12.2.5 斜边直角边（第2课时：灵活选用适当的方法证明三角形全等 ） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

12.2.5 斜边直角边 （第2课时：灵活选用适当的方法证明三角形全等 ） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．如图，，，欲证，则需补充的条件可以是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点C是延长线上一点，，并与交于点P，现欲添加一条件，使，下列条件不能满足的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，现要证明“等边对等角”这一结论．以下是小明解答该问题的思路片段： 如图，取的中点，连接， ． 在和中， （）， ．    关于以上证明过程，下列选项错误的是（    ） A．依据@表示SSS B．依据★表示全等三角形的对应角相等 C．图中辅助线也可以是作的平分线，全等的依据是 D．图中辅助线还可以是作于点，全等的依据是 5．利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 6．小明同学要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 二、填空题 7．有下列命题：①有一边相等的两个等边三角形全等；②腰长相等且都有一个角是50°的两个等腰三角形全等；③各有两边长分别是5，4的两个等腰三角形全等；④判定三角形全等的条件中，至少要有一对边对应相等．其中，正确的命题是________（填序号）． 8．如图，要判定，根据给定的条件和指明的依据，添加条件 ①若，，_________， ②若，，_________， ③若，，_________， 9．如图①，点B，E，C，F在一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明． （1）当添加__________时，根据“”可判断； （2）当添加__________时，根据“”可判断； （3）当添加__________时，根据“”可判断； （4）若将“”改为“”，则当添加__________时，根据“”可判断； （5）如图②，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫作格点三角形．在图②中，有__________个格点三角形（不与重合）与全等． 10．如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 三、解答题 11．操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据． 已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为．    (1)请你借助图画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在下图画这样的三角形；若不能，请说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（在图上把符合条件的图形用黑色笔画出来） 12．根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 13．综合与实践 【实践背景】双塔寺又名永祚寺，现为国家级文物保护单位，也是太原市的标志性建筑之一．如图1所示，，两点分别为其中一塔底座的两端（其中，两点均在地面上） 【实践主题】测量其中一塔底座两端，的距离． 【实践方案】由于，两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两名同学学习了“利用三角形全等测距离”的知识后，分别设计出了如下两种方案： 测量方案 图示 甲同学 如图2：①在平地上取一个可以直接到达点，的点． ②连接并延长到点，使． ③连接并延长到点，使． ④连接． 测量的长即可． 乙同学 如图3：①在平地上作射线． ②在射线上找一个可以直接到达点的点．连接． ③在射线另一侧的平地上作． ④连接． 测量的长即可． 【实践探索】 (1)请你从甲、乙两名同学设计的方案中选择可行的方案，并说明它可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个条件，使该方案可行，无需说明理由． 14．图，，分别是和中，边上的中线． (1)若，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)若将（1）中的条件改为“，，”，判断与是否仍然全等，并说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.2.5 斜边直角边 （第2课时：灵活选用适当的方法证明三角形全等 ） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．如图，，，欲证，则需补充的条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴当或时，利用可以得到， 无法通过或得到； 故只有B选项符合题意. 2．如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与性质进行求解即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，同理可得，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，不可利用证明，即无法证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，同理可得，故此选项不符合题意； 3．如图，在中，，点C是延长线上一点，，并与交于点P，现欲添加一条件，使，下列条件不能满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可判断A；根据全等三角形的性质与判定条件可判断B、C，添加条件，无法得到，可判断D． 【详解】解：添加条件，结合条件，可以由角平分线的性质得到，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明得到，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明得到，故C不符合题意； 添加条件，无法得到，故D符合题意； 故选：D． 4．如图，在中，，现要证明“等边对等角”这一结论．以下是小明解答该问题的思路片段： 如图，取的中点，连接， ． 在和中， （）， ．    关于以上证明过程，下列选项错误的是（    ） A．依据@表示SSS B．依据★表示全等三角形的对应角相等 C．图中辅助线也可以是作的平分线，全等的依据是 D．图中辅助线还可以是作于点，全等的依据是 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法及性质判断A、B；根据题意可得，，，可判断C；根据题意可得，由，，可判断D． 【详解】解：A.结论正确，不符合题意； B. 结论正确，不符合题意； C. 作的平分线，，，，可用判定，故结论错误，符合题意； D. 作于点，可得，，，可用判定，故结论正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了利用三角形全等的不同方法证明“等边对等角”，掌握判定方法及性质是解题的关键． 5．利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 【答案】C 【分析】甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明；乙同学的钝角三角形要先延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点，证明，再证明，然后即可证明；丙同学的锐角三角形，先过点作交于点，过点作交于点，证明，因缺少条件无法证明，逐一判断即可． 【详解】选项A，甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明，故选项A不符合题意； 选项B，乙同学的钝角三角形，如图，延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故选项B不符合题意； 选项C，丙同学的锐角三角形，如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵缺少条件证明，故选项C符合题意； 选项D，综上各个选项，选项D不符合题意． 6．小明同学要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】A 【分析】此题考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：A、带①②去，符合判定，能得到一块完全一样的三角形玻璃； B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃； C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃； D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃． 故选：A． 二、填空题 7．有下列命题：①有一边相等的两个等边三角形全等；②腰长相等且都有一个角是50°的两个等腰三角形全等；③各有两边长分别是5，4的两个等腰三角形全等；④判定三角形全等的条件中，至少要有一对边对应相等．其中，正确的命题是________（填序号）． 【答案】①④ 【分析】根据等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形全等的判定定理，对每个命题逐一进行分析判断即可． 【详解】命题①：等边三角形的三条边都相等，若两个等边三角形有一边相等，那么它们的三条边都相等。根据可判定这两个三角形全等，所以①正确； 命题②：的角可能是顶角，也可能是底角。当一个等腰三角形的顶角是，另一个等腰三角形的底角是时，两个三角形的形状不同，不全等，所以②错误； 命题③：可能是腰长，也可能是底长。当一个等腰三角形的腰长为，底长为；另一个等腰三角形的腰长为，底长为5时，两个三角形的三边长度不同，不全等，所以③错误； 命题④：三角形全等的判定定理中，都至少有一对边对应相等，所以④正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形全等的判定定理，掌握以上知识是解题的关键． 8．如图，要判定，根据给定的条件和指明的依据，添加条件 ①若，，_________， ②若，，_________， ③若，，_________， 【答案】 或 或 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的性质． ①证明，结合与判定方法可得结论． ②证明，结合与判定方法可得结论． ③证明，结合与判定方法可得结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， 补充， ∴， ∴ 补充， ∴， ∴ 故答案为：或 （2）∵， ∴， ∵， 补充或， ∴ 故答案为：或 （3）∵， ∴， ∵， 添加， ∴， 故答案为：． 9．如图①，点B，E，C，F在一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明． （1）当添加__________时，根据“”可判断； （2）当添加__________时，根据“”可判断； （3）当添加__________时，根据“”可判断； （4）若将“”改为“”，则当添加__________时，根据“”可判断； （5）如图②，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫作格点三角形．在图②中，有__________个格点三角形（不与重合）与全等． 【答案】 （或） 3 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）根据如果两个三角形的两组对应边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等，结合已知条件来确定所需添加的条件； （2）根据如果两个三角形的两组对应角相等，并且其中一组对应角的对边也相等，那么这两个三角形全等， 结合已知条件来确定所需添加的条件； （3）根据如果两个三角形的两组对应角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等 ， 结合已知条件来确定所需添加的条件， （4）根据如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等，结合已知条件来确定所需添加的条件， （5）平移、旋转、翻折等方式，再根据格点三角形的特点找出全等的三角形个数． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即． ∵， 要根据 “”判定全等，还需， 故答案为； （2）∵，， 要根据“”判定全等，还需， 故答案为； （3）∵，，要根据“”判定全等，还需， ， ∴， 故答案为或； （4）∵，，要根据“”判定全等，还需， 故答案为； （5）通过平移、旋转、翻折等方式找出与全等的格点三角形（不与重合）为：如图所示：，，即为所求． ， 共有3个， 故答案为3． 10．如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 【答案】 【分析】借助网格作出与全等的三角形，一共可以作出三个三角形，所以符合条件的点最多有个． 【详解】解：如下图所示， 一共可以作出三个三角形与全等， 符合条件的点最多有个． 三、解答题 11．操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据． 已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为．    (1)请你借助图画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在下图画这样的三角形；若不能，请说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（在图上把符合条件的图形用黑色笔画出来） 【答案】(1) 如图①，    (2) 可以，如图②，    (3) 4个，彼此不全等的三角形共有4个，      【分析】（1）根据题意画图，让内角的两边为1cm和2cm； （2）根据题意画图，让内角的一边为1cm，对边为2cm； （3）根据题意画图，让内角的两边分别为3cm，4cm；让内角的一边分别为3cm，对边为4cm；让内角的一边分别为4cm，对边为3cm，为锐角三角形；让内角的一边分别为4cm，对边为3cm，为钝角三角形； 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查全等三角形，理解全等三角形四种判定方法中的边角组和方式是解题的关键． 12．根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 【答案】(1)能 (2)能 (3)不能 (4)能 【分析】（1）利用即可证明两个三角形全等； （2）利用即可证明两个三角形全等； （3）两个三角形没有一组边对应相等，故不能判定两个三角形全等； （4）利用即可证明两个三角形全等． 【详解】（1）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （3）解：不能，理由如下： ∵在和中，只有，没有一组边对应相等， ∴不能判定与全等； （4）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴． 13．综合与实践 【实践背景】双塔寺又名永祚寺，现为国家级文物保护单位，也是太原市的标志性建筑之一．如图1所示，，两点分别为其中一塔底座的两端（其中，两点均在地面上） 【实践主题】测量其中一塔底座两端，的距离． 【实践方案】由于，两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两名同学学习了“利用三角形全等测距离”的知识后，分别设计出了如下两种方案： 测量方案 图示 甲同学 如图2：①在平地上取一个可以直接到达点，的点． ②连接并延长到点，使． ③连接并延长到点，使． ④连接． 测量的长即可． 乙同学 如图3：①在平地上作射线． ②在射线上找一个可以直接到达点的点．连接． ③在射线另一侧的平地上作． ④连接． 测量的长即可． 【实践探索】 (1)请你从甲、乙两名同学设计的方案中选择可行的方案，并说明它可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个条件，使该方案可行，无需说明理由． 【答案】(1)甲同学的方案可行． 理由如下： 和为直线与相交形成的对顶角， ， 在和中 ， ， ， 因此，甲同学的方案可行． (2) 【分析】（1）通过边角边SAS证明，利用全等三角形对应边相等，得到，因此测量长度即可得到长度；乙同学方案缺少全等条件，无法证明，不可行． （2）添加全等条件即可． 【详解】（1）略 （2）解：添加条件： 在和中 ， ， ， 因此，可以使乙同学的方案可行． 14．图，，分别是和中，边上的中线． (1)若，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)若将（1）中的条件改为“，，”，判断与是否仍然全等，并说明理由． 【答案】(1)①，②，③，④ (2) 证明：，理由如下： 延长，截，连接，延长，截，连接， ∵，分别是和的中线， ∴，， 在和中， ， ∴， 同理可证，， ∴，，，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、中线的定义， （1）由中线的定义证得，进而证得，得，即可得证； （2）延长，截，连接，延长，截，连接，证得，，得，，，进而证得，得，即可得证． 【详解】（1）解：∵，分别是和的中线， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：①，②，③，④． （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $