专题10 双曲线及其性质 （专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题10 双曲线及其性质 （题型突破·举一反三） 题型一：双曲线的定义辨析及标准方程求解 题型二：双曲线方程成立的充要条件判定 题型三：双曲线焦点三角形的周长、面积及综合应用问题 题型四：双曲线上任意两点间距离的最值求解 题型五：双曲线上两条线段和与差的最值问题 题型六：双曲线离心率的求解及取值范围判定 题型七：双曲线的简单几何性质及应用问题 题型八：利用双曲线第一定义求解轨迹方程 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 题型01 双曲线的定义辨析及标准方程求解 【典例1】（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 【变式1-1】（2026·全国·三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点， 当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 若将点代入，得①， 又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为. 当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④， 联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为， 综上所述，双曲线的标准方程为或. 故选：C. 【变式1-2】（2026·高二·甘肃武威·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的方程为，半焦距为，则，， 故，.所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【变式1-3】已知双曲线.若矩形的四个顶点在E上，的中点为E的两个焦点，且，则双曲线E的标准方程是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由题意知.设的中点分别为M，N，在中， ，所以，， 由双曲线的定义可得，即，所以， 故双曲线E的标准方程为. 故选:D. 题型02 双曲线方程成立的充要条件判定 【典例2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 【答案】A 【解析】由于为第二象限角，故， 则方程即为方程，则其表示焦点在x轴上的双曲线， 故选：A． 【变式2-1】（2026·高二·重庆·阶段检测）方程表示的轨迹图形是（   ） A．抛物线 B．半个圆 C．半个椭圆 D．双曲线的一支 【答案】D 【解析】由题意，得把式子左右同时平方，得，即，， 又， 方程表示的轨迹图形是双曲线的一支. 故选：D. 【变式2-2】（2026·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则， 所以，即， 所以为焦点在轴上的双曲线； 若为焦点在轴上的双曲线， 则对于，即， 可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2-3】（2026·高二·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 题型03 双曲线焦点三角形的周长、面积及综合应用问题 【典例3】（2026·高三·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【解析】把双曲线方程化为标准形式 ， 设双曲线实半轴长为，那么， 根据双曲线的定义可知，，, 又, 所以的周长为. 【变式3-1】（2026·高二·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 【变式3-2】（2026·高二·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. 【变式3-3】（2026·高二·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 题型04 双曲线上任意两点间距离的最值求解 【典例4】（2026·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【答案】A 【解析】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点， 所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立； 因为，所以，所以成立，的最小值为16. 故选：A. 【变式4-1】（2026·高三·江苏淮安·期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（    ） A．19 B．23 C．25 D．85 【答案】B 【解析】令且，则，而， 所以，令， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以，即最小值为23. 故选：B 【变式4-2】（2026·高三·辽宁朝阳·期中）已知双曲线(，)的左右焦点分别为，，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线的定义和基本不等式可得当，时，取得最小值，再由即可求出离心率范围.为双曲线右支上的任意一点，则，即， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时， ，即，即， . 故答案为：C. 【变式4-3】（2026·全国·模拟预测）设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由双曲线：可得 ，，所以， 所以，， 由双曲线的定义可得，所以， 所以， 由双曲线的性质可知：，令，则， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，此时点为双曲线的右顶点， 即的最小值为， 故选：C. 题型05 双曲线上两条线段和与差的最值问题 【典例5】（2026·高二·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【解析】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 【变式5-1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【解析】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 【变式5-2】（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 【变式5-3】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【解析】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 题型06 双曲线离心率的求解及取值范围判定 【典例6】（2026·福建漳州·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于直线的直线与交于点，与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，其中，， 则过且垂直于直线的直线为， 由，解得，所以， 又，且三点共线，点在双曲线右支上，则， 所以，得到，， 所以，又点在双曲线上， 所以，整理得到，得到， 又，所以. 【变式6-1】（2026·高二·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，由双曲线定义，， 因，则， 由对称性可知，，设， 在等腰三角形中，，即（*） 在中，由余弦定理，， 即， 将（*）代入，可得， 整理得，则有， 故. 【变式6-2】（2026·高二·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 【变式6-3】已知双曲线的两条渐近线分别为，记上的动点到，的距离分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】两条渐近线方程为：，设， 则点P到，的距离之积为，即， 所以． 题型07 双曲线的简单几何性质及应用问题 【典例7】（多选题）（2026·高二·海南·期末）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】双曲线C：中，，渐近线方程为，因此选项A正确， 由，则，那么直线的斜率为， 方程为，联立双曲线方程， 消去可得，由韦达定理， 说明两根一正一负，即直线与C的右支仅有1个交点，故选项B错误. 由双曲线定义可得，两边平方可得，因为， 根据勾股定理可得， 代入可得，则，故选项C正确. 当点P在C的右支上时，由双曲线定义可得，即， 所以，当三点共线时，如图： 取得最小值，即，已知， 则，所以的最小值为，故选项D正确. 【变式7-1】（多选题）（2026·高二·四川凉山·期末）已知，分别是双曲线：，（，）的左、右焦点，为其右支上一点（异于右顶点），的内切圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（     ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若且，则的离心率为 D．若，则的周长为 【答案】BCD 【解析】 设双曲线焦点 ，设的内切圆与相切于. 因为点在右支上，故. 根据三角形内切圆切线长相等：， 所以， 即. 设 ，则，得，即 . 选项A，因为到轴距离为，不一定等于，故A错误； 选项B，由 ，所以， 故，又，得，即​， 所以双曲线的渐近线方程为，故B正确； 选项C，由题意 ，，，， 由余弦定理：， 代入上述值得，， ，所以，，因此​​ ，C正确； 选项D，设，由，得， 又，所以 ，得​， 故​周长为 ，故D正确. 【变式7-2】（多选题）（2026·高二·宁夏石嘴山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，则（     ） A． B． C．双曲线的离心率是 D．内切圆的半径为 【答案】ABD 【解析】如图，作出符合题意的图形， 选项A，因为渐近线为，，所以， 又，所以，正确. 选项B，因为，所以， 所以，又，所以. ，，解得，正确. 选项C，因为，所以. 又，所以， 所以离心率为，错误. 选项D，由题意得， 得到周长. 因为内切圆半径，正确. 【变式7-3】（多选题）（2026·高二·广东广州·期末）已知双曲线的一支，圆，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的渐近线与圆相交 C．圆上恰有三个点到的一条渐近线的距离为 D．与和圆各恰有一个公共点的直线不止条 【答案】ABD 【解析】对于A，双曲线的渐近线为，所以A正确， 对于B，因为圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，则渐近线与圆相交，所以B正确， 对于C，且，所以圆上只有两个点到的一条渐近线的距离为1，故C错误， 对于D，因为双曲线的渐近线为，圆的圆心，半径为，由B知渐近线与圆相交，如图所示， 与和圆各恰有一个公共点的直线有种情况， ①直线平行于轴，与圆相切，与双曲线的一支相交，易知此时直线为或， ②直线与圆和双曲线的一支都相切， 设直线，则，整理得， 由，消得到， 则，且，由得到，代入， 解得，，此时直线为或，经检验满足题意， ③直线平行于渐近线，与圆相切，与双曲线的一支相交， 设直线：，由，解得或（舍，此时与双曲线的下支相切）， 此时符合条件的直线为，， ④直线与圆相切，与双曲线的两支都相交，此时与单支只有一个交点，这样的直线有无数条，综上可知D正确． 题型08 利用双曲线第一定义求解轨迹方程 【典例8】已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【解析】设，由题意知，，其中， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 【变式8-1】设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【解析】因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则， 所以圆心的轨迹方程E为. 【变式8-2】（2026·高二·河北秦皇岛·期末）（1）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知动点到定点的距离与到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 【解析】（1）设，， 由中点坐标公式得，所以. 又点在椭圆上，所以，即. （2）由题意，设，则， 所以，整理得，即点的轨迹方程为. 【变式8-3】（2026·高二·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 【解析】（1）设点， 则直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，即，化简整理得， 所以点的轨迹的方程为． （2）不能，理由： 假设存在符合题设的直线，设， 则，两式相减整理得． 又因为为线段的中点，所以，， 所以直线的斜率． 由点斜式方程可知，直线的方程为，即． 由消去，整理得，（*） 判别式， 所以方程（*）无解，故直线与轨迹无交点，因此假设不成立， 故过点不能作直线，使得与交于，两点，且是线段的中点． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 双曲线及其性质 （题型突破·举一反三） 题型一：双曲线的定义辨析及标准方程求解 题型二：双曲线方程成立的充要条件判定 题型三：双曲线焦点三角形的周长、面积及综合应用问题 题型四：双曲线上任意两点间距离的最值求解 题型五：双曲线上两条线段和与差的最值问题 题型六：双曲线离心率的求解及取值范围判定 题型七：双曲线的简单几何性质及应用问题 题型八：利用双曲线第一定义求解轨迹方程 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 题型01 双曲线的定义辨析及标准方程求解 【典例1】（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·全国·三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】（2026·高二·甘肃武威·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知双曲线.若矩形的四个顶点在E上，的中点为E的两个焦点，且，则双曲线E的标准方程是 A． B． C． D． 题型02 双曲线方程成立的充要条件判定 【典例2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 【变式2-1】（2026·高二·重庆·阶段检测）方程表示的轨迹图形是（   ） A．抛物线 B．半个圆 C．半个椭圆 D．双曲线的一支 【变式2-2】（2026·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】（2026·高二·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03 双曲线焦点三角形的周长、面积及综合应用问题 【典例3】（2026·高三·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式3-1】（2026·高二·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高二·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【变式3-3】（2026·高二·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 题型04 双曲线上任意两点间距离的最值求解 【典例4】（2026·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【变式4-1】（2026·高三·江苏淮安·期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（    ） A．19 B．23 C．25 D．85 【变式4-2】（2026·高三·辽宁朝阳·期中）已知双曲线(，)的左右焦点分别为，，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·全国·模拟预测）设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型05 双曲线上两条线段和与差的最值问题 【典例5】（2026·高二·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【变式5-1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【变式5-2】（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 题型06 双曲线离心率的求解及取值范围判定 【典例6】（2026·福建漳州·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于直线的直线与交于点，与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·高二·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高二·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知双曲线的两条渐近线分别为，记上的动点到，的距离分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 题型07 双曲线的简单几何性质及应用问题 【典例7】（多选题）（2026·高二·海南·期末）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【变式7-1】（多选题）（2026·高二·四川凉山·期末）已知，分别是双曲线：，（，）的左、右焦点，为其右支上一点（异于右顶点），的内切圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（     ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若且，则的离心率为 D．若，则的周长为 【变式7-2】（多选题）（2026·高二·宁夏石嘴山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，则（     ） A． B． C．双曲线的离心率是 D．内切圆的半径为 【变式7-3】（多选题）（2026·高二·广东广州·期末）已知双曲线的一支，圆，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的渐近线与圆相交 C．圆上恰有三个点到的一条渐近线的距离为 D．与和圆各恰有一个公共点的直线不止条 题型08 利用双曲线第一定义求解轨迹方程 【典例8】已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【变式8-1】设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【变式8-2】（2026·高二·河北秦皇岛·期末）（1）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知动点到定点的距离与到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 【变式8-3】（2026·高二·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 双曲线及其性质 参考答案 题型01 双曲线的定义辨析及标准方程求解 【典例1】【答案】A 【解析】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 【变式1-1】【答案】C 【解析】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点， 当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 若将点代入，得①， 又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为. 当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④， 联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为， 综上所述，双曲线的标准方程为或. 故选：C. 【变式1-2】【答案】D 【解析】设双曲线的方程为，半焦距为，则，， 故，.所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【变式1-3】【答案】D 【解析】如图，由题意知.设的中点分别为M，N，在中， ，所以，， 由双曲线的定义可得，即，所以， 故双曲线E的标准方程为. 故选:D. 题型02 双曲线方程成立的充要条件判定 【典例2】【答案】A 【解析】由于为第二象限角，故， 则方程即为方程，则其表示焦点在x轴上的双曲线， 故选：A． 【变式2-1】【答案】D 【解析】由题意，得把式子左右同时平方，得，即，， 又， 方程表示的轨迹图形是双曲线的一支. 故选：D. 【变式2-2】【答案】A 【解析】若，则， 所以，即， 所以为焦点在轴上的双曲线； 若为焦点在轴上的双曲线， 则对于，即， 可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2-3】【答案】A 【解析】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 题型03 双曲线焦点三角形的周长、面积及综合应用问题 【典例3】【答案】B 【解析】把双曲线方程化为标准形式 ， 设双曲线实半轴长为，那么， 根据双曲线的定义可知，，, 又, 所以的周长为. 【变式3-1】【答案】C 【解析】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 【变式3-2】【答案】A 【解析】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. 【变式3-3】【答案】D 【解析】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 题型04 双曲线上任意两点间距离的最值求解 【典例4】【答案】A 【解析】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点， 所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立； 因为，所以，所以成立，的最小值为16. 故选：A. 【变式4-1】【答案】B 【解析】令且，则，而， 所以，令， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以，即最小值为23. 故选：B 【变式4-2】【答案】C 【解析】由双曲线的定义和基本不等式可得当，时，取得最小值，再由即可求出离心率范围.为双曲线右支上的任意一点，则，即， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时， ，即，即， . 故答案为：C. 【变式4-3】【答案】C 【解析】由双曲线：可得 ，，所以， 所以，， 由双曲线的定义可得，所以， 所以， 由双曲线的性质可知：，令，则， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，此时点为双曲线的右顶点， 即的最小值为， 故选：C. 题型05 双曲线上两条线段和与差的最值问题 【典例5】【答案】B 【解析】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 【变式5-1】【答案】B 【解析】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 【变式5-2】【答案】A 【解析】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 【变式5-3】【答案】B 【解析】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 题型06 双曲线离心率的求解及取值范围判定 【典例6】【答案】D 【解析】设，其中，， 则过且垂直于直线的直线为， 由，解得，所以， 又，且三点共线，点在双曲线右支上，则， 所以，得到，， 所以，又点在双曲线上， 所以，整理得到，得到， 又，所以. 【变式6-1】【答案】B 【解析】如图，连接，由双曲线定义，， 因，则， 由对称性可知，，设， 在等腰三角形中，，即（*） 在中，由余弦定理，， 即， 将（*）代入，可得， 整理得，则有， 故. 【变式6-2】【答案】A 【解析】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 【变式6-3】【答案】B 【解析】两条渐近线方程为：，设， 则点P到，的距离之积为，即， 所以． 题型07 双曲线的简单几何性质及应用问题 【典例7】【答案】ACD 【解析】双曲线C：中，，渐近线方程为，因此选项A正确， 由，则，那么直线的斜率为， 方程为，联立双曲线方程， 消去可得，由韦达定理， 说明两根一正一负，即直线与C的右支仅有1个交点，故选项B错误. 由双曲线定义可得，两边平方可得，因为， 根据勾股定理可得， 代入可得，则，故选项C正确. 当点P在C的右支上时，由双曲线定义可得，即， 所以，当三点共线时，如图： 取得最小值，即，已知， 则，所以的最小值为，故选项D正确. 【变式7-1】【答案】BCD 【解析】 设双曲线焦点 ，设的内切圆与相切于. 因为点在右支上，故. 根据三角形内切圆切线长相等：， 所以， 即. 设 ，则，得，即 . 选项A，因为到轴距离为，不一定等于，故A错误； 选项B，由 ，所以， 故，又，得，即​， 所以双曲线的渐近线方程为，故B正确； 选项C，由题意 ，，，， 由余弦定理：， 代入上述值得，， ，所以，，因此​​ ，C正确； 选项D，设，由，得， 又，所以 ，得​， 故​周长为 ，故D正确. 【变式7-2】【答案】ABD 【解析】如图，作出符合题意的图形， 选项A，因为渐近线为，，所以， 又，所以，正确. 选项B，因为，所以， 所以，又，所以. ，，解得，正确. 选项C，因为，所以. 又，所以， 所以离心率为，错误. 选项D，由题意得， 得到周长. 因为内切圆半径，正确. 【变式7-3】【答案】ABD 【解析】对于A，双曲线的渐近线为，所以A正确， 对于B，因为圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，则渐近线与圆相交，所以B正确， 对于C，且，所以圆上只有两个点到的一条渐近线的距离为1，故C错误， 对于D，因为双曲线的渐近线为，圆的圆心，半径为，由B知渐近线与圆相交，如图所示， 与和圆各恰有一个公共点的直线有种情况， ①直线平行于轴，与圆相切，与双曲线的一支相交，易知此时直线为或， ②直线与圆和双曲线的一支都相切， 设直线，则，整理得， 由，消得到， 则，且，由得到，代入， 解得，，此时直线为或，经检验满足题意， ③直线平行于渐近线，与圆相切，与双曲线的一支相交， 设直线：，由，解得或（舍，此时与双曲线的下支相切）， 此时符合条件的直线为，， ④直线与圆相切，与双曲线的两支都相交，此时与单支只有一个交点，这样的直线有无数条，综上可知D正确． 题型08 利用双曲线第一定义求解轨迹方程 【典例8】【解析】设，由题意知，，其中， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 【变式8-1】【解析】因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则， 所以圆心的轨迹方程E为. 【变式8-2】【解析】（1）设，， 由中点坐标公式得，所以. 又点在椭圆上，所以，即. （2）由题意，设，则， 所以，整理得，即点的轨迹方程为. 【变式8-3】【解析】（1）设点， 则直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，即，化简整理得， 所以点的轨迹的方程为． （2）不能，理由： 假设存在符合题设的直线，设， 则，两式相减整理得． 又因为为线段的中点，所以，， 所以直线的斜率． 由点斜式方程可知，直线的方程为，即． 由消去，整理得，（*） 判别式， 所以方程（*）无解，故直线与轨迹无交点，因此假设不成立， 故过点不能作直线，使得与交于，两点，且是线段的中点． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $