专题02 一元二次方程（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材华东师大版

专题02 一元二次方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 05 重难题型突破 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 九上第 21 章 “一元二次方程” 在期中考试中约占 15—20 分，是代数板块的核心内容，难度梯度分明，易、中、难比例大致为 7:2:1。考点集中在一元二次方程的概念与一般形式、方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的实际应用。题型上，选择填空多考一元二次方程识别、求参数取值、根的判别式判断根的情况；解答题常单独考查解方程、利用根的性质求代数式的值，应用题常考查增长率、面积、销售利润问题。压轴题偶尔和二次根式结合综合考查，侧重方程思想、运算求解与建模应用能力。 识记 记住一元二次方程的定义、一般形式；熟记根的判别式、根与系数关系的公式；能识别一元二次方程。 理解 理解一元二次方程四种解法的原理；理解根的判别式与方程根的个数之间的关系；理解列一元二次方程解决实际问题的建模思路。 应用 能选用合适方法熟练解一元二次方程；会利用根的判别式、根与系数关系求参数、化简代数式；能建立一元二次方程模型解决增长率、面积、利润等实际问题；能结合二次根式完成综合运算。 考点一 一元二次方程的概念与一般形式 1. 定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 一般式：任何一元二次方程经过整理都可化为的形式，其中 a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项，且必须满足 a ≠ 0（a=0 时退化为一次方程）。 3. 判断一元二次方程的步骤：①先化简（去分母、去括号、合并同类项）；②看是否只含一个未知数；③看未知数最高次数是否为 2；④确认是整式方程（分母、根号内均不含未知数）。 ⚠️概念辨析 1. 定义：只含一个未知数且最高次为2的整式方程；一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。 2. 辨析：a=0时退化，不是一元二次方程；分母含未知数也不是。 考点二 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． ⚠️概念辨析 1. 定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫根；解方程就是求所有根。 2. 辨析：根一定满足原方程；二次方程最多两个实根，但可能无实根或重根。 考点三 解一元二次方程 1.解一元二次方程-直接开平方 直接开平方法：若 （p ≥ 0），则 x = ±；若 （p ≥ 0），则 x = −m ± 。 2.解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． ⚠️记忆口诀 “配方先把系数化为一，常数项移到等式右；加上一次半的平方，写成平方式再开方。” 3.解一元二次方程-公式法 公式法：先化一般式，确定 a、b、c，计算判别式 Δ = b² − 4ac，再代入求根公式（当 Δ ≥ 0 时可用）。 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． ⚠️记忆口诀 “公式法，先化一般式；定系数，符号别忘记；算判别式，判断根；再代入，求根公式来求解。” ⚠️易混易错 ①不把方程化为一般形式就盲目套公式；②a、b、c取错符号，尤其b为负数时出错；③计算Δ时漏乘4ac或符号处理错误；④Δ＜0时仍硬性代入公式。 ⚠️避坑指南 严格按“一化（化成一般式）、二定（定a、b、c带符号）、三判（算Δ判断根）、四代（代入求根公式）、五写（写根）”五步走；Δ＜0时直接写“方程没有实数根”，不再代入。 4.解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程 因式分解法：把方程一边化为 0，另一边分解为两个一次因式的积，即 (x−p)(x−q) = 0，则 x = p 或 x = q。常用提公因式、平方差、完全平方、十字相乘。 （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． ⚠️避坑指南 ❌ 先化一般形式再选方法：因式分解、配方、公式法；公式法需判Δ≥0。 ❌ 避坑：约去含未知数的因式会丢根；开方时漏负根；Δ<0时无实根，别硬算。 考点四 根与系数的关系 若一元二次方程 （a≠0）有两个实数根 x₁、x₂，则 。使用前提：a≠0 且 Δ≥0。 常用对称式变形：；；。 ⚠️记忆口诀 “韦达定理要记牢，两根之和负的a分之b，两根之积a分之c；系数先化一般式，判别式不小于零。” ⚠️易混易错 ①不先化一般形式就取a、b、c；②两根之积符号取反；③忘检验Δ≥0（无实数根时不能套韦达）；④对称式变形记错公式（漏减2x₁x₂等）。 ⚠️避坑指南 先用判别式确认方程有实数根，再套韦达定理；先化一般形式确定系数；对称式一律先表示成“x₁＋x₂、x₁·x₂”的形式再代值。 考点五 实际问题与一元二次方程 1. 增长率/降低率：（a 为初始量，x 为增长率或降低率，n 为增长/降低次数）。如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． 2. 传播（分枝）：设每轮每人传播 x 人，两轮后总患病数为 (1+x)² 人（含最初的 1 人）。 3. 握手/单循环：n 个人每两人握手一次，握手总数为 。 4. 面积问题：利用平移、割补把不规则图形化归为规则图形，用代数式表示面积列方程。 5. 利润问题：总利润 = 单件利润 × 销售量。 6. 几何动点：用时间 t 表示线段长，根据勾股定理、面积等关系列方程。 7. 检验：解出两根后，须根据实际意义（非负、为正、为整数、不大于某值等）取舍根。 ⚠️记忆口诀 “实际问题列方程，审清题意设未知；等量关系找出来，列好方程再去解；解出根来细检验，符合实际写答案。” ⚠️易混易错 ①忘记检验根的合理性，把负根或超出范围、不是整数的根直接当作答案；②增长率与下降率混淆符号；③单位不统一导致列式错误；④漏写“答”。 ⚠️避坑指南 ❌ 步骤：设未知数、列方程、解方程、检验根是否符合实际意义。 ❌ 避坑：增长率为负、长度为负、人数为分数等要舍去；别漏检验和单位。 题型一 一元二次方程的定义与一般形式 典例1 （24-25八年级下·浙江温州·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 抓定义：只含一个未知数、最高次为2、整式方程，三条件缺一不可。 2. 化一般式：整理为 ax²+bx+c=0（a≠0），准确识别 a、b、c。 迁移应用 1．（25-26九年级上·全国·期中）将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为9，则一次项系数为__________． 2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）将方程化成一元二次方程一般式，正确的是（） A． B． C． D． 题型二 一元二次方程的解求参数的值 典例2 （25-26九年级上·全国·寒假作业）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 💡破题要诀 1. 代根入方程：把已知解代入原方程，得到关于参数的新方程。 2. 解参数并检验：解出新方程求参数，注意二次项系数不为0及题设限制。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知2是关于x的方程的一个根，则常数a的值是______ ． 题型三 解一元二次方程 典例3 （25-26九年级上·广东汕头·期中）一元二次方程的根是（     ） A． B．， C．， D．， 💡破题要诀 1. 看结构选方法：能分解因式用因式分解，形如x2=p或(x+m)2=n用直接开平方，否则配方或公式法。 2. 先化简再求解：化为一般式，算判别式定根的情况，最后代入公式或配方得解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东汕头·期中）解方程： (1)； (2)． 2．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）解方程： (1) (2) (3) 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典例4 （25-26九年级上·吉林长春·期中）关于的方程根的情况是(        ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有无数个实数根 💡破题要诀 1. 化一般式：先整理成 ax²+bx+c=0（a≠0），准确写出 a、b、c。 2. 算判别式：Δ=b²-4ac，Δ>0 两不等根，Δ=0 两相等根，Δ<0 无实根。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的方程． (1)如果方程的一个根为，求k的值； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．请你完成下面两个问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数a、b、c满足，且，求c的最大值． 题型五 利用一元二次方程根与系数的关系求值 典例5 （25-26九年级上·广东汕头·期中）设、是方程的两个实数根，则________． 💡破题要诀 1. 化一般式定系数：整理为 ax²+bx+c=0（a≠0），写出 a、b、c，验证 Δ≥0。 2. 用韦达定理转化：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a，将所求式变形代入求值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程，设，是此方程的两个根． (1)若，求的值； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 题型六 判别式和根与系数的关系综合问题 典例6 （25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求的取值范围． 💡破题要诀 1. 先判根况：化一般式算 Δ，由 Δ 符号确定根的存在与相等情况。 2. 再用韦达：在 Δ≥0 前提下，用 x₁+x₂、x₁x₂ 转化所求式，注意隐含条件。 迁移应用 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数（是常数），求证：无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根． (2)若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 题型七 用一元二次方程解决图形问题 典例7 （25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 💡破题要诀 1. 设未知数建方程：用图形性质（勾股、面积、周长）找等量关系，列一元二次方程。 2. 解方程并取舍：求根后检验是否符合图形实际，舍去负根或不合题意的解。 迁移应用 1．（24-25八年级上·山西运城·期中）为宣传山西旅游资源，某班课外活动小组计划制作山西省景点卡片，并为每张卡片搭配一个封皮．已知正方形卡片的面积为，长方形封皮的长、宽之比为，面积为．请你通过计算，判断正方形卡片能否装进长方形封皮． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）在某学校的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门． (1)设为x米，请用含x的式子表示为________． (2)若养鸡场的面积是160平方米，求养鸡场的宽为多少米？ 题型八 用一元二次方程解决销售问题 典例8 （25-26九年级上·河北沧州·期中）某服装柜在销售中发现：其专柜某款童装平均每件盈利40元，每天可售出20件．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件．要想平均每天销售这种童装能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件童装应降价多少元？ 💡破题要诀 1. 抓数量关系：理清售价、进价、销量、利润间关系，用“总利润=单件利润×销量”列方程。 2. 解方程取舍：求根后检验是否符合实际意义，舍去不合题意的解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东阳江·期中）某书店销售儿童期刊，一天可售出20套．每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． (1)若书店每天要盈利750元，则需降价多少元？ (2)当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润是多少？ 2．（25-26九年级上·天津滨海新区·期中）一人一盔安全守规，一人一带平安常在．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，但不能亏本且降价不低于5元．经调查发现：每顶降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的成本为每顶50元． (1)当每顶头盔降价多少元时，每月的利润为5250元？ (2)当每顶头盔降价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 题型九 用一元二次方程解决动态几何问题 典例9 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在矩形中，厘米，厘米，点从点出发，沿边向点以1厘米/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向以2厘米/秒的速度移动，如果、两点分别到达、两点后就停止移动．据此解答下列问题： (1)运动开始第几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为平方厘米，写出关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围． (3)求出当时的取值范围． 💡破题要诀 1. 设时间或路程为未知数：用含未知数的式子表示动点相关线段长，依据勾股、面积等列方程。 2. 解方程并检验：求根后结合动点运动范围取舍，舍去不合题意的解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么： (1)在运动过程中，的长度能否为?试说明理由； (2)当t为何值时，与相似？ 2．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图，在矩形中，，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接，，． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 题型十 一元二次方程中新定义型综合问题 典例10 （25-26九年级上·贵州遵义·期中）定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为________． 💡破题要诀 1. 读懂新定义：逐字理解运算或概念规则，转化为普通代数式或方程。 2. 按规则列解：依定义列一元二次方程，解后检验是否满足定义限制。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，且两根，满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东汕头·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）把一元二次方程配方转化成的形式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期中）由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（25-26九年级上·山西运城·期中）关于的方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 二、填空题 7．（25-26九年级上·广东汕头·期中）方程 的解为________． 8．（25-26九年级上·广东深圳·期中）若a是一元二次方程的根，则的值为_____． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 三、解答题 10．（25-26九年级上·吉林长春·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 11．（25-26九年级上·河南南阳·期中）年4月日是第八个“中国航天日”，主题是“格物致知，叩问苍穹”．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十六号”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个． (1)若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出________个模型； (2)在每个模型的利润不少于元的前提下，要使该模型平均每天的销售利润为元，每个模型的售价应降低多少元？ (3)该模型平均每天的销售利润能达到元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由． 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C．1 D．2025 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 3．（2020·浙江绍兴·一模）如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 5．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 6．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区金灶镇某果园种植三棱橄榄，2024年的产量为80吨，2026年的产量达到125吨．设该果园橄榄产量的年平均增长率为x，则可列方程为________，年平均增长率为________%． 8．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 9．（25-26八年级上·上海虹口·期中）若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是___________． 三、解答题 10．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知关于的方程． (1)若该方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根． 11．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）为了打破“书本与生活脱节”让劳动从抽象概念变成可动手的、可感知的实践，实现“做中学”．正安县某校准备建一个劳动实践基地，用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与的函数解析式； (2)矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； (3)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 05 重难题型突破 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 九上第 21 章 “一元二次方程” 在期中考试中约占 15—20 分，是代数板块的核心内容，难度梯度分明，易、中、难比例大致为 7:2:1。考点集中在一元二次方程的概念与一般形式、方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的实际应用。题型上，选择填空多考一元二次方程识别、求参数取值、根的判别式判断根的情况；解答题常单独考查解方程、利用根的性质求代数式的值，应用题常考查增长率、面积、销售利润问题。压轴题偶尔和二次根式结合综合考查，侧重方程思想、运算求解与建模应用能力。 识记 记住一元二次方程的定义、一般形式；熟记根的判别式、根与系数关系的公式；能识别一元二次方程。 理解 理解一元二次方程四种解法的原理；理解根的判别式与方程根的个数之间的关系；理解列一元二次方程解决实际问题的建模思路。 应用 能选用合适方法熟练解一元二次方程；会利用根的判别式、根与系数关系求参数、化简代数式；能建立一元二次方程模型解决增长率、面积、利润等实际问题；能结合二次根式完成综合运算。 考点一 一元二次方程的概念与一般形式 1. 定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 一般式：任何一元二次方程经过整理都可化为的形式，其中 a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项，且必须满足 a ≠ 0（a=0 时退化为一次方程）。 3. 判断一元二次方程的步骤：①先化简（去分母、去括号、合并同类项）；②看是否只含一个未知数；③看未知数最高次数是否为 2；④确认是整式方程（分母、根号内均不含未知数）。 ⚠️概念辨析 1. 定义：只含一个未知数且最高次为2的整式方程；一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。 2. 辨析：a=0时退化，不是一元二次方程；分母含未知数也不是。 考点二 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． ⚠️概念辨析 1. 定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫根；解方程就是求所有根。 2. 辨析：根一定满足原方程；二次方程最多两个实根，但可能无实根或重根。 考点三 解一元二次方程 1.解一元二次方程-直接开平方 直接开平方法：若 （p ≥ 0），则 x = ±；若 （p ≥ 0），则 x = −m ± 。 2.解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． ⚠️记忆口诀 “配方先把系数化为一，常数项移到等式右；加上一次半的平方，写成平方式再开方。” 3.解一元二次方程-公式法 公式法：先化一般式，确定 a、b、c，计算判别式 Δ = b² − 4ac，再代入求根公式（当 Δ ≥ 0 时可用）。 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． ⚠️记忆口诀 “公式法，先化一般式；定系数，符号别忘记；算判别式，判断根；再代入，求根公式来求解。” ⚠️易混易错 ①不把方程化为一般形式就盲目套公式；②a、b、c取错符号，尤其b为负数时出错；③计算Δ时漏乘4ac或符号处理错误；④Δ＜0时仍硬性代入公式。 ⚠️避坑指南 严格按“一化（化成一般式）、二定（定a、b、c带符号）、三判（算Δ判断根）、四代（代入求根公式）、五写（写根）”五步走；Δ＜0时直接写“方程没有实数根”，不再代入。 4.解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程 因式分解法：把方程一边化为 0，另一边分解为两个一次因式的积，即 (x−p)(x−q) = 0，则 x = p 或 x = q。常用提公因式、平方差、完全平方、十字相乘。 （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． ⚠️避坑指南 ❌ 先化一般形式再选方法：因式分解、配方、公式法；公式法需判Δ≥0。 ❌ 避坑：约去含未知数的因式会丢根；开方时漏负根；Δ<0时无实根，别硬算。 考点四 根与系数的关系 若一元二次方程 （a≠0）有两个实数根 x₁、x₂，则 。使用前提：a≠0 且 Δ≥0。 常用对称式变形：；；。 ⚠️记忆口诀 “韦达定理要记牢，两根之和负的a分之b，两根之积a分之c；系数先化一般式，判别式不小于零。” ⚠️易混易错 ①不先化一般形式就取a、b、c；②两根之积符号取反；③忘检验Δ≥0（无实数根时不能套韦达）；④对称式变形记错公式（漏减2x₁x₂等）。 ⚠️避坑指南 先用判别式确认方程有实数根，再套韦达定理；先化一般形式确定系数；对称式一律先表示成“x₁＋x₂、x₁·x₂”的形式再代值。 考点五 实际问题与一元二次方程 1. 增长率/降低率：（a 为初始量，x 为增长率或降低率，n 为增长/降低次数）。如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． 2. 传播（分枝）：设每轮每人传播 x 人，两轮后总患病数为 (1+x)² 人（含最初的 1 人）。 3. 握手/单循环：n 个人每两人握手一次，握手总数为 。 4. 面积问题：利用平移、割补把不规则图形化归为规则图形，用代数式表示面积列方程。 5. 利润问题：总利润 = 单件利润 × 销售量。 6. 几何动点：用时间 t 表示线段长，根据勾股定理、面积等关系列方程。 7. 检验：解出两根后，须根据实际意义（非负、为正、为整数、不大于某值等）取舍根。 ⚠️记忆口诀 “实际问题列方程，审清题意设未知；等量关系找出来，列好方程再去解；解出根来细检验，符合实际写答案。” ⚠️易混易错 ①忘记检验根的合理性，把负根或超出范围、不是整数的根直接当作答案；②增长率与下降率混淆符号；③单位不统一导致列式错误；④漏写“答”。 ⚠️避坑指南 ❌ 步骤：设未知数、列方程、解方程、检验根是否符合实际意义。 ❌ 避坑：增长率为负、长度为负、人数为分数等要舍去；别漏检验和单位。 题型一 一元二次方程的定义与一般形式 典例1 （24-25八年级下·浙江温州·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程必须满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2． 【详解】解：选项A，方程含有2个未知数，不符合一元二次方程定义； 选项B，方程只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义； 选项C，方程分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义； 选项D，方程 未知数最高次数为3，不符合定义． 💡破题要诀 1. 抓定义：只含一个未知数、最高次为2、整式方程，三条件缺一不可。 2. 化一般式：整理为 ax²+bx+c=0（a≠0），准确识别 a、b、c。 迁移应用 1．（25-26九年级上·全国·期中）将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为9，则一次项系数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，对于一元二次方程，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 将一元二次方程化成一般形式，再进行判断即可． 【详解】解：将方程移项， 得， 故一次项系数为， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）将方程化成一元二次方程一般式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程一般式；将方程化为一般式的形式，需将所有项移到等号左边． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 故选：B． 题型二 一元二次方程的解求参数的值 典例2 （25-26九年级上·全国·寒假作业）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 【答案】B 【分析】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值．根据题意有，即有，再整体代入计算即可作答． 【详解】解：∵m为的根， ∴，且， ∴， ∴ ， 故选：B． 💡破题要诀 1. 代根入方程：把已知解代入原方程，得到关于参数的新方程。 2. 解参数并检验：解出新方程求参数，注意二次项系数不为0及题设限制。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】解：把代入方程 得， 解得， 又因为，即， 所以， 故选：A． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知2是关于x的方程的一个根，则常数a的值是______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把已知根代入求解即可． 【详解】∵是方程的一个根， ∴将代入得，， 即，解得． 故答案为：． 题型三 解一元二次方程 典例3 （25-26九年级上·广东汕头·期中）一元二次方程的根是（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用因式分解法解方程即可，注意不要漏掉这个根． 【详解】解：由得，解得，． 💡破题要诀 1. 看结构选方法：能分解因式用因式分解，形如x2=p或(x+m)2=n用直接开平方，否则配方或公式法。 2. 先化简再求解：化为一般式，算判别式定根的情况，最后代入公式或配方得解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东汕头·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因式分解得， 即或， ∴． （2）解：方程两边同除以3，得， 因式分解得， 即或， ∴． 2．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， 【详解】（1）解：方程中，，，， ∴， ∴， 解得； （2）解：方程中，，，， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典例4 （25-26九年级上·吉林长春·期中）关于的方程根的情况是(        ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有无数个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．通过计算判别式的值得出，判别式时，方程有两个不相等的实数根即可求解． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根 故选：A． 💡破题要诀 1. 化一般式：先整理成 ax²+bx+c=0（a≠0），准确写出 a、b、c。 2. 算判别式：Δ=b²-4ac，Δ>0 两不等根，Δ=0 两相等根，Δ<0 无实根。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的方程． (1)如果方程的一个根为，求k的值； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2) 证明：是一元二次方程， ， 无论取何实数，总有， ， 方程总有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的解，熟记当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键； （1）把代入方程即可求得k． （2）根据进行判断； 【详解】（1）解：把代入方程， 得， 解得， （2）略 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．请你完成下面两个问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数a、b、c满足，且，求c的最大值． 【答案】(1)或2 (2)3 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，不等式，根的判别式等知识，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 当m、n不相等时，由题意可知m，n是方程的两个实数根，再由根与系数的关系可得和的值，即可解答；当m、n相等时，直接将代入计算即可； 由题意可知a，b是方程的两个实数根，再由根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当m、n不相等时， 实数m、n满足、， ，n是方程的两个实数根， ，， ； 当m、n相等时， ； 综上所述，的值为或2； （2）解：，， ， ， ，b是关于x的方程的两个根，且，， ， ， ， ， ， ， 的最大值是 题型五 利用一元二次方程根与系数的关系求值 典例5 （25-26九年级上·广东汕头·期中）设、是方程的两个实数根，则________． 【答案】21 【分析】首先根据根与系数的关系得到，，然后将原式利用完全平方公式变形后代入求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 💡破题要诀 1. 化一般式定系数：整理为 ax²+bx+c=0（a≠0），写出 a、b、c，验证 Δ≥0。 2. 用韦达定理转化：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a，将所求式变形代入求值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据题意可知，方程有两个实数根，则有，从而求出k的取值范围；（2）因为是关于x的方程的两个实数根，所以，，再由，可得，从而求得k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程，设，是此方程的两个根． (1)若，求的值； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程． （1）根据根与系数的关系，得到，先展开，再代入求解即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程有一个根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵是方程的根， ， ， 解得； （2）解： ， 即， ， 方程有一个根不小于5， ， ． 的取值范围是． 题型六 判别式和根与系数的关系综合问题 典例6 （25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）先求解方程的两根，结合一根大于2的条件列不等式求a的范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵方程有一个根大于2， ∴， 解得：． 💡破题要诀 1. 先判根况：化一般式算 Δ，由 Δ 符号确定根的存在与相等情况。 2. 再用韦达：在 Δ≥0 前提下，用 x₁+x₂、x₁x₂ 转化所求式，注意隐含条件。 迁移应用 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数（是常数），求证：无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 【答案】证明：对于二次函数， 当时，， 这个关于的一元二次方程根的判别式为 ， ∴无论为何实数值，这个方程总有实数根， ∴无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 【分析】利用这个二次函数对应的一元二次方程根的判别式可得无论为何实数值，这个方程总有实数根，由此即可得证． 【详解】略． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根． (2)若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1) 证明： ∵无论k取何值， ∴ ∴无论k取何值，此方程总有实数根； (2)10 【分析】（1）先计算判别式的值得到，根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，方程有两个相等的实数根，解得，然后解方程得到；当或时，方程有一个根，可解得k的值，则代入方程可解答． 【详解】（1）略； （2）解： 由（1）得， ①当时，即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴把代入， 得， 整理得 ∴ ∴ ∵， ∴不能构成三角形，舍去 ②当或时，即方程有一个根， ∴ 解得：， 方程化为， 解得， 即三边为4，4，2，能构成三角形， 则周长， ∴这个等腰三角形的周长是10． 题型七 用一元二次方程解决图形问题 典例7 （25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 【答案】或 【分析】设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为，根据矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， ∵建成的饲养室面积为， ∴或． 💡破题要诀 1. 设未知数建方程：用图形性质（勾股、面积、周长）找等量关系，列一元二次方程。 2. 解方程并取舍：求根后检验是否符合图形实际，舍去负根或不合题意的解。 迁移应用 1．（24-25八年级上·山西运城·期中）为宣传山西旅游资源，某班课外活动小组计划制作山西省景点卡片，并为每张卡片搭配一个封皮．已知正方形卡片的面积为，长方形封皮的长、宽之比为，面积为．请你通过计算，判断正方形卡片能否装进长方形封皮． 【答案】正方形卡片能装进长方形封皮 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用． 根据题意，设长方形封皮的宽为，则长为，由此列方程求解即可． 【详解】解：设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意，得， 所以， 因为正方形卡片的面积为， 所以正方形卡片的边长为， 因为， 所以正方形卡片能装进长方形封皮． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）在某学校的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门． (1)设为x米，请用含x的式子表示为________． (2)若养鸡场的面积是160平方米，求养鸡场的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)8米 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由长方形的性质可得，而的长等于用去的板材的总长减去3个的长度，再加上2个门的宽度，据此列式求解即可； （2）根据长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，，即米， 答：养鸡场的宽为8米． 题型八 用一元二次方程解决销售问题 典例8 （25-26九年级上·河北沧州·期中）某服装柜在销售中发现：其专柜某款童装平均每件盈利40元，每天可售出20件．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件．要想平均每天销售这种童装能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键．设每件童装应降价元，则每件童装实际盈利元．根据利润=单件利润×销售数量即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，为了减少库存，取其较大值即可． 【详解】解：设每件童装应降价元，则每件童装实际盈利元． 由题意可得：， 整理得：， 解得：， ∵为扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存， ∴销售量应尽可能大，故应取较大值， 当时更符合题意． 每件童装应降价20元． 💡破题要诀 1. 抓数量关系：理清售价、进价、销量、利润间关系，用“总利润=单件利润×销量”列方程。 2. 解方程取舍：求根后检验是否符合实际意义，舍去不合题意的解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东阳江·期中）某书店销售儿童期刊，一天可售出20套．每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． (1)若书店每天要盈利750元，则需降价多少元？ (2)当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)降价15元 (2)当降价10元时，书店可获最大利润，最大利润为800元 【分析】此题考查了二次函数及一元二次方程在现实生活中的应用问题；解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性质解题． （1）根据题意列出关于x的一元二次方程，通过解方程即可解决问题； （2）运用二次函数的性质即可解决． 【详解】（1）解：由题意， 化简得： 为了尽快减少库存 答：需要降价15元； （2）解：由题意， ∵， 当时，y有最大值，最大值为， 答：每套书降价10元时，书店可获最大利润，最大利润为800元． 2．（25-26九年级上·天津滨海新区·期中）一人一盔安全守规，一人一带平安常在．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，但不能亏本且降价不低于5元．经调查发现：每顶降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的成本为每顶50元． (1)当每顶头盔降价多少元时，每月的利润为5250元？ (2)当每顶头盔降价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元 (2)当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． （1）设每顶头盔的售价为x元，根据利润公式列出一元二次方程求解即可； （2）设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元，然后根据题意建立起二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， 解得，（舍）， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元； （2）解：设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， ∵，且不能亏本且降价不低于5元，即, ∴当时，w取得最大值6250， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元． 题型九 用一元二次方程解决动态几何问题 典例9 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在矩形中，厘米，厘米，点从点出发，沿边向点以1厘米/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向以2厘米/秒的速度移动，如果、两点分别到达、两点后就停止移动．据此解答下列问题： (1)运动开始第几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为平方厘米，写出关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围． (3)求出当时的取值范围． 【答案】(1)运动开始第2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米． (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数与不等式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）设运动的时间为t秒，则，那么．再根据三角形的面积公式列方程求解即可； （2）根据五边形的面积等于矩形的面积减去三角形的面积来列函数式，据此列出S、t的函数式．根据边长不为负数确定t的取值范围即可； （3）根据（2）的函数解析式列不等式，然后根据二次函数与一元二次方程以及不等式的关系求解即可． 【详解】（1）解：设运动的时间为t秒，则，那么． 由题意可得：，解得：或4． 所以运动开始第2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米． （2）解：根据题意，得， 所以． （3）解：由题意可得：，即， ∵， ∴或， ∴对于不等式，对应的方程的根为或， ∴的解集为或， ∵， ∴或． 💡破题要诀 1. 设时间或路程为未知数：用含未知数的式子表示动点相关线段长，依据勾股、面积等列方程。 2. 解方程并检验：求根后结合动点运动范围取舍，舍去不合题意的解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么： (1)在运动过程中，的长度能否为?试说明理由； (2)当t为何值时，与相似？ 【答案】(1) 解：的长度不能为；理由如下： 由题意得，， ∴， 在中，， ∴， 化简得：， ∵， ∴原方程无实数根， ∴的长度不能为； (2)当或时，与相似． 【分析】（）由题意得，，则，在中，，得到，即，利用根的判别式判断即可； （）分两种情形讨论即可若时，若时两种情况，然后分别解方程即可； 本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵由题意得，， ∴， 若时， 则有，即， 整理得：， 解得：， ∴时，与相似； 若时， 则有，即， 解得：， ∴当时，与相似， 综上所述：当或时，与相似． 2．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图，在矩形中，，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接，，． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)能为，的值为2 (2)当的值为1或2时，的面积为 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用． （1）根据点的运动速度表示出、的长度，利用勾股定理列出关于的方程，求解并检验； （2）用矩形面积减去周围三个三角形面积表示出的面积，列出方程求解． 【详解】（1）解：的长度能为， 根据题意，得，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 在中，根据勾股定理， 得， 当时，，即， 这里，，， ∴， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）． ∴的长度能为，此时的值为2． （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，． ∴ ， 当时，． 解得，． ∴当的值为1或2时，的面积为． 题型十 一元二次方程中新定义型综合问题 典例10 （25-26九年级上·贵州遵义·期中）定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，得到方程两根之和与两根之积，代入倒数方程的条件，得到关于的方程，求解并验证判别式即可． 【详解】解：设方程的两个根为和， 根据根与系数的关系，有： 由倒数方程的定义， 代入得： 解得：， 经检验是原方程的解，且当时，原方程为，，原方程有两个实数根 故答案为：． 💡破题要诀 1. 读懂新定义：逐字理解运算或概念规则，转化为普通代数式或方程。 2. 按规则列解：依定义列一元二次方程，解后检验是否满足定义限制。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，且两根，满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是“立格方程”，理由如下： ， 则或， ，， ，， 是“立格方程”； (2) (3)m的取值范围为或 【分析】（1）解该一元二次方程，得出，，再根据“立格方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入整理可得，解得k的值，再根据“立格方程”的特点得出且，将k的值分别带入，得出符合要求的值． （3）解该一元二次方程，得出，，或，，再根据此方程为“立格方程”，得出两根均为负数，即，最后分类讨论求出m的取值范围即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴，， ， ， 即， 解得，， ∵方程是“立格方程”， ∴，即两根均为负数． ∴且． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，， 此时方程为，解得，， 满足，且，符合“立格方程”的定义，因此符合要求． 综上所述，． （3） ， 或， ，，或，， 由于一元二次方程是“立格方程”， 两根均为负数，即， 分类讨论：①当，时， ， ， ，即 ，满足； ②当，时， ， ， ， ，满足； 综上所述，m的取值范围为或． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 【答案】(1)①③ (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“好根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“好根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“好根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“好根方程”的定义求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”． （2）解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或． （3）解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以． 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、的未知数x的最高次数为1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东汕头·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，确定方程对应系数，代入判别式列不等式求解即可． 【详解】解：题干给出的方程为， 由题意得， ， ， ． ∴k的取值范围是． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）把一元二次方程配方转化成的形式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式，对比选项即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， 移项得 ， 配方得， 整理得 ， ∴． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期中）由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该店冬装原本打x折，根据折上折的优惠规则，结合原价和最终实际售价，找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：设该店冬装原本打x折． ∵打折时，打x折表示现价为原价的． 又∵本题为两次折扣相同的“折上折”，需要连续两次按计算价格． ∴原价1000元经过两次打折后价格为． ∵优惠后实际价格为490元， ∴可得方程． 5．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，将方程化为一般形式后确定、、的值． 【详解】解：∵原方程为，移项得， ∴，，． 故选：D． 6．（25-26九年级上·山西运城·期中）关于的方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，熟练掌握通过判别式判断根的情况是解题的关键． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况，判别式恒非负，故方程总有两个实数根． 【详解】解：方程的判别式为： ， 展开并简化： ， 由于， 则对于所有实数，方程恒有两个实数根， 当，即时，方程有两个相等根，当时，方程有两个不等根 故选：D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·广东汕头·期中）方程 的解为________． 【答案】， 【分析】直接开平方求解即可． 【详解】解：由得， 即或， 解得，． 8．（25-26九年级上·广东深圳·期中）若a是一元二次方程的根，则的值为_____． 【答案】 100 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据方程的解的定义可得，进而推出，而，据此计算求解即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积的计算，理解图示面积的计算是关键，根据题意，草坪的长为米，宽为米，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，草坪的长为米，宽为米， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 10．（25-26九年级上·吉林长春·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用直接开方法进行求解即可； （2）根据配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， ， ， 解得． 11．（25-26九年级上·河南南阳·期中）年4月日是第八个“中国航天日”，主题是“格物致知，叩问苍穹”．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十六号”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个． (1)若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出________个模型； (2)在每个模型的利润不少于元的前提下，要使该模型平均每天的销售利润为元，每个模型的售价应降低多少元？ (3)该模型平均每天的销售利润能达到元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)降低元 (3) 该模型平均每天的销售利润不能达到元，理由如下： 假设该模型平均每天的销售利润能达到元，设每个模型的售价应降低y元，则每个模型的销售利润为元，平均每天可售出个模型， 根据题意得： 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该模型平均每天的销售利润不能达到元． 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据“每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个”求解； （2）设每个模型的售价应降低x元，根据题意列出一元二次方程求解； （3）假设该模型平均每天的销售利润能达到元，设每个模型的售价应降低y元，则每个模型的销售利润为元，平均每天可售出个模型，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：∵每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个， ∴每个模型的售价降低4元，平均每天可售出个， 故答案为：； （2）设每个模型的售价应降低x元， 根据题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每个模型的售价应降低元； （3）略． 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C．1 D．2025 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义化简所求代数式，再结合根与系数的关系代入求值，掌握一元二次方程根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根 ∴ 由根的定义得 ， 由根与系数的关系得 ， 对所求式子变形 同理可得 ∴ 原式 代入得原式． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查方程有实数根的条件，熟练掌握以上知识是解题的关键． 需要讨论和的情况. 当时，方程为一元一次方程，有实数根；当 时，方程为一元二次方程，利用判别式求解． 【详解】解：当时，方程化为， 解得，有实数根， ∴满足条件； 当时，方程为一元二次方程，有实数根需， ∴， ∴，即， 综上，的取值范围是， 故选：． 3．（2020·浙江绍兴·一模）如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 设道路宽度为x米，根据草坪的总面积为260平方米列方程即可． 【详解】设道路宽度为x米， 根据题意得，． 故选：A． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义；先将方程化为一般形式，再计算判别式，根据判别式的值判断根的情况． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 即， ∴，，， 判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．先求出，再根据一元二次方程根的判别式即可判断①正确；先求出，再根据一元二次方程根的判别式即可判断②正确；先根据一元二次方程根的定义可得，再将将代入可得，由此即可判断③正确；根据一元二次方程根的定义可得，则可得或，说法④错误；由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程一定有两个不相等的实数根；说法①正确； ∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程没有实数根；说法②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 将代入得：， ∴是方程的一个根；说法③正确； ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，则说法④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：B． 6．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 二、填空题 7．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区金灶镇某果园种植三棱橄榄，2024年的产量为80吨，2026年的产量达到125吨．设该果园橄榄产量的年平均增长率为x，则可列方程为________，年平均增长率为________%． 【答案】 25 【分析】根据增长率问题的通用公式：末期值=初期值×（增长率）（其中n为增长次数），列出方程并求解即可． 【详解】解：从2024年到2026年，经历了2次增长，即， 将数据代入公式，可列出方程：． 解得，． ∵产量是增长的，增长率x大于0， ∴取，即25%． 8．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根等知识，通过变形的方程，得到满足与相同的二次方程，从而利用根与系数的关系求出与 的和与积，进而代入表达式求值． 【详解】解：由，且（因为若，代入方程得，矛盾）， 两边除以，得， 又， 所以和是方程的两个根， 根据根与系数的关系，有，，即， 所以， 代入原式：， 将代入， 分子为， 分母为． 由，得， 代入分子：， 分母：， 所以原式． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海虹口·期中）若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，正确求出根的判别式是关键． 根据一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，计算判别式并解不等式． 【详解】解：方程 中，，，， ∵． 由于一元二次方程没有实数解， ∴， 即 ， 解得 ． 故答案为：． 三、解答题 10．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知关于的方程． (1)若该方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)，另一个根为3 (2) 证明：由题意得， ， ∴原方程总有两个实数根． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程求出k的值，进而解原方程求出方程的另一根即可得到答案； （2）只需要证明即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程的一个根为1， ∴， 解得， ∴原方程为，即， ∴， 解得或， ∴原方程的另一个根为3； （2）略 11．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）为了打破“书本与生活脱节”让劳动从抽象概念变成可动手的、可感知的实践，实现“做中学”．正安县某校准备建一个劳动实践基地，用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与的函数解析式； (2)矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； (3)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少? 【答案】(1) (2)能， (3)当时，有最大值 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数和二次函数的应用，二次函数的最值问题，理解题意，正确列出方程与函数表达式是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，然后求出的取值范围； （2）根据矩形面积公式求出与的函数解析式，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 即， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 即， 分解因式得：， 或， 或（舍去）， 即当时，矩形实验田的面积能达到； （3）解：， 当时，有最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $