湖北省武汉市2026—2027学年人教版九年级数学上册第一次月考测试题（25-26章）

湖北省武汉市2026—2027学年人教版九年级数学上册第一次月考测试题 本卷满分120分 考试时间120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（本题3分）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．1 B． C． D．2 3．（本题3分）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 5．（本题3分）已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于的一元二次方程的解是（     ） 0 1 2 0 0 A．， B．， C．， D．， 6．（本题3分）已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请个队参赛，可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 8．（本题3分）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或6 B．3或6 C．1或3 D．4或6 9．（本题3分）如图，将抛物线沿轴向上平移得到一条新抛物线，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线扫过的面积为56(图中的阴影部分)，则新抛物线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）抛物线的顶点坐标是______． 12．（本题3分）已知是关于x的一元二次方程，则的值是_______． 13．（本题3分）若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是___________． 14．（本题3分）已知关于x的两个一元二次方程和有且只有一个公共根，则m的值为________． 15．（本题3分）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面．如图所示的直角坐标系中，若水位上涨，此时水面的宽度为__________． 16．（本题3分）如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（为实数）；其中正确的序号是________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解方程： (1)； (2) 18．（本题8分）已知抛物线，根据下列条件，分别求出的值． （1）若抛物线过原点； （2）若抛物线的对称轴为直线； 19．（本题8分）如图，利用一面墙（墙长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形菜园，且中间共留两个的小门，设栅栏长为． (1) _____________ （用含的代数式表示）； (2)若矩形菜园面积为，求栅栏的长． 20．（本题8分）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上，且，求点的坐标． 21．（本题9分）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数k的取值范围； (2)是否存在k值使方程的两实数根，满足，若存在，求实数k的值，若不存在，请说明理由． 22．（本题9分）已知二次函数． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 23．（本题10分）某商场销售一种产品，每件产品的成本为元，销售单价定为元．该商场为了促销，规定客户一次购买这种新型产品不超过件时，每件按元销售；若一次购买该种产品超过件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低元，但销售单价均不低于元（当销售单价达到元时，全部按此价格出售）． (1)设一次购买这种产品件，商场所获的利润为元，直接写出（元）与（件）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)客户购买产品的件数尽可能少的前提下，商场所获的利润为元，此时该商场销售了多少件？ 24．（本题12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴从左到右依次交于点A、B，与y轴交于点C，顶点坐标是，其中B点的坐标为． (1)如图1，求抛物线的解析式． (2)如图2，点D在x轴下方的抛物线上，交x轴于点E，连接、，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作，交于点F，的垂直平分线交y轴于点G，当时，求的长． 第6页（共7页） 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 《湖北省武汉市2026—2027学年人教版九年级数学上册第一次月考测试题（25-26章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B B C D A C B 1．B 【详解】解：， ， ∴或， ∴，． 2．D 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程，得， 解得． 3．B 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：∵将的图象向左平移2个单位， ∴得， ∵再向下平移2个单位， ∴得． 4．B 【分析】球回到地面时高度，代入，然后解方程并检验即可． 【详解】解：当时，，即， 解得或， ∵为球弹起的初始时刻， ∴球弹起后回到地面的时间为秒． 5．B 【分析】将方程转化为的形式，结合表格数据求解． 【详解】解：∵， ∴， 由表格数据得，当时，； 当时，， ∴方程的解为． 6．C 【分析】根据抛物线解析式推出抛物线的对称轴直线和开口方向，然后结合二次函数图象上的点到对称轴距离的大小判定相应的y值的大小． 【详解】解：对于开口向下，对称轴是直线， 在时，二次函数取得最大值， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵，且二次函数上的点的横坐标离对称轴越近，纵坐标的值越大， ∴． 7．D 【分析】由单循环赛问题的解法，找准等量关系列出一元二次方程即可． 【详解】解：设应邀请个队参赛，则每支球队都需要与其他球队赛场，结合2队之间只有1场比赛，可列方程为． 8．A 【分析】先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 9．C 【分析】曲线扫过的面积，则，即可求解． 【详解】解：曲线扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移8个单位，则，即． 10．B 【分析】先得出，，再得出，由此可得①错误；得出二次函数的最大值为，则对于任意实数，都有，由此可得②正确；根据函数图象可得当时，，由此可得③正确；根据二次函数的对称性即可得④错误． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，则结论①错误； 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴对于任意实数，都有，即，则结论②正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ∴， 又∵， ∴，则结论③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴点、关于这个二次函数的对称轴对称， ∴， ∴，则结论④错误； 综上，正确的结论有②③． 11． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 12． 【分析】根据一元二次方程的定义，得到的最高次数为且二次项系数不为，据此列等式求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 整理得， 因式分解得， 解得或， 又∵， ∴． 13． 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义以及代数式求值，利用方程根的定义，得到满足原方程，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴将代入方程得 ， 整理得 ， 对所求代数式变形得：， 将代入上式得：． 14．或 【分析】设公共根代入两个方程，消去的相关项求出公共根，回代求，再验证条件即可． 【详解】解：设两个方程的公共根为，∵同时满足两个一元二次方程， ∴， 由②①得， 解得：或． 当时，代入得，解得． 验证：当时，变为， 解得：方程根为和， 变成， 解得：方程根为两个相等的，两方程只有一个公共根，符合条件． 当时，代入得， 整理得，解得． 验证：当时，变为， 解得：方程根为和， 变成， 解得：方程根为和，两方程只有一个公共根，符合条件． ∴的值为或． 15．/米 【分析】根据待定系数法可求得抛物线解析式，再令，求得对应的值，即可得解． 【详解】解：设该抛物线的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． ∵水位上涨， ∴令，得，解得， ∴此时水面的宽度为． 16． ①② 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象可判断④，由时函数取最大值可判断⑤. 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴，故②正确； ∴，故①正确； ∵时，， ∴时，，故③不正确； 由图象可得当时，不全大于0， ∴当时，不全大于0，故④不正确； 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，故⑤不正确； 综上，正确的有①②. 17．(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： ，， ∴ 解得，． 18．（1）；（2） 【分析】（1）将原点坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）根据抛物线对称轴公式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过原点， ∴； （2）∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质以及二次函数对称轴的求解公式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 19．(1) (2)米 【分析】（1）设栅栏的长为米，根据栅栏的全长结合中间共留个米的小门，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据矩形菜园面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：栅栏的长为米． 20．(1)， (2)或 【分析】（1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由求得，最后代入求得即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点． （2）解：设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴，即，解得： ， ∵点在抛物线上， ∴将代入抛物线得， ，解得：， ∴点的坐标为或． 21．(1)实数的取值范围是且 (2)不存在满足条件的值． 理由：假设存在k值使方程的两实数根，满足， ∵，，， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解， 将代入中，得， ∵， ∴此方程没有实数根， 故不存在满足条件的值． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，由方程有实数根得到，进而求解即可； （2）由根与系数的关系代入条件解得，此时，方程无实数根，不符合题设，故不存在． 【详解】（1）解：∵方程是一元二次方程， ∴，解得； ∵该一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得， 故实数的取值范围是且； （2）略 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入二次函数解析式后，将其化为顶点式即可求解． （2）将原式化为后，令，求解得，将代入解析式后即可求解． （3）将原式化为顶点式后，可得该函数顶点纵坐标为，根据，即时，顶点纵坐标为最大值，代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 此时该函数的顶点坐标为； （2）解：， ∴当，即时，， ∴该定点坐标为； （3）解：， ∴该函数顶点纵坐标为， ，， ∴当时，取得最大值，最大值为． 23．(1) (2)商场所获的利润为元，此时该商场销售了件 【分析】（1）根据“销售单价均不低于元”求得，由利润（销售单价成本单价）件数，列出函数关系式； （2）根据（1）中函数关系式列出方程，解之可得的值，根据题意取舍后可得答案． 【详解】（1）解：销售单价均不低于元， ， 解得， ， 由题意得，当时，， 当时，， （元）与（件）之间的函数关系式为； （2）由题意得当时，， 解得，， 当时，， 解得， 客户购买产品的件数尽可能少， ， 即商场所获的利润为元，此时该商场销售了件． 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点坐标将抛物线化为，将代入求解即可； （2）先求出，令，求出，根据题意得到，求出直线解析式，得到，根据割补法列代数式即可； （3）根据（2）的函数关系式求出t的值，进而求出，直线解析式为，设，根据勾股定理得到，求出，设，根据垂直平分线的性质得到，根据勾股定理求出，进而计算即可． 【详解】（1）解：∵顶点坐标是， ∴抛物线可化为抛物线， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：令，得， ∴， 令， 解得：， ∴， ∵点D在x轴下方的抛物线上，点D的横坐标为t， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 将代入得， 解得：， ∴， 即直线解析式为， 令， 解得：， 即， ∴， ∴ ， 即； （3）解：当时， 解得：，（对应点，不符合题意舍去）， ∴，直线解析式为， 设， ∵， ∴， 即， 解得：，则， 即， 设， ∵的垂直平分线交y轴于点G， ∴，即， ∴， 解得：， ∴， ∴． 答案第2页（共13页） 答案第13页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $