第01讲 三角函数的概念与诱导公式（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数的概念与诱导公式，覆盖任意角与弧度制、三角函数定义、同角关系及诱导公式等核心考点，按知识解构与题型分类搭建框架，通过命题透视、思维建模、知识精讲、真题训练等环节，帮助学生系统梳理知识脉络，突破象限角判断、同角求值等难点。 讲义创新采用“奇变偶不变，符号看象限”等口诀强化记忆，题型破译环节归纳方法技巧与易错点，如象限角分类讨论、齐次式求值策略，培养数学运算与逻辑推理素养。设置基础变式、真题溯源等分层练习，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第01讲 三角函数的概念与诱导公式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 任意角与弧度制 知识点2 三角函数的概念 知识点3 同角三角函数的基本关系式 知识点4 三角函数的诱导公式 题型破译 (含超链接） 题型1 象限角与弧度制的应用 【方法技巧】 【易错分析】 题型2 三角函数的定义与坐标运算 【方法技巧】 【易错分析】 题型3 同角三角函数基本关系的应用 【方法技巧】 【易错分析】 题型4 诱导公式的化简与求值 【方法技巧】 【易错分析】 题型5 同角关系与诱导公式的综合应用 【方法技巧】 【易错分析】 题型6 三角函数的化简与证明 【方法技巧】 【易错分析】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 任意角与弧度制 —— —— —— 三角函数的定义 —— —— —— 同角三角函数基本关系 —— —— 全国Ⅰ卷T4（5 分） 诱导公式化简求值 全国一卷T3（5分） —— 三角函数线与象限符号 —— —— —— 综合应用（与恒等变换结合） —— —— —— 考情分析 三角函数的概念与诱导公式是高中三角函数模块的核心基础，是后续学习三角恒等变换、三角函数图象与性质、解三角形的必备工具。新高考弱化纯记忆性考查，强化定义理解与转化化归思想，突出数学运算与逻辑推理素养。 1、题型：单选 / 多选第 3～8 题（5 分），填空题第 13～14 题（5 分），解答题常作为第 1 问穿插于三角恒等变换、解三角形中（3～5 分），总分 5～10 分；整体难度中等偏易，属于高频必考基础内容。 2、四大考查方向：  象限角判断、弧度制换算与扇形公式应用；  三角函数定义及象限符号判断；  同角三角函数基本关系的求值与变形；  诱导公式的化简、求值及综合应用。 3、综合融合：常与三角恒等变换、三角函数图象性质、平面向量、解三角形结合，作为工具性知识考查，也常与集合运算、充分必要条件结合命题。 复习目标 1、理解任意角的概念，掌握弧度制与角度制的换算，熟练运用弧长与扇形面积公式； 2、掌握三角函数的定义，能准确判断三角函数在各象限的符号，了解三角函数线； 3、牢记同角三角函数的基本关系式，熟练掌握 “知一求二”、齐次式求值等常规题型； 4、熟记六组诱导公式，掌握 “奇变偶不变，符号看象限” 的记忆方法，能熟练进行化简与求值； 5、能综合运用同角关系与诱导公式解决三角式化简、求值、证明问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 任意角与弧度制 一、 角的概念推广 1. 按旋转方向：正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角（未旋转）。 2. 按终边位置：象限角（终边在象限内）、轴线角（终边在坐标轴上）。 3. 终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同在内，可构成集合（角度制）或（弧度制）。 二、 弧度制换算关系： 1. ，，。 2. 弧长公式：（为弧度数，为半径）。 3. 扇形面积公式：。 自主检测（2026·湖北武汉·三模）平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】由题设，同理， 所以. 知识点2 三角函数的概念 1. 坐标定义 设角终边上任意一点（不与原点重合），，则： 2. 单位圆定义 角的终边与单位圆交于点，则，，。 3. 三角函数在各象限的符号 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sinα 叫做α的余弦，记作cosα 叫做α的正切，记作tanα 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全（Q），Ⅱ正弦（s），Ⅲ正切（t），Ⅳ余弦(c) 补充：只需要了解的其他三角函数。 叫做的正割，记作 叫做的余割，记作 叫做的余切，记作 4. 特殊角的三角函数值 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 15° 75° 弧度 0 sinα 0 1 0 cosα 1 0 －1 tanα 0 1 -1 0 2- 2+ 自主检测（多选题）（2026·辽宁·模拟预测）下列结论正确的是（    ） A．若为第一象限角，则 B．若，则 C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，虽然是第一象限角，但，故A错误； 对于B，由，得，所以，所以，故B正确； 对于C，由，得， 所以，即，故C正确； 对于D，因为，故D错误． 知识点3 同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系： 2. 商数关系： 常用变形 • ，； • ； • 。 自主检测（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合同角三角函数关系，余弦的差角公式求解即可. 【详解】因为，都是锐角，所以, 因为，， 所以，， 所以. 知识点4 三角函数的诱导公式 1. 六组核心诱导公式 组数 角的形式 正弦 余弦 正切 一 二 三 四 五 — 六 — 2. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 • 奇变偶不变：的奇数倍加，函数名变名（正弦↔余弦）；偶数倍加，函数名不变。 • 符号看象限：将视为锐角，判断原角所在象限，确定原三角函数值的符号。 3. 化简原则 负角化正角，大角化小角，化到锐角再求值。 自主检测（2026·江苏泰州·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将的图象向右平移个单位长度，得到， 根据诱导公式可得 . 题●型●破●译 题型1 象限角与弧度制的应用 例1-1（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合，是第一象限角，则元素的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】集合，是第一象限角， ，该角为第一象限角，为第一象限角，为第二象限角， 则，即元素的个数为3. 例1-2（2026·天津·模拟预测）“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若角与终边相同，则，. 当为偶数（设）时，，此时是第一象限角； 当为奇数（设）时，，此时是第三象限角. 充分性不成立. 若角是第三象限角，则， ， 此时角的终边落在第一、第二象限或与终边相同，不一定与终边相同； 必要性不成立. 综上，“角与终边相同”是“角是第三象限角”的既不充分也不必要条件. 方法技巧 1. 判断所在象限：先写出的范围，再除以，对分类讨论； 2. 扇形问题抓住两个核心公式：弧长 l=θrS=； 3. 终边相同角问题，统一表示为，再根据范围确定k值。 易错分析 1. 混淆角度制与弧度制，公式混用导致计算错误； 2. 判断象限角时忽略轴线角的特殊情况； 3. 扇形周长遗漏两条半径，仅计算弧长。 【变式训练1-1】（多选题）（2025·江西赣州·一模）设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则下列选项中的取值可能为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】BD 【分析】先阅读理解题意，则问题可转化为圆上有6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，再结合函数的定义逐一检验即可． 【详解】由题意可得，问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合； 设处的点为， ∵的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合， ∴旋转后的对应点也在的图象上， 同理旋转后的对应点也在图象上， 以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点； 对于A，当时，与正半轴夹角为， 所以，此时，，此时，不满足函数定义，故A错误； 对于B， 当时，与正半轴夹角的正切值为，此时每个只对应一个，满足函数定义，故B正确； 对于C，当时，与正半轴夹角为， 即，此时，，此时，不满足函数定义，故C错误； 对于D， 当时，与正半轴夹角为，此时每个只对应一个，满足函数定义，故D正确； 故选：BD． 【变式训练1-2】（2026·江苏南通·三模）已知三个扇形的半径均为2，①扇形1的弧长为2；②扇形2的面积为4；③扇形3卷成的圆锥底面周长为6.设三个扇形的圆心角分别为，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断角度的范围，进而判断大小关系. 【详解】扇形1的弧长为2，扇形1的半径为2，则， 扇形2的面积为4，扇形2的半径为2，则根据扇形面积公式：， 得：， 扇形3卷成的圆锥底面周长为6，扇形3的半径为2，则：， 因为，所以， 因为，且，所以， 因为，所以， 而，所以， 又因为，所以，则，即：. 【变式训练1-3·变载体】（多选题）（2026·辽宁大连·二模）随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所.如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON分别是由OA、OB延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增设三条健身步道，其中一条与相切于点F，且与、分别相交于C、D，另两条分别是和湖岸OA、OB垂直的、（垂足均不与O重合），在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则（   ） A．的范围是 B．新增步道CD的长度可以为 C．新增步道FG、FH长度之和不可能为 D．当点F为的中点时，草坪的面积为 【答案】BCD 【分析】在三角形中把相应边长用的三角函数表示，利用三角函数解决问题. 【详解】设， 对于选项A，由题意可得，解得，A选项错误； 对于选项B，，则，， 所以， 令，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以新增步道CD的长度可以为，B选项正确； 对于选项C，则，， 所以， 即得， 由,得，即有， 从而. 故新增步道FG、FH长度之和不可能为. C选项正确； 对于选项D，点F为的中点时，则，则 题型2 三角函数的定义与坐标运算 例2-1已知角的终边经过点，则______． 【答案】/ 【详解】因角的终边经过点，则该点到原点的距离， 于是得，所以． 例2-2已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______． 【答案】 【分析】利用三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可得. 方法技巧 1. 已知终边上一点坐标，直接用定义求三角函数值，注意恒成立； 2. 终边在某条直线上时，需分两种象限情况讨论，避免漏解； 3. 已知一个三角函数值求参数，代入定义列方程求解，结合象限符号取舍。 易错分析 1. 忽略终边的两种方向，只计算一种象限的情况； 2. 定义中分子分母记反，导致结果错误； 3. 忽略三角函数定义域，正切值存在的条件遗漏。 【变式训练2-1·变载体】在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边，角，的终边分别经过点和点．向量，，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】先根据题设结合平面向量的线性运算的坐标表示求得，再根据三角函数的定义可得，，由，均为第一象限角可得，且，而，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，所以， 则，，因为，所以，均为第一象限角， 则，因为， 所以当取得最大值时，取得最小值， 又因为， 而，当且仅当，即时等号成立， 此时取最大值，所以的最小值为． 故答案为：． 【变式训练2-2】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点．动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意结合三角函数、弧长公式等依次求出、圆的半径和，再由结合两角和正切公式即可求解． 【详解】由题得，且圆的半径为， 所以， 所以． 【变式训练2-3】（多选题）函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（    ）（注） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合已知条件，得到函数的对称中心，对称轴，以及周期；然后由周期性和单调性可得A错误；由对称性和单调性可得B正确；由对称性和对数函数的运算可得C错误；由函数的单调性结合对数函数的运算和三角函数的单调性可得D正确； 【详解】为奇函数，则关于点中心对称，则， 又因为，令则，则故则关于直线轴对称. 又因为，故，则的周期为8. 对于A：则，又因为在区间上单调递增，则故A错误； 对于B：关于点中心对称，则，而在上也单调递增，故，则，故B正确； 对于C：在上也单调递增，故C错误； 对于D：则 而在上也单调递增，则，故D正确. 故选：BD. 题型3 同角三角函数基本关系的应用 例3-1（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，解得， 原式. 例3-2（2026·江苏无锡·三模）若，且为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弦化切可得出关于的方程，结合可解得的值. 【详解】因为为锐角，则，，， ， 整理可得， 方法技巧 1. 齐次式求值：分子分母同除以，化为的表达式； 2. 知一求二：利用平方关系和商数关系，结合象限符号确定结果； 3. 与的转化：平方后建立联系，注意根据角的范围判断符号。 易错分析 1. 开平方时忽略象限符号，导致多解错误； 2. 二次齐次式漏算常数项的次数（常数视为 0 次，需补）； 3. 平方后扩大取值范围，未结合角的范围回代检验。 【变式训练3-1】（2026·江苏连云港·模拟预测）在中，已知，，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据及求出，同理求出，利用即可求出答案. 【详解】， 因为，所以， 易知均不为，所以， ， 因为，所以， 即， 所以. 【变式训练3-2】（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 【答案】24或 【分析】先由范围确定、的区间并判断三角函数符号,求出与,再把通分化简为,利用积化和差公式算出,最后代入数值计算得出结果. 【详解】 由角范围得：,. 由,所以 得,. 由,,得. 若,则 . 代入目标式：. 若 . 代入目标式：. 综上所述, 或 【变式训练3-3·变载体】（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 【答案】/ 【分析】延长，交直线于点,设,由水的体积不变可列式求出，再求出，由二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方公式化简已知式，代入即可得出答案. 【详解】如图，延长，交直线于点， 由题意可得：，， 设，则， 因为密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上， 容器里的水的体积不变，且放在坡角为的斜坡上时， 水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积的一半之和， 因为，解得：，即， 因为，所以， 因为，所以， 所以， . 题型4 诱导公式的化简与求值 例4-1（2026·湖南长沙·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 例4-2（2026·吉林延边·二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数两角和差公式化简等式，求出角与角的关系，最后结合二倍角公式，即可求解. 【详解】由题意，， 根据正弦定理，可得， 化简得， 即， 又，所以， 所以， 所以①，即，不符合题意， ②，即， 所以， 又，所以. 方法技巧 1. 诱导公式应用步骤：负角化正→大角化小→锐角求值； 2. 互余、互补角的转化：若，则；若，则，； 3. 整体代换思想：将已知角视为整体，寻找所求角与已知角的和差关系。 易错分析 1. “奇变偶不变” 中奇偶判断错误，函数名变错； 2. 符号判断时，未将视为锐角，导致符号错误； 3. 化简时遗漏负号，或多次变号时计算失误。 【变式训练4-1】（多选题）（2026·河北雄安·三模）已知，且，则的取值可能在以下哪个区间（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】借助诱导公式计算可得或或，结合正弦函数单调性结合三角恒等变换公式计算即可确定的取值区间. 【详解】， 则或， 即或， 由，故或或， 当时，，故D选项符合； 当时，有，故， 令，则，有，则， ， 则， 整理得， 解得或或， 由，故，即有， 故，故B选项符合； ，则 当时，由，故， 及，即有，故C选项符合； 综上可得：B、C、D正确，A错误. 【变式训练4-2·变题型】（2026·广西桂林·模拟预测）已知，为曲线上的两点，则______．当时，，则______； 【答案】 【详解】因为的最大值为，最小值为，且，， 所以，为非负整数，解得，为非负整数， 又，，所以，为非负整数， 令，得，符合题意，取其他非负整数，均不符合题意，则， 因为过点，所以，，解得，， 令，得符合题意，取其他整数时，均不符合题意，故． 第二空：由 因为，所以 所以 所以 所以 【变式训练4-3·变载体】（2026·辽宁大连·模拟预测）设，是公差为的等差数列，且，则______． 【答案】 【分析】通过题目条件利用表示求，再将它们的值代入即可. 【详解】由题目可得， 则， 又， 所以，令函数为，， 所以函数单调递增， 故有唯一的使，又， ，则，， 故. 题型5 同角关系与诱导公式的综合应用 例5-1（2026·广西桂林·模拟预测）已知函数的一个中心坐标是，则的值等于____________． 【答案】 【分析】由对称中心代入求得，再结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意， 即，解得， 又，则得 所以. 例5-2（2026·山东烟台·模拟预测）若，，则的值为______． 【答案】/ 【详解】因为分子： 分母：，. 所以原式. 已知，两边同时平方可得： ， 所以. 方法技巧 1. 综合题解题思路：先用诱导公式化简，再用同角关系求值； 2. 已知条件和所求式子分别化简，寻找二者关联； 3. 含参数的角，先利用诱导公式消去周期，再结合范围计算。 易错分析 1. 诱导公式化简过程中符号连续出错； 2. 忽略角的象限，开方时符号判断错误； 3. 大角化小角时，周期计算错误导致角度化简偏差。 【变式训练5-1】（2026·河南周口·模拟预测）已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，由辅助角公式得： ， 其中，， 已知等式左边等于，因此，得， 即，因此， 所以，又， 所以. 【变式训练5-2】（2026·山东临沂·一模）已知锐角，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和差角公式，结合同角三角关系式，得含的表示，即可根据基本不等式求解最值. 【详解】由得，即， 由于，为锐角，故， 设，则 ， 令，当且仅当时取到等号.故的最大值为. 【变式训练5-3】（多选题）（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，则（    ） A． B．的最大值为 C． D． 【答案】AC 【分析】根据三角函数的定义、诱导公式以及同角三角函数的关系求解即可. 【详解】根据三角函数的定义：，， 因此，. 选项A.，正确. 选项B.，最大值为，不是，错误. 选项C.，正确. 选项D.，， 因为，故错误. 题型6 三角函数的化简与证明 例6-1（2026·山东济南·模拟预测）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 例6-2（2026·福建泉州·模拟预测）若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意： ① ② 得：， 分子、分母同除以，得， 整理得. 方法技巧 1. 化简原则：切割化弦、异名化同名、异角化同角、高次降幂； 2. 证明常用方法：从繁到简、左右归一、变更命题； 3. 常用技巧：1 的代换（）、因式分解、配方。若无法分离参数，可结合二次函数图象分析。 易错分析 1. 变形过程中改变原式定义域，导致不等价变形； 2. 公式记错，平方差、完全平方公式应用错误； 3. 切割化弦时，正切换算遗漏分母。。 【变式训练6-1】（多选题）（2026·安徽滁州·三模）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据可判断A；根据及即可判断B；根据两角和的正弦公式可判断C；代入可判断D. 【详解】， 解得，又，所以，故A正确； 联立及，解得， 所以，故B错误； 同理根据及，解得， 所以，故C正确； 因， 所以.故D错误. 【变式训练6-2】（2026·湖南怀化·三模）已知，，则__________． 【答案】 【分析】由，可得，然后由，可得，据此可得，最后由两角和的余弦公式可得答案. 【详解】由，可得. 又， 从而， 则. 【变式训练6-3】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则______. 【答案】/ 【分析】本题中的角可以看成，而所求角可以看成．令，，则已知条件变为，，所求为．利用两角和与差的余弦公式，并把化为，即可求出结果． 【详解】令，，则，． 因为，所以与均有意义，从而，． 由两角和的余弦公式，得． 又因为，，所以． 因此． 把代入，得． 又因为，所以，解得． 由两角差的余弦公式，得． 同理，，所以． 于是． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 二、填空题 5．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 【答案】/ 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、解答题 1．在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，第四象限角 (2)，第一象限角 (3)，第三象限角 【分析】（1）根据题意，通过对已知角加上或减去的整数倍后得到的角在范围内，即可求解； （2）根据题意，通过对已知角加上或减去的整数倍后得到的角在范围内，即可求解； （3）根据题意，通过对已知角加上或减去的整数倍后得到的角在范围内，即可求解； 【详解】（1）因为，所以在范围内，与角终边相同的角为，是第四象限角. （2）因为，所以在范围内，与角终边相同的角为，是第一象限角. （3）因为，所以在范围内，与角终边相同的角为，是第三象限角. 2．利用三角函数定义，求的三个三角函数值． 【答案】，，． 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的三个三角函数值． 【详解】解：在角的终边上任意取一点，，则，，， ，，． 3．利用公式求下列三角函数值： (1)： (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即可得出答案. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） . 4．求下列三角函数值： (1)（精确到0.001）； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式(一)及特殊角三角函数值化简求值； （2）根据诱导公式(一)及特殊角三角函数值化简求值. 【详解】（1）； （2）. 5．在△中，，，求的值. 【答案】 【解析】利用平方关系以及商数关系得出，，结合两角和的正切公式得出，利用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】在中，由，，得， 所以. 又，所以， 所以. 6．已知，是第三象限角，求的值. 【答案】 【解析】逆用两角差的正弦公式以及诱导公式得出，根据平方关系得出，结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】∵，∴， ∴，又是第三象限角，∴. 因此. 7．（1）分别计算和的值，你有什么发现？ （2）任取一个的值，分别计算，你又有什么发现？ （3）证明：. 【答案】（1）， 发现：. （2），发现：. （3）证明见解析 【解析】根据特殊角三角函数值求法,可解（1）（2）;根据同角三角函数式关系式,可证明（3）. 【详解】（1）根据特殊角三角函数值计算可知 所以 （2）取 则 所以. （3）证明: 所以. 8．化简，其中为第二象限角. 【答案】 【解析】根据角为第二象限角,结合同角三角函数关系式,化简即可得解. 【详解】为第二象限角, ∴ 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 三角函数的概念与诱导公式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 任意角与弧度制 知识点2 三角函数的概念 知识点3 同角三角函数的基本关系式 知识点4 三角函数的诱导公式 题型破译 (含超链接） 题型1 象限角与弧度制的应用 【方法技巧】 【易错分析】 题型2 三角函数的定义与坐标运算 【方法技巧】 【易错分析】 题型3 同角三角函数基本关系的应用 【方法技巧】 【易错分析】 题型4 诱导公式的化简与求值 【方法技巧】 【易错分析】 题型5 同角关系与诱导公式的综合应用 【方法技巧】 【易错分析】 题型6 三角函数的化简与证明 【方法技巧】 【易错分析】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 任意角与弧度制 —— —— —— 三角函数的定义 —— —— —— 同角三角函数基本关系 —— —— 全国Ⅰ卷T4（5 分） 诱导公式化简求值 全国一卷T3（5分） —— 三角函数线与象限符号 —— —— —— 综合应用（与恒等变换结合） —— —— —— 考情分析 三角函数的概念与诱导公式是高中三角函数模块的核心基础，是后续学习三角恒等变换、三角函数图象与性质、解三角形的必备工具。新高考弱化纯记忆性考查，强化定义理解与转化化归思想，突出数学运算与逻辑推理素养。 1、题型：单选 / 多选第 3～8 题（5 分），填空题第 13～14 题（5 分），解答题常作为第 1 问穿插于三角恒等变换、解三角形中（3～5 分），总分 5～10 分；整体难度中等偏易，属于高频必考基础内容。 2、四大考查方向： 象限角判断、弧度制换算与扇形公式应用； 三角函数定义及象限符号判断； 同角三角函数基本关系的求值与变形； 诱导公式的化简、求值及综合应用。 3、综合融合：常与三角恒等变换、三角函数图象性质、平面向量、解三角形结合，作为工具性知识考查，也常与集合运算、充分必要条件结合命题。 复习目标 1、理解任意角的概念，掌握弧度制与角度制的换算，熟练运用弧长与扇形面积公式； 2、掌握三角函数的定义，能准确判断三角函数在各象限的符号，了解三角函数线； 3、牢记同角三角函数的基本关系式，熟练掌握 “知一求二”、齐次式求值等常规题型； 4、熟记六组诱导公式，掌握 “奇变偶不变，符号看象限” 的记忆方法，能熟练进行化简与求值； 5、能综合运用同角关系与诱导公式解决三角式化简、求值、证明问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 任意角与弧度制 一、 角的概念推广 1. 按旋转方向：正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、 （未旋转）。 2. 按终边位置：象限角（终边在象限内）、轴线角（终边在坐标轴上）。 3. 终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同在内，可构成集合（角度制）或（弧度制）。 二、 弧度制换算关系： 1. ，，。 2. 弧长公式：（为弧度数，为半径）。 3. 扇形面积公式：。 自主检测（2026·湖北武汉·三模）平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D． 知识点2 三角函数的概念 1. 坐标定义 设角终边上任意一点（不与原点重合），，则： 2. 单位圆定义 角的终边与单位圆交于点，则，，。 3. 三角函数在各象限的符号 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sinα 叫做α的余弦，记作cosα 叫做α的正切，记作tanα 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全（Q），Ⅱ正弦（s），Ⅲ正切（t），Ⅳ余弦(c) 补充：只需要了解的其他三角函数。 叫做的正割，记作 叫做的余割，记作 叫做的余切，记作 4. 特殊角的三角函数值 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 15° 75° 弧度 0 sinα 0 0 cosα 1 0 －1 tanα 0 1 -1 0 2- 2+ 自主检测（多选题）（2026·辽宁·模拟预测）下列结论正确的是（    ） A．若为第一象限角，则 B．若，则 C． D． 知识点3 同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系： 2. 商数关系： • ，； • ； • 。 自主检测（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 知识点4 三角函数的诱导公式 1. 六组核心诱导公式 组数 角的形式 正弦 余弦 正切 一 二 三 四 五 — 六 — 2. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 • 奇变偶不变：的奇数倍加，函数名变名（正弦↔余弦）；偶数倍加，函数名不变。 • 符号看象限：将视为锐角，判断原角所在象限，确定原三角函数值的符号。 3. 化简原则 负角化正角，大角化小角，化到锐角再求值。 自主检测（2026·江苏泰州·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 象限角与弧度制的应用 例1-1（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合，是第一象限角，则元素的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例1-2（2026·天津·模拟预测）“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 1. 判断所在象限：先写出的范围，再除以，对分类讨论； 2. 扇形问题抓住两个核心公式：弧长 l=θrS=； 3. 终边相同角问题，统一表示为，再根据范围确定k值。 易错分析 1. 混淆角度制与弧度制，公式混用导致计算错误； 2. 判断象限角时忽略轴线角的特殊情况； 3. 扇形周长遗漏两条半径，仅计算弧长。 【变式训练1-1】（多选题）（2025·江西赣州·一模）设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则下列选项中的取值可能为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式训练1-2】（2026·江苏南通·三模）已知三个扇形的半径均为2，①扇形1的弧长为2；②扇形2的面积为4；③扇形3卷成的圆锥底面周长为6.设三个扇形的圆心角分别为，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3·变载体】（多选题）（2026·辽宁大连·二模）随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所.如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON分别是由OA、OB延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增设三条健身步道，其中一条与相切于点F，且与、分别相交于C、D，另两条分别是和湖岸OA、OB垂直的、（垂足均不与O重合），在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则（   ） A．的范围是 B．新增步道CD的长度可以为 C．新增步道FG、FH长度之和不可能为 D．当点F为的中点时，草坪的面积为 对于选项D，点F为的中点时，则，则 题型2 三角函数的定义与坐标运算 例2-1已知角的终边经过点，则______． 例2-2已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______． 方法技巧 1. 已知终边上一点坐标，直接用定义求三角函数值，注意恒成立； 2. 终边在某条直线上时，需分两种象限情况讨论，避免漏解； 3. 已知一个三角函数值求参数，代入定义列方程求解，结合象限符号取舍。 易错分析 1. 忽略终边的两种方向，只计算一种象限的情况； 2. 定义中分子分母记反，导致结果错误； 3. 忽略三角函数定义域，正切值存在的条件遗漏。 【变式训练2-1·变载体】在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边，角，的终边分别经过点和点．向量，，则的最小值为_____． 【变式训练2-2】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点．动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】（多选题）函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（    ）（注） A． B． C． D． 题型3 同角三角函数基本关系的应用 例3-1（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 例3-2（2026·江苏无锡·三模）若，且为锐角，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 齐次式求值：分子分母同除以，化为的表达式； 2. 知一求二：利用平方关系和商数关系，结合象限符号确定结果； 3. 与的转化：平方后建立联系，注意根据角的范围判断符号。 易错分析 1. 开平方时忽略象限符号，导致多解错误； 2. 二次齐次式漏算常数项的次数（常数视为 0 次，需补）； 3. 平方后扩大取值范围，未结合角的范围回代检验。 【变式训练3-1】（2026·江苏连云港·模拟预测）在中，已知，，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式训练3-2】（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 【变式训练3-3·变载体】（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 题型4 诱导公式的化简与求值 例4-1（2026·湖南长沙·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 例4-2（2026·吉林延边·二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 诱导公式应用步骤：负角化正→大角化小→锐角求值； 2. 互余、互补角的转化：若，则；若，则，； 3. 整体代换思想：将已知角视为整体，寻找所求角与已知角的和差关系。 易错分析 1. “奇变偶不变” 中奇偶判断错误，函数名变错； 2. 符号判断时，未将视为锐角，导致符号错误； 3. 化简时遗漏负号，或多次变号时计算失误。 【变式训练4-1】（多选题）（2026·河北雄安·三模）已知，且，则的取值可能在以下哪个区间（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2·变题型】（2026·广西桂林·模拟预测）已知，为曲线上的两点，则______．当时，，则______； 【变式训练4-3·变载体】（2026·辽宁大连·模拟预测）设，是公差为的等差数列，且，则______． 题型5 同角关系与诱导公式的综合应用 例5-1（2026·广西桂林·模拟预测）已知函数的一个中心坐标是，则的值等于____________． 例5-2（2026·山东烟台·模拟预测）若，，则的值为______． 方法技巧 1. 综合题解题思路：先用诱导公式化简，再用同角关系求值； 2. 已知条件和所求式子分别化简，寻找二者关联； 3. 含参数的角，先利用诱导公式消去周期，再结合范围计算。 易错分析 1. 诱导公式化简过程中符号连续出错； 2. 忽略角的象限，开方时符号判断错误； 3. 大角化小角时，周期计算错误导致角度化简偏差。 【变式训练5-1】（2026·河南周口·模拟预测）已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（2026·山东临沂·一模）已知锐角，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】（多选题）（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，则（    ） A． B．的最大值为 C． D． 题型6 三角函数的化简与证明 例6-1（2026·山东济南·模拟预测）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 例6-2（2026·福建泉州·模拟预测）若，，则（     ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 化简原则：切割化弦、异名化同名、异角化同角、高次降幂； 2. 证明常用方法：从繁到简、左右归一、变更命题； 3. 常用技巧：1 的代换（）、因式分解、配方。若无法分离参数，可结合二次函数图象分析。 易错分析 1. 变形过程中改变原式定义域，导致不等价变形； 2. 公式记错，平方差、完全平方公式应用错误； 3. 切割化弦时，正切换算遗漏分母。。 【变式训练6-1】（多选题）（2026·安徽滁州·三模）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】（2026·湖南怀化·三模）已知，，则__________． 【变式训练6-3】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则______. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、解答题 1．在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角： (1)； (2)； (3). 2．利用三角函数定义，求的三个三角函数值． 3．利用公式求下列三角函数值： (1)： (2)； (3)； (4). 4．求下列三角函数值： (1)（精确到0.001）； (2)； 5．在△中，，，求的值. 6．已知，是第三象限角，求的值. 7．（1）分别计算和的值，你有什么发现？ （2）任取一个的值，分别计算，你又有什么发现？ （3）证明：. 8．化简，其中为第二象限角. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $