综合与实践2 运用化归的思想方法解决问题&第21章 一元二次方程拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

4.B设个位上的数字为x.根据题意，可得千位上的数字 为x,百位上的数字为x十3，十位上的数字为2x一1， :这个四位数是“共生数”，x2=2(x十3十号x-1小， 解得x,=4,x2=一1（不合题意，舍去）.∴.个位上的数字 为4. 5.60设第二个月的售价为每套x元(x>52),则销售量 为[180-10(x-52)]套.由题意，得180×(52-40)+(x 40)·[180-10(x-52)]=4160,解得x1=50(不合题意， 舍去)，x2=60.∴.第二个月的售价为每套60元. 6.(1)设每个钥匙扣的进价是x元，则每个相框的进价是 （10一元根据题意，得0×29第得=8经 检验，x=8是原分式方程的解，且符合题意.∴.10一x=2. ∴·每个钥匙扣的进价是8元，每个相框的进价是2元. (2)设每个钥匙扣的售价为m元.根据题意，得(m一8)· (20+5g×5）+40×6-2)=30整是，得m2 25m+154=0,解得m1=11,m2=14.:降价幅度不超过 20%,.15m≤20%..m≥12.m=14每个钥匙 15 扣的售价为14元. 7.(1)设购进乙款笔记本x本，则购进甲款笔记本2x本， 购进丙款笔记本(950一3x)本.根据题意，得2×2x十4x十 6(950一3x)=3300,解得x=240..950一3x=230..本 次购进丙款笔记本230本.(2)根据题意，得(4一2)× 30+(6+会-4)×50(1-a%)+(10-6)×20(1+ 7a%)]-260,整理，得a2-70u+100=0,解得a, 50,a2=20(不合题意，舍去).∴.a的值为50. 综合与实践2运用化归的思想方法 解决问题 1.0< 2x2-3x=x(2x-3),.2x2-3x<0 可化为x(2x一3)<0.由有理数的乘法法则“两数相乘，异 x0, x0, 号得负”，得① ② 解不等式组①， 2x-3<<0. 2x-3>0 得0<<号，解不等式组②，无解“不等式2x-3<0 的解集为0K<号 2.(1)x3+x2-2x=x(x2+x-2)=x(x+2)(x- 1)=0,∴.x=0或x十2=0或x-1=0.∴.x1=0,x2=一2， x3=1.(2)方程的两边平方，得2x十3=x2,即x2 2x-3=(x-3)(x十1)=0.∴.x-3=0或x+1=0. ∴.x1=3,x2=-1.当x=-1时，√2x+3=√=1≠ 一1，∴.x=一1不是原方程的解.∴.方程√2x+3=x的 解是x=3.(3):四边形ABCD是矩形，.∠A= ∠D=90°，AB=CD=3m.设AP=xm,则PD=(8 x)m..BP +CP=10 m,BP VAP2+ABZ,CP= √PD+CD,∴.wW9+x+√(8-x)+9=10. ∴.√(8-x)2十9=10一√9+x.两边平方，得(8一 x)+9=100-20√9+x2+9+x2.整理，得5√9十x2= 4x十9，两边平方并整理，得x2一8x十16=0，即(x一4)2= 0..x1=x2=4.经检验，x=4是方程的解..AP的长为 4m. 第21章拔尖自主测评 1.B设另一个根为n.:关于x的一元二次方程a.x2+ bx十c=0的两个根分别是1和-3，.-台-1-3=-2 a 关于x的方程a.x2+bx十c十m=0(m>0)有两个根，其 中一个根是4,4什m=一么=一2.1=一6，即另一个 根是-6. 2.A由题意，可得三个白色矩形的长为(80一x)米，三个 白色矩形的宽之和为(200一4x)米，三个白色矩形的面积 之和为(80X200×70%)平方米，∴.(80-x)(200-4x)= 80×200×70%. 3.Da=2x十1，b=2x-3,且1>-3，∴.a>b. .(2x+1)★(2x-3)=(2x-3)2-(2x+1)=4x2- 12x+9-2x-1=4x2-14x+8..4x2-14x十8=t,即 4x2一14x十(8一t)=0.·方程有两个不相等的实数根， ∴.△=(-14)2-4×4×(8-t)=196-128+16t=68+ 16>0,解得1>-17 41 4.B由题意，得△=(2m)2-4(m2-m)≥0.∴.m≥0. :关于x的一元二次方程x2十2mx十m2一m=0的两个 实数根为x1、x2,∴.x1十x2=一2m,x12=m2一m.又 x1x2=2,∴m2-m=2,即m2-m-2=0,解得m= 2或m=-1(不合题意，舍去).∴.x1十x2=一4.∴.(x十 2)·(x号+2)=(x1x2)2+2(.x1+x2)2-4x1x2+4=22十 2×(一4)2-4×2+4=32. 5.D当x≥0时，：[<，2=[]=7. 2x2≤x.0≤x≤2.①当0≤x<1时，[]=0， ∴.x2=0,解得x=0.②当1≤x<2时，[x]=1,∴.x2= 2,解得x=√2或x=一√2（不合题意，舍去）.③当x 2时，[x]=2,2[x]=x2.当x<0时，[x]≤x,2[x] [=2.号<.0≤≤2，与<0牙 盾.综上所述，方程的解为x=0或x=2或x=√2. 6.B①当a=-1,b=3,c=-2时，满足a<0,b十c>0, a+c<0,此时4=32-4X(-1)×(-2)=1>0,即方程有 两个不相等的实数根.故①错误；②b十c>0,b一c<0, ∴.c>0..a<0,∴.-4ac>0.∴.△=b2-4ac>0,即方程 有两个不相等的实数根.故②正确：③当a=1,b=一1， c=-1时，满足a>0,a+b十c<0,此时△=b2一4ac=1 4×1×(一1)=5>0，即方程有两个不相等的实数根.故 ③错误；④：a>0,b+4a=0,4a+2b+c=0,∴.b= -4a,c=4a.∴.△=(-4a)2-4Xa×4a=0,即方程有两 个相等的实数根.故④错误.综上所述，正确的是② 7.2025由条件可知x号+2x1一2029=0，即x1= -2x1+2029.又x1十x2=-2,∴.x7+4x1+2x2= （-2x1+2029)+4x1+2x2=2x1+2029+2x2=2(x1+ x2)+2029=2X(-2)+2029=-4+2029=2025. 8a<-1:分式-十2十a总有意义心一x十 2x十a≠0，即x2-2x-a≠0..x2-2x≠a..x2-2x十 1≠a+1..(x-1)2≠a+1.∴.a+10.∴.a<-1. 9.16设本次小组赛参赛球队有x支.根据题意，得 x(x-1)=6×4×10,解得x,=16,x2=-15(不合题意， 舍去)..本次小组赛参赛球队有16支 10.15题图①中有12+1一1=1（个）“△”，题图②中有 22+2-1=5(个)“4”，题图③中有32+3-1=11（个）“△”， 题图④中有42十4一1=19（个）“△”，由此可得题图@中有 (n2+n一1)个“△”，.可列方程n2十n一1=239，解得 n1=15,n2=一16（不合题意，舍去）. 11.2a十b十c=2,b+c=2-a.又：bc=a2- 1,且b和c为实数，∴.b、c是关于x的方程x2一(2 a)z+(a2-1)的两个根·△≥0.·[-(2-a)P- 4×1×(a2-1)≥0.u≤2.a的最大值为2 12I0,-5)或（号，-）连结NA、N0.:N是线段 OA的“等距点”，点A的坐标为(5,0)，∴.ON=NA.∴.点 N的横坐标为号.设点N的坐标为（号，b小.：P(m, n)是直线y=一 x上-动点p(m,-名m）: N=√)+=+，PN √(m-)+(6+2m).:N是线段Op的“完美等 距点ON=pN.√+ √m-2》'+6叶.：m>0.6=5-子m N是线段OP的“完美等距点”，∴ON⊥PN. ∴.△OPN是等腰直角三角形.∴OP=√2ON.:OP= √m+7-√气m√6+将 5 10 6=5-子m代入，解得m=10或m=号.当m=10时， m-5当-号时，m=-点P的标 为10，-5或（号，-） 13.(1).a=1,b=-2,c=1-m2,.△=b2-4ac= (-2)2-4×1×(1-m2)=4-4(1-m2)=4m2≥0.∴.该 方程总有实数根.(2)存在.由根与系数的关系可知 =C=1-m2,(x1-1)(x2 1)=-2,∴.x1x2-(x1十x2)+1=-2.∴.1-m2-2+ 1=-2.∴.m=±√2. 14(1)(-2,0).:点A(8,0),点C(0,6),∴.OA=8, OC=6..AC=√OC2+OA2=√62+82=10.∴.AB= AC=10..OB=2.∴B(-2,0).(2)①过点E作 EH⊥OA于点H.:点A(8,0),点C(0,6),E为边AC的 中点，∴.点E的坐标为(4,3)，即EH=3.当点M在点O 的左侧时，0M=2-2,2×(2-2)×3=2,解得1= 号当点M在点0的右侧时，0M-2-2号×(21 2X8-2,解得1-号等上所述，当：的值为号或号时，：的直为器 △OME的面积为2.②当点M在BO上，即0≤t<1 时，△OME为钝角三角形，不能成为直角三角形；当t 1时，点M运动到，点O,△OME不构成三角形；当点M在 OA上，即1<t≤5时，如图①，当∠OME=90°时，在 B O M Rt△AOC中，E为AC的中点，∴.OE=EA=5.,.OM= ① 20A=4.21-2=4,解得1=3.M(4,0).如图②，当 ∠OEM=90时，过点E作EH⊥OA于点H,:点E的坐 E 标为(4,3)，∴.EH=3,OH=4.OM=2t-2,∴.HM= OM-OH=2t-6..EM2 HE2+HM=32+(2t- H M Ax MG ② ③ 6)2..E02+ME2=OM,..52+32+(2t-6)2=(2t (第14题) 2,解得1=受M(停），综上所述，当1=3时， 15.(1)解x2-3x=0,得x1=0,x2=3,x1<x2,.该 方程的派生点”"Q的坐标为(0,3).(2)x2一(5m十 M4.0或当=登时，M(停0).⑧沿 如图③，过 1)x+5m=0,.(x-1)(x-5m)=0..x1=1,x2=5m 点M作MF⊥OE,垂足为F.∠OEM=45°，.△EMF 或=5m,x=L①当5m≤1，即m≤号时，“派生点”Q 是等腰直角三角形.∴.EF=FM.设EF=FM=x,则 的坐标为(5m,1).:'点Q在直线y=x+1上，代人得1= OF=5-x,.FO2+MF2=OM,∴.(5-x)2+x2= 5m十1，.m=0,符合题意.②当5m>1,即m>时，“派 (2t一2)2.如图③，过点E作EG⊥OA,垂足为G..·点E 生点”Q的坐标为(1,5m),:点Q在直线y=x十1上，代 的坐标为(4,3)，·EG=3,0G=4.:2OE·FM- 人得5m=1十1，…∴m-号，符合题意综上所述，m的值为 20M·BG,号×5x=号(21-2)X8整理，得x 0影 (3)存在.：y=k(x+1)-2(k-1)十1= 号-1.将x号4-1D代人6-x)P+x2=(2-2y, k(x十1一√2)+√2+1，∴.直线经过定点（√2-1，√2+1）. 可得--+[号4-=(2-2,解得 ∴.方程x2+bx+c=0的“派生点”Q的坐标为(2一1， 2+1),即x1=2-1,x2=√2+1.∴b=-(x1+ 4=或=-空（不合题意，合去）.当∠0M=5时， x2)=-2W2,c=x1x2=1. 第22章 图形的相似 22.1成比例线段 项B不符合红在滤预D中，合-是-2 5 ,.线段a、b 第1课时成比例线段 d、c是成比例线段.故选项D不符合题意.而在选项C中， 1.C选项A中，四条线段从小到大排列为c=2,a=3, 比例线段. a a b c、a、d、b是成比例线段.故选项A不符合题意.同理，选项 2D设号=学=音=，则2=2次，y=3谈，：=4饮 B中·云-兰-号线段46d是成化线段.拉过 :士y+-26十3张十-0=9. x+y-2k+3k-4k k 19第21章一元二次方程 综合与实践2运用化归的思想方法解决问题 1.阅读材料： 解一元二次不等式x2一9>0. .x2-9=(x十3)(x-3), ∴.x2-9>0可化为(x十3)(x-3)>0. x+3>0, ② {x十3<0， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得① x-3>0, x-30, 解不等式组①，得x>3. 解不等式组②，得x<一3 .一元二次不等式x2一9>0的解集为x>3或x<-3. 按此方法，可求出一元二次不等式2x2一3x<0的解集为 2.我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，即把待解决的问题，通过变换， 转化为一类已解决或比较容易解决的问题. 譬如，求解一元二次方程，通常把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，通常把它转化 为整式方程来解，只是由于分式方程“去分母”时可能产生增根，因此解分式方程必须检验， 请你运用上述把“未知”转化为“已知”的数学思想，解决下列问题 (1)解方程：x3+x2一2x=0. (2)解方程：√2x+3=x. (3)如图，矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的长绳的一端固 定在点B,沿草坪边沿BA、AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿 PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长， P 浙 当名光女光长 (第2题) >“答案与解析”见P17 33 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 第21章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.已知关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0的两个根分别是1和一3，若关于x的方程ax2十 bx十c十m=0(m>0)有两个根，其中一个根是4，则另一个根是 () A.-8 B.-6 C.-4 D.-2 2.如图，矩形ABCD为学校教学楼区域的平面示意图，其中的涂色部分为“弓”字形 A80米B 楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同.已知AB的长为80米，AD的长为200米， 空地面积是整个矩形ABCD区域面积的70%.若设“弓”字形楼体各部分的宽度 x米 200米 为x米，则x应满足的方程是 A.(80-x)(200-4x)=80×200×70% B.(80-x)(200-4x)=80×200×(1-70%) (第2题) C.(80-2x)(200-4x)=80×200X70% D.(80-2x)(200-4x)=80×200×(1-70%) 3.对于实数a、b,定义运算“★”：a★b= a2-(a≤6例如：1★2=1-2=-1,3★2=2-3=1， b2-a(a>b), 如果关于x的方程(2x+1)★(2x一3)=t恰好有两个不相等的实数根，那么t的取值范围是 () A号 B公-15 4 - D>7 4.已知关于x的一元二次方程x2十2mx十m2一m=0的两个实数根为x1、x2,且满足x1x2=2,则 (x十2)(x号+2)的值是 () A.8 B.32 C.8或32 D.16或40 5.定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]=1，[一1.2]=一2，[-3]=-3，则方程2[x]= x2的解为 () A.0或√2 B.0或2 C.2或√2 D.0或√2或2 6.对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况，有以下四种表述：①当a<0, b十c>0,a十c<0时，方程一定没有实数根；②当a<0,b十c>0,b-c<0时，方程一定有实数 根；③当a>0,a十b十c<0时，方程一定没有实数根；④当a>0,b+4a=0,4a十2b十c=0时，方 程一定有两个不相等的实数根.其中，正确的是 () A.① B.② C.③ D.④ 二、填空题（每小题4分，共24分） 7.若x1、x2是方程x2+2x一2029=0的两个实数根，则代数式x号十4x1十2x2的值为 8,若不论r取何实数时，分式，2x十。总有意义.则。的取值范园是 34 第21章一元二次方程 9。在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛，主办方共 投入使用6个球场，每天每个球场共安排4场比赛，若连续10天才能保证小组赛正好全部比完， 则本次小组赛参赛球队有 支 10.将一些相同的“△”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图形中的“△”的个数，若图@中有 239个“△”，则n的值是 y △△△ △△ △△△△ 会 … 0 △. ①② ⑧ ④ (第10题) (第12题) 1已知实数a6c满足a十6十c=2.c=a-1.则实数a的最大值为 12.阅读理解：对于线段MN和点Q,定义：若QM=QN,则称Q为线段MN的“等距点”；特别地， 若QM=QN,且∠MQN=90°，则称Q是线段MN的“完美等距点”.如图，在平面直角坐标系 中，0为坐标原点，点A的坐标为(5,0)，P(m,n)是直线y=一21上一动点.当m>0,存在点 V,使N是线段OA的“等距点”，也是线段OP的“完美等距点”，则符合的点P的坐标为 三、解答题（共52分） 13.(14分)已知关于x的一元二次方程x2一2x+1-m2=0. (1)求证：该方程总有实数根 (2)设x1、x2是该方程的两个实根，是否存在实数m,使得代数式(x1一1)(x2一1)的值为一2？ 若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 35 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 14.(18分)如图①，在平面直角坐标系中，已知点A(8,0),点C(0,6),点B在x轴负半轴上，且 AB=AC. (1)点B的坐标为 (2)如图②，若E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA 向点A匀速运动，设点M运动的时间为t秒， ①若△OME的面积为2，求t的值： ②如图③，在点M运动的过程中，△OME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，并写 出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由， ③当∠OEM=45时，直接写出此时t的值. B O A x B OM A A ① ② ⊙ (第14题) 15.(20分)定义：若关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两个实数根为x1x2(x1≤x2),分 别以x1x2为横坐标和纵坐标得到点Q(x1,x2),则称Q为该一元二次方程的“派生点”. (1)若方程为x2一3x=0,求出该方程的“派生点”Q的坐标. (2)若关于x的一元二次方程为x2-(5十1)x+5m=0的“派生点”Q恰好在直线y=x十1 上，求m的值. (3)是否存在b、c,使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2+bx十c=0的“派生点”Q始终 在直线y=k(x十1)一√2(k一1)+1上？若存在，请求出b、c的值；若不存在，请说明理由 36 >“答案与解析”见P17