专题01 三角函数的概念与诱导公式（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题01 三角函数的概念与诱导公式 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 终边相同的角与象限角 考点02 角度制与弧度制 考点03 任意角的三角函数 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 判断角的象限 难点解读02 化简三角函数 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 三角函数概念 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 任意角与弧度制的概念 题型02 判断角的象限 题型03 扇形中的弧长、面积与圆心角 题型04 由终边求三角函数值 题型05 根据三角函数值判断角象限 题型06 同角的三角函数关系 题型07 诱导公式的应用 ▶重难攻坚・考法深研 重难点01 sinα±cosα与sinαcosα互化 重难点02 齐次式求正切 重难点03 同角三角函数求最值 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 终边相同的角与象限角 1、终边相同的角 一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 （此处的 不能省略），即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。 (1) 与中间要用连接，可理解成。 (2)当角的始边相同时：相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍；终边不同，则表示的角一定不同。 2、象限角、轴线角 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；（只能反映角的终边位置，不能反映角的大小）如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角。 3、角终边的对称关系表 角 终边的位置关系 的关系 与的终边关于轴对称 与的终边关于轴对称 与的终边关于原点对称 与的终边关于对称 与的终边关于对称 与的终边在一条直线上 与的终边垂直 【新题对点练】（25-26高三·全国·一轮复习）若角和的终边关于轴对称，则必有（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】如图，设，分别是角，终边相同的角， 由角和的终边关于轴对称，得，所以，． 考点02 角度制与弧度制 1、弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。在半径为的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角为 ，那么。 2、弧度制与角度制的换算公式。 3、若扇形的圆心角为（为弧度制），半径为，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则。 4、弧长公式、扇形面积公式 弧长公式 扇形面积公式 是扇形的半径，是圆心角的角度数，是圆心角的弧度数， 是扇形的弧长，是扇形的面积。 【新题对点练】（江苏省如皋中学2026届高三5月培优数学练习卷）已知三个扇形的半径均为2，①扇形1的弧长为2；②扇形2的面积为4；③扇形3卷成的圆锥底面周长为6.设三个扇形的圆心角分别为，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断角度的范围，进而判断大小关系. 【详解】扇形1的弧长为2，扇形1的半径为2，则， 扇形2的面积为4，扇形2的半径为2，则根据扇形面积公式：， 得：， 扇形3卷成的圆锥底面周长为6，扇形3的半径为2，则：， 因为，所以， 因为，且，所以， 因为，所以， 而，所以， 又因为，所以，则，即：. 考点03 任意角的三角函数 1、任意角的三角函数：设是平面直角坐标系中的一个任意角，点为角终边上任意一点的坐标，点到原点的距离为， 则：①正弦：；②余弦：；③正切：。 2、三角函数值的符号：，，在各个象限的符号如下： 3、同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：； （2）商数关系：。 （3）常用变形：；。 4．诱导公式 诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等。 ；；。 诱导公式二：角与的三角函数间的关系。 ；；。 诱导公式三：角与的三角函数间的关系。 ；；。 诱导公式四：角与的三角函数间的关系。 ；；。 诱导公式五：角与的三角函数间的关系。 ；。 诱导公式六：角与的三角函数间的关系。 ；。 诱导公式有统一的记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。 【新题对点练】（2026高三·全国·专题练习）阅读下列命题： ①若点为角终边上一点，则； ②同时满足的角有且只有一个； ③设且，则； ④设（为象限角），则在第一象限． 其中正确命题为______．（将正确命题的序号填在横线上） 【答案】③ 【详解】命题①，点，，半径，则 ，当时，； 当时，，结果不唯一，故①错误； 命题②，满足的角为， 有无穷多个角，故②错误； 命题③，已知，且，即落在第三象限，， 由，可得，代入得， 位于第三象限取负值，则，故③正确； 命题④，，而，故，恒成立； 原式，等价于， 需满足，即， 则在一、四象限，故④错误． 难点解读01 判断角的象限 1、象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角． 2、已知角象限，判断或象限 先写区间通式，再除以或乘以，讨论取余情况。常见情况： （1）2倍角：在第1，3象限，可能在1或2象限；在第2，4象限，可能在3或4象限； （2）半角（）：在第1象限， 在第1象限；在第2象限 ， 在第1或3象限；在第3象限， 在第2或3象限；在第4象限， 在第2或4象限 （3）判断或的一般步骤： ①写出的范围（含 ）②乘以或除以系数③对整数按模分类（倍角按， 按 ）④逐一化到内读出象限。 3、根据三角函数值判断角的象限，，，在各个象限的符号如下： 三角函数 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 难点破解（25-26高三下·广西桂林·阶段检测）若，则为（    ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【答案】B 【详解】由题知，， 若是第一象限角，则，，故，不满足题意； 若是第二象限角，则，，故，满足题意； 若是第三象限角，则，，故，满足题意； 若是第四象限角，则，，故，不满足题意. 综上，为第二或第三象限角. 故选:B. 难点解读02 化简三角函数 1、同角三角函数的基本关系的应用技巧 (1)齐次式化弦为切 利用可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 可以实现角 α 的弦切互化。平方关系及常用变形：，，。 ① 分式型齐次式：分子、分母中各项均为 的齐次式。 解决由 和 构成的次齐次分式问题，一个重要方法就是将此 次齐次式分子、分母都除以 ，转化为 来求。 ② 整式型齐次式：整式中各项均为 的齐次式。 整式型齐次式常通过除以常数1，化为分式型齐次式，即对于形如的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为 ，转化为形如 的式子求值。 (2)的和、差、积转化 ； ； 。 难点破解（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简的坐标，再根据任意角三角函数的定义分别求出，的值，相加即可． 【详解】由题知， ，， 所以． 素养进阶·答题技法突破 题型01 三角函数概念 【典例1】（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 【典例2】（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 【典例3】（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 【典例4】（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 题型01 任意角与弧度制的概念 1、角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. 2、弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度 3、角度制和弧度制的互化：，，． 【典例1】（25-26高三上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角比第一象限角大 B．角与角是终边相同的角 C．与都是正数 D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为 【答案】C 【分析】根据终边相同的角的定义及三角函数值在各象限的符号可得. 【详解】对于A：如是第二象限角，是第一象限角，，所以A错误； 对于B：因为，所以角与角是终边相同的角，所以B错误； 对于C：因为，所以与是终边相同的角，是第一象限角， 所以是正数，因为是第三象限角，所以是正数，所以C正确； 对于D：将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为，所以D错误. 故选：C. 【典例2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．是第二象限角 B．是第三象限角 C．是第四象限角 D．是第一象限角 【答案】BCD 【分析】根据象限角的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】是第三象限角，故A错误； ＝π＋所以是第三象限角，故B正确； ，所以是第四象限角，故C正确； ，所以是第一象限角，故D正确. 【变式1】（25-26高一上·河北石家庄·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若是第二象限角，则是钝角 B．角与角的终边相同 C．若，则为第三象限角或第四象限角 D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 【答案】BD 【分析】根据象限角与轴线角的范围即可判断出答案. 【详解】对于A，是第二象限角，但不是钝角，故A错误； 对于B，∵，故B正确； 对于C，若，则为第三或第四象限角或终边在轴的负半轴上，故C错误； 对于D，若为第二象限角，则，，所以， ，若为偶数时，为第一象限角； 若为奇数时，则，，为第三象限角. 综上，为第一象限或第三象限角，故D正确. 故选：BD. 【变式2】（25-26高一上·陕西西安·期末）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．若，则为第一象限角 B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是 C．终边经过点的角的集合是 D．在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据同号，确定角所在象限；B选项，根据顺时针转动形成负角判断；C选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；D选项，由扇形面积公式进行求解. 【详解】A选项，若，则为第一象限角或第三象限角，故错误； B选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动，故分针转过的角度是，故错误； C选项，终边经过点的角的终边在直线上，故角的集合是，故C正确； D选项，扇形面积为，故错误， 故选：ABD. 题型02 判断角的象限 1、象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角． 2、所有锐角都是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角。锐角是 的子集，而第一象限角是无穷多个区间并集。 3、终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 【典例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合，是第一象限角，则元素的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】集合，是第一象限角， ，该角为第一象限角，为第一象限角，为第二象限角， 则，即元素的个数为3. 【典例2】（26-27高三·全国·一轮复习）“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若角与终边相同，则，. 当为偶数（设）时，，此时是第一象限角； 当为奇数（设）时，，此时是第三象限角. 充分性不成立. 若角是第三象限角，则， ， 此时角的终边落在第一、第二象限或与终边相同，不一定与终边相同； 必要性不成立. 综上，“角与终边相同”是“角是第三象限角”的既不充分也不必要条件. 【变式1】（26-27高二·山东·学业考试模拟）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为，所以与终边相同，都位于第三象限； 由题意得， 因此， 即，因此与终边相同，都在第二象限． 【变式2】（25-26高三上·山东枣庄·阶段检测）设集合，集合，集合，则集合，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据角的集合确定集合所表示的角的终边位置，由此判断三个集合的关系； 方法二：对集合中的关系式变形，化为结构相似的形式，由此判断结论， 【详解】方法一：集合表示终边在轴非负半轴上角的集合； 集合表示终边在轴上的角的集合； 集合表示终边在坐标轴上的角的集合． 故，，． 方法二：因为集合， 集合， 集合，所以，，． 故选：A. 题型03 扇形中的弧长、面积与圆心角 扇形中的弧长与面积公式： 扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 应用弧度制解决问题时应注意： 1、利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. 2、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【典例1】（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）在航海或军事上，角度测量常用密位制，即将整个圆周分为6000等份，规定（mil为密位单位）．已知半径为的扇形所对的弧长为，则在密位制下，该扇形的圆心角为_______mil． 【答案】1000/ 【详解】由，得，即扇形的圆心角为， 因为规定，所以，即该扇形的圆心角为1000mil． 【典例2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知扇形的圆心角为，半径为.若扇形的面积是定值（），求扇形的最小周长及此时的值. 【答案】4，α＝2. 【详解】由题意，可得，则， 得扇形周长 当且仅当，即时取等号， 即时，取得最小值，此时. 【变式1】（2026·北京·模拟预测）如图，半径为1的圆与直线相切于点，点，同时从点出发，点沿着直线向右、点沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当点运动到点时，点，同时停止运动．连接，，与圆交于点，记扇形的面积为，与线段，围成的面积记为，点，运动过程中，下列关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出两个图形的面积，结合选项判断即可. 【详解】设运动路程为，，设， 由弧长公式：， ，， 扇形的面积为，所以，即，C正确，D不正确； 因为最大可取，，所以，A不正确； 当取时，,此时，故存在，B不正确. 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 【答案】A 【详解】根据题意，可算得弧，弧． 所以，所以． 依据题意，可知截面面积， 化简得：． 所以当，． 即当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米． 题型04 由终边求三角函数值 1、利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=； ②把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数。 2、用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则=，=，=. 【典例1】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即， 所以， 所以． 【典例2】（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，角的终边与圆：交于点，角的终边与圆在第二象限的交点为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．为钝角 【答案】AC 【分析】利用点在圆上求得判断A；进而利用三角函数的定义求得，进而利用诱导公式可求得的值判断B；利用两角差的余弦公式与二倍角的正余弦公式可求得判断C；利用向量的坐标运算求得判断D. 【详解】因为点在单位圆上，所以，解得， 又因为点在第二象限，所以，故A正确； 因为角的终边与单位圆在第二象限的交点为，所以，， 因为角的终边与圆：交于点，所以， 所以，故B错误； 由B选项，可得， ， 所以，故C正确； 因为，， 所以， 又与显然不共线，所以为锐角，故D错误. 【变式1】（26-27高三上·四川南充·阶段检测）在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，将射线绕着原点按逆时针方向旋转角得到射线，若射线经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件根据三角函数定义可得，，利用两角差正切公式求结论. 【详解】因为，， 所以． 【变式2】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知角在坐标系中“”是“终边关于对称”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由终边关于对称得，，代入推出，故必要；反之由得两种情形，其一关于对称，其二关于对称，不能必然推出，充分性不成立. 【详解】若终边关于对称，则，， 于是， 所以由“终边关于对称”能推出“”，必要性成立， 反过来，由，得， 正弦相等有两种可能： 第一种： 此时终边关于对称， 第二种：， 此时终边关于对称，而不是关于对称， 因此，不一定推出终边关于对称，充分性不成立， 所以，“”是“终边关于对称”的必要不充分条件. 题型05 根据三角函数值判断角象限 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 【典例1】（26-27高三上·广东江门·阶段检测）（多选）对于①，②，③，④，⑤，⑥，角为第三象限角的充要条件是关系式序号（     ） A．②④ B．②⑤ C．③⑤ D．④⑥ 【答案】AB 【详解】选项A：，是第三象限角或第四象限角，，是第二象限角或第三象限角，取交集，是第三象限角；反过来为第三象限角可推出，，充要条件成立，A符合题意. 选项B：，是第三象限角或第四象限角，，是第一象限角或第三象限角，取交集，是第三象限角；反过来，为第三象限角可推出，，充要性成立，B符合题意. 选项C：，可推出是第一象限角，而非第三象限角，C不符合题意. 选项D：，可推出是第二象限角，而非第三象限角，D不符合题意. 综上，AB符合题意. 【典例2】．（2027高三·全国·专题练习）已知，且，则点在第_________象限． 【答案】三 【详解】法一：由，得，． 当为奇数时，的终边在第四象限， 当为偶数时，的终边在第二象限． 因为，所以， 则的终边在左半坐标平面（包括轴），即的终边在第二象限． 则，，点在第三象限． 法二：由，知，① 又，即，② 由①②可推出． 则在第二象限，在第三象限． 【变式1】（26-27高三上·重庆·阶段检测）“”是“角为第二象限角”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】由题意可知，角的终边不在坐标轴上． 若角为第二象限角，则； 若，角为第二或第四象限角． 因此，“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件． 【变式2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角公式化简点的坐标，再根据第一象限的条件列出不等式组，最后通过对周期参数进行分类讨论以求出解集的交集. 【详解】由题意得， 即点， 由题意得，即，即， 设，则有， 设，则有，即， 综上，， 且，即，即， 取其交集为 题型06 同角的三角函数关系 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 2、注意在利用平方和关系求值的时候，需要开方，则需要考虑函数值的正负性。 【典例1】（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且为第二象限角， 所以， 所以. 【典例2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知，，则______________，______________． 【答案】 【分析】由 得 ，再利用 及 确定 ， 的值． 【详解】因为 ，所以 ． 代入 ，得 ，所以 ． 又 ，所以 ，． 因此 ，． 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知方程转化为关于的一元二次方程，求出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论． 【详解】已知，由， 可得，即， 解得或（舍去）， 又． 【变式2】（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以. 所以. 题型07 诱导公式的应用 将任意角三角函数转化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”口诀。 奇变偶不变：若加减的角度是的奇数倍，函数名改变；若是偶数倍，函数名不变。 符号看象限：将原角视为锐角，根据原函数在对应象限的符号确定结果正负。 化锐角：最终将计算式化为锐角三角函数的形式。 【典例1】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化简已知： ， 分子分母分别用诱导公式化简： ， ， ， ， 原式： ， 分子分母同除以：， 代入， . 【典例2】（26-27高三上·河北·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，又， ， 解得或（舍），，故C符合． 【变式1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，故， 结合，得， 因此. 【变式2】（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知，则（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【详解】因为，则， 所以. 重难点01 与互化 对 通过该关系式可以对与进行互化。 【典例1】（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若 ，则用m表示的结果是_________________ 【答案】 【详解】因为，且， 即，所以. 【典例2】（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知，，则___________． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以，则， 由同角三角函数关系可得，， 所以. 【变式1】（26-27高三上·河北保定·阶段检测）（多选）已知，且，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二倍角正弦公式及同角三角函数的基本关系逐项求解即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 又，所以，所以，故B正确； 对于C，， 又，所以所以，故C错误； 对于D，联立，解得， 所以，故D正确. 【变式2】（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知且，则_______． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，准确计算，即可求解. 【详解】由题意知：，且， 平方得， 可得，可得 所以，则，又由， 所以. 重难点02 齐次式求正切 1、对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式，则可以上下同除来构造 2、对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1 = ”来构造一个二次的分式齐次式，上下同除，从而得到 【典例1】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知角的终边过点，则__________. 【答案】/ 【详解】由题意可知：， 所以原式. 【典例2】（26-27高二上·天津河北·开学考试）已知为角终边上一点，则____________． 【答案】1 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知式可知 ，分子、分母同除以 ，将条件化为关于 的方程求解． 【详解】由 可知 ． 分子、分母同除以 ，得 ． 所以 ，从而 ． 【变式2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 重难点03 同角三角函数求最值 1、 可以利用“1”的替换，来构造基本不等式来求最值 2、可以通过化简、换元，然后根据函数求最值的方式来求最值 【典例1】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知的取值范围为，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数关系将原式转化为关于正切平方的表达式，结合基本不等式求解最小值即可. 【详解】由题意，定义域为， 设，则，，所以. 则，当且仅当即时等号成立. 故当即（对应，满足定义域要求）时取到最小值3. 【典例2】（26-27高三·全国·一轮复习）函数的值域为______. 【答案】 【分析】先利用辅助角公式化简多项式，再利用换元法通过二次函数的性质即可求解. 【详解】设 ， 因为，则 ， 则由函数 ， 可知 ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时， ； 当时，；当时，. 故当 时， ． 因此函数的值域为 ． 【变式1】（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 【变式2】（2026·河北唐山·一模）已知，，，则（    ） A．M的最小值为 B．M的最大值为1 C．N的最小值为0 D．N的最大值为 【答案】D 【分析】整理可得，换元令，可得，，，结合函数单调性分析最值即可. 【详解】因为，即， 若，即，则，显然不成立， 可知，则， 令，则，， 可得，解得， 对于选项AB：因为， 因为在内单调递减，在内单调递增， 则，且， 可知在内有最小值0，最大值为， 即M有最小值0，最大值为，故AB错误； 对于选项CD：因为， 因为在内单调递增， 则，且， 可知在内有最大值，最小值为， 即N有最大值，最小值为，故C错误，D正确. 优题精练·专题实战通关 1．（26-27高三上·山西长治·开学考试）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点．则当与第2026次重合时，的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定第2026次重合时，点转过的角度比点经转过的角度总共多的值，然后求出时刻，写出以为终边的角，利用三角函数定义得点坐标. 【详解】射线的斜率是，对应角度在第四象限，为或，由题意，点初始角度为0，点初始角度为（或图1中）， 当第一次重合时，如图1，此时点转过的角度比点转过的角度多， 当第二次重合时，如图2，此时点比多转一圈，所以点转过的角度比点转过的角度总共多， 可以想象，从第次重合开始，到第次重合，点又比多转一圈， 所以，第2026次重合时，点转过的角度比点转过的角度总共多， 设此时时刻为，则点转过的角度与点转过的角度之差为. 解得， 所以当第2026次重合时，以为终边的角， ，， 所以点坐标为. 2．（26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）若点在第三象限，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】由第三象限内点的横、纵坐标均为负，确定正弦、余弦值的符号，再判断角所在的象限. 【详解】点在第三象限，所以，. 由各象限角三角函数值的符号可知，余弦值为负的角是第二或第三象限角或终边落在轴的非正半轴上， 正弦值为负的角是第三或第四象限角或终边落在轴的非正半轴上，， 因此是第三象限角. 3．（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在射线上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的终边定义求解即可. 【详解】在角的终边上取点，可得. 4．（2026高三·全国·专题练习）设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】由是第三象限角推断是第二或第四象限角，结合即可判断所在象限. 【详解】因是第三象限角，则， 所以， 当时，，即是第二象限角； 当时，，即是第四象限角. 又由可知， 所以是第二象限角. 5．（26-27高三上·安徽·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若是第四象限角，则 B．若角的终边过点，则 C． D． 【答案】AD 【详解】对于选项A：若是第四象限角，则，故A正确； 对于选项B：若角的终边过点，则，故B错误； 对于选项C：原式，故C错误； 对于选项D：原式，故D正确. 6．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系求解即可. 【详解】由，得，即， 所以. 故. 7．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知. (1)化简； (2)已知，求和的值. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）. （2）由，得，即. . . 8．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知角的终边过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义可求出，利用弦化切可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为角的终边过点，则， 所以 ，解得. 9．（25-26高三上·重庆·阶段检测）若 ，则 的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】根据，将原式乘以，进行化简后，利用基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】因为，所以 ， 因为，所以， 所以根据基本不等式的性质可得， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为. 故选：C. 10．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）函数，的最小值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系及基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为， 所以 ， 又，， 所以当且仅当，即时等号成立． $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角函数的概念与诱导公式 目录导航 @知识脑图•核心脉络搭建一一梳理专题框皋，搭建知识体集 @2考点深研知能分层突破一一深挖高频考点，分层突破重唯点 )基础梳理·自主夯基 高阶思维·探究拓展 考点01终边相同的角与象限角 难点解读O1判断角的象限 考点02角度制与弧度制 难点解读02化简三角函数 考点03任意角的三角函数 @3素养进阶•答题技法突破一一提炼解题范式，是升卷题素养 。高考解密·母题探究 题型04由终边求三角函数值 题型O5根据三角函数值判断角象限 题型01三角函数概念 题型06同角的三角函数关系 题型07诱导公式的应用 考点聚焦·解法深研 。重难攻坚·考法深研 题型01任意角与弧度制的概念 重难点01sina士cosa与sina cos a互化 题型O2判断角的象限 重难点02齐次式求正切 题型03扇形中的弧长、面积与圆心角 重难点03同角三角函数求最值 @4优题精练•专题实战通关一一精选优质试题，强化实战应用 1/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识脑图核心脉络搭建 S=B1B=a+k360,k∈Z)(k∈Z”不能省路) 终边相同的角 考点01终边 终边相同的角有无数个，相差360的整数倍；终边相同中相等 相同的角与 象限角：终边在第几象限（只反映位置，不反映大小） 象限角 象限角与轴线角 轴线角：终边落在坐标轴上，不属于任何象限 各象限角：第一象限k360°<a<k360+90,依次类推 塑度制 1弧度：长度等于半径长的圆弧所对的园心角 考点02角 弧长与圆心角 lal-l/r 度制与弧度 制 弧长(0度制)：L=aR;(角度制)L=nmR/80 弧长公式与扇形 面积公式 面积（度制）：S=aR-R;(角度制)S=nmR2/360 S-R与三角形面积S-⅓ah形式类似，可对比记忆 角a终边上任一点Pxy)(P不与原点O重合)，r■Jx2+y)sina- y/r;cos a=x/r;tana=y/x (x+0) 专题01三角 定义 三角函数值只与角有关，与点在终边上的位置无关 函数的概念与 考点03任 第一象限全为正；第二象限正弦为正第三象限正切为正；第四象限余弦 诱导公式 三角函数值的符 为正 意角的三角 函数 口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 平方关系：sin2a+cosa-1(变形：sin2a-1-cos2a等】 同角三角函数的 商数关系：tana=sina/cosa(a≠km+π/2，k∈Z) 基本关系 和差积转化：(sina±cosa2=1±2 sin a cosa (sin a cos a)2+(sin a-cos a)2=2 弦切互化：tana=sina/co5a 同角三角函数县 1的代换：1=sin2a+cos2a=cos2 a(tan'a+1) 一本关系的应用技 含根号：根号下化成完全平方式再去根号 含高次：因式分解，或构造sin2a+cosa=1降次 难点解读化 分式型：分子、分母同为sina、co5a的齐次式，同除cosa化为 简三角函数 tan'a 齐次式化弦为切 整式型：分母1换成sia+cos2a,化为分式型 sina、cosa的 和、差、积转化 已知sina+co5a与sin a cosa之-，可求另-个（注意象限定符号） 考点深研知能分层突破 基础梳理·自主夯基一一核心必记 《。考点01终边相同的角与象限角 1、终边相同的角 2/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角ā在内，可构成一个集合 S={B1B=&+k360°，k∈Z}(此处的"k∈Z不能省略)，即任一与角。终边相同 的角，都可以表示成角C与整数个周角的和。 (1)k360°与a中间要用"+"连接，k360°-a可理解成k360°+(-a)。 (2)当角的始边相同时：相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个， 它们相差360°的整数倍：终边不同，则表示的角一定不同。 2象限角、轴线角 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；（只能反映角的终边位置，不能反映角的大小）如果角 的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角。 3、角Q、β终边的对称关系表 角Q、阝终边的位置关系 Q、B的关系 a与g的终边关于x轴对称 B=-a+2m(k∈Z) a与B的终边关于y轴对称 B=-a+(2k+1)π(k∈Z a与g的终边关于原点对称 B=a+（2k+1)π(k∈Z) 与B的终边关于=对称 y=x β=-a+(4k+1)/2·π(k∈Z) a与p的终边关于 三x对称 B=-a+（4k-1)/2·π(k∈Z α与B的终边在一条直线上 B=a+km(k∈Z) α与g的终边垂直 B=a+π/2+km（k∈Z） 【新题对点练】(25-26高三·全国·一轮复习)若角α和P的终边关于y轴对称，则必有() 3/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Aa+B-受 B.a+B-(2k+2,keZ C.a+B=2kn kEZ D.a+B=(2k+)πkeZ 《。考点02角度制与弧度制 1、弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。在半径为的圆中，弧长为1的弧所对 的圆心角为arad,那公al=。 入项度制与角度别的换第公式2ad=360,1°=品0加d,1ad=(100057.30. 3、若扇形的圆心角为Q(Q为弧度制)，半径为r,弧长为1，周长为C,面积为S,则 I=rlal,C 2r +1,s=3br=lalr2. 4、弧长公式、扇形面积公式 弧长公式 1 =nnR 1 aR 180 扇形面积公式 S =Nn R2 360 aR:-IR R是扇形的半径，n是圆心角的角度数，Q(0<4<2π)是圆心角的弧度数，1是扇形的弧长，S是 扇形的面积。 【新题对点练】（江苏省如皋中学2026届高三5月培优数学练习卷）已知三个扇形的半径均为2，①扇 形1的弧长为2；②扇形2的面积为4；③扇形3卷成的圆锥底面周长为6.设三个扇形的圆心角分别为， B r cosa sinB tany ,则 的大小关系是() A.cosa >sinB>tany B.sinp>cosa tany C.tany>cosa >sinB D.sinp>tany >cosa 4/21 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 。考点03任意角的三角函数 1、任意角的三角函数：设Q是平面直角坐标系中的一个任意角，点P(x,y)为角终边上任意一点的坐标， 点p(x,y到原点(0,0)的距离为，=+y0 则：①正弦：sinc=Y=y一：②余弦：cosa=X=X:③正切：anx=Y=(x≠0)° Γrx2+y2 r 9x2+y 2、三角函数值的符号：sina,cosa,tana在各个象限的符号如下： sin a cos a tan a 3、同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sina+cos2a=1; (2)商数关系：tana=sina coSa (3)常用变形： (sina±cosa)2=1±2 sinacosa'sin=tan cos° 4.诱导公式 诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等。 sina+2k=sina(k∈Z)cosa+2k=cosa(k∈Z):tana+2=tana(k∈Z)° 诱导公式二：角与0+π的三角函数间的关系。 sina+π=-sina'cosa+π=-cosa:tana+π=tana 诱导公式三：角a与π-Q的三角函数间的关系。 sinπ-a=sinc'cosπ-c=-cosa'tann-ac=-tanc° 诱导公式四：角a与-C的三角函数间的关系。 sin -a)=-sina:cos-a=cos a'tan-a=-tana 5/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 诱导公式五：角α与一α的三角函数间的关系。 sin -a=cosa'cos π -a=sina 2 2 诱导公式六：角a与子+Q的三角函数间的关系。 sin +a=cosa' s2+a=-sina° 诱导公式有统一的记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指号的奇数倍和偶数倍，变 与不变指函数名称的变化。 【新题对点练】(2026高三·全国专题练习)阅读下列命题： ①若点P(a,2a(a≠0)为角a终边上一点， sina=2V5 5: ②同时满足ina-分casu= 1 2的角有且只有一个： 3π tana = ③设 π<< 2且 msina=-5 2则 5: ④设cos(sin)tan(cos)>0(0为象限角)，则0在第一象限. 其中正确命题为一·（将正确命题的序号填在横线上） 高阶思维·探究拓展一一悬想解马 《。难点解读01判断角的象限 1、象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说 这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角. 2、已知角a象限，判断na或a/n象限 先写区间通式，再除以n或乘以n,讨论k取余情况。常见情况： 6/21 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)2倍角：a在第1,3象限，2a可能在1或2象限；Q在第2,4象限，2a可能在3或4象限； (2)半角（受）：Q在第1象限，受在第1象限：Q在第2象限， 受在第1或3象限：Q在第3象限， 2在第2或3家限：x在第4象限 受在第2或4象限 (3)判断ka或a/n的一般步骤： ①写出a的范围（含k360°）②乘以或除以系数③对整数k按模分类（倍角按*n,a/n按modn)④逐 一化到[0°，360°)内读出象限。 3、根据三角函数值判断角的象限，sina,cosc,tana在各个象限的符号如下： 第一象 第二象限 第三象 第四象 三角函数 限符号 符号 限符号 限符号 sina + + 一 coS a + tanq 难点破解(25.26高三下广西挂林阶段检测)若si血9n0<0,则°为（) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角C.第二或第四象限角 D.第三或第四象限角 《。难点解读02化简三角函数 1、同角三角函数的基本关系的应用技巧 (1)齐次式化弦为切 利用sin2a+cos2a=1可以实现角&的正弦、余弦的互化，利用sinc=tana可以实现角Q的弦 cosa 切互化。平方关系及常用变形：sin2+cos2a=1,sin2a=1-cos2,cos2a=1-sin2a。 ①分式型齐次式：分子、分母中各项均为sina,cosa的齐次式。 解决由sin a和cosa构成的n次齐次分式问题，一个重要方法就是将此n次齐次式分子、分母都除以 cosa转化为tan“a升 来求。 ②整式型齐次式：整式中各项均为sina,cosa的齐次式。 7/21 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 整式型齐次式常通过除以常数1，化为分式型齐次式，即对于形如 asin2a+bsin&cosa+ccos2a的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为 sin2a+cos2a转化为形如a sin'a+b sin a cos a+ccos2a的式子求值。 sin a cos a (2)sina,cosa的和、差、积转化 (sin a cos a)2 sin2a cos2a 2sin a cos a 1 2sin a cos ai (sin a-cos a)2 sin2a cos2a 2sin a cos a 1-2sin a cos ai (sin a cos a)2 (sin a cos a)2=2 ⊙难点破解(2526商三上吉林长春阶段检测)已知角“的终边上有一点P(5血90,2 ，则 sin+cosa的值为() 6 √5 3v5 A.5 B.1 C.5 D.5 素养进阶答题技法突破 高考解密·母题探究一一考法湖源 。题型01三角函数概念◇ 【病制】细一-香商已车合4-m警一到.-，用 A∩B= () 8/21 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2,2 B.2 e.{ D. 【典例2】(2023全国甲卷高考真题)设甲： sin'a+sinB=1 乙 sinu+cosB=0,则() A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【典例3】(2023全国乙卷高考真题)若 e0,2 1 2,则sin0-cos0= 【典例4】(2024北京·高考真题)在平面直角坐标系xO少中，角a与角P均以Ox为始边，它们的终边关 ππ 于原点对称若 63 则cosB的最大值为 考点聚焦·解法深研 一一核心归纳 。题型01任意角与孤度制的概念◇ 悟 解题关健 1、角度制 1 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的360.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. 2、弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度 1=rad 1rad=180 3、角度制和弧度制的互化：180=πrad, 180 【典例1】(25-26高三上陕西咸阳期中)下列说法正确的是() A.第二象限角比第一象限角大 B.60°角与600角是终边相同的角 9/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5与an6x C.sin 12x “5都是正数 D.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为6 【典例2】(26-27高三·全国一轮复习)（多选）下列四个命题中正确的是() A.- 3π 4是第二象限角 4π B.3是第三象限角 C.-400°是第四象限角 D.-315°是第一象限角 【变式1】(25-26高一上河北石家庄·期末)（多选）下列说法正确的是() A.若a是第二象限角，则a是钝角 7π B.角4与角4的终边相同 C.若sin8<0,则8为第三象限角或第四象限角 0 D.若9为第二象限角，则2为第一象限或第三象限角 【变式2】(25-26高一上·陕西西安·期末)（多选）下列说法不正确的是() A,若sina.cosa>0,则a为第一象限角 B.将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30° aa=+km,keZ c.终边经过点(a,a(a≠0)的角的集合是-4 D.在一个半径为3cm的圆上画一个圆心角为30°的扇形，则该扇形面积为2 cm2 《◇题型02判断角的象限◆ 悟 解题关健 1、象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限， 就说这个角是第几象限角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线 10/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角 2、所有锐角都是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角。锐角是(0,2)的子集.而第一象限角是无 穷多个区间并集。 3、终边相同的角 所有与角“终边相同的角，连同角“在内，可构成一个集合S={B=a+k:360°，k∈Z,即任一与角“ 终边相同的角，都可以表示成角“与整数个周角的和 M= ππ3π13π 【典例1】(2026·湖南长沙模拟预测)已知集合 43’46 N={xr是第一象限角，则 MON元素的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 【典例2】(26-27高三·全国一轮复习)“角B与30°终边相同”是“角2是第三象限角”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 【变式1】(26-27高二山东学业考试模拟)若2与2027的终边相同.则角。的终边所在的象限是 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式2】(25,26高三上l山东枣庄阶段检测)设华合1=aa=k:360+90,keZ,架合 B={aa=k180°+90°，k∈Z C={aa=k90,keZ,则集合AB,C之间的关系为（） ,集合 A.AcC B.BCA C.AUB=C D.BOC=4 《。题型3扇形中的弧长、面积与圆心角矿 悟 解题关健 11/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 扇形中的弧长与面积公式： 扇形的弧长公式：I=Qr,扇形的面积公式： 5= 应用弧度制解决问题时应注意： 1、利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 2、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 【典例1】(26-27高三上山东潍坊阶段检测)在航海或军事上，角度测量常用密位制，即将整个圆周分 2π 为6000等份，规定360=6000mil(mil为密位单位).已知半径为2cm的扇形所对的弧长为3cm,则 在密位制下，该扇形的圆心角为」 mil. 【典例2】(26-27高三全国·一轮复习)已知扇形的圆心角为0，半径为r.若扇形的面积是定值S(S>0 ),求扇形的最小周长及此时“的值 【变式1】(2026北京模拟预测)如图，半径为1的圆0与直线I相切于点A,点P,Q同时从A点出发 点P沿着直线向右、点Q沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当点Q运动到点A时，点P,Q同 时停止运动，连接OP.O0,0P与圆O交于点B.记扇形B00的面积为9.AB与线段AP,BP围成 的面积记为、.点P.巳远动过程中，下列关系中正确的是() S B A·S1+S2≤π 8.S<3m 4 c.$-3 D.9<S 【变式2】(25-26高三全国·一轮复习)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图 所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.己知OA=10,OB=x(0<x<10),线段BA, 12/21 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CD与BC,D的长度之和为30，圆心角为°弧度.则铭牌的截面面积最大值为（） 0 0 225 225 5 A 4 B.2 C.75 D.2 《。题型04由终边求三角函数值③ 悟解题关健 1、利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，“∈R,它的终边OP与单位圆相交于点Px,), ①把点P的纵坐标y叫做“的正弦函数，记作sina,即y=sina； ②把点P的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa,即x=cosa: ③把点P的纵坐标与横坐标的比值x叫做“的正切，记作tana,即x=ana(≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数。 2、用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设“是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为x,),点P与原点的距离 y x 为r则sina=r,cosa=r,tana=x 【典例1】(26-27高三上河北沧州阶段检测)已知角“的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴 P 重合，终边经过点 3,则 √3 A.0 B.3 C.1 D.3 【典例2】(26-27高三上·江苏苏州：阶段检测)（多选）在平面直角坐标系x0少y中，角α的终边与圆O: 25 P x2+y2=1交于点(2’2，角B的终边与圆0在第二象限的交点为 m, 则下列说法正确的是 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () Ams、 5 B.smP小+c(k-=5-25 10 C.cos(B-2a)-2V15-V5 10 D.∠PO0为钝角 【变式1】(26-27高三上·四川南充阶段检测)在直角坐标系0少中，角α的顶点与原点重合，始边与x P(4,1) 轴的非负半轴重合，终边过点 将射线OP绕着原点O按逆时针方向旋转角P得到射线O,若射 线00经过点(-2) 则tanB=() 9 A.-2 c.a 【变式2】(26-27高三上北京顺义阶段检测)已知角，PB在坐标系中，sina=cosB"是“，P终边关 于y=x对称的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 。题型05根据三角函数值判断角象限◇ 悟解题关健 三角函数的性质如下表： 第一象 第二象限 第三象 第四象 三角函数 定义域 限符号 符号 限符号 限符号 sing R + + coSa R + 14/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan a alak k∈Z 三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 【典例1】 (26-27高三上广东江门-阶段检测)（多选）对于①sin0>0,②sin0<0,③cos0>0,④ cos0<0 tan0>0tan0<0,0 ⑤ ⑥ ,角为第三象限角的充要条件是关系式序号（) A.2④ B.25 C.35 D.④⑥ 【典例2】，(2027高三全国专题练习)已知si血20<0，且eos0=-cos P(tane,cos0) ,则点 在第 象限. 【变式1】(26-27高三上重庆·阶段检测)“tan0<0”是“角0为第二象限角”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 P(sinacosa,sina-cosa 【变式2】(26-27高三上黑龙江哈尔滨阶段检测)己知点 在第一象限，则“的 取值范围是() A )(keZ) 。题型06同角的三角函数关系◇ 悟解题关键 1、同角三角函数的基本关系 15/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)平方关系：sina+cos2a=1 sina =tana(a≠+km (2)商数关系：Cosa 2、注意在利用平方和关系求值的时候，需要开方，则需要考虑函数值的正负性。 【奥例1】(26-27高三上湖南娄底阶段检测)已知c0sa= 3,且a为第二象限角，则sina+tana= () 4v2 42 8V2 2W2 A.3 B.3 C.3 D.3 【奥例2】（26-7商三全国-轮复别》已知“0引 tana=2,则sina= cosa=_ 【变式1】(26-27高三全国一轮复习)已知ae(0,),且3cos2a-3sin'a-8cosa=5,则sina=() √5 A.3 B.3 5 c.3 D.9 【变式2】(26-27高三上·湖南怀化开学考试)已知 则cos(-a)=() 3 A.5 B.5 C.5 D.一5 。题型07诱导公式的应用 悟 解题关键 将任意角三角函数转化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”口诀。 16/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 π 奇变偶不变：若加减的角度是)的奇数倍，函数名改变：若是偶数倍，函数名不变。 符号看象限：将原角视为锐角，根据原函数在对应象限的符号确定结果正负。 化锐角：最终将计算式化为锐角三角函数的形式。 cos 2 + +cos(π+a) 【典例1】(26-27高三上：江苏南通阶段检测)已知 则 =() tan(π+a)=2 2+a+sin(π+a) Sin A.-1 B.1 C.3 D.3 tana=2sina+ π 【典例2】(26-27高三上·河北阶段检测)已知 2,则() 2 1 A.cosa= 3 B.cosa= 3 C.sina 2 D,如a= (3π 变式)2026吉林长春模拟预测)已知加3x+a)2.不2入 则tan(2026r-a)=() 3 1 A.-V5 B.2 C.3 D.2 sin +0 2 -cos(π+0) 【变式2】(26-27高三上江苏盐城阶段检测)已知 则一 =（) sin -sin(π-a) sin0=2cos0 (2 A·-2 B.2 C.0 重难攻坚·考法深研 一一要点提炼 。重难点01sima±cosa与is inacosa互化 悟 破解袂窍 sina+cos a=cosa+sina+2 sinacosa=1+2sinacosa 通过该关系式可以对sina±cosa与sinacosa进行互化。 【典例1】(26-27高三上·新疆乌鲁木齐阶段检测)若sinl-cos1=m,则用表示sinlcos1的结果是 17/21 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 60 【典例2】(26-27高三上·陕西西安·开学考试)已知sinacosa= 69,a∈(0，π)，则sina+cosa= 。元<α<，则下列结果 【变式1】(26-27高三上·河北保定阶段检测)（多选）已知si=8,且4 正确的是() 1 sin2a= 灯 A. 4 sina +cosa= B 2 sin a-cosa = C 2 D.tana=4+√15 【变式2】(26-27高三上天津武清阶段检测)己知ima+cosa=有且-<w<0,则sna-0sa= 。重难点02齐次式求正切 悟 破解袂窍 1、对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式，则可以上下同除cosa来构造tana 2、对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1= ”来构造一个二次的分式 cos a+sin a 齐次式，上下同除cosa,从而得到tan a 2sin a+sin2a 【典例1】(2026·贵州遵义模拟预测)已知角。的终边过点P(3,-4),则 cos2a 2sina-cosa= 【典例2】(26-27高二上·天津河北开学考试)已知P1,3)为角a终边上一点，则sinx+2cosw 【变式1】(26-27高三全国一轮复习)已知cosa-sina =V3,则ama=（） √5 A.2V3+1 B.2W3-1 C.2 D13 3 2sina-cosa 【变式2】(26-27高三全国一轮复习)已知tana=2,则sina+3cosa的值为() 18/21 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 3 3 A.5 B.7 C.5 。重难点3同角三角函数求最值◇ 悟 破解袂窍 1、可以利用1"的替换，来构造基本不等式来求最值 2、可以通过化简、换元，然后根据函数求最值的方式来求最值 xx≠ka且x≠km+C,k∈Z 【典例1】(26-27高三上·江苏无锡阶段检测)已知x的取值范围为 2 ,则 tanx+1 sin2x的最小值为() 13 A.3 B.3 C.1+V2 D.1+22 【典例2】(26-27高三·全国一轮复习)函数f,=sinx+cosx+2 sin xcosx+2的值域为一 1 4 【变式1】(2026天津南开·二模)已知x≠kπ时，sinx2+cos2x的最小值为() A > 9 B.3 C.3 D.4 【变式2】(2026河北唐山一模)已知cos a cosB=cosa-cosB,M=cosa-cosB,N=cosa+cosB, 则() 1 A.M的最小值为2 B.M的最大值为1 3 C.N的最小值为0 D.N的最大值为2 优题精练•专题实战通关 19/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(26-27高三上山西长治开学考试)质点P和旦在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针作 匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为2rd/s,起点为圆O与x轴正半轴的交点；2的角速度大 小为5ad/s,起点为圆0与射线"一3(x≥0)的交点.则当0与P第2026次重合时，P的坐标为 () .2π cos- ,sin 2n 5π 9,-sin 5π -COS A 9 9 9 C D 9,i 9 2.(26-27高三上·陕西咸阳阶段检测)若点 P(cosa,sina) 在第三象限，则“是() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.(26-27高三上河南南阳·阶段检测)已知角0的始边与轴的非负半轴重合，终边落在射线 y=3x(c≤0)上，则sina=() 3V10 √10 A.10 B.10 V10 3√10 C.10 D.10 0 cos- =-C0S 4.(2026高三全国专题练习)设0是第三象限角，且2 2,则2是() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D,第四象限角 5.(26-27高三上·安徽·阶段检测)（多选）下列说法正确的是() A.若0是第四象限角，则cosa>0 B。若角a的终边过点P(-3弘，4状)k≠0)，则ama=-3 4 1V3 C.sinl0°cosl0° -2 20/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1-tan15 3 D.1+tanl5°3 6.(26-27高三上湖南长沙阶段检测)若sina+cosa 2,则ana+ ana的值为() 8 4 A.3 B.-3 c.3 D. n(x+刘or径- 7.(26-27高三上安徽阶段检测) 已知f()= cos(π-x)sin(2π-x) )化简： 2sina+cosa (2②)已知f(a)=2,求sina-2cosa和sim2a-cos'a的值 8.(25-26高三上广东深圳阶段检测)已知角“的终边过 点P(-2,m）,且2sin2a-sin=2,则 m=() A.-2 B.2 C.4 D.-4 2 1 9,(25-26高三上重庆阶段检测)若9 ,则sin2a'cos2a的最小值是() A.3+2 B.4 C.3+22 D.3 ”2后三T相商下价经强o网3。.0小方（， sin20 cos20, A.10 B.12 C.14 D.16 21/21