北京市北京大学附属中学预科部2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

命题人：高三数学纽全休教师 审核人：高三敛竿阻金体衣师 北大附中预科部2026-2027学年度10月月考 数 学 2026.10 本试卷共4页，满分150分。考试时长90分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。 考试结束，交回答题卡。 一.本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合A={-2,-1,0,l,2,B={x2-2x<0),则A∩B= (A)(I (B)12 (C){-2-) (D){0l,2 (2)已知复数z满足(1-21)z=3-i,则1z卡 (A)2 (B)√5 (c)1-i (D)1+i (3)下列函数中，既是奇函数，又在(0，+∞)上单调递减的是 ()f()= (B)f(x)=xInx (C)f(x)=sinx-x (D)f(x)=2-2 (4)在平面直角坐标系xOy中，角x以O为始边，终边经过点（√5，-3）.若将角α的终边逆时针旋转 T得到角B的终边，则cosB= (B) 2 心支 (D)-3 2 (5)函数y=X2-1.F的图象可能是 高三年级（数学）第1页（共4页） 2021局高三敏学 命题人：高三教学组全休牧师 审核人：高三数学组全休牧师 (6)二十世纪中期，心理学家斯蒂文斯开创了对后来颇有影响的数量估计方法.他指出，人的心理感受强 度（用S表示）与物理刺激强度（用1表示）可以通过如下对数形式的表达式来刻画：nS=n山I+l血k, 其中k,n均为正的常数.已知当物理刺激强度1从15个单位增大到60个单位时，nS增加4：则当 物理刺激强度1从60个单位增大到480个单位时，InS增加 (A)4 (B)6 (c)8 (D)10 (7)为了得到函数y=32+2图象，只需 (A)把函数y=3“的图象上的所有点向右平移1个长度单位 (8)把函数y=32“的图象上的所有点向左平移2个长度单位 (C)把函数y=3的图象上的所有点横坐标变为原来的二倍，纵坐标不变 (D)把函数y=3“的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变 (8)已知函数(x)={ 3,x0,函数8以在R上是奇函数，函数()在R上是偶函数，则 h(x),x>0. “3x+0,f(-)=∫(xo)”是“函数y=(x)的图象与函数y=g(x)的图象有公共点”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)已知函数f(x)=acos2x-cosx(a>0),x∈[-元，π].若f(x)的最大值为2，则f(x)的零点个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 [-1,x<0 (10)已知符号函数sg0(x)= 0,x=0,f(x)=e-k,g(x)=x+(1-k)x-k,且 1,x>0 e[0,+oo),sgm(U(x)sg四(g(x》∈{0,1)，则k的取值范围为 (A)(-o0,1] (B)[0,1] (c)(-o,0]U (D)(-∞，0) 二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在题中横线上、 (I)函数树=血x+x的定义域是 (12)在△4BC中，a=1,b=V5,A=30°，则B= (13)已知命题p:若sin2x>sinx,且x∈(0,2x),则×∈(0,7).能说明命题p为假命题的一个x值为一 (14)已知函数了(x)={ 2x-3,xsa x2-ax+3-ax>a ,若a=0,则f(x)的极值点为；若f(x)的值域为 [0,∞)，则a的取值范围为一一.二 高三年级（数学）第2页（共4页） 2027届商三数学 命题人：高三处学组全休教师 审核人：高三数学组公体教师 (15)若定义在0，J的函数/)同时满足0/凶+0-x刘=2：(/)=2/学： (i),为∈0，门，当xsx2时，∫()5f(x2).给出下列四个结论： ①f0)=0: ®原=③： ③了)在[0，白上单调递增： ®函数y=内-x在兮宁上没有零点 其中所有正确结论的序号是_一 三解答题：本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 (16)(本小题13分) 已知函数f=万，snxs如(x+孕 (1)求函数(x)的最小正周期： ()求函数f)在0,1上的取值范围. (17)(本小题14分) 已知函数fx)=V5 sin @x·sin(径+aox)-cos2ax(w>0,we☑. (1)若心的图象上相邻对称中心之间的距离为受，求的最大值以及相应的：值： (Ⅱ)若将f(x)的图象以y轴为对称轴翻转，得到函数y=g(x)的图象， 且y=g)在(-号，0)上有且只有一个极值点，求此时8（的单调递增区间. (18)(本小题14分) 已知△ABC满足a<b且sinC+sin(B-A)=2sin2A. (1)求证：b=2a; (Ⅱ)若C=2亚，再从条件O、条件②、条件⑨这三个条件中选择一个作为己知，使得△BC存在且唯 3 一，求AB边上的中线长. 条件①：c=27: 条件®：4= l4: 条件③：asinB=2y2 7 注：如果选择的条件不符合要求，第()问得0分：如果逸择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分。 高三年级（数学）第3页（共4页） 2027局岛三数学 命题人：高三数学组全休牧师 审核人：高三数学组全休教师 (19)（本小题14分) 已知函数f(x)=lnx-x2+2. (I)求曲线y=f()在点（山，∫》处的切线方程： (Π)求函数∫(x)的鉴点个数： (Ⅲ)若关于x的不等式f(x)≤ax+b恒成立且在某个处等号成立，直接写出a+2b的最小值. (20)(本小题15分) 已知函数f(x)的定义域是(-l,+∞)，f(0)=0,导函数f'(x)=(x+a)l血(x+): (I)若曲线y=∫(x)在点(0，∫(O)处的切线也是曲线y=∫'(x)的切线，求a的值： （Ⅱ)设(x)=f(x)-(x),当a=0时，判断函数h(x)是否存在极值点，并说明理由： (血)若x∈0，+四)时，曲线y=网总在曲线y=-芒的上方，求o的最小值 (21)(本小题15分) 已知数列X:,名2，xn,定义变换T,T将数列X变换成数列T(X):,2,1' 其中y么=s一k,k=l,2,n-1.只有三行的梯形数表M中第一行为数列A:a1,02,,an, 且a,∈{0，，i=12,,n:第二行为B:b,b2,bn-1,第三行为C:G,c2,cn-2' 满足B=T(A),C=T(B).S(M)表示梯形数表M中所有元素的和. (I)若M中第一行数列为A:l,1,0,1,求C及S(M): (Ⅱ)当正整数k≤n一3时，若有a4=b%=cg=1,证明：akl+bk1+Ck1≤1： (Ⅲ)若n=9,求S(M)的最大值. 高三年级（数学）第4页（共4页）