，不能作出等腰三角形． 【详解】（1）解：按照周周的说法，画出等腰三角形； （2）解：当边过圆心时，以点B为圆心，以边长为半径的弧不能交圆于另一点，此方法作不出圆内接等腰三角形． 20．(1) (2)与，或与 【分析】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可； 【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得： ∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是； （2）当腰为时，底边长为： ， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 21．腰长为，底边的长为 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 设底边长为，腰长为，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设底边长为，腰长为， 依题意得，， 解得，， ∴腰长为， ∴该等腰三角形的腰长为，底边的长为． 22．见解析 【分析】连接，根据，列出等式即可得到结论． 【详解】证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的面积公式，连接，根据列出等式是关键． 23．底边的长为4 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．根据题意得腰长为x，则底边长为，利用三边之和等于20列出方程求解即可； 【详解】解：设腰长为x，则底边长为， ∴ 解得， 则 答：底边的长为4． 答案第12页，共12页 答案第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $