专题03 图形的相似（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材华东师大版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 图形的相似 内容概览 01期中考情透视 02 复习目标锚定 03知识体系构建 04核心考点精讲 05重难题型突破 06限时分层演练 基础固本练/综合进阶练 01期中考情透视 九上第22章“图形的相似”在期中考试中约占18一24分，是几何板块的核心内容，难度梯度分 明，易、中、难比例大致为63：1。考点集中在成比例线段与比例性质、平行线分线段成比例定理、相似 三角形的判定、相似三角形的性质、位似图形、相似的实际应用。题型上，选择填空多考比例线段求值、 平行线分线段求线段长、相似图形识别、位似坐标变换；解答题常单独考查相似三角形证明、利用相似求 线段长度与面积，应用题常考查测量高度、影子测距等实际问题。压轴题经常结合几何模型(A字、母子 型、一线三垂直)综合考查，侧重几何识图、逻辑推理与建模应用能力。 02复习目标锚定 记住成比例线段的慨念、比例的基本性质；记住相似图形、相似三角形、位似图形的定义； 识记 记住相似三角形对应边、对应角、周长、面积的相关性质。 理解平行线分线段成比例定理；理解相似三角形的几种判定方法；理解位似图形与相似图形 理解 的关系，能理解位似变换下点的坐标变化规律。 能利用比例性质求线段长；能判定两个三角形相似，并运用相似三角形性质求解线段、面 应用 积；能借助相似知识解决测量高度等实际问题；能在几何综合题中识别A字、母子型、 线三垂直模型，完成推理与计算。 1/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 03知识体系构建 概念：四条线段a,b,c,d,ab=c:d,叫成比例线段 成比例线段O 比例性质：基本性质、合比性质、等比性质 一平行线截多条直线，对应线段成比例 平行线分线段成比例定理O一 推论：三角形内平行线，截两边成比例(A字基础) 相似图形：形状相同，大小可不同；全等是特殊相似 二、相似图形与相似多边形O 相似多边形：对应角相等、对应边成比例 性质：周长比=相似比，面积比=相似比2 定义：三角对应相等，三边对应成比例 AA两角分别相等（最常用） ☑判定定理0 SAS两边对应成比例，夹角相等 SSS三边对应成比例 三、相似三角形【核心】 对应角相等，对应边成比例 ☑性质0 对应高、中线、角平分线之比=相似比 周长比=相似比；面积比=相似比的平方 分经典几何模型。 一A字型、8字型、母子型（射影定理）、一线三垂直 定义：特殊相似，对应顶点连线交于一点（位似中心） 四、位似图形O 性质：位似比=相似比；坐标变化规律O 原点为位似中心：坐标×k或×(k) 测量高度、测量距离（影子、平面镜） 五、实际应用O 面积、长度相关应用题 题型：比例求值、证明相似、求线段/面积、坐标位似、综合压轴 六、常考题型&易错点O 易错：面积比忘记平方；找错对应边；忽略分类讨论 04核心考点精讲 考点一线段的比 (1)比例的基本性质：如果5行，那么ad=-bc a_c (2)成比例的线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫 做成比例的线段。 DC AC (3)黄金分割：在线段AB上有一点C,如果 AC AB, 那么点C就是线段AB的黄金分割点。较长线 段AC与原线段AB的比叫做黄金分割比。 注意：(I)a,b,c,d成比例也可记作a:b=c:d (2)两条线段长度的比叫做两条线段的比 ac a_b dc d_b 要点归纳：（山)比例的基本性质可以逆用：如果ad=bc,那么6或总日5a。:等 (2)判断四条线段是否成比例，根据概念可以用最小的和最大的相乘，看它们的积是否等王另外两个 相乘。 2/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点二平行线分线段成比例 (1)平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 (2)平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 要点归纳：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上 截得的线段也相等 考点三相似图形与相似多边形 相似图形的定义： 形状相同的平面图形叫做相似图形（简称相似形）。两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图 形放大或缩小得到。 相似多边形的定义： 两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等，各边对应成比例， 那么这两个多边形叫做相似多边形。 相似多边形的表示方法： 用符号“∽”表示相似，读作“相似于”。例如，四边形ABCD与四边形ABCD相似，记作： 四边形ABCD~四边形ABCD 注意：在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 相似比： 相似多边形对应边的比叫做相似比。当两个多边形全等时，相似比为1。 相似多边形的性质： 对应角相等 对应边成比例 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 考点四相似三角形的判定 (1)相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。 (2)相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 (3)相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似。 要点归纳：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。 3/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点五 相似三角形的性质 (1)相似三角形对应线段的比等于相似比。 (2)相似三角形的面积比等于相似比的乎方。 要点归纳：(1)相似三角形对应边上的高的比等于相似比。 (2)相似三角形对应角平分线的比等于相似此。 (3)相似三角形对应边上的中线的比等于相似比。 (4)相似三角形对应周长的比等于相似比。 考点六图形的位似 位似图形的定义： 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O,且每组对应点与点O的距离之比 都等于一个定值k(k0)，那么这两个多边形叫做位似图形，点O叫做位似中心。 简单来说：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），这样 的两个图形叫做位似图形。 位似图形的性质： 具有相似图形的所有性质：对应角相等，对应边成比例：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的 平方 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似图形的相似比也叫位似比） 位似图形的画法： 利用位似可以将一个图形放太或缩小。在位似中心与各顶点连线（或延长线）上取点，使新顶点到位似 中心的距离与原顶点到位似中心的距离之比等于给定的相似比。 05重难题型突破 题型一判断是否是成比例线段 典例1(25-26九年级上·浙江金华期中)若3是x和6的比例中项，则x的值为 迁移应用 1.(25-26九年级上·上海期中)下列各组线段中，能组成比例线段的是() A.1cm,2cm,3cm,2cm B.2cm,3cm,4cm,5cm 4/19 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.2cm,3cm,4cm,6cm D.3cm,2cm,6cm,3cm 2.(25-26九年级上四川成都期中)若线段a,b,c,d是成比例线段，且a=1cm,b=5cm,c=3cm, 则d为()cm 1 A.15 B.15 题型二 比例的性质 典例2(25-26九年级上·安徽合肥期中) 15,则*b b=2 的值为() 5 A.1 B. C. 5 D.4 迁移应用 1. Q5-26九年级上四川眉山期中)若-多，则 m-n= m 2.(25-26九年级上·广东清远·期中)若4a=3b,则下列式子正确的是() 4号 B.4a-3b=0 a-4 a+1_3 C.b D. b+14 题型三 由平行截线求相关线段的长或比值 典例3(25-26九年级上河南平顶山期中)如图，AD BE CF,直线4，h与这三条平行线分别交于 点A,B,C和点D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=1.2,则EF的长为() B E A.2.4 B.3 c.3.6 D.4.8 迁移应用 5/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.（25-26九年级上·山西运城·期中)如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖 格线间的距离都相等，不同竖格线上的三点A,B,C在同一直线上，若线段AB=4Cm,则线段BC的长 为 cm. BI 2.(25-26九年级上广东深圳期中)如图，111213，两条直线与这三条平行线分别交于A,B,C和 AB 3 D,B,R,若BC=DF=10,则EF的长是() D B A.2 B.4 C.6 D.8 题型四 黄金分割 典例4(25-26九年级上·广东深圳期中)已知C为线段AB的黄金分割点，取AB的三等分点D( CD AD<BD),则AB的值为 迁移应用 1.(25-26九年级上·山东青岛·期中)电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点C处最自然 得体，若舞台从A到C的距离6m,那么舞台AB长为 m.(AC>BC,结果精确到0.1m) B 2.(25-26九年级上·浙江杭州期末)已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB,若AB=10,则 AP= 题型五判断两个三角形是否相似 6/19 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例5(25-26九年级上北京房山期中)如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上一点，则下列条件 不能判定△ADE与△ABC相似的是() A.∠ADE=∠ACB B.∠AED=∠ABC DE_AD AD_AE BC AC D. AC AB 迁移应用 1.(25-26九年级上·吉林松原期中)如图，在等边三角形ABC中，D是边BC上任意一点，且 ∠ADE=60° B D (I)求证：△ABD一△DCE: (2)若AB=3,BD=1,求CE的长.， 2.(25-26九年级上·湖南株洲·期中)如图，四边形ABCD是某校一块学农基地，其中△ABD是蔬菜园， △CDB是水果园，已知AB‖CD,AB=40m,BD=60m,CD=90m. B (I)求证：△ABD~△BDC: (2)若蔬菜园△ABD的面积为800m,求水果园△CDB的面积. 题型六利用相似三角形的性质求解 7119 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例6(25-26九年级上陕西榆林·期中)已知△ABC与△A1B1C1相似且对应中线的比为4：3，△ABC 的周长为12，求△A1B1C1的周长， 迁移应用 1.(25-26九年级上·福建三明·期中)如图，在△ABC中，AC=4. B I)在AC上求作一点D,连接BD,使得△ABD一△ACB;(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕 迹) (②)若AB=3,求AD的值， 2.(25-26九年级上·上海闵行·期中)一个三角形框架的模型的边长分别为20厘米、30厘米、40厘米， 木工将一根长270厘米的木条锯成三段，首尾依次相连做成一个与模型相似的三角形框架，木条无剩余， 那么所制作的三角形框架的最短边长为厘米. 题型七相似三角形的判定与性质综合 典例7(25-26九年级上广东佛山期中)如图，已知AD是△ABC的角平分线，点E在边AC上，且 AD=AE·AB,连接DE D (I)求证：△ABD一△ADE 2)若AB-5,AD-4,AC=18 ,求EC的长. 迁移应用 1.（25-26九年级上·辽宁锦州期中)旋转是一种基本的几何变换，它在图形的全等和图形的相似中发挥 着重要的作用.如图1，△ABC与△BDE是具有公共顶点B的两个等腰三角形，AB=AC,BE=DE, 8/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE_BA 若∠ABC=∠EBD,则有△BAC一△BED,可得BDBC,又因为∠ABE=∠CBD,易得 △ABE△CBD 请你借助旋转变换解决下列问题： D G D E B 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，点G为正方形ABCD内一点，连接BG,将线段BG绕点B顺时针旋转90°得到线段BE,以BG, BE为边构造正方形BEFG,连接AG,DF,请求出AG与DF的数量关系： (2)如图3，四边形ABCD中，AC交BD于点O,若∠ADC+∠ABC=180°，求证：∠ABD=∠ACD: 3)如图4，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，∠BDA=60°，BD=5,CD=7,求AD的长. 2.(25-26九年级上浙江杭州·期中)如图，点D,E在△ABC的边BC上，点F在边AC上，连接AD, DF,EF,且AD=AF,∠DAF=90°，∠B=∠DEF=45°， I)求证：△ABD~△DEF: (2)若AB=3,CF=2V5时，求CD的长. 题型八相似三角形的实际应用 典例8(25-26九年级上·河南郑州·期中)如图，小南利用三角板测量大树AB的高度.他通过不断调整自 己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边 长分别为EF=0.2m,DE=0.3m,小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m,测得AM=21m,则树高AB的 长为() 9/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.14 B.15.6 C.14.6 D.15 迁移应用 1.(25-26九年级上·江苏无锡·期中)根据以下材料，完成探究任务. 利用相似三角形测高 数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测 高”的综合实践活动.如图，在公园某处，他们发现一个简 易工具房前有一堵围墙AB,同学们提出问题如下：围墙AB 的高度是多少米？ 发现、提出问题 A D B O E 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如 下操作： ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进地面F点时，测 分析问题 得0F=6m; ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得 OE=0.8m.此外，测得窗高CD=1.8m,窗户距地面的高 度0D=1.2m (I)如图，靠窗放置一张长方形桌子，DN‖OF,点N在光 解决问题 线AF上，求DN的长； (2)求AB,OB的长. 2.(25-26九年级上·甘肃甘南·期中)【问题探究】 10/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图1，在矩形ABCD中，点E为边AD的中点，连接BE,过点C作CF⊥BE于点F. B 图1 图2 ①求证：△ABE一△FCB: ②若BF·BE=4,求BC的值. 【问题解决】 (2)如图2，矩形ABCD是一个大型植物园，点C为植物园的出口，AD的中点E为植物园的入口，BE、 BD、FC是三条观赏主道，CF⊥BE于点F,交BD于点G,其中△ABE区域以常绿针叶树为主， DG_3 △BDE区域以落叶针叶树为主，△BCG区域以竹类为主，△DCG区域以花卉植物为主，已知BG2, BC=2V3km,小丽现在植物园的出口C处，求小丽沿路线CD-DE到达入口E处所走的路程（即求 CD+DE的长)，（观赏主道的宽度、植物园出入口的大小均忽略不计） 题型九求位似图形的坐标 典例9(25-26九年级上·陕西西安期中)如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABC的顶点坐标分别是 O0,0,A1,0,B2,3,C-1,2.若四边形0ABC与四边形OABC关于原点0位似，且四边形 OABC的周长是四边形OABC周长的2倍，则点B的坐标为() A.4,6 B.4,6或-4，-6 C.4,6或-2，-3 D.4,6或-6，-4 迁移应用 1.(25-26九年级上安徽安庆期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形0ABC与正方形ODEF是位似 图形，点O为位似中心，位似比为23，点B,E在第一象限，若点A的坐标为1,0，则点E的坐标是 11/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B A D 一衣 2.(25-26九年级上陕西咸阳期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A-1,0, B-3,-1,C-1,-3,请在y轴右侧作出△ABC关于原点0的位似图形△A1B1C1,使得△ABC与 △AB,C1的相似比为1：2（点A、B、C的对应点分别为点A、B1、C1). Y 5 4 4-32-10 1234567x 2 题型十相似三角形的综合问题 典例10(25-26九年级上·上海闵行·期中)如图，在△PAB中，∠APB=120°，AB=14,C、D在边 AB上，且△PCD是边长为4的等边三角形，那么AC的长是· 迁移应用 1.(2025河南濮阳一模)数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和 正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题， 【观察发现】 在菱形ABCD中，E是菱形ABCD内一点，且AE=AD,连接BE,CE,DE,延长DE交BC于点F. (1)如图1，当∠BAD=60°时，∠BEF的度数为_· 【迁移探究】： 12/19 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，当∠BAD=0时. ①判断∠BEF与α的数量关系，并说明理由； ②当∠EBF=∠CDE时，判断△BEF与△DCE的关系，并说明理由. 【结论应用】 (3)如图3，在边长为5的正方形ABCD中，E是正方形ABCD内一点，且AE=AD,连接BE,CE,DE, 延长DE交BC于点F,过点C作BE的平行线，交DF的延长线于点H,连接BH.当△CEH是等腰直角三 角形时，直接写出BH的长， D E E B B B 图1 图2 图3 备用图 2.(2021·河南商丘·二模)如图1，在等腰Rt△ABC中，AB=AC,点D为斜边AB边上一动点（不含 端点)·作∠EDF=9O°，DE,DF分别交AB,AC于点E和点F.请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 (1)如图1，若点D为BC边中点.请直接写出DE,DF的数量关系 【类比探究】 (2)如图2，若点D为BC边上一动点，且DC=mBD.猜想DF与DE的数量关系.并证明你的结论. 【拓展应用】 (3)如图3，在边长为4的等边△ABC中，点D为BC边上一动点，作∠ADE=60°.DE交AC边于点 E.请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值.如果有，求出最大值：如果没有，请说明理由， E B B D 图1 图2 图3 06限时分层演练 13/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1.(25-26九年级上广西百色·期中)如图，D是△ABC的边AC上一点，连接BD,已知∠ABD=∠C, AB=6,AD=4,则线段CD的长为() A.9 B.6 C.5 D.4 2.(25-26九年级上·江苏无锡期中)如图，△ABC和△ABC是以点O为位似中心的位似图形.若 OA:AA=1:3,△ABC的面积为2，则到△ABC的面积为() A.8 B.18 C.32 D.64 3.(25-26九年级上·河南平顶山·期中)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB, 他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，己知纸板的两条直角边 DE=40cm,EF=20cm,测得边DP离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB是() B 77777777777777 7777777777777777777777 A.4m B.5.5m C.6m D.16m 4.(25-26九年级上·广东佛山期中)如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若 OE:OB=1:2,△DEF的面积为4，则△ABC的面积为() 14/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.8 B.12 C.4 D.16 5.(25-26九年级上广东佛山期中)如图，点C是线段AB的黄金分割点，AC=5-1,则AB等于 () A B A.4V5 5-1 B.4 C.2 D.2 6.(25-26九年级上·湖南郴州期中)如图，AB‖CD‖EF,下列结论正确的是() B F AD BC BCAD CD BC CD AB A.DF CE B. BE DF C. EF CE D. EF CD 二、填空题 7.(25-26九年级上·浙江宁波·期中)3与27的比例中项是 m_5 m 8.(25-26九年级上·湖南郴州·期中)若 n2,则 -2n 9.(25-26九年级上·安徽合肥期中)如图，在△ABC中，D是AC的中点，连接BD,E是BD上的点， BF 且BE:ED=2:3,连接AE并延长交BC于点F,则FC的值为 D B 三、解答题 10.(25-26九年级上广东佛山期中)如图，在平面直角坐标系中， 15/19 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 3 2 -5-4-3-2-19 2345x 2 (I)画出一个以点B为位似中心的图形△A1BC1,使△A1BC1与△ABC的位似比为2：1： 2)在第三象限内，以原点O为位似中心，画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC的位似比为1：1： 3)△ABC与△A1B,C1的周长比为 11.(25-26九年级上·浙江杭州·期中)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上且 AE·AB=AD·AC,连接DE,BD E B I)求证：△ADE一△ABC 2)若点E为AB中点，AD:AE=6:5,若AB=20,求CD的长. 目综合进阶练 (限时：15分钟) 一、单选题 1.（25:26九年级上安徽合肥期中)已知线段ab,c求作线段x,使x二，下列作图中均作出一组平 行线，其中正确的是() A B C 2.(24-25六年级下.上海期中)如果一个三角形的一条边是a,且边上的高为m,另一条边是b,且b边 上的高为，那么下列式子中未必成立的是() 16/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.a:b=n:m B.a:m=b:n C. =2 m_n am bn D.b a 3.(25-26九年级上·江苏无锡·期中)玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现， 当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音.若AB=10cm,且 敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC为() B 10cm ?cm 5-1 A. 2 B.5V5+5 c.55-5 D.12V5-6 4.(25-26九年级上山西运城期中)如图，正三角形0AB与正三角形OCD关于原点O位似，且点B,D 都在第一象限.若△OAB与△OCD面积之比为1：2，点A的坐标为2,0，则点D的坐标为() B A.1,3 B.2,3, c.2,3 D.V2,6 5.(25-26九年级上浙江宁波期中)如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知 OA=AD,△ABC的面积为1，则△DEF的面积为() A.1 B.2 C.4 D.8 6.(25-26九年级上·重庆期中)如图，△ABC与△A1B1C1是以点0为位似中心的位似图形，且 OA:AA1=2:5,则△ABC与△A1B1C1的周长比为() 17119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B.9 2-5 C 4 A.3 D.25 二、填空题 7.(25-26九年级上北京房山期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为-1,51，点B在x 轴的负半轴上，且BA⊥AO,则点B的坐标为 B 8.(25-26九年级上广东佛山期中)如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O,点A与A对应， OA2 AA3,若小五边形的周长为6，则大五边形的周长为一 9. (25-26九年级上·江苏淮安期中)如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE:EC=1:2, AE与BD相交于F,则S△EBF:S△ADF=」 三、解答题 10.(25-26九年级上·北京期中)已知：△ABC中，AD是BC边上的中线，过C作一直线交AD于E,交 AE2AF AB于F.求证：EDFB 18/19 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(25-26九年级上·安徽合肥·期中)清风阁位于安徽省合肥市的包公园内，是为纪念北宋清官包拯诞辰 而建的大型仿宋建筑.小夏和小罗同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量清风阁的高度，来检验自 己掌握知识和运用知识的能力.他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先，在阳光下，小夏在清风 阁影子的末端C点处竖立一根2米的标杆CD,此时，小罗测得标杆CD的影长CE=2米；然后，小夏从C 点沿BC方向走了6米，到达点G,在G处竖立一根2米的标杆FG,接着沿BG方向走到点M处时，恰好 看见清风阁顶端A点与F在一条直线上（即A,F,H在一条直线上），此时，小罗测得GM=0.6米，小 夏的眼睛到地面的距离HM=1.5米.请你根据题中提供的相关信息，求出清风阁的高AB, D 》H B CE GM 12.(25-26九年级上山西临汾期中)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC,垂足为点E, 连接DE,F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B. D B I)求证：△ADP一△DEC: 2)若AB=4,AD=33,AF=23,求DE的长. 19/19 专题03 图形的相似 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 05 重难题型突破 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 九上第 22 章 “图形的相似” 在期中考试中约占 18—24 分，是几何板块的核心内容，难度梯度分明，易、中、难比例大致为 6:3:1。考点集中在成比例线段与比例性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定、相似三角形的性质、位似图形、相似的实际应用。题型上，选择填空多考比例线段求值、平行线分线段求线段长、相似图形识别、位似坐标变换；解答题常单独考查相似三角形证明、利用相似求线段长度与面积，应用题常考查测量高度、影子测距等实际问题。压轴题经常结合几何模型（A 字、母子型、一线三垂直）综合考查，侧重几何识图、逻辑推理与建模应用能力。 识记 记住成比例线段的概念、比例的基本性质；记住相似图形、相似三角形、位似图形的定义；记住相似三角形对应边、对应角、周长、面积的相关性质。 理解 理解平行线分线段成比例定理；理解相似三角形的几种判定方法；理解位似图形与相似图形的关系，能理解位似变换下点的坐标变化规律。 应用 能利用比例性质求线段长；能判定两个三角形相似，并运用相似三角形性质求解线段、面积；能借助相似知识解决测量高度等实际问题；能在几何综合题中识别 A 字、母子型、一线三垂直模型，完成推理与计算。 考点一 线段的比 （1）比例的基本性质：如果 （2）成比例的线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例的线段。 （3）黄金分割：在线段AB上有一点C，如果，那么点C就是线段AB的黄金分割点。较长线段AC与原线段AB的比叫做黄金分割比。 注意：（1）a，b，c，d成比例也可记作a：b=c：d （2）两条线段长度的比叫做两条线段的比 要点归纳：（1）比例的基本性质可以逆用：如果，那么或或或等 （2）判断四条线段是否成比例，根据概念可以用最小的和最大的相乘，看它们的积是否等于另外两个相乘。 考点二 平行线分线段成比例 （1）平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 （2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 要点归纳：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等 考点三 相似图形与相似多边形 相似图形的定义: 形状相同的平面图形叫做相似图形（简称相似形）。两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。 相似多边形的定义: 两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 相似多边形的表示方法: 用符号“∽”表示相似，读作“相似于”。例如，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，记作： 注意：在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 相似比: 相似多边形对应边的比叫做相似比。当两个多边形全等时，相似比为1。 相似多边形的性质: 对应角相等 对应边成比例 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 考点四 相似三角形的判定 （1）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。 （2）相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （3）相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似。 要点归纳：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。 考点五 相似三角形的性质 （1）相似三角形对应线段的比等于相似比。 （2）相似三角形的面积比等于相似比的平方。 要点归纳：（1）相似三角形对应边上的高的比等于相似比。 （2）相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 （3）相似三角形对应边上的中线的比等于相似比。 （4）相似三角形对应周长的比等于相似比。 考点六 图形的位似 位似图形的定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O的距离之比都等于一个定值k（k≠0），那么这两个多边形叫做位似图形，点O叫做位似中心。 简单来说：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线） ，这样的两个图形叫做位似图形。 位似图形的性质: 具有相似图形的所有性质：对应角相等，对应边成比例；周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似图形的相似比也叫位似比） 位似图形的画法: 利用位似可以将一个图形放大或缩小。在位似中心与各顶点连线（或延长线）上取点，使新顶点到位似中心的距离与原顶点到位似中心的距离之比等于给定的相似比。 题型一 判断是否是成比例线段 典例1 （25-26九年级上·浙江金华·期中）若3是和6的比例中项，则的值为________ 【答案】 【分析】本题主要考查了比例中项的定义，若数a是数b和数c的比例中项，那么，据此列出方程并求解即可． 【详解】解：∵3是和6的比例中项， ∴，即， 解得， 故答案为：． 迁移应用 1．（25-26九年级上·上海·期中）下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； B．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； C．，则是成比例线段，故该选项符合题意； D．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（   ）cm A．15 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例线段的概念，即对于四条线段 , , , ，若 ，则它们是成比例线段．根据比例线段的定义，有 ，代入已知值求解 d． 【详解】∵ 线段 , , , 是成比例线段， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选： A． 题型二 比例的性质 典例2 （25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将拆分，可得，然后将代入求解即可． 【详解】解：， 将，代入得：． 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川眉山·期中）若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确运用设k法求解． 根据，可设，再代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴设， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·广东清远·期中）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质． 根据比例的基本性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由可得，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意； B．由可得，符合已知条件，原式子正确，符合题意； C．由可得，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意； D．由可得，即，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意． 故选：B． 题型三 由平行截线求相关线段的长或比值 典例3 （25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴，即，解得：． 故选：C． 迁移应用 1．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，不同竖格线上的三点A，B，C在同一直线上，若线段，则线段的长为________． 【答案】6 【分析】利用平行线分线段成比例定理进行求解即可． 本题主要考查平行线所截线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】解：由题意， ， ， 故答案为：6． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据比例的性质求出，根据平行线分线段成比例得出，则可求出，最后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型四 黄金分割 典例4 （25-26九年级上·广东深圳·期中）已知为线段的黄金分割点，取的三等分点（），则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割，线段的三等分点，设，根据黄金分割点和线段三等分点的定义分两种情况解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设， 当时， ∵点为线段的黄金分割点，点是线段的三等分点且， ∴，， ∴， ∴； 当时， ∵点为线段的黄金分割点，点是线段的三等分点且， ∴，， ∴， ∴； ∴的值为或 故答案为：或． 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东青岛·期中）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为________m．（，结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，掌握解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义．根据黄金分割点的定义结合图形的特征求解即可． 【详解】解：∵舞台的黄金分割点处，， ， ， ， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握黄金分割点的定义，正确列出式子． 根据黄金分割点的定义，当时，是较长部分，与的比值等于黄金分割比，由此可求． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴， 故答案为： 题型五 判断两个三角形是否相似 典例5 （25-26九年级上·北京房山·期中）如图，分别是的边，上一点，则下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故A能判定与相似，不符合题意； ∵，， ∴， 故B能判定与相似，不符合题意； ∵，条件未给出， ∴不能判定， 故C不能判定与相似，符合题意； ∵，， ∴， 故D能判定与相似，不符合题意； 故选：C． 迁移应用 1．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． (2)的长为． 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，，得出，证明，可得，即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形，，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． ∴的长为． 2．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知． (1)求证：： (2)若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求证； （2）根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：，且相似比为， ∴， ∵， ∴． 题型六 利用相似三角形的性质求解 典例6 （25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知与相似且对应中线的比为，的周长为12，求的周长． 【答案】的周长为9 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质（对应中线的比等于相似比、周长比等于相似比），熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用相似三角形的性质（对应中线的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比），通过已知的中线比和的周长，计算的周长． 【详解】∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为12， ∴的周长， ∴的周长. 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在中，． (1)在上求作一点，连接，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的值． 【答案】(1) 如图，点为所求作： (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据在上求作一点，连接，使得，则在点B处，作，结合，故，即可作答； （2）由（1）得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：略； （2）解：由（1）得， ， ， ． 2．（25-26九年级上·上海闵行·期中）一个三角形框架的模型的边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工将一根长270厘米的木条锯成三段，首尾依次相连做成一个与模型相似的三角形框架，木条无剩余，那么所制作的三角形框架的最短边长为_____厘米． 【答案】60 【分析】本题考查相似三角形的性质，设所制作的三角形的三边分别为a厘米、b厘米、c厘米（），由于与模型相似，对应边成比例，再结合周长求解，即可解题． 【详解】解：设所制作的三角形的三边分别为a厘米、b厘米、c厘米，且， ∵ 该三角形与模型相似， ∴， 又 ∵ 木条总长为270厘米，即， ∴ ， 同理， ，， 故最短边长为60厘米， 故答案为：60． 题型七 相似三角形的判定与性质综合 典例7 （25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，已知是的角平分线，点E在边上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，掌握知识点是解题的关键． （1）根据是的角平分线可得出，由可得出，即可证出； （2）由，得到，求出，则，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 即， 解得， ∴． 迁移应用 1．（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）旋转是一种基本的几何变换，它在图形的全等和图形的相似中发挥着重要的作用．如图1，与是具有公共顶点的两个等腰三角形，，，若，则有，可得，又因为，易得． 请你借助旋转变换解决下列问题： (1)如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，以，为边构造正方形，连接，，请求出与的数量关系； (2)如图3，四边形中，交于点，若，求证：； (3)如图4，在中，，，，，，求的长． 【答案】(1) (2) 证明：在延长线上取点，连接，使， ， ． ． ． 即． 又， ． ． (3) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，，证明．则．即可得到结论； （2）在延长线上取点，连接，使，．得到，证明，即可得到结论． （3）作，截取，连接，证明．，得到．．由勾股定理可知．作于点，则， ，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：连接，， 四边形和四边形为正方形， ． ． ． ． ∴ （2）略 （3）解：作，截取，连接， ， ∵， ．， ．． 在Rt中，由勾股定理可知． 作于点，则，， ∴， ∴， ∴， ∴ 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点D，E在的边上，点F在边上，连接，，，且，，， (1)求证：； (2)若， 时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理． （1）证明可得结论； （2）利用相似三角形性质以及等腰直角三角形的性质求出，再证明求出可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 题型八 相似三角形的实际应用 典例8 （25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，小南利用三角板测量大树的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为（　　） A．14 B．15.6 C．14.6 D．15 【答案】B 【分析】此题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键． 根据相似三角形的判定与性质即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∴, ∵，，， ∴, ∴， ∴， 故选：B． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点经窗户点处射进地面点时，测得； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点处射进地面点时，测得此外，测得窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 （1）如图，靠窗放置一张长方形桌子，，点在光线上，求的长； （2）求，的长． 【答案】（1）（2）的长为，的长为 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先证明 ，根据相似三角形的性质得①，再证明 ，根据相似三角形的性质得到②，则解①②组成的方程组得，，接着证明 ，根据相似三角形的性质得到，利用比例的性质得到，然后证明 ，根据相似三角形的性质得，从而可求出的长； （2）由（1）得的长为，的长为． 【详解】解：（1）， ， ， 即①， ， ， ， 即②， 解由①②组成的方程组： ， 解得， 经检验是原方程组的解； ， ， ， ， ， ， 即， 解得， 答：的长为； （2）由（1）得的长为，的长为． 2．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E为边的中点，连接，过点C作于点F． ①求证：； ②若，求的值． 【问题解决】 （2）如图2，矩形是一个大型植物园，点C为植物园的出口，的中点E为植物园的入口，、、是三条观赏主道，于点F，交于点G，其中区域以常绿针叶树为主，区域以落叶针叶树为主，区域以竹类为主，区域以花卉植物为主，已知，，小丽现在植物园的出口C处，求小丽沿路线到达入口E处所走的路程（即求的长）．（观赏主道的宽度、植物园出入口的大小均忽略不计） 【答案】①证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②； （2） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质； （1）①由矩形得到，，根据，得到，则，即可证明； ②由中点得到，根据，得到，则，据此解方程即可； （2）延长交于，先证明，得到，设，则，再证明得到，代入即可得到，，则，最后求小丽沿路线到达入口E处所走的路程为． 【详解】解：（1）①略 ②∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）； （2）延长交于，如图， ∵矩形，， ∴，，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴小丽沿路线到达入口E处所走的路程为． 题型九 求位似图形的坐标 典例9 （25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，．若四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍，则点的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换的概念和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据位似的性质可得，四边形与四边形的位似比为，再结合即可求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍， ∴四边形与四边形的位似比为， 又∵， ∴点的坐标为或，即或． 故选：B． 迁移应用 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为，点，在第一象限，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质、正方形的性质，掌握位似变换的两个图形相似是解题的关键． 根据位似变换的概念、相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，四边形为正方形， ∴， ∵正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为， ，即， 解得：， 则点的坐标为， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请在轴右侧作出关于原点的位似图形，使得与的相似比为（点的对应点分别为点、、）． 【答案】 如图， 【分析】本题考查了作位似图形，位似图形的性质，分别确定点的对应点关于的位似对应点、、，再顺次连接、、即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵与的相似比为，，，， ∴点的对应点关于的位似对应点、、，顺次连接、、即可， ∴即为所求． 题型十 相似三角形的综合问题 典例10 （25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，再证明，利用相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 故的长是或， 故答案为：或． 迁移应用 1．（2025·河南濮阳·一模）数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为 ． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与α的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①； ②，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， 由①，知， ∴， ∴； （3）BH或． 【分析】（1）根据四边形是菱形，得，，，，由，得到，所以，由此即可求解； （2）①根据菱形的性质，结合题意得到，在四边形中，，，，，即可求解； ②由菱形的性质得到，，则三点共线，，由①知，则，结合相似三角形的判即可求解； （3）根据题意得，分两种情况讨论：①当，时，，，，即，又，，设，则，，，列式求解；②当，时，同理可得，设，则，，列式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，　 ∵， ∴， ∵， ∴，即； ② 略 （3）或， 同（2）①可得， ∵， ∴， 分两种情况讨论：①当，时，如题图3所示， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②当，时，如解图所示， 同理可得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴是的中点， 设，则， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，正方形的性质，等边对等角的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 2．（2021·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【详解】解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【点睛】此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26九年级上·广西百色·期中）如图，D是的边上一点，连接，已知，，，则线段的长为（　　） A．9 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的面积为，则到的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是位似图形、相似三角形的判定与性质综合，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， 的面积为， 的面积为． 故选：． 3．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，则树高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出和相似是解题的关键． 先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解． 【详解】解：在和中， 即 解得：， 即树高． 故选：B． 4．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．12 C．4 D．16 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质，解题的关键是掌握位似图形的相似比与面积比的关系． 先根据位似图形的对应边之比等于位似比，得出两个三角形的相似比，再利用相似图形的面积比等于相似比的平方，计算的面积． 【详解】解： 与是以点为位似中心的位似图形， 与的相似比为， 根据相似图形的面积比等于相似比的平方，得：， 已知，代入上式：， 解得：． 故选：D． 5．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，点是线段的黄金分割点，，则等于（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查黄金分割的概念，解题的关键是掌握黄金分割点的比例关系． 根据黄金分割点的定义，较长线段与整条线段的比值为，结合已知条件计算的长度． 【详解】解：因为点是线段的黄金分割点，且由图可知，根据黄金分割的定义，得： ， 已知，将其代入上式：， 解得：． 故选：D． 6．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【详解】解： ， ，， 即A选项正确，符合题意；B、C、D选项错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 7．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）3与27的比例中项是_____． 【答案】或． 【分析】本题考查了比例中项的概念，关键是掌握比例的有关性质，比例中项的平方等于两个数的乘积，据此即可求解． 【详解】解：设3和27的比例中项是x，则 ， 或， 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）若，则______． 【答案】5 【分析】本题考查了比例的性质． 由已知比例关系设参数表示变量，代入所求表达式化简． 【详解】解：由，设，（）， 则， 所以． 故答案为：5． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是的中点，连接，是上的点，且，连接并延长交于点F，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．过点D作，交于点G，证明，， ，，从而得出，，最后得出答案即可． 【详解】解：过点D作，交于点G，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 10．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中， (1)画出一个以点为位似中心的图形，使与的位似比为2∶1； (2)在第三象限内，以原点为位似中心，画出，使与的位似比为1∶1； (3)与的周长比为_____． 【答案】(1) 即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 【分析】本题考查了位似图形的画法与位似图形的性质，解题的关键是掌握位似图形的作图方法及相似图形的周长比与位似比的关系． （1）以点为位似中心，按位似比确定的位置并画图； （2）以原点为位似中心，在第三象限按位似比确定的位置并画图； （3）利用位似图形的周长比等于位似比计算比值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵与的位似比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 2．（24-25六年级下·上海·期中）如果一个三角形的一条边是，且边上的高为，另一条边是，且边上的高为，那么下列式子中未必成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一三角形面积不变，结合三角形面积公式推导出，再利用比例的基本性质判断各选项即可． 【详解】解：设该三角形的面积为， ， ， 根据比例的基本性质，交叉相乘验证各选项： 选项A： ，则，式子成立． 选项B：，则，与不恒等，式子未必成立． 选项C：由且边长、高均不为，可得，式子成立． 选项D：交叉相乘得，式子成立． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据黄金分割的定义，代入数值计算即可． 【详解】解：由题意可知，C是的黄金分割点，， ， 故选：C． 4．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，正三角形与正三角形关于原点位似，且点，都在第一象限．若与面积之比为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，利用正三角形的性质得出点B的坐标，进而利用位似图形的性质求出D点坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵正三角形与正三角形关于原点位似，且与面积之比为， ∴与位似比为， ∴点的坐标为，即， 故选：D． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，的面积为1，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的概念，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据根据位似图形的概念得到，证明，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算即可． 【详解】解： 与是位似图形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 6．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，且，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，再由位似三角形的性质可得，且相似比为，最后由相似三角形的性质即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点为位似中心的位似图形，且， ∴，且相似比为， ∴与的周长比为， 故选：A． 二、填空题 7．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在x轴的负半轴上，且，则点B的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，坐标与图形，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线交的延长线于点， ∵点A的坐标为， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 8．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点与对应，，若小五边形的周长为6，则大五边形的周长为_____． 【答案】15 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵两个五边形是位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴两个五边形是位似图形的相似比为， ∵小五边形的周长为6， ∴大五边形的周长为15， 故答案为：15． 9．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，在平行四边形中，E是上一点， ，与相交于F，则______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 证明，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ∵ ∴， ， ， 故答案为： 三、解答题 10．（25-26九年级上·北京·期中）已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 【答案】 解：如图，过点作，交于点． 是边上的中线， ， ， ， ． ， ，即， ． 【分析】过点作，交于点，先根据中线的定义得到， 再根据平行线分线段成比例得到，然后再次根据平行线分线段成比例求证即可． 【详解】略 11．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）清风阁位于安徽省合肥市的包公园内，是为纪念北宋清官包拯诞辰而建的大型仿宋建筑．小夏和小罗同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量清风阁的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先，在阳光下，小夏在清风阁影子的末端C点处竖立一根2米的标杆，此时，小罗测得标杆的影长米；然后，小夏从C点沿方向走了6米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆，接着沿方向走到点M处时，恰好看见清风阁顶端A点与F在一条直线上（即A，F，H在一条直线上），此时，小罗测得米，小夏的眼睛到地面的距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出清风阁的高． 【答案】42米 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用，平行投影的含义，先证明可得，如图，过点H作于点N，交于点P，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由题意可知，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点H作于点N，交于点P， 设米，则米， 米，（米），米， ∵， ∴， ∴，即 解得：． ∴清风阁的高为42米． 12．（25-26九年级上·山西临汾·期中）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为点，连接为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ， ∵ ，，， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定条件和性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到角的关系，结合已知条件推出两个三角形的对应角相等，从而证明相似； （2）根据相似三角形的性质，列出对应边的比例式，代入已知边长计算的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ，，， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $