专题12 双曲线的标准方程与性质九种考法（压轴题专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题12 双曲线的标准方程与性质九种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线的定义及应用 题型二、求双曲线的标准方程 题型三、双曲线方程的充要条件 题型四、双曲线的焦距与实轴、虚轴、渐近线、对称性 题型五、双曲线中的焦点三角形 题型六、双曲线上两线段的和差最值问题 题型七、双曲线的离心率及范围 题型八、双曲线的轨迹问题 题型九、与双曲线有关的范围(最值) 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线的标准方程与几何性质问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕双曲线的定义及应用、求双曲线的标准方程 、双曲线方程的充要条件、双曲线的焦距与长轴、短轴、渐近线、对称性、双曲线中的焦点三角形、双曲线上两线段的和差最值问题、双曲线的离心率及范围、双曲线的轨迹问题、与双曲线有关的范围(最值)九大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是涉及双曲线的标准方程应先“定位”后“定量”；二是涉及到焦点三角形注意与双曲线定义、三角知识等结合起来，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线的定义及应用 典例1双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（  ） A．1 B．3 C．7 D．9 题型模版 1.特征：平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． 注意：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，M点不存在. 容易忽视双曲线定义的限制条件，在双曲线的定义中，对常数加了一个条件，即常数小于。这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为两条射线或无轨迹 2.方法：双曲线的定义常常与基本不等式、余弦定理等知识结合运用． 变式1-1双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（  ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 变式1-2双曲线的离心率为，则双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为（  ） A． B． C．2 D．4 变式1-3已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，，线段的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若，则的周长为 . 类型二、求双曲线的标准方程 典例2 已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：确定双曲线的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定双曲线与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解. 2.方法：双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. (3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为. 变式2-1若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（  ） A．25 B．16 C．5 D．4 变式2-2若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（  ） A． B． C． D． 变式2-3已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（  ） A． B． C． D． 题型三、双曲线方程的充要条件 典例3 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1. 特征：双曲线方程含参数 2.方法：根据双曲线方程各参数的意义列出不等式（组）求解 变式3-1双曲线与双曲线的（  ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 变式3-2（多选）已知方程，则（  ） A． 时，方程表示椭圆 B． B．时，所表示的曲线离心率为 C． 时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 变式3-3设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型四、双曲线的焦距与长轴、短轴、渐近线、对称性 典例4双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为 ． 题型模版 1.特征：对称轴：坐标轴；对称中心：原点 过双曲线中心的直线与双曲线相交的两点坐标互为相反数；平行于x轴的直线与双曲线相交的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等；平行于y轴的直线与双曲线相交的两点纵坐标互为相反数，横坐标相等. 2.方法：涉及到过双曲线中心的直线、平行于x轴、平行于y轴的直线与双曲线相交，借助对称性来求解值 变式4-1已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．6 变式4-2双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 变式4-3已知为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立． (1)求该双曲线的标准方程； (2)设直线和的交点为，求点的轨迹方程． 题型五、双曲线中的焦点三角形 典例5（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（  ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 题型模版 1.特征：P为双曲线上任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示. 2.方法：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义、正弦定理或余弦定理，其中||PF1|-|PF2||=2a两边平方是常用技巧； 常见结论：双曲线上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法： 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. 焦点三角形的常用结论： 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 结合双曲线方程由角平分线定理、余弦定理等知识解决问题。 变式5-1（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（  ） A． B．的离心率为 C．的面积为 D． 变式5-2已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（  ） A．24 B．22 C．20 D．18 变式5-3（多选）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，且上一点满足，则（ ） A．离心率为 B． C． D．过点可以作四条直线与双曲线有唯一公共点 题型六、双曲线上两线段的和差最值问题 典例6 双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 题型模版 1.特征：1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2.方法：(1)定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； (2)定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短 变式6-1已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（  ） A． B． C．5 D．10 变式6-2（多选）已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（  ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 变式6-3已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为_________ 题型七、双曲线的离心率及范围 典例7已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：且e∈(0,1)。 2.方法：求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.。 变式7-1已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式7-2已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 变式7-3已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 题型八、双曲线的轨迹问题 典例8是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C．或 D．或 题型模版 1.特征：题设条件涉及双曲线定义或者几何等量关系等。 2.方法：直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型． (1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程． (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程 代入法求解曲线方程的步骤: (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)． (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程． 其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”． 变式8-1已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 变式8-2已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为 A． B． C．（） D．（） 变式8-3已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（  ） A． B． C． D． 题型九、与双曲线有关的范围(最值) 典例9（多选）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（  ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 题型模版 1.特征：求解双曲线中的最值与范围问题，核心在于将几何问题转化为代数或三角函数问题。 2.方法：求解双曲线中的最值与范围问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响。 变式9-1设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式9-2已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式9-3如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是____________ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（  ） A． B． C． D． 2．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与圆相切，与C在第一象限交于点P，且轴，则C的离心率为（  ） A．3 B． C．2 D． 3．“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（  ） A． B． C． D． 5．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 6．（多选）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（  ） A．当k=4时，曲线C为圆 B．当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 C．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件 D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为 7．（多选）已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（  ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．小于 D．的内切圆半径为2 8．（多选）已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（  ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，，，则双曲线的离心率为 ． 10．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 11．过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为_______ 12.已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 13．在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点. (1)求双曲线的方程; (2)在轴上是否存在一点,使得,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由; (3)求点的坐标,使得的面积最小. 14．在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点. (1)求双曲线的方程; (2)在轴上是否存在一点,使得,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由; (3)求点的坐标,使得的面积最小. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 双曲线的标准方程与性质九种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线的定义及应用 题型二、求双曲线的标准方程 题型三、双曲线方程的充要条件 题型四、双曲线的焦距与实轴、虚轴、渐近线、对称性 题型五、双曲线中的焦点三角形 题型六、双曲线上两线段的和差最值问题 题型七、双曲线的离心率及范围 题型八、双曲线的轨迹问题 题型九、与双曲线有关的范围(最值) 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线的标准方程与几何性质问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕双曲线的定义及应用、求双曲线的标准方程 、双曲线方程的充要条件、双曲线的焦距与长轴、短轴、渐近线、对称性、双曲线中的焦点三角形、双曲线上两线段的和差最值问题、双曲线的离心率及范围、双曲线的轨迹问题、与双曲线有关的范围(最值)九大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是涉及双曲线的标准方程应先“定位”后“定量”；二是涉及到焦点三角形注意与双曲线定义、三角知识等结合起来，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线的定义及应用 典例1双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（  ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【解析】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 故选：D. 题型模版 1.特征：平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． 注意：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，M点不存在. 容易忽视双曲线定义的限制条件，在双曲线的定义中，对常数加了一个条件，即常数小于。这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为两条射线或无轨迹 2.方法：双曲线的定义常常与基本不等式、余弦定理等知识结合运用． 变式1-1双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（  ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【答案】A 【分析】根据双曲线焦距可求出a的值，结合题意判断M点位置，利用双曲线定义即可求得答案. 【解析】由题意知双曲线：，焦距为10， 故，则， 由，，得或， 结合，则M在双曲线左支上， 由于，故， 故选：A. 变式1-2双曲线的离心率为，则双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为（  ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】由双曲线的离心率为，可得，解得，所以， 又由双曲线的定义，可得双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A. 变式1-3已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，，线段的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若，则的周长为 . 【答案】 【解析】记的右焦点为， 由题意可知：双曲线的一条渐近线为，可知点在的渐近线上， 且，即， 且，，则， 可知和均为等边三角形， 则，即， 所以双曲线的方程为. 不妨设A在上方， 则的周长为， 又因为的直线方程为，与双曲线方程联立得， 整理得，解得， 且，可知，所以的周长为. 故答案为：. 类型二、求双曲线的标准方程 典例2 已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即. 因为双曲线焦距为，所以. 又，所以， 解得，. 故双曲线方程为. 故选：A 题型模版 1.特征：确定双曲线的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定双曲线与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解. 2.方法：双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. (3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为. 变式2-1若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（  ） A．25 B．16 C．5 D．4 【答案】C 【分析】通过双曲线求出焦点，根据椭圆中的关系，得到的值. 【解析】双曲线焦点为，所以，所以， 故选：C. 变式2-2若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知渐近线为，即， 可设双曲线方程为：， 把点代入方程得：， 该双曲线的方程为 故选：D. 变式2-3已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设双曲线的方程为，进而待定系数求解即可. 【解析】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 题型三、双曲线方程的充要条件 典例3 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的成立条件列不等式，求解得到实数的取值范围. 【解析】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 故选：D. 题型模版 1. 特征：双曲线方程含参数 2.方法：根据双曲线方程各参数的意义列出不等式（组）求解 变式3-1双曲线与双曲线的（  ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】由题意确定的范围，进而逐项判断即可. 【解析】由表示双曲线， 得，得，所以焦点在轴上， 又， 所以顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 双曲线的顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 因此两个双曲线具有相同的焦点，其他选项均不能确定满足. 故选：B. 变式3-2（多选）已知方程，则（  ） A． 时，方程表示椭圆 B． B．时，所表示的曲线离心率为 C． 时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 【答案】BC 【分析】根据椭圆、双曲线的简单几何性质计算可得； 【解析】解：因为， 对于A：若方程表示椭圆，所以，解得或，故A错误； 对于B：若，则，所以、，所以，所以离心率，故B正确； 对于C：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即C正确； 对于D：若，则曲线方程为，则渐近线方程为，故D错误； 故选：BC 变式3-3设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 故选：A. 题型四、双曲线的焦距与长轴、短轴、渐近线、对称性 典例4双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为 ． 【答案】 【解析】∵C的渐近线方程是，∴C为等轴双曲线，a=b， ∴． 设，则2a=3m-m=2m，即m=a，则， 设∠=θ，在△中，由余弦定理得， ， 即，化简可得， ∴， ∵， ，，，，． 故答案为：． 题型模版 1.特征：对称轴：坐标轴；对称中心：原点 过双曲线中心的直线与双曲线相交的两点坐标互为相反数；平行于x轴的直线与双曲线相交的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等；平行于y轴的直线与双曲线相交的两点纵坐标互为相反数，横坐标相等. 2.方法：涉及到过双曲线中心的直线、平行于x轴、平行于y轴的直线与双曲线相交，借助对称性来求解值 变式4-1已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长. 【解析】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得  ①. 对于点在双曲线右支上，有，则 . 已知的周长为，的周长，而. 所以，即  ②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故选：C. 变式4-2双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合双曲线方程求出的坐标，由列方程找出的关系，即可得渐近线方程. 【解析】由题知，，又，则的横坐标为，根据对称性不妨设在轴上方， 由，解得，则，于是，故， 即，，化简可得，于是，即， 故渐近线方程为：. 故选：B 变式4-3已知为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立． (1)求该双曲线的标准方程； (2)设直线和的交点为，求点的轨迹方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用双曲线的定义可得，然后利用两边之和大于第三边以及可得，即可求得方程； （2）设，则，得到直线，的方程，两条方程与可得到，然后算出的范围即可 【解析】（1）设双曲线的焦距为， 由及双曲线的定义，得，解得， 由可得， 又恒成立，所以，解得． 因为该双曲线离心率小于等于，所以，即，解得， 所以，则， 所以双曲线的标准方程为． （2）因为，所以点只能在双曲线的右支上，    设，则， 因为在双曲线上，所以， 易得，所以直线的斜率为， 直线的方程为①， 同理可求得直线的方程为②， 由①×②得③， 将代入③得，化简得， 令①=②即，化简得， 因为，所以， 即点的轨迹方程为． 题型五、双曲线中的焦点三角形 典例5（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（  ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 【答案】AB 【分析】根据双曲线方程即可求解离心率判断A；根据双曲线的定义及二次函数即可判断B；根据余弦定理及三角形面积公式即可判断C；根据弦长公式即可判断D． 【解析】由题可知，，，所以， 所以双曲线的离心率为，所以A选项正确； 由双曲线定义可知，不妨设，则， 所以因为，所以B选项正确； 对于C，由余弦定理得，故， 所以，所以C选项不正确； 对于D,设，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立的方程得， 则，， 所以， 解得或， 若的倾斜角为或，则,所以D选项不正确． 故选：AB. 题型模版 1.特征：P为双曲线上任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示. 2.方法：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义、正弦定理或余弦定理，其中||PF1|-|PF2||=2a两边平方是常用技巧； 常见结论：双曲线上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法： 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. 焦点三角形的常用结论： 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 结合双曲线方程由角平分线定理、余弦定理等知识解决问题。 变式5-1（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（  ） A． B．的离心率为 C．的面积为 D． 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的定义、标准方程和几何性质，结合选项计算依次判断即可. 【解析】A：因为，解得，故A正确； B：双曲线，所以， 的离心率，故B错误； C：因为，所以， 则的面积为，故C正确； D：所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 变式5-2已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（  ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【分析】不妨设，，，根据面积关系和双曲线的定义可求，即可求解. 【解析】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 故选：D 变式5-3（多选）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，且上一点满足，则（ ） A．离心率为 B． C． D．过点可以作四条直线与双曲线有唯一公共点 【答案】ABD 【分析】先设中心在原点焦点在坐标轴上的双曲线一般方程为，代入已知两点坐标求出双曲线的标准方程与基本量，再结合双曲线定义、余弦定理、三角形面积公式逐一验证前三个选项，最后通过判断过点的切线和与渐近线平行的直线的数量，验证选项D. 【解析】不妨设双曲线的标准方程为， 将坐标两点代入，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 对于A，由题意知的焦点在轴上，且， 所以，离心率为，故A正确； 对于B，不妨设点在双曲线的右支上，所以， 因为，解得， 所以，故B正确；对于C，， 所以，故C错误．对于D，易知渐近线方程为，画图可得， 过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点， 其中两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，故D正确. 故选：ABD 题型六、双曲线上两线段的和差最值问题 典例6 双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值； 【解析】设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为： 9 题型模版 1.特征：1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2.方法：(1)定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； (2)定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短 变式6-1已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（  ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【解析】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 故选：B 变式6-2（多选）已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（  ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出双曲线方程，再借助双曲线定义逐项求解判断. 【解析】令双曲线的半焦距为，则， 由点B在双曲线C上，且轴，，不妨设，则，， 则，解得，于是，双曲线的方程为， 而点，则，解得，双曲线C的方程为， A正确； 双曲线C的渐近线方程为，B正确； ，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义得， 即，因此， 当且仅当是线段与双曲线的左支交点时取等号，C正确； 设点，，则， ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：ABC. 变式6-3已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为_________ 【答案】 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【解析】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 故答案为： 题型七、双曲线的离心率及范围 典例7已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【解析】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 题型模版 1.特征：且e∈(0,1)。 2.方法：求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.。 变式7-1已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义与垂直平分线性质，确定核心线段关系，联立方程求点横坐标，利用直线与双曲线右支交于两点，建立离心率不等式，确定最终范围. 【解析】设，不妨设，, 设，则，得，解得, 的垂直平分线与右支交于点且直线过点，等价于直线与双曲线右支交于另一点， 则，即，进一步推导：，得， 代入，解得，又，所以. 故选：C 变式7-2已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，直角三角形内切圆半径公式，勾股定理以及双曲线离心率的计算公式，联立方程求出离心率. 【解析】双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，； ， 的内切圆半径为， ，. ，. ，即； ，即，解得或； 由，得. 故答案为： 变式7-3已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】 【解析】方法一：依题意，设，则， 在中，， 则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二：依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为： 题型八、双曲线的轨迹问题 典例8是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【解析】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 故选：D. 题型模版 1.特征：题设条件涉及双曲线定义或者几何等量关系等。 2.方法：直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型． (1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程． (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程 代入法求解曲线方程的步骤: (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)． (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程． 其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”． 变式8-1已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【解析】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 变式8-2已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为 A． B． C．（） D．（） 【答案】B 【分析】如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案. 【解析】如图所示：连接，根据垂直平分线知， 故，故轨迹为双曲线， ，，，故，故轨迹方程为. 故选：B.    变式8-3已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与双曲线相切，推出，，再求出,消去可得结果. 【解析】因为双曲线与直线有唯一的公共点， 所以直线与双曲线相切， 联立，消去并整理得， 所以，即， 将代入，得， 得，因为，，所以， 所以，，即， 由可知， 所以过点且与垂直的直线为， 令，得，令，得， 则，， 由，得，， 代入，得，即， 故选：D. 题型九、与双曲线有关的范围(最值) 典例9（多选）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（  ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出双曲线方程及其渐近线方程判断A；求出点的轨迹方程，与双曲线方程联立由解的情况判断B；利用圆的性质，结合两点间距离公式求解判断CD. 【解析】设双曲线半焦距为，则，由双曲线经过点，得， 而，解得，因此双曲线的方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由对称性不妨令，设，由， 得，整理得， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由， 消去得，，因此动点的轨迹与无公共点，B正确； 对于C，点到圆心的距离，因此的最大值为，C错误； 对于D，设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为： ， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 题型模版 1.特征：求解双曲线中的最值与范围问题，核心在于将几何问题转化为代数或三角函数问题。 2.方法：求解双曲线中的最值与范围问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响。 变式9-1设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得双曲线的半焦距和渐近线方程，再由圆心到两渐近线的距离相等得，由半径相等可得与，关系，求出的取值范围得到答案. 【解析】由已知得，双曲线得渐近线方程为：，由圆与渐近线相切可得， 半径，则，则圆的半径， ，则， 因为，所以，则，， 所以长得取值范围是. 故选：B. 变式9-2已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作图，利用点到直线的距离公式结合双曲线的渐近线方程计算求解. 【解析】    如图，由题意，设，则，即． 因为渐近线方程为，所以， 因为，所以. 故选：D. 变式9-3如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是____________ 【答案】 【分析】设，进而可得.可求得，进而求得的范围即可. 【解析】设， ，， .在△与△中：， 即：， ， 当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，， 当与轴重合时，取最小，此时， 经上述分析得：，. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入点运算求解即可. 【解析】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为， 代入点，可得，所以双曲线的方程为. 故选：A. 2．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与圆相切，与C在第一象限交于点P，且轴，则C的离心率为（  ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设圆心为，直线与圆相切于点， 则故， 由于，所以，故， 因此在，由， 故，即. 故选：D 3．“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】曲线C：（）为双曲线，则，解得或， m可能取的值，无法推出一定成立，故充分性不成立； 若成立，则，，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 可推出“曲线C为双曲线”成立，故必要性成立， 综上，“曲线C：（）为双曲线”是“”的必要不充分条件. 故选：C 4．如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义，可得，，由三角形面积公式，即可求出的面积． 【解析】在双曲线中：，所以， 根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即 又， ， 的面积为． 故选：C． 5．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先写出直线的方程，然后根据平面几何知识求出点，最后把点的坐标代入直线的方程，进而求得的关系即可求解. 【解析】双曲线左焦点，右焦点，右顶点，， 直线的方程为， 因为为等腰三角形， 为钝角， 因此等腰三角形中只能是， 直线的倾斜角为，斜率为， 设，，， 即，在直线上，代入直线方程， 整理得 . . 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C． 6．（多选）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（  ） A．当k=4时，曲线C为圆 B．当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 C．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件 D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为 【答案】ABC 【分析】A．将，代入方程中并判断方程对应的曲线的形状； B．将，代入方程中并判断方程对应的曲线的形状，若曲线为双曲线则分析其渐近线方程； C．先分析曲线为焦点在轴上的椭圆时对应的的取值范围，再根据区间与所求范围之间的集合关系判断出属于何种条件； D．根据离心率为分析出双曲线方程中的关系，由此求解出的值并进行判断. 【解析】对于A选项，当k=4时，曲线C的方程可化为，为圆心在原点，半径为的圆，所以选项A正确； 对于B选项，当k=0时，曲线C的方程可化为，，， 焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为，所以选项B正确； 对于C选项，当曲线C表示焦点在x轴上的椭圆时，要满足，解得，则， 所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件，所以选项C正确； 对于D选项，当曲线C的方程表示离心率为的双曲线时， 有，则a=b，即|k－2|=|6－k|，解得k=4， 此时曲线C表示为圆，即不存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为，所以选项D错误； 故选：ABC. 7．（多选）已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（  ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．小于 D．的内切圆半径为2 【答案】ABC 【分析】A.设出的坐标，通过的面积求出的纵坐标，再代入双曲线方程求出的横坐标； B.由两点距离公式求解距离，再得出的周长；C.由余弦定理求出的范围，作出判断；D.由面积，求出内切圆的半径. 【解析】由双曲线得，，，焦点 ，，焦距 . A.设 ，由面积公式： , 即，得 ，将 代入双曲线方程： ，得， 因 在右支，，故 ，所以A正确； B. 由，. 所以的周长是 ，所以B正确； C. 由余弦定理：, 因余弦函数在 单调递减，故 ，所以C正确； D. 设的内切圆半径为，则， 所以，所以D不正确. 故选：ABC． 8．（多选）已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（  ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出双曲线方程，再借助双曲线定义逐项求解判断. 【解析】令双曲线的半焦距为，则， 由点B在双曲线C上，且轴，，不妨设，则，， 则，解得，于是，双曲线的方程为， 而点，则，解得，双曲线C的方程为， A正确； 双曲线C的渐近线方程为，B正确； ，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义得， 即，因此， 当且仅当是线段与双曲线的左支交点时取等号，C正确； 设点，，则， ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：ABC 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，，，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，则，，，在等腰中应用诱导公式、二倍角余弦公式可得，在、中应用余弦定理求参数值，并得到双曲线参数的齐次式，即可得. 【解析】设，则，，故，    在等腰中，，则 ， 又，可得， 所以，则，， 在中，可得， 所以. 故答案为：. 10．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用双曲线定义，将转化为，结合圆的性质求解即可. 【解析】设双曲线的左焦点为，连接，. 由题知，实轴长，由双曲线定义知，， 则， 当P，D，三点共线时，取得最小值，且最小值为. 故答案为： 11．过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为_______ 【答案】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故答案为： 12.已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用建立不等式即可求得双曲线的离心率范围. 【解析】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，， 由，得，即，解得，即，于是，而，所以双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为： 13．在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点. (1)求双曲线的方程; (2)在轴上是否存在一点,使得,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由; (3)求点的坐标,使得的面积最小. 【答案】(1)；(2)存在或；(3)的坐标是或或或 【分析】（1）根据渐近线方程得,点在双曲线上得,列出方程组求解即可; （2）假设,由直线方程得坐标,由向量的数量积运算可得,用坐标表示这个结论可得与关系,再由点在双曲线可得结论; （3）直接计算的面积,用基本不等式可得最小值,从而得点坐标. 【解析】（1）由已知得,解得,所以双曲线的方程为. （2）设,如图:    根据题意得:,令得, 因为点关于轴的对称点为,所以, 则,令得, 因为,平方可得, 因为, 则, 因为,所以, 则,即, 所以存在或满足条件; （3）如图:      因为, 由（2）知,即,代入上式得: , 当且仅当,即时等号成立, 此时, 所以的坐标是或或或时,的面积最小. 14．在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点. (1)求双曲线的方程; (2)在轴上是否存在一点,使得,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由; (3)求点的坐标,使得的面积最小. 【答案】(1)；(2)存在或；(3)的坐标是或或或 【分析】（1）根据渐近线方程得,点在双曲线上得,列出方程组求解即可; （2）假设,由直线方程得坐标,由向量的数量积运算可得,用坐标表示这个结论可得与关系,再由点在双曲线可得结论; （3）直接计算的面积,用基本不等式可得最小值,从而得点坐标. 【解析】（1）由已知得,解得,所以双曲线的方程为. （2）设,如图:    根据题意得:,令得, 因为点关于轴的对称点为,所以, 则,令得, 因为,平方可得, 因为, 则, 因为,所以, 则,即, 所以存在或满足条件; （3）如图:      因为, 由（2）知,即,代入上式得: , 当且仅当,即时等号成立, 此时, 所以的坐标是或或或时,的面积最小. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $