第22章 图形的相似（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材华东师大版九年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章图形的相似培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，已知AB‖CD‖EF,若AC=6,CE=2,BD=3,则BF的长为() B D A.1 B.5.5 C.4 D.4.5 2.如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4m的位置上.已知网高为0.8m, 击球点到网的水平距离为3m,若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为() 0.8m ih四y 4m 3m A.0.8m B.1.5m C.1m D.1.4m 3.如图，乐器上的一根弦AB=80Cm,两个端点A、B固定在乐器面板上，点C是靠近点B的黄金分割 点，点D是靠近点A的黄金分割点，则点C、D之间的距离为() A.(405-40)cm B.(80V5-160)cmc.(805-80)cmD. (80V5-60)cm 4.如图，已知AB=2AD,AC=2AE,则下列结论错误的是() 117 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B A.△ABD~△ACEB.∠B=∠C C.BD=2CE D.AB·EC=AC·BD 5.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,点D在边BC上，且BD=3.点E在边AC上，且 ∠ADE=∠B,则AE的长为() A B D A.2.7 B.6.8 c.7.3 D.7.5 6.如图，在ABCD中，AC,BD相交于点O点F在AD上，且AF=号DF,连接BF交AC于点E, 则下列结论：①AE-:②△AEF一△ACD:@CAE-3:④.SA0 3.其中正确结论的个数 AC 3 C△AEF 5 S四边形ODFE 是(). D E B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,点D为AC的中点，连接BD,将△BCD沿BD 翻折，使点C落在同一平面内的点E处，连接AE、BE,则△BAE的面积为() 217 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A D A.1 6 B. c D.8 8.将△ABC和△ADE按如图所示的位置摆放，∠BAC=∠ADE=90°，AB=AC=AD=DE,则下 列说法一定正确的是() A.AG2=FG·BG B.AF=FG C.△BAF-△CAG D.∠BAF=∠AGF 9.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC=8cm,点P由点B出发沿BA方向以3cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿AC方向以2cm/s的速度向点C运动.连接PQ,设运动的时 间为t(单位：s)(其中0<t<10 ,当t为何值时，△APQ与△ABC相似() B A. 20 11 B.0 23 8 c. D. I0.如图，在口ABCD中，BC=5,CD=6,点E是边CD上的中点，将△BCE沿BE翻折得到△BEF, 连接AE,A,F,E在同一条直线上，以下结论正确的有()个 ①ㄥAFB=∠ABC ②AB=2AF ③BF平分∠ABE 317 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29V14 ④点F到AB的距离为 3 4 B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，在△ABC中，DE‖BC,DF‖AC,AD=2BD,DE=4,则BF= D B 12.如图，舞台AB的长为24m,主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点A的黄金分割 点，则主持人与点A的距离为m.(保留根号) A C B 13.已知△ABC一△ABC',AE和AE'是它们对应的角平分线，BP和BP'是它们对应的高线，若 B AE=8cm,AE'=2cm, BP的值为 14.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D,若AD=4,CD=8,则AB的长为 A 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,BC=2,点E、F分别在AB、BC上，连接EF, 417 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将△BEF沿EF翻折，使点B的对应点D落在AC的延长线上，若DE平分∠ADF,则EB长为 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)如图，在△ADE和△ABC中，AB·AE=AD·AC,且∠EAC=∠DAB.求证： △ABC一△ADE. D E 17.(8分)在一次课外活动中，小泽和小方想利用一些测量工具和所学的几何知识测量某山上宝塔的塔 高AB,由于观测点与宝塔底部之间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量.如图所示，首先， 在阳光下，小方在某一时刻测得站立在E处的小泽的影长EF=1.8m,在同一时刻宝塔顶端A的影子落在 地面上的点C处，此时测得CE=1.5m,小泽在E处竖起一根标杆，测得标杆的高EG=1.5m,此时，宝 塔的顶端A、标杆的顶端G及点F在同一条直线上.己知AB⊥BF,DE⊥BF,点B、C、E、F在同 一水平线上，小泽的身高ED=1.6m,求宝塔的塔高AB. D 18.(8分)若△ABC与以点A,D,E为顶点的三角形相似， ∠BAC=∠DAE,∠ABC=120°，∠ACB=30°，试求∠ADE与∠AED的度数， 19.(9分)如图，已知直线l1、12、13,分别交直线4于点A、B、C,交直线l5,于点D、E、F,且 l2l3. 517 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)若AB=6,BC=9,DE=12,求EF的长； (2)若DE:EF=3:4,AC=28,求BC的长. 20.(9分)如图①，在钝角三角形ABC中，∠ABC=30°，AB=4,D为边AB的中点，E为边BC的中点. 将△BDE绕点B按逆时针方向旋转a°(0<Q<180): B E 图① 图② 图③ (I)如图②，连接AD、CE.求证：△BDA一△BEC: (2)如图③，CE与AB相交于点O,直线CE,AD交于点G.在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？ 若变化，请说明理由：若不变，请求出这个角的度数 21.(10分)如图，在△ABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从点A出发，沿AB以4Cm/s的 速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另 一点也停止运动，设运动时间为X(S): B ()当x= 3时，求证：△APQ一△ABC: (2)在运动过程中，点A、P、Q组成的三角形与△CQB能否相似？若能，求出CQ的长：若不能，请说 明理由. 22.(11分)定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个 直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形 617 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (①)如图1，在智慧三角形ABC中，AD⊥BC,AD为该三角形的智慧线，CD=1,AC=5,则BD长为 ,∠B的度数为 (2)如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，F是斜边BC延长线上一点，连结AF,以AF为直 角边作等腰直角三角形AFE(点A,F,E按顺时针排列)，∠EAF=90°，AE交BC于点D,连结EC, EB.当∠BDE=2∠BCE时，求证：ED是△EBC的智慧线. (3)如图3，△ABC中，AB=AC=5,BC=4V5.若△BCD是智慧三角形，且AC为智慧线，求△BCD 的面积。 23.(12分)已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm,BC=5cm,点P从点A出发，沿 AC方向匀速运动，速度为1cm/s;同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s,设运 动时间为ts(0<t<4),解答下列问题： B 备用图① 备用图② (1)当t为何值时，△ABC与△PQC相似？ (2)是否存在某一时刻，使S△Poc:S四边形ABoP=1:4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由： (3)是否存在某一时刻，使△PQC为等腰三角形？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由. 7/7可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章图形的相似·培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6 8 9 10 C B D A D B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.2 12.36-12V5 13.4 14.493 15.26 3 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分) 【答案】证明：，AB·AE=AD·AC, ·AB=AC ·AD-AE (2分) .'∠EAC=∠DAB, ∴.∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE,(5分) .∠BAC=∠DAE, .△ABC一△ADE.(8分) 17.(8分) 【详解】解：同一时刻同一地点太阳光平行，即AC‖DF, .∠ACB=∠DFE, ,AB⊥BF,DE⊥BF, .∠ABC=∠g=90°， ∴.△ABC一△就，(3分) 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D2茶 AB_BC ABBC 即 1.61.8 1.6=8xm'BF=BC+CE+EF 设AB=Xm则BC=1,8X-9X 8*+3.3m .∠ABC=∠=90°，∠AFB=∠GFE, .△ABF一△GEF,(6分) AB_BF GEEF,即x8 +3.3 1.51.8 解得x=44」 答：宝塔的塔高AB为44m.(8分) 18.(8分) 【详解】解：，'△ABC与以A,D,E为顶点的三角形相似，且∠BAC=∠DAE ①当△ABC△ADE时，有∠ADE=∠ABC=120°，.∴.∠AED=∠ACB=30°；(4分) ②当△ABC一△AED时，有∠ADE=∠ACB=30°，∴.∠AED=∠ABC=120°.(8分) 19.(9分) 【详解】(1)解：1‖2l3, AB_DE BC EF (1分) .AB=6,BC=9,DE=12, ,612 小gEF (3分) .EF=18.(4分) (2)解：4121， AB_DE ·BCEF (5分) DE:EF=3:4,AC=28 AB 3 ·28-AB4' (7分) .AB=12,(8分) .BC=28-12=16.(9分) 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(9分) 【答案】(1)证明：如题图①， .D为边AB的中点，E为边BC的中点， BD_BE BA BC BD_BA ··BEBC (2分) 如题图②，根据旋转的性质，可 BD=BA依然成立，且∠DBE=∠ABC, BE BC ∴.∠DBA=∠EBC, .△BDA一△BEC.(4分) (2)解：∠AGC的大小不发生变化.(5分) 同(1)证明△BDA一△BEC, ∴.∠DAB=∠ECB.(7分) .'∠DAB+∠AOG+∠AGC=180°，∠ECB+∠COB+∠ABC=180°，∠AOG=∠COB, ∴.∠AGC=∠ABC=30°.(9分) 21.(10分) 【答案】(1)证明：由题意，AP=4x,CQ=3x, ∴.AQ=AC-CQ=30-3x, :x=10 、.AP=4X=40(m,AQ=30-3x=20(cm),(2分) 3 .'.AP=AQ-2 ·ABAC31 .'∠PAQ=∠BAC, .∴.△APQ一△ABC(4分) (2)解：能.(5分) 由题意，AP=4x,CQ=3x, ∴.AQ=AC-CQ=30-3x, .BA=BC. 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=∠C,(6分) ①当△APQ-△CQB时， 6器货”0 3x20 解得x=0(舍去)或x=0, 9 CQ=3x=10 cm:(8分) ②当△APQ-△CBQ时，有A2=A9,即4X=30-3x, CB CO 203x 解得x=5或x=-10(舍去)， .∴.CQ=3x=15cm. 综上所述，当CQ的长为3 0 m或15cm时，点A、P、Q组成的三角形与△CQB相似.(10分) 22.（11分) 【答案】(1)2：45°(2分) (2)证明：如图2中， .∠BAC=∠EAF=90, B 图2 .∠BAE=∠CAF, 在△BAE和△CAF中， AB=AC ∠BAE=∠CAF, AE=AF .△BAE≌△CAF(SAS), ∠ABE=∠ACF,(4分) :∠ABC=∠ACB=45°， .∠ABE=∠ACF=135°， .∠EBD=90°， 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠BDE=∠DCE+∠DEC,∠BDE=2∠DCE, .∠DCE=∠DEC, ..DE=DC, ∴△DEC是等腰三角形， :△EDB是直角三角形， ∴，△BEC是智慧三角形： ∴.ED是△EBC的智慧线(6分) (3)解：如图中，过点A作AH⊥BC于点H. D B 有两种情形：当CD⊥BD时，或当CD'⊥AC时，△BCD,△BCD是智慧三角形. .AB=AC=5,AH⊥BC, .'BH =CH=2/5, ∴AH=AB2-BF=5-(2V5=5(7分) BGAH-AB-CD. :CD-485x5=4. 5 .AD=VAC2-CD2=5-42=3' S6E=2BDCD=3×8×4=16, .·∠ACD=90°，∠ADC=∠CDD=90 ∴.∠ACD+∠DCD=90°，∠CAD+∠ACD=90°， .∠CAD=∠DCD, ∴.△ADC一△CDD,(9分) 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·AD=CD CD DD' .3=4 ·4DD DD=16 .BD=BD+DD=8+16=40 331 =x40x4=8 .SACBD=2×3 综上所述，满足条件的△BCD的面积为16或 (11分) 23.(12分) 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC=BC2-AB2=4 由题意得，AP=CQ=tcm,PC=4-tcm, 当△ABC一△PQC时， 有CPCQ CA CB 解得：t20 ,(2分) 当△ABC一△QPC时， 有CPCQ CB CA 即4-tt 54 解得：t=16 , :当：为码或号时△ABC与△QC相做：1分》 9 (2)解：存在， 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，作PD⊥BC于点D, A .:∠C=∠C∠PDC=∠A=90° D ∴.△CPD~△CAB, PD_CP .AB CB 即PD-4-t 35 解得：PD=12-3t （6分) 5 SAn3xCQ×PD=号xtx12=3L-3+9, 2 2 5 10 5 SAoPC:S四边形AB0P=1:4, .SAOPC:S△ABc=1:5, 5ac号ABAC-×3×4=6cml 高-6 5 解得：t=2, .当t=2时，SAQPC:S四边形ABoP=1:4;(8分) (3)解：存在，当CQ=CP时， ∴.4-t=t, ∴.t=2, 当PQ=PC时，作PD⊥BC于点D, A .∠C=∠C∠PDC=∠A=90° B C O D .∴.△CPD△CAB, 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD_CP CA CB 即CD=4-t 45, .CD=16-4t 5, .PQ=PC,PD⊥BC ∴.CQ=2CD, .t=2×16-4t 5 解得：t32, 13 (10分) 当PQ=QC时， 作QE⊥AC于点E, A ◇ .:∠QEC=∠A=90° SC .QE‖AB, "a8 CE_CQ .CE- :PQ=QC,QE⊥AC, ∴.CP=2CE, 4-t=2×4. 5 解得：t=20 3 ·当t=2或32 20 或3时，△PQC为等腰三角形.(12分) 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9/9 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章 图形的相似·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，已知，若，，，则BF的长为（     ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 2．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上．已知网高为，击球点到网的水平距离为，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，可得，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如下图， 根据题意，可得，且， ∴， ∴，即， ∴，解得， 即球拍击球的高度为． 3．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，则点之间的距离为（     ） A．（ B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 4．如图，已知，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件得出对应边成比例，结合公共角证明三角形相似，利用相似三角形的性质逐一判断选项． 【详解】解：，， ， ， ， ，故A正确； ，故B正确； ， ，故D正确； 由可知，仅当时，，题目未给出与的数量关系，故C错误． 5．如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形外角性质结合已知条件证得，结合证明，利用相似三角形对应边成比例求出的长，进而求得． 【详解】解：∵， ， ，，且， ， ， ， ，， ， ， 解得， ． 6．如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】利用平行四边形对边平行的性质判定，求出线段比判断①；根据两边对应成比例且夹角相等判断②；利用相似三角形周长比等于相似比判断③；通过面积比例关系计算判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； 在和中，， ∵，， ∴， ∴与不相似，故②错误； ∵，且相似比为， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即为中点， 设，则， ∴， ∴， ∵，且相似比为， ∴， ∴ ， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有③④，共2个． 7．如图，中，，，点为的中点，连接，将沿翻折，使点落在同一平面内的点处，连接、，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于F，过E作于G，证明，求出，则，分别在和中，根据双勾股定理得出，求出，则，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：延长交于F，过E作于G， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折，使落在同一平面内的点处， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵，即， 又， ∴， ∴到的距离为，即为， ∴． 8．将和按如图所示的位置摆放，，，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定，解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴．故A正确． 由题意可知，，， ∴不一定等于． ∴不一定等于．故B错误． ∵无法判断和是否相等， ∴无法判断与是否相似，故C错误． ，，但的大小无法判断， ∴与不一定相等，故D错误． 9．如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题有公共角，先用含的代数式表示线段与的长度，再分两种相似对应情况进行分类讨论，根据相似三角形对应边成比例列方程求出的值． 【详解】解：，，， ． ， 分两种情况讨论． 当时， ，即， 解得， 当时， ，即， 解得， 综上所述，当为或时，与相似． 10．如图，在中，，，点是边上的中点，将沿翻折得到，连接，，，在同一条直线上，以下结论正确的有（     ）个 ① ② ③平分 ④点到的距离为 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】利用平行四边形性质和折叠性质推导角度和边长关系可判断①；证明可得，易得即可判断②；证明可得，如图：过点D作于M，设，则，利用勾股定理列方程可得，进而得到、；设点F到的距离为h，利用三角形的面积公式求得h，即可判断④；若平分，则点F到的距离相等，设其为d，结合已知条件可得，再证明可得，即，利用勾股定理逆定理得到，与矛盾，即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵A，F，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即，解得， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：过点D作于M， 设，则． 在和中，， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， 设点F到的距离为h，则，即，解得：，故④正确； 若平分，则点F到的距离相等，设其为d， ∴， 又∵F是中点， ∴． ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 但在中，，即，与矛盾， ∴不平分 ，故③错误． 综上，正确的结论有①②④，共3个． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，，，，，则________． 【答案】 2 【分析】根据平行线的性质得出对应角相等，证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 12．如图，舞台的长为，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点A的距离为______．（保留根号） 【答案】 【详解】解：点C是线段上靠近点A的黄金分割点，， ， ． 则主持人与点A的距离为． 13．已知，和是它们对应的角平分线，和是它们对应的高线，若，，则的值为_______． 【答案】4 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比和对应高线的比都等于相似比，列出比例式即可求解 【详解】解：∵ ，和是对应角平分线，和是对应高线， 由相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应高线的比也等于相似比，可得 ∵，， 14．如图，在中，，于点D，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】用两角分别相等的两个三角形相似证明，三角形相似对应的边成比例得到，代入求值即可． 【详解】解：， ， 又， ， 又， ， ， ，， ， ， ． 15．如图，在中，，，，点、分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则长为______． 【答案】 【分析】由折叠性质得，，结合平分可得，进而证明，利用相似三角形对应边成比例列方程求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由折叠的性质可知，， 平分， ， ， 又， ， ， 设，则， ， ， 解得， 的长为． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，在和中，，且．求证：． 【答案】证明：， ，（2分） ， ，（5分） ∴， ．（8分） 【详解】略 17．（8分）在一次课外活动中，小泽和小方想利用一些测量工具和所学的几何知识测量某山上宝塔的塔高，由于观测点与宝塔底部之间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量．如图所示，首先，在阳光下，小方在某一时刻测得站立在E处的小泽的影长，在同一时刻宝塔顶端A的影子落在地面上的点C处，此时测得，小泽在E处竖起一根标杆，测得标杆的高，此时，宝塔的顶端A、标杆的顶端G及点F在同一条直线上．已知，，点在同一水平线上，小泽的身高，求宝塔的塔高． 【答案】宝塔的塔高为 【分析】由同一时刻同一地点太阳光平行得结合两个直角证，设，通过相似所列比例式用表示出，再表示出，然后证明，通过对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：同一时刻同一地点太阳光平行，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，（3分） ∴，即， 设，则， ， ∵，， ∴，（6分） ∴，即， 解得． 答：宝塔的塔高为．（8分） 18．（8分）若与以点A，D，E为顶点的三角形相似，，试求与的度数． 【答案】或 【分析】根据相似三角形的性质分两种情况作答即可． 【详解】解：与以A，D，E为顶点的三角形相似，且． ①当时，有，；（4分） ②当时，有，∴．（8分） 19．（9分）如图，已知直线、、，分别交直线于点、、，交直线，于点，且． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴．（1分） ∵，，， ∴，（3分） ∴．（4分） （2）解：∵， ∴．（5分） ∵，， ∴，（7分） ∴，（8分） ∴．（9分） 20．（9分）如图①，在钝角三角形中，为边的中点，E为边的中点．将绕点B按逆时针方向旋转． (1)如图②，连接．求证：； (2)如图③，与相交于点O，直线交于点G．在旋转过程中，的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个角的度数． 【答案】(1)证明：如题图①， 为边的中点，E为边的中点， ， ， （2分） 如题图②，根据旋转的性质，可知依然成立，且， ， ．（4分） （2）解：的大小不发生变化．（5分） 同（1）证明， ．（7分） ，， ．（9分） 【分析】（1）由线段中点的定义得出，由角的和差关系得出，即可证明． （2）同（1）证明，由相似三角形的性质得出，由三角形内角和定理以及对顶角相等得出． 【详解】（1）略； （2）解：的大小不发生变化． 同（1）证明， ． ，， ． 21．（10分）如图，在中，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿以的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当时，求证：； (2)在运动过程中，点组成的三角形与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)证明：由题意，，， ∴， ， ，（2分） ． ， （4分） （2）解：能．（5分） 由题意，，， ∴， ∵， ∴，（6分） ①当时，，即， 解得（舍去）或， ；（8分） ②当时，有，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，当的长为或时，点组成的三角形与相似．（10分） 【分析】（1）利用两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似即可得证； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：能． 由题意，，， ∴， ∵， ∴， ①当时，，即， 解得（舍去）或， ； ②当时，有，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，当的长为或时，点组成的三角形与相似． 22．（11分）定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． (1)如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为_____________，的度数为_____________． (2)如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），，交于点D，连结，．当时，求证：是的智慧线． (3)如图3，中，，．若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 【答案】(1)2；（2分） (2)证明：如图2中， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，（4分） ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∴是等腰三角形， ∵是直角三角形， ∴是智慧三角形； ∴是的智慧线（6分） （3）解：如图中，过点A作于点H． 有两种情形：当时，或当时，，是智慧三角形． ，， ， ，（7分） ， ， ， ， ，， ，， ， ，（9分） ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的面积为16或．（11分） 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （2）证明，结合定义可得结论； （3）如图3中，过点作于点．有两种情形：当时，或当时，，是智慧三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∵是智慧三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， （2）略 （3）解：如图中，过点A作于点H． 有两种情形：当时，或当时，，是智慧三角形． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的面积为16或． 23．（12分）已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当或时，与相似 (2)存在，当时， (3)存在，当或或时，为等腰三角形 【分析】（1）由勾股定理求出，再分为当时及当时，两种情况求解即可； （2）作于点，首先证明，可表示出，由，可得，代入面积公式即可列出方程，从而得出答案； （3）分，，三种情形，分别画出图形，进行计算即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得： ， 由题意得，， 当时， 有， 即， 解得：，（2分） 当时， 有， 即， 解得：， 当t为或时，与相似；（4分） （2）解：存在， 如图，作于点， ，， ， ， 即， 解得：，（6分） ， ， ， ∵ ， 解得：， 当时，；（8分） （3）解：存在，当时， ， ， 当时，作于点， ，， ， ， 即， ， ∵， ， ， 解得：；（10分） 当时， 作于点， ， ， ， 即， ， ∵，， ， ， 解得：， 当或或时，为等腰三角形．（12分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章 图形的相似·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，已知，若，，，则BF的长为（     ） A．1 B． C．4 D． 2．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上．已知网高为，击球点到网的水平距离为，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（     ） A． B． C． D． 3．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，则点之间的距离为（     ） A．（ B． C． D． 4．如图，已知，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A． B． C． D． 6．如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，中，，，点为的中点，连接，将沿翻折，使点落在同一平面内的点处，连接、，则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．将和按如图所示的位置摆放，，，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 10．如图，在中，，，点是边上的中点，将沿翻折得到，连接，，，在同一条直线上，以下结论正确的有（     ）个 ① ② ③平分 ④点到的距离为 A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，，，，，则________． 12．如图，舞台的长为，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点A的距离为______．（保留根号） 13．已知，和是它们对应的角平分线，和是它们对应的高线，若，，则的值为_______． 14．如图，在中，，于点D，若，，则的长为______． 15．如图，在中，，，，点、分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则长为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，在和中，，且．求证：． 17．（8分）在一次课外活动中，小泽和小方想利用一些测量工具和所学的几何知识测量某山上宝塔的塔高，由于观测点与宝塔底部之间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量．如图所示，首先，在阳光下，小方在某一时刻测得站立在E处的小泽的影长，在同一时刻宝塔顶端A的影子落在地面上的点C处，此时测得，小泽在E处竖起一根标杆，测得标杆的高，此时，宝塔的顶端A、标杆的顶端G及点F在同一条直线上．已知，，点在同一水平线上，小泽的身高，求宝塔的塔高． 18．（8分）若与以点A，D，E为顶点的三角形相似，，试求与的度数． 19．（9分）如图，已知直线、、，分别交直线于点、、，交直线，于点，且． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 20．（9分）如图①，在钝角三角形中，为边的中点，E为边的中点．将绕点B按逆时针方向旋转． (1)如图②，连接．求证：； (2)如图③，与相交于点O，直线交于点G．在旋转过程中，的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个角的度数． 21．（10分）如图，在中，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿以的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当时，求证：； (2)在运动过程中，点组成的三角形与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 22．（11分）定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． (1)如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为_____________，的度数为_____________． (2)如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），，交于点D，连结，．当时，求证：是的智慧线． (3)如图3，中，，．若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 23．（12分）已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $