第01讲 三角函数的概念与诱导公式（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 三角函数的概念与诱导公式 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 象限角与弧度制的应用 2 题型02 三角函数的定义与坐标运算 9 题型03 同角三角函数基本关系的应用 14 题型04 诱导公式的化简与求值 20 题型05 同角关系与诱导公式的综合应用 25 题型06 三角函数的化简与证明 29 重难·创新演练 33 真题·实战演练 43 模拟·基础演练 考查重点：三角函数的化简与证明 题型01 象限角与弧度制的应用 一、单选题 1．已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合， 所以， 又因为， 所以， ，得. A：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； B：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； C：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； D：令，显然该方程有整数解，本选项符合题意； 2．已知弧长为1cm的扇形面积是，则其圆心角大小为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积公式及弧长公式即可求解. 【详解】设扇形的半径为， 由扇形面积公式及题意得，解得， 由圆心角公式得圆心角大小为. 故选：A. 3．将时钟拨慢15分钟，分针转过的弧度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度的大小为，根据分钟占分钟的比例，即可得解. 【详解】时间过去1小时，相当于分针转一圈，一圈的弧度为， 故将时钟拨慢15分钟，分针逆时针转过的弧度数为. 故选：D. 4．（2026·四川遂宁·模拟预测）在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设大半圆半径为，小半圆半径为，圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为，由题意求得，，过作垂直，可得底面圆，是母线与底面所成角，进而求解即可. 【详解】设大半圆半径为，小半圆半径为，则， 设圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为， 将此半圆环卷成圆台侧面时，展开的扇环大弧长，对应圆台底面周长， 所以，则；小弧长对应顶面周长，所以，则， 圆台母线长，过作垂直，则，所以底面圆， 则母线与底面所成角为，底面与顶面半径差为， 在直角三角形中，，所以， 所以，即母线与底面所成角的度数是． 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，. 中，，，，， 由正弦定理得，解得， 扇形区域面积为. 6．【新思维】（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】验证必要性：若，代入，利用三角函数诱导公式化简，结合的奇偶性判断. 验证充分性：若，利用三角函数的诱导公式，推导与的关系. 【详解】必要性证明： 已知， 若为偶数，设，则，， 故； 若为奇数，设，则，， 故，因此右边可以推出左边，必要性成立. 充分性证明： 由得， 根据的通解：， 代入得：， 因此充分性也成立， 综上，“”是“”的充分必要条件. 二、多选题 7．（2026·重庆万州·模拟预测）下列各角中，与终边相反的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】依题意，，则角与角终边相同， 与角终边相反的角可以为， 因此与角终边相反的所有角的集合为， 显然，. 8．（2026·辽宁抚顺·一模）用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台．若大圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为、圆心角为的扇形，则下列结论正确的是（   ） A．小圆锥的高为1 B．大圆锥的体积为 C．圆台的母线长为 D．圆台的表面积为 【答案】BC 【分析】作出圆锥的轴截面，利用弧长公式求得小圆锥的高，利用，结合圆锥的体积公式及圆台的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，作出圆锥的轴截面等腰，则， 设小圆锥的半径，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为，所以， 又因为侧面展开图是圆心角为的扇形，所以，计算得， 可得，小圆锥的高为3，A选项错误； 由，可得，所以， 则，即圆台的母线长为，C选项正确； 所以大圆锥的体积为，B选项正确； 圆台的表面积为，D选项错误； 9．【新考法】数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是分别以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，则下列结论正确的是（   ） A．记勒洛四面体表面上以，为球心的两球球面交线为弧，其长度为 B．平面截勒洛四面体所得截面的面积为 C．过棱的中点和的平面截勒洛四面体所得的截面的周长小于 D．勒洛四面体的内切球半径是 【答案】BCD 【分析】根据勒洛四面体的结构特征，结合余弦定理、扇形面积、空间几何体的截面与内切球相关知识，依次分析各选项即可. 【详解】在正四面体中，为的中心， 是正四面体外接球的球心， 连接、、，由正四面体的性质可知在上. 因为，所以， 则. 因为， 即，解得， 对A选项，如图，取中点， 在中，，， 记该“勒洛四面体”上以，为球心的两球交线为弧， 设为弧上任意一点，根据“勒洛四面体”的对称性，弧在平面上，且平面. 所以. 所以该弧是以的中点为圆心，以为半径的圆弧， 设圆心角为，则，可知， 所以弧长不等于，故A错误； 对B选项，勒洛四面体被平面截得的截面如图所示， 其面积为，则B正确； 对C选项，由A选项可知，过棱的中点和的平面截勒洛四面体所得的截面为平面， 且平面截勒洛四面体所得的截面周长为弧长的3倍，弧长为，故截面周长为. 又，所以，所以所得的截面的周长小于，故C正确； 对D选项，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心， 连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径. 因为，所以， 所以勒洛四面体内切球的半径是，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 10．【新情境】（2026·陕西·二模）如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有7段圆弧时，“蚊香”的长度为______． 【答案】 【分析】先分析每段圆弧的圆心角都是相同的特殊角，再找出半径的规律（每次增加一个单位长度），然后利用数列的求和方法求和. 【详解】由题意可得每段圆弧所对的圆心角均为， 题中依次所得的圆弧其所在圆的半径成公差为1的等差数列，且第一段圆弧所在圆的半径为1， 设该等差数列为，则，等差数列通项公式为， 所以第n段圆弧所在圆的半径为， 所以恰好有7段圆弧所制作的“蚊香”的长度为. 题型02 三角函数的定义与坐标运算 一、单选题 1．（2026·甘肃白银·三模）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用三角函数定义结合两角差正切公式计算求解. 【详解】点是角终边上的一点，则， 所以. 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得，则. 3．【新情境】（2026·河北保定·模拟预测）在信号处理领域，简谐信号是最基础的信号形式之一，其波动规律可通过三角函数描述．已知某简谐信号关于时间x的原始波动函数为，为适配传输需求，对该函数依次进行两次图象变换：①将的图像向左平移个单位长度；②将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到目标信号函数的图像，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数伸缩、平移变换法则即可得到函数的解析式，进而求解． 【详解】将的图像向左平移个单位长度得到， 再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到， 所以． 4．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知角的终边与圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在圆上，所以， 所以， 所以． 5．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知，且为关于t的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入原方程，得，令，求出的值，即可得答案. 【详解】将代入， 得， 令， 因为，所以， 所以， 所以， 所以原方程即为， 解得或(舍)， 所以，， 所以， 解得. 二、多选题 6．【新思维】（2025·河南许昌·三模）如图，点是以为顶点的正方形边上的动点，角以Ox为始边，OP为终边，定义．则（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象与轴围成封闭图形的面积为 【答案】BCD 【分析】由题意可得到，从而可得的表达式，直接代入化简求值，可判断AB；根据函数的对称性可判断C，判断函数的对称性，由此可求上图象与x轴围成的图形面积，即可判断D. 【详解】由题意得 ， 化简得， 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于，， 而， 故， 故的图象关于点对称，故C正确， 对于D，， 而 ， 故的图象关于点对称， 而， 即关于对称，且设在内与轴围成封闭图形的面积为， 故所求在内与轴围成封闭图形的面积为4A， 当时，， 且， 在上的图象关于点对称， 在的图象与轴围成图形面积等于以为直角边的直角三角形面积， 故，则，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 7．（2026·湖北·三模）平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 【答案】0 【详解】由三角函数定义知，，， ，， 所以. 8．（2026·河南周口·二模）已知函数，则____________. 【答案】2 【分析】根据分段函数解析式代入求解即可. 【详解】由，可得， 由，可得， 由，可得，故， 因此. 9．【新题型】（2026·北京·三模）已知，，且，．则满足条件的一组，的值可以是________，________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】先利用诱导公式化简已知等式，推导与的关系，结合二者的取值范围写出一组符合条件的解即可. 【详解】由诱导公式知，所以，即 ① ， ，即 ②， 因为，，故，由①得，因此， 由②得，因此， 由诱导公式知，又，与的取值范围一致，因此， 取，则，代入①②验证均成立，符合条件， 则满足条件的一组，的值可以是，.（答案不唯一） 10．（2026·云南·模拟预测）若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则________． 【答案】 【分析】利用任意角三角函数的定义得出角的正切值和余弦值，再结合二倍角的余弦公式即可求解． 【详解】由三角函数的定义得， 则， 所以. 题型03 同角三角函数基本关系的应用 一、单选题 1．（2026·湖南岳阳·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【详解】因为， 所以， 而，所以． 2．（2026·河南信阳·三模）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】 3.已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式和降幂公式进行化简，利用商数关系转化为求值即可，注意“1”可以转化为进行计算． 【详解】 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，得，， 由，，得，， 所以，， . 5．（2026·安徽阜阳·二模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 则，所以， 又因为，所以， 则，即， 联立，解得， 所以. 6．（2026·山东泰安·模拟预测）已知，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用二倍角的余弦公式化为关于的一元二次方程，即可求得的值，结合角的象限从而求得． 【详解】因为， 所以，即， 化简得，解得（舍去）或， 因为，所以. 二、填空题 7．（2026·山东日照·模拟预测）已知，，则________. 【答案】 【详解】因为，所以，又， 所以，所以， 所以. 8．（2026·湖南湘潭·二模）已知，，则______. 【答案】/ 【详解】由， 因为，所以，则， 由，解得，， 则. 三、解答题 9．【新考法】（2026·河北沧州·三模）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) ； (2)因为 ， 所以； (3). 【分析】（1）提公因式，由化简即可证明； （2）弦切互化结合可得，化简即可证明； （3）分子分母同乘结合化简即可证明. 10．【新角度】（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：； (3)已知，求的值.（结果用表示） 【答案】(1) (2)由（1）可得， 则由 ， 可得 ， 即， 整理得，因，则， 所以，故 . (3) 【分析】（1）运用累加法进行求解即可； （2）根据同角三角函数关系式中的平方和关系，结合正弦二倍角公式进行运算证明即可； （3）根据余弦的两角和差公式，结合同角三角函数关系式中的平方和关系进行求解即可. 【详解】（1）由 可得： ，由累加法得： ， 又因为，所以，故. （2）略. （3）因为 ，所以有， 取， 得， 所以 已知， 则，因此原式的计算结果为. 题型04 诱导公式的化简与求值 一、单选题 1．（2026·湖南·模拟预测）已知函数的最小正周期为4，且，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】由函数的最小正周期为4，得，解得， 由，得，解得， 所以. 2．（2026·北京东城·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 故 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以，则. 4．（2026·上海·三模）下列函数为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，，定义域关于原点对称，，为偶函数，故A选项错误； 对于B选项，，，为非奇非偶函数，故B选项错误； 对于C选项，为偶函数，故C选项错误； 对于D选项，为奇函数，故D选项正确. 5．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，且，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】解法一：应用诱导公式结合同角三角函数关系计算求解；解法二：应用诱导公式结合弦切互化计算求解；解法三：应用辅助角公式结合正切函数值计算求解. 【详解】解法一：由，得，所以， 联立，得，所以. 解法二：由，得，所以， 所以 则，所以. 解法三：由，得， 所以，其中，. 所以，，则. 6．【新思维】（2026·安徽合肥·模拟预测）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用倍角公式、两角和差的余弦公式、诱导公式化简，，，进而得出是方程的根，利用此式子化简即可求出． 【详解】首先证明三次方程韦达定理： 设方程的三个根为， 则， 右边展开后整理得： ， 比较系数得：，证毕； 设， 则， ， 则； 因为， ， 所以； 因为 ， 所以是方程的根， 则， 又， 所以， 故． 二、多选题 7．（2026·云南玉溪·二模）已知角的终边过点，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意得，，则， 故AC正确，B错误； ，故D错误. 三、填空题 8．（2025·上海·模拟预测）已知，则________． 【答案】 3 【详解】由，则 9．（2026·北京通州·一模）函数，则________． 【答案】/ 【详解】由题意可得 10．【新考法】（2026·江西·模拟预测）已知函数关于点对称，则______． 【答案】 【分析】根据对称性得，进而利用诱导公式求值即可. 【详解】若曲线关于点对称， 则， 则恒成立， 即或， 当时，，不符； 当时，； 故 ． 题型05 同角关系与诱导公式的综合应用 一、单选题 1．（2026·湖北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦的二倍角公式，结合同角三角函数关系的齐次式求值得，再结合诱导公式与余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，由诱导公式可得. 2．（2026·西藏林芝·二模）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知得，的面积， 所以. 由余弦定理得，， 所以. 因为，所以， 化简得，， 即， 解得，或. 因为，所以，所以. 3．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】先将已知等式化简，结合，求出，，再将化为，代入求值即可. 【详解】解：由，化简得， ，则， 又，代入解得，， 因为， 所以. 4．（2026·河南·模拟预测）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 即成立； 反之，若， 则，所以， 解得或， 所以推不出. 故“”是“”的充分不必要条件. 5．（2026·陕西延安·三模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，； 当时，可得， 解得. 所以“”是“”的充分不必要条件. 6．（2026·山东济南·二模）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，由余弦函数的对称性，，化简得到，代入即可求解. 【详解】由于，所以, 因为​，所以， 因为，且，则 ​由余弦函数的对称性，，且， 所以，则， 则， 因为，且， 所以 7．（2026·宁夏银川·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式、两角和差的正弦公式、辅助角公式、二倍角公式化简求值即可. 【详解】因为 ， 所以. 则 . 二、多选题 8．（2026·山东聊城·一模）若函数满足对任意，都有，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】先由函数对称性求出，再用辅助角公式化简解析式；依次判断参数值、平移后奇偶性，最后通过换元确定内层角范围，对照正弦函数单调性判断选项D． 【详解】对于A，B，因为对任意，都有， 所以取，可得，A错误，B正确； 对于C，因为对任意，都有，即的图象关于直线对称， 而是把的图象左移个单位，所以的图象关于轴对称，即是偶函数，C正确； 对于D，， 由，可得， 而在上单调递减，故在上单调递减，D正确． 三、填空题 9．（2026·浙江·三模）已知，，则______. 【答案】 【详解】因为，所以， 可得， 因为，所以，化简得． 10．（2026·江西抚州·二模）已知，且，则__________. 【答案】 【详解】由结合诱导公式，得，又，所以， 则. 题型06 三角函数的化简与证明 一、单选题 1．（2026·陕西榆林·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得， 所以. 二、多选题 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知，且，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】使用三角函数同角关系与诱导公式进行计算即可. 【详解】对于A，， 因为，则有，故，A正确； 对于B，因为，则有，则， 则，故B错误； 对于C，， ， 则，故C正确； 对于D，，故D错误， 故选：AC. 三、填空题 3．（2026·广西南宁·模拟预测）已知，则__________. 【答案】 【分析】先求出，再求. 【详解】由，， 可得， 所以. 4．【新考法】设，则__________．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】利用两角和差公式化简计算即可. 【详解】由题知， 解得，则． 故答案为： 5．（2026·湖北鄂州·模拟预测）若，则___________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系式与二倍角公式化简计算. 【详解】由同角三角函数关系可得：，代入右侧通分整理得： 因此得： 由二倍角余弦公式得： . 6．化简：________. 【答案】 【分析】利用诱导公式及同角的三角函数关系式化简即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 7．化简：___________. 【答案】 【分析】根据题意利用诱导公式以及同角三角关系分析求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 8．写出满足的一组和，______，______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】利用所给条件以及两角和的正弦公式，结合诱导公式计算可得结果. 【详解】由可得， 即可得， 不妨取，所以， 又，可取，， 所以. 故答案为：，（答案不唯一，符合题意即可） 9．设，则________（结果用含的式子表示）. 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系，结合诱导公式，化简计算，即可得答案. 【详解】原式 故答案为： 10．已知，则________． 【答案】11 【分析】利用同角三角函数关系式与积化和差公式化简后代入求值即可. 【详解】因为 而， 代入可得：. 重难·创新演练 设题创新:综合考察 一、单选题 1．（2026·山东菏泽·二模）已知，曲线与曲线相邻的四个交点构成一个菱形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，设曲线与曲线相邻的三个交点为、、，根据两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系求出这三个点的坐标，根据，根据两点间的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】如下图所示，取两函数图象相邻的四个交点、、、，则四边形为菱形， 不妨设点、、，由题意可知， 由，整理可得， 由可得或， 由可得，可得， 不妨取、、，即取点、、， 所以， ， 由，即，解得. 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用三角恒等变换得到，再利用同角三角函数商数关系求解 【详解】因为， 所以， 所以. 3．已知，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题可求得，进而得到，即，进而得到，再代入求即可． 【详解】，即， ， ， 由解得， ， ，则， ，又， ，即， 则，即， 解得或（舍去）． 故选：B． 4．（2026·云南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式两侧平方相加，应用差角正弦公式化简得，从而有，代入整理得，并将化为求，即可得. 【详解】由题设，则， 所以，可得， 由，则，故， 代入，则， 所以，则， 所以， 所以. 二、多选题 5．（2026·河北保定·三模）在△ABC中，若则（    ） A．△ABC为锐角三角形 B． C． D．若的面积为1，则 【答案】BD 【分析】利用三角形内角和的三角诱导公式，把已知化为，将换成展开整理，结合不为零，推出，判定三角形为直角三角形，再依次用三角恒等式、面积公式与勾股定理验算各选项，排除A、C，证得、B、D正确. 【详解】在中，，故， 已知，变形得：. 展开得：. 整理得：. 即. 因为，化简得：. 即，故，，为直角三角形. 选项A：为直角三角形，非锐角三角形，A错误. 选项B：所以，B正确. 选项C：由，得，. ，，，，C错误 选项D：直角三角形中，，面积，故. ，代入，得，.，故，即，D正确. 6．【新角度】（2026·山东日照·一模）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B． C． D．记的最小值为，则 【答案】ACD 【分析】根据三角恒等变换化简及三角函数值域可判断ABC选项，再利用换元法设，构造函数，根据导数判断函数单调性，可得，再根据函数恒成立，可判断D选项. 【详解】A选项：由已知， 令，，则，， 当时，，即曲线关于直线对称，A选项正确； B选项：， 所以由，得，B选项错误； C选项：当时，， 又恒成立，即，且， 则，C选项正确； D选项：时，的最小值为， 时，设，则，， 则，， 又，易知函数在上单调递减， 且当时，， 即当时，，，即，； 当时，，，即，； 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数，即， 时也符合上式，所以， 令，，， 所以在上单调递减，且， 所以， 所以，D选项正确. 7．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．曲线关于原点对称 D．若在上恰有两个实根，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】本题考查三角函数的图象和性质．对于A，由图可知函数的最小正周期及，从而可求出；对于B，根据最值点可求出，进而可知的解析式，再根据诱导公式可判断B；对于C，首先求出的解析式，判断其是否为奇函数即可判断C；对于D，根据在上的图象可知实数的取值范围. 【详解】对于A，设的最小正周期为，由图象可知，，故A正确； 对于B，由， 所以，解得， 又，所以， 所以，故B正确； 对于C，，是偶函数， 其图象关于轴对称，故C错误； 对于D，当时，， 所以，， 又因为，结合的图象，若恰有两个实根，则，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】由条件可设，，故，结合正弦型函数性质求最值. 【详解】因为，则可设，， 所以， 又， 所以， 故当，，即，时，取最大值为， 即当，或，时，取最大值为. 9．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知，若在内的解为，则__________. 【答案】/ 【分析】求出函数的对称轴，作出函数的图象，得到，代入可得，由题意知，根据范围求出即可求出答案. 【详解】由题意知，的最小正周期， 令，则， 即图象的对称轴为， 如图，作出在上的图象，    因为，所以，即， 所以， 由题意知，且， 所以， 所以， 所以. 10．【新思维】（2025·安徽·二模）已知等差数列的公差为，若集合，则_____． 【答案】/ 【分析】根据题意得到的周期为，即最多3个不同取值，再结合，分析得到一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为，，解得，则集合中的两个不同元素为，，再化简计算即可． 【详解】， 则，其周期为， 而，即最多3个不同取值， 由题可知集合有且仅有两个元素，， 则在，，中，或， 或， 又，即，一定会有相邻的两项相等， 设这两项分别为，， 于是有， 即有， 解得， 不相等的两项为，， 故． 故答案为：． 四、解答题 11．（2026·江苏南通·一模）已知函数，且． (1)若，，求的值； (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 【答案】(1) (2)因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③，． 【分析】（1）由求出，令，则，利用诱导公式及二倍角公式求解； （2）设的周期为，分别由①②③判断相应范围，判断选①和③；由①③分别求范围，取其交集. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以． 当时，， 因为，所以． 令，则， 所以， 所以． （2）对于①：因为，所以，则，解得； 对于②：因为，所以，则，解得； 对于③：因为，所以，则，解得； 因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③． 由，得， 即的取值范围是． 真题·实战演练 高频考点：诱导公式的应用 一、单选题 1．（2022·全国甲卷·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接， 因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故选：B. 2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 3．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 二、填空题 4．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 【答案】 【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解. 【详解】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 故答案为：. 5．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______． 【答案】 【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则 ，解得. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题. 6．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 7．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 8．（2025·上海·高考真题）已知，则__________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 9．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 【答案】②③ 【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误. 【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足， 则，即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 10．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________． 【答案】2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 三、解答题 11．（2018·上海·高考真题）设常数R，函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若，求方程在区间上的解. 【答案】(1) (2)，，， 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出； （2）先求出的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【详解】（1）∵为偶函数，∴恒成立， 即恒成立， 所以恒成立 ∴； （2）∵，∴， 即， ∴， ∴， 由，得， ∵，∴ ∴或或或， 所以，，，. 12．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得； (2)由题意可得，则，据此即可求得的面积. 【详解】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 三角函数的概念与诱导公式 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 象限角与弧度制的应用 2 题型02 三角函数的定义与坐标运算 9 题型03 同角三角函数基本关系的应用 14 题型04 诱导公式的化简与求值 20 题型05 同角关系与诱导公式的综合应用 25 题型06 三角函数的化简与证明 29 重难·创新演练 33 真题·实战演练 43 模拟·基础演练 考查重点：三角函数的化简与证明 题型01 象限角与弧度制的应用 一、单选题 1．已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 2．已知弧长为1cm的扇形面积是，则其圆心角大小为（   ） A． B．1 C． D． 3．将时钟拨慢15分钟，分针转过的弧度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川遂宁·模拟预测）在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（   ） A． B． C． D． 6．【新思维】（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．（2026·重庆万州·模拟预测）下列各角中，与终边相反的有（    ） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁抚顺·一模）用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台．若大圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为、圆心角为的扇形，则下列结论正确的是（   ） A．小圆锥的高为1 B．大圆锥的体积为 C．圆台的母线长为 D．圆台的表面积为 9．【新考法】数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是分别以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，则下列结论正确的是（   ） A．记勒洛四面体表面上以，为球心的两球球面交线为弧，其长度为 B．平面截勒洛四面体所得截面的面积为 C．过棱的中点和的平面截勒洛四面体所得的截面的周长小于 D．勒洛四面体的内切球半径是 三、填空题 10．【新情境】（2026·陕西·二模）如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有7段圆弧时，“蚊香”的长度为______． 题型02 三角函数的定义与坐标运算 一、单选题 1．（2026·甘肃白银·三模）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 3．【新情境】（2026·河北保定·模拟预测）在信号处理领域，简谐信号是最基础的信号形式之一，其波动规律可通过三角函数描述．已知某简谐信号关于时间x的原始波动函数为，为适配传输需求，对该函数依次进行两次图象变换：①将的图像向左平移个单位长度；②将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到目标信号函数的图像，则 （    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知角的终边与圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知，且为关于t的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．【新思维】（2025·河南许昌·三模）如图，点是以为顶点的正方形边上的动点，角以Ox为始边，OP为终边，定义．则（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象与轴围成封闭图形的面积为 三、填空题 7．（2026·湖北·三模）平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 8．（2026·河南周口·二模）已知函数，则____________. 9．【新题型】（2026·北京·三模）已知，，且，．则满足条件的一组，的值可以是________，________． 10．（2026·云南·模拟预测）若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则________． 题型03 同角三角函数基本关系的应用 一、单选题 1．（2026·湖南岳阳·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 2．（2026·河南信阳·三模）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 3.已知，则（    ） A． B．7 C． D． 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽阜阳·二模）若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东泰安·模拟预测）已知，若，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2026·山东日照·模拟预测）已知，，则________. 8．（2026·湖南湘潭·二模）已知，，则______. 三、解答题 9．【新考法】（2026·河北沧州·三模）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 10．【新角度】（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：； (3)已知，求的值.（结果用表示） 题型04 诱导公式的化简与求值 一、单选题 1．（2026·湖南·模拟预测）已知函数的最小正周期为4，且，则（    ） A． B． C．0 D． 2．（2026·北京东城·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．（2026·上海·三模）下列函数为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，且，则（   ） A．-2 B． C． D．2 6．【新思维】（2026·安徽合肥·模拟预测）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2026·云南玉溪·二模）已知角的终边过点，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2025·上海·模拟预测）已知，则________． 9．（2026·北京通州·一模）函数，则________． 10．【新考法】（2026·江西·模拟预测）已知函数关于点对称，则______． 题型05 同角关系与诱导公式的综合应用 一、单选题 1．（2026·湖北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·西藏林芝·二模）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知，则（    ） A． B．5 C． D． 4．（2026·河南·模拟预测）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·陕西延安·三模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·山东济南·二模）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·宁夏银川·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2026·山东聊城·一模）若函数满足对任意，都有，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递减 三、填空题 9．（2026·浙江·三模）已知，，则______. 10．（2026·江西抚州·二模）已知，且，则__________. 题型06 三角函数的化简与证明 一、单选题 1．（2026·陕西榆林·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知，且，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（2026·广西南宁·模拟预测）已知，则__________. 4．【新考法】设，则__________．（用含的式子表示） 5．（2026·湖北鄂州·模拟预测）若，则___________． 6．化简：________. 7．化简：___________. 8．写出满足的一组和，______，______． 9．设，则________（结果用含的式子表示）. 10．已知，则________． 重难·创新演练 设题创新:综合考察 一、单选题 1．（2026·山东菏泽·二模）已知，曲线与曲线相邻的四个交点构成一个菱形，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2026·云南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2026·河北保定·三模）在△ABC中，若则（    ） A．△ABC为锐角三角形 B． C． D．若的面积为1，则 6．【新角度】（2026·山东日照·一模）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B． C． D．记的最小值为，则 7．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．曲线关于原点对称 D．若在上恰有两个实根，则实数的取值范围为 三、填空题 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最大值为__________． 9．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知，若在内的解为，则__________. 10．【新思维】（2025·安徽·二模）已知等差数列的公差为，若集合，则_____． 四、解答题 11．（2026·江苏南通·一模）已知函数，且． (1)若，，求的值； (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 真题·实战演练 高频考点：诱导公式的应用 一、单选题 1．（2022·全国甲卷·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 5．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______． 6．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 7．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________． 8．（2025·上海·高考真题）已知，则__________． 9．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 10．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________． 三、解答题 11．（2018·上海·高考真题）设常数R，函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若，求方程在区间上的解. 12．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $