精品解析：北京市海淀区海淀实验中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

北京市海淀实验中学2026-2027年度10月学科展示 高三数学 一、选择题（本大题共14小题，共56.0分） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】， 故选：D. 【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，根据绝对值性质、不等式倒数性质、特殊角的正弦函数值以及对数函数的单调性逐一验证四个选项. 【详解】对于A：因为，所以 ，所以，A错误； 对于B：因为，所以，所以，即，B错误； 对于C：取，则满足，但，C错误； 对于D：因为在单调递增，所以由可得，D正确. 3. 下列函数中，值域是R且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本函数的值域及其奇偶性一一分析选项中的函数即可. 【详解】A项中，的值域是，但不是奇函数； B项中，的值域是，是奇函数； C项中，的值域是，且是奇函数； D项中，的值域是，不是奇函数. 故选：C. 【点睛】本题主要考查基本函数的值域和奇偶性，属于简单题. 4. 为等差数列的前项和，已知，则为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】由题意及等差数列的性质可得的值，而，代值计算即可． 【详解】由题意及等差数列的性质可得，解得， . 故选：． 5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合函数图象平移的规律及诱导公式即可得解. 【详解】由题意. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数的图象变换与诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 6. 已知公差不为0的等差数列，前n项和为，满足，且，，成等比数列，则（ ） A. 2 B. 6 C. 5或6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】设出公差，列出方程组，求出或4，排除，求出，得到答案. 【详解】，， 设公差为，则，解得或4， 当时，，舍去， 当时，，故. 故选：B 7. 已知函数，那么“”是“在上为增函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】对函数进行求导得，进而得时，，在上为增函数，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】解：因为的定义域是， 所以， 当时，，在上为增函数. 所以在上为增函数，是充分条件； 反之，在上为增函数或，不是必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于中档题. 8. 已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知函数是以为周期的函数，从而可得，再根据函数为奇函数可得，将代入表达式即可求解. 【详解】由满足， 所以函数的周期， 又因为函数为奇函数，且当时，， 所以. 故选：B 【点睛】本题考查了利用函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题. 9. 函数的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图像，若是奇函数，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象求出，的图象上的所有点向左平移个单位长度后得为奇函数，得函数的图象过点，求出，进而得到函数的解析式，求解参数即可. 【详解】由得，的图象上的所有点向左平移个单位长度后得为奇函数， 所以图象关于原点对称，得函数的图象过点， 所以，所以， 故，又，得， 所以，， 故选：A. 10. 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）．已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：） A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，进而利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可 【详解】由题意可知， 所以， 又因为， 所以， 所以 ， 比较接近3， 故选：A 11. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ） A. 97 B. 98 C. 99 D. 100 【答案】C 【解析】 【详解】由，，可得，所以，等式两边同除，有，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以， 所以， 记，则，所以为递增数列，所以， 所以. 12. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是  （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的单调性得到不等式，解得范围. 【详解】设，， 由题意得函数在上单调递增， 函数在上单调递增， ． 故选：B. 13. 函数（且）的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 14. 设函数的定义域为，如果对于任意的，都存在，使得（其中为常数）成立，则称函数在上“与常数相关联”. 给定函数①；②；③；④；则在其定义域上与常数1相关联的所有函数是（ ） A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】根据常数1相关联的定义得，判断对于任意的，是否存在即可． 【详解】若在其定义域上与常数1相关联，则满足， 的定义域为，由得， 即，当时，，此时无解，不满足条件； 的定义域为，由得， 即唯一，满足条件； 定义域为，由得； 即， 当时，无解，不满足条件． 定义域为，由得得， 即；，满足唯一性，满足条件. 故满足条件的函数是. 二、填空题（本大题共7小题，共35.0分） 15. 函数的定义域是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得， 故答案为： 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 16. _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式得解. 【详解】 . 17. 已知向量，．若向量与垂直，则_______． 【答案】7 【解析】 【详解】因为，，又因为向量与垂直， 所以， 所以. 18. 无穷递增数列满足，写出数列的一个通项公式_______． 【答案】. 【解析】 【详解】需满足两个条件：数列递增且. 当增大时，分子分母同步增大，且分子比分母小故随增大而增大； 由于分子小于分母，所以当时，满足. 验证递增性：故为递增数列. 19. 若3sin α＋cos α＝0，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系中的商数关系，求得tanα，将所求关系式的分子“1”，转化为sin2α+cos2α，再弦化切求解. 【详解】因为3sin α＋cos α＝0， 所以cos α≠0， 所以tan α＝－， 所以， ＝， ＝， ＝＝. 故答案为： 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20. 已知正方形的边长为，为的中点，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】·=(+)·(-) =-·+·-·=22-×22=2. 21. 已知函数，给出下列命题： （1）无论取何值，恒有两个零点； （2）存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对； （3）存在实数，使得的值域是； （4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是．其中，所有正确命题的序号是_______． 【答案】（2）（4） 【解析】 【分析】（1）利用零点即对应方程的根进行分析处理；（2）考查对称点问题，转化为两个函数交点问题进行处理；（3）结合图像分析值域；（4）利用数形结合分析处理相关问题，把直线绕定点旋转确定临界位置． 【详解】（1）显然则, 若恒有两个零点，则有且只有一个零点， 当时，无零点，不符合题意，∴（1）不成立； （2）的图像上关于原点对称的点有两对，则可得有两解， 当时，的对称轴，开口向下， 与有两个交点，∴（2）成立； （3）显然，若的值域是，则的值域包含，则, 但时，的对称轴，即在内递增，，∴（3）不成立； （4）如图，直线过定点，数形结合可知， 又∵，故在的切线方程为，此时该直线与图象有两个交点，故才满足题目要求， 而过的切线在时与相切的切点为，切线方程为，又切线过， 代入切线方程解得，故此时的切线方程为，而此时直线与有三个公共点，满足题意， 综上，∴（4）成立． 三、解答题（本大题共4小题，共分） 22. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用二倍角公式降幂、辅助角公式，将原函数化为标准正弦型函数，再求周期； （2）求区间值域时，先由的范围推出整体角的取值范围，再结合正弦函数图像确定最值，进而得到函数值域. 【小问1详解】 ， 即， 所以的最小正周期 【小问2详解】 当时，， 结合正弦函数的单调性： 当（即）时，取最大值； 当（即）时，取最小值， 因此 ，， 所以在上的值域为. 23. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极小值； （3）若，直接写出方程解的个数. 【答案】（1） （2） （3） 1个 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分析函数的单调性，进而结合极值的定义求解即可； （3）画出函数的图象，结合图象求解即可. 【小问1详解】 由，得， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由，得， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为. 【小问3详解】 由（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，时，，时，， 作出函数的图象： 由图可知，当时，函数与有一个交点，此时方程有1个实数解. 24. 已知函数． （1）若函数在处有极值，求的值； （2）讨论函数的单调区间; （3）若且，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据极值点导数为零即可求出； （2）分别讨论当，时的单调性即可； （3）结合第二问的单调性，然后根据最小值的正负来判断是否满足题意，进而确定出的范围. 【小问1详解】 函数​的定义域为， ， 因为在处有极值，极值点处导数值为0， 所以， 解得，经检验满足题意， 故； 【小问2详解】 ，定义域为， 当时，对任意，，即恒成立，因此在上单调递减，无增区间； 当时，令，解得​， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 将问题转化为存在正实数使，且所有满足的都落在内， 由（2）知，当时在单调递减， ， 且当时，必然存在大于1的满足，与矛盾，舍去； 当时，在处取得最小值， 都有，即，不符合要求； 若，则，最小值，且， 时，因此满足的全部落在内，符合条件. 综上得. 25. 已知数列的通项公式为，其中是常数，． （Ⅰ）当时，求的值． （Ⅱ）数列是否可能为等差数列？证明你的结论． （Ⅲ）若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【解析】 【详解】分析：(1)根据 的值．(2)先根据，解得，再代入验证一般情形，不满足，舍去，即不存在，(3)先按n为奇偶分类讨论，再分离变量，最后根据对应函数最值求的取值范围． 详解： （Ⅰ）时， ∴． （Ⅱ），，，， 若存在使为等差数列 有：， ∴， ，， 矛盾， ∴不存在入使为等差数列． （Ⅲ）∵， ∴， 即，． ①当为正偶数：，随增大变大，． ②当为正奇数：，随变大而变大，． 综上：． 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市海淀实验中学2026-2027年度10月学科展示 高三数学 一、选择题（本大题共14小题，共56.0分） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，值域是R且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 为等差数列的前项和，已知，则为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 55 5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知公差不为0的等差数列，前n项和为，满足，且，，成等比数列，则（ ） A. 2 B. 6 C. 5或6 D. 12 7. 已知函数，那么“”是“在上为增函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 9. 函数的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图像，若是奇函数，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 10. 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）．已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：） A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h 11. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ） A. 97 B. 98 C. 99 D. 100 12. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是  （ ） A. B. C. D. 13. 函数（且）的图象可能为（ ） A. B. C. D. 14. 设函数的定义域为，如果对于任意的，都存在，使得（其中为常数）成立，则称函数在上“与常数相关联”. 给定函数①；②；③；④；则在其定义域上与常数1相关联的所有函数是（ ） A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①② 二、填空题（本大题共7小题，共35.0分） 15. 函数的定义域是____________． 16. _______． 17. 已知向量，．若向量与垂直，则_______． 18. 无穷递增数列满足，写出数列的一个通项公式_______． 19. 若3sin α＋cos α＝0，则的值为________． 20. 已知正方形的边长为，为的中点，则__________． 21. 已知函数，给出下列命题： （1）无论取何值，恒有两个零点； （2）存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对； （3）存在实数，使得的值域是； （4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是．其中，所有正确命题的序号是_______． 三、解答题（本大题共4小题，共分） 22. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的值域． 23. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极小值； （3）若，直接写出方程解的个数. 24. 已知函数． （1）若函数在处有极值，求的值； （2）讨论函数的单调区间; （3）若且，求实数的取值范围． 25. 已知数列的通项公式为，其中是常数，． （Ⅰ）当时，求的值． （Ⅱ）数列是否可能为等差数列？证明你的结论． （Ⅲ）若对于任意，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $