第二章 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题题型讲义（全国通用）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

点线圆间求索，严谨推导，解锁数形结合奥秘 专题5.1 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题 题型精讲 题型归纳： 1.圆上到直线的距离为定值的点的个数 设圆的半径为,圆心到直线的距离为,则 （1）当时,圆上没有点到直线的距离等于; （2）当时,圆上有且只有1个点到直线的距离等于; （3）当或时,圆上有且只有2个点到直线的距离等于; （4）当时,圆上有且只有3个点到直线的距离等于; （5）当时,圆上有且只有4个点到直线的距离等于. 考点预览 目录 考点01 圆上点到直线距离个数 1 考点02 圆上点到直线距离为定值求参数 4 考点03 圆上点到直线距离为定值求直线方程 8 考点04 圆上点到直线距离为定值求圆的半径 11 考点01 圆上点到直线距离个数 1．（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）若圆上不存在到直线的距离为1的点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知圆心到直线的距离，结合点到直线的距离运算求解即可. 【详解】圆即为，可知其圆心为，半径， 若圆上不存在到直线的距离为1的点， 可知圆心到直线的距离，则，解得或， 所以c的取值范围是. 故选：C. 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到直线距离为1的点的个数为3. 【详解】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D 3．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先确定圆的圆心坐标与半径, 再求出圆心到直线的距离, 从而可得结论. 【详解】由，可得， 所以圆心的坐标为, 半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相交，且圆上与直线的距离等于的点共有3个. 故选：B. 4．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行且与直线的距离为的直线的方程，判断出圆与两平行线间的位置关系，即可得出结论. 【详解】设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 圆的圆心为，半径为， 显然直线过圆心，圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相交，直线与圆相切， 所以，圆上到直线的距离为的点的个数为. 故选：C. 5．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知圆上的点到直线的距离为1，则满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 又因为圆的半径为，则劣弧的中点到直线的距离为， 故到直线的距离为1的点共有4个.    考点02 圆上点到直线距离为定值求参数 1．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知圆C: 上有且仅有四个点到直线l： 的距离为2，则实数k的取值范围是______   . 【答案】 【分析】根据题意，问题转化为圆心到直线的距离小于2，列式运算得解. 【详解】因为圆上有且仅有四个点到直线的距离为2，又圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 即，解得. 故答案为：. 2．（2026·天津和平·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】设到直线的距离为，由题意可得，再利用点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设到直线的距离为， 则有， 即，解得， 故实数的取值范围为. 3．（25-26高二上·浙江台州·阶段检测）若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．或. D．或 【答案】C 【分析】将问题转化为距离距离为的直线与圆有且只有两个交点. 【详解】由两平行直线距离公式可知，与相距的直线为与. 又的圆心为，半径为，与相距. 则与中一条直线与圆相交，另一条与圆相离. 即一条直线到距离小于，另一条直线到距离大于. 则或或. 故选：C 4．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知圆上存在四个点到直线的距离等于，则实数范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，圆心到直线的距离小于1，即求. 【详解】由知圆心，半径为3， 若圆上存在四个点到直线的距离等于， 则点C到直线的距离， ∴， ∴. 故选：D. 5．（25-26高二上·湖北·期中）(多选)已知圆，直线，下列说法正确的是（   ） A．当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1 B．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 D．当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1 【答案】CD 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据选项中参数的范围求得的范围，结合图形，即可一一判断. 【详解】 由题设条件，圆的半径为2，圆心到直线的距离为. 对于A，当或时, ，则，当时， 由图1知，圆O上有一点到直线l的距离等于1，故A错误； 对于B，D，当时，，由图2知，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1，故B错误，D正确； 对于C，当时，，由图3知，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1，故C正确. 故选：CD. 6．（2026·陕西渭南·一模）(多选)已知圆：，直线：，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线被圆截得的最短弦长为 C．圆与圆有四条公切线 D．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 【答案】AB 【分析】对A，将直线含参部分合并同类项列出方程组求解直线恒过的定点即可；对B，先判断定点与圆的位置关系，弦长最小时即为定点与圆心的连线与已知直线垂直时取得，再运用弦长公式计算即可；对C，利用两个圆心的距离与半径判断两个圆的位置关系；对D，当时直线确定，先求出圆心到直线的距离，再结合半径长度进行判断. 【详解】对于A，直线的方程可变形为， 令，解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故B正确； 对于C，圆化成标准方程为， 其圆心为，半径为3，满足， 所以两圆外切，共有三条公切线，故C错误； 对于D，圆，则圆心，半径， 当时，直线的方程为，圆心到直线的距离， 因为，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故D错误. 故选：AB. 考点03 圆上点到直线距离为定值求直线方程 1．（25-26高二上·广东江门·期末）已知圆：，直线：，，圆上恰有3个点到直线的距离为，则直线的方程为_____. 【答案】或 【分析】根据两直线垂直设直线的方程为，由题意得圆心到直线的距离，解得或，即得答案. 【详解】因直线：，，则直线的方程可设为， 由圆：可知圆心为，半径为. 要使圆上恰有3个点到直线的距离为， 需使圆心到直线的距离， 解得或，故直线的方程为或. 故答案为：或. 2．（25-26高二下·江苏南京·期中）若圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把点到直线距离为3的个数得出圆心到直线距离范围计算求参. 【详解】由圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3， 可知圆心到直线的距离，即， 所以，解得， 故选:D. 3．（25-26高二上·云南红河·阶段检测）(多选)已知圆的方程为，若圆上恰好有3个点到直线的距离为1，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据圆的性质，结合垂径定理，可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】由题意，易知直线分割圆为一段优弧和一段劣弧，则在劣弧上有且仅有一个点到直线的距离为，且该点为劣弧的中点， 根据垂径定理，可得圆心到直线的距离为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：BCD. 4．（25-26高三上·黑龙江鹤岗·阶段检测）(多选)已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，转化为圆心到直线的距离，根据圆心到直线距离公式计算即可. 【详解】由题知，圆，圆心为，半径为， 因为圆上有且仅有三个点到直线的距离为1， 所以圆心到直线的距离， 对于A，圆心为到直线的距离，故A错误； 对于B，圆心为到直线的距离，故B正确； 对于C，圆心为到直线的距离，故C正确； 对于D，圆心为到直线的距离，故D正确； 故选：BCD 5．（24-25高三下·云南·期中）已知圆 ，在圆上至少存在三个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由题意，分析可得圆心到直线的距离小于等于，故可求参数的取值范围. 【详解】由题，当圆心到直线的距离为时，圆上恰好有三个点到直线的距离为， 则，所以． 故答案为：. 考点04 圆上点到直线距离为定值求圆的半径 1．（24-25高二上·吉林长春·阶段检测）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行且到直线的距离为1的直线的方程为和，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围. 【详解】如图所示. 设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 故选：C 2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）设圆C：上恰好有三个点到直线的距离等于1，则圆半径r的值为（    ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】D 【分析】首先求圆心到直线的距离，再利用数形结合可得的值. 【详解】圆心到直线的距离， 若圆上有3个点到直线的距离等于1，则. 故选：D 3．（25-26高二上·山西运城·期中）若圆上有且只有四个点到直线的距离等于1，则半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先求圆心到直线的距离，再根据条件，列式和半径比较大小，求的取值范围. 【详解】圆心到直线的距离， 若圆上有四个点到直线的距离等于1，则，即. 故选：D 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，与直线距离为1的两条直线与圆有4个交点，根据点到直线的距离，建立不等式求解. 4．（24-25高二上·江西吉安·期中）若圆上有且仅有两个点到直线的距离为,则半径的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为,可得:其圆心为,到距离为:,设与直线距离是,解得与直线距离是的直线有两条:和,讨论两条:和与圆的位置关系,即可求得答案. 【详解】 可得:其圆心为 根据点到直线距离公式可得到距离为: 设与直线距离是. 根据平行线间距离公式可得: 解得:或 与直线距离是的直线有两条:和 又圆心到距离: 圆心到距离: 如果圆与相交,那么圆也肯定与相交,交点个数多于两个,于是圆上点到的距离等于的点不止两个. 圆与不相交, 如果圆与的距离小于等于,那么圆与和交点个数和至多为个, 圆只能与相交,与相离 . 故选:B. 【点睛】本题考查了根据圆上点与直线的距离求圆的半径范围,解题关键掌握求直线与圆位置关系解法,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 5．（24-25高二上·山东青岛·期中）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．[3，5] 【答案】C 【分析】利用平行线间距离公式根据圆上满足题意的点的个数即可求得结果. 【详解】如图所示： 设与直线l行且与直线l之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 故选：C 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $点线圆间求索，严谨推导，解锁数形结合奥秘 专题5.1 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题 题型精讲 题型归纳： 1.圆上到直线的距离为定值的点的个数 设圆的半径为,圆心到直线的距离为,则 （1）当时,圆上没有点到直线的距离等于; （2）当时,圆上有且只有1个点到直线的距离等于; （3）当或时,圆上有且只有2个点到直线的距离等于; （4）当时,圆上有且只有3个点到直线的距离等于; （5）当时,圆上有且只有4个点到直线的距离等于. 考点预览 目录 考点01 圆上点到直线距离个数 1 考点02 圆上点到直线距离为定值求参数 2 考点03 圆上点到直线距离为定值求直线方程 3 考点04 圆上点到直线距离为定值求圆的半径 4 考点01 圆上点到直线距离个数 1．（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）若圆上不存在到直线的距离为1的点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 3．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知圆上的点到直线的距离为1，则满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点02 圆上点到直线距离为定值求参数 1．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知圆C: 上有且仅有四个点到直线l： 的距离为2，则实数k的取值范围是______   . 2．（2026·天津和平·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 3．（25-26高二上·浙江台州·阶段检测）若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．或. D．或 4．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知圆上存在四个点到直线的距离等于，则实数范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖北·期中）(多选)已知圆，直线，下列说法正确的是（   ） A．当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1 B．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 D．当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1 6．（2026·陕西渭南·一模）(多选)已知圆：，直线：，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线被圆截得的最短弦长为 C．圆与圆有四条公切线 D．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 考点03 圆上点到直线距离为定值求直线方程 1．（25-26高二上·广东江门·期末）已知圆：，直线：，，圆上恰有3个点到直线的距离为，则直线的方程为_____. 2．（25-26高二下·江苏南京·期中）若圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南红河·阶段检测）(多选)已知圆的方程为，若圆上恰好有3个点到直线的距离为1，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江鹤岗·阶段检测）(多选)已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·云南·期中）已知圆 ，在圆上至少存在三个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围为_____. 考点04 圆上点到直线距离为定值求圆的半径 1．（24-25高二上·吉林长春·阶段检测）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）设圆C：上恰好有三个点到直线的距离等于1，则圆半径r的值为（    ） A．2 B．4 C． D．3 3．（25-26高二上·山西运城·期中）若圆上有且只有四个点到直线的距离等于1，则半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江西吉安·期中）若圆上有且仅有两个点到直线的距离为,则半径的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东青岛·期中）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．[3，5] 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $