直线与圆的中定值问题 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的定值问题”核心知识点，先明确题型特征为动直线含参数且代数式恒为定值，再梳理两大解题路径即联立方程与韦达定理结合、特殊探路与一般证明及几何性质应用，接着构建标准解题步骤包括设方程、联立、韦达定理、化简消参等，最后呈现向量数量积、斜率和/积、定点衍生定值等高频模型，形成完整学习支架。 该资料以核心素养为导向，通过特殊探路与一般证明结合培养学生推理能力，步骤化解题原理强化运算能力，例题、变式及实战演练帮助建立模型观念。课中辅助教师系统授课提升效率，课后助力学生回顾方法查漏补缺，有效提升解决定值问题的应用意识。

暑假预习：直线与圆的中定值问题讲义 暑假预习：直线与圆的中定值问题讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 题型特征 动直线与定圆相交（或相切），直线含有参数，无论参数如何变化，某个代数式的值恒不变（定值）。 常见定值目标： ① 向量数量积 为定值； ② 、 为定值； ③ 两条直线斜率之和/积定值； ④ 某线段长度、距离、比值为定值； ⑤ 定点衍生定值（常和定点问题伴生）。 2. 两大主流解题路径 方法1：联立方程 + 韦达定理（通用主流） 动直线与圆联立，得到一元二次方程，设交点 ，借助 把待求表达式全部统一化为 形式，代入化简，参数最终消去，结果为常数。 方法2：特殊探路，一般证明（选择、填空提速） 第一步：取直线两个特殊位置（斜率不存在、斜率为0），算出定值； 第二步：再严格一般性证明大题不能只靠特殊值。 几何思路：部分题目可利用圆的几何性质（圆周角、垂径定理、直径所对圆周角直角）简化运算。 二、解题原理（标准大题步骤） 1. 设动直线方程 注意分类：斜率存在设 ；容易遗漏斜率不存在情形。 若直线过定点，优先设点斜式简化参数。 1. 联立直线与圆方程，整理为一元二次方程； 1. 写出相交条件 （保证交点存在）； 1. 书写韦达结论：； 1. 化简目标表达式 例如： 把 代入，全部转化为 ； 1. 将韦达结果代入代数式，化简消去所有参数，得到常数； 1. 结论：该表达式为求出的常数（定值）。 三、高频经典模型 模型1： 定值 代入韦达， 抵消得到常数。 模型2：斜率和/斜率积定值 分子展开后代入韦达化简。 模型3：动直线过定点前提下衍生定值 很多定值问题的底层前提：动直线恒过圆内/圆上某定点。 识别技巧：参数变化，但关键条件不变。 四、定值问题通用逻辑辨析 定值问题核心：式子中含参数，但经过代数运算后参数全部抵消。 · 若化简后仍然保留参数 → 计算出错； · 若最后只剩常数 → 即为所求定值。 例题分析 例1．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点． (1)当时，求直线的方程； (2)求证：为定值． 例2．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆.若直线与圆交于两点， (1)求的取值范围； (2)证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值. 例3．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若，为（1）中曲线上的两个动点，为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 例4．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆及点和点． (1)求经过点与圆相切的直线方程． (2)求经过点的直线交圆于、两不同点，直线不过圆心，过点、分别作圆的切线，两切线交于点，求证：点恒在一条定直线上； (3)设为满足方程的任意一点，过点作圆的一条切线，切点为．在平面内是否存在一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，说明理由． 变式训练 变式1．（25-26高二上·湖南株洲·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，，且，点P的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)求证：当，是x正半轴上的两个不同点，且时，为定值. 变式2．（25-26高二上·广东·期中）已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 变式3．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆和点. (1)点在圆上运动，且为线段ME的中点，求点的轨迹曲线的方程. (2)设为（1）中曲线上任意一点，过点向圆引一条切线，切点为. （i）求的取值范围. （ii）试探究：在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 变式4．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点为圆上的动点，点，延长至点使得为的中点． (1)求点的轨迹方程． (2)过圆外点向圆引两条切线，且切点分别为两点，求最小值． (3)若直线l：与圆交于两点，且直线的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 实战演练 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知点，，动点满足，记其轨迹为，与轴交于点，过（异于点）作直线的垂线． (1)求曲线的方程； (2)记到的距离为，到的距离为，证明：为定值． 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆经过点和，并且圆心在直线上， (1)求圆的标准方程； (2)直线交圆于两点，若直线的斜率之和为0. 求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：直线与圆的中定值问题讲义 暑假预习：直线与圆的中定值问题讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 题型特征 动直线与定圆相交（或相切），直线含有参数，无论参数如何变化，某个代数式的值恒不变（定值）。 常见定值目标： ① 向量数量积 为定值； ② 、 为定值； ③ 两条直线斜率之和/积定值； ④ 某线段长度、距离、比值为定值； ⑤ 定点衍生定值（常和定点问题伴生）。 2. 两大主流解题路径 方法1：联立方程 + 韦达定理（通用主流） 动直线与圆联立，得到一元二次方程，设交点 ，借助 把待求表达式全部统一化为 形式，代入化简，参数最终消去，结果为常数。 方法2：特殊探路，一般证明（选择、填空提速） 第一步：取直线两个特殊位置（斜率不存在、斜率为0），算出定值； 第二步：再严格一般性证明大题不能只靠特殊值。 几何思路：部分题目可利用圆的几何性质（圆周角、垂径定理、直径所对圆周角直角）简化运算。 二、解题原理（标准大题步骤） 1. 设动直线方程 注意分类：斜率存在设 ；容易遗漏斜率不存在情形。 若直线过定点，优先设点斜式简化参数。 1. 联立直线与圆方程，整理为一元二次方程； 1. 写出相交条件 （保证交点存在）； 1. 书写韦达结论：； 1. 化简目标表达式 例如： 把 代入，全部转化为 ； 1. 将韦达结果代入代数式，化简消去所有参数，得到常数； 1. 结论：该表达式为求出的常数（定值）。 三、高频经典模型 模型1： 定值 代入韦达， 抵消得到常数。 模型2：斜率和/斜率积定值 分子展开后代入韦达化简。 模型3：动直线过定点前提下衍生定值 很多定值问题的底层前提：动直线恒过圆内/圆上某定点。 识别技巧：参数变化，但关键条件不变。 四、定值问题通用逻辑辨析 定值问题核心：式子中含参数，但经过代数运算后参数全部抵消。 · 若化简后仍然保留参数 → 计算出错； · 若最后只剩常数 → 即为所求定值。 例题分析 例1．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点． (1)当时，求直线的方程； (2)求证：为定值． 【答案】(1)或； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出圆的方程，根据，得，分斜率存在和不存在两种情况求解即可； （2）若直线斜率存在，设出直线方程，直线和圆联立方程结合韦达定理可得，利用两点间距离公式列式化简即可，若直线斜率不存在，求得，计算即可得证. 【详解】（1）设圆的半径为， 因为圆与直线：相切， 所以， 所以圆的方程为. 设圆心到直线的距离为，则，即， ①当直线与轴垂直时，易知符合题意； ②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即. 则，得， 所以直线为：， 故直线的方程为或； （2）因为，所以点在圆内， 设，若直线斜率存在，设直线的方程为， 则，化简得， 所以， 因为， 同理可得， 所以， 因为， 所以； 若直线斜率不存在时，则，则， 此时； 综上，为定值，定值为. 例2．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆.若直线与圆交于两点， (1)求的取值范围； (2)证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）联立直线与圆得，结合求参数范围； （2）设，，应用韦达定理及斜率两点式整理化简，即可证. 【详解】（1）将直线代入圆的方程，得， 整理得，且直线与圆有两个交点， 所以，解得，即的取值范围是； （2）设，，由（1）及根与系数的关系得， 所以， 即直线的斜率之和为定值. 例3．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若，为（1）中曲线上的两个动点，为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，-5 【分析】（1）设，利用距离公式得到方程，整理即可得解； （2）设直线和直线的斜率之积为，设，，，即可得到，再由，为圆：上及，消去参数得到关于的方程，解得即可. 【详解】（1）设，由则， 化简得动点的轨迹的方程为． （2）设直线和直线的斜率之积为， 事实上，若，则直线必过原点，从而的坐标为，不合题意，舍去． 设，，，则，①， 则， 又，在圆：上，则，， 所以化简得：， 整理得②， 因为，所以， 从而，又为曲线的动点， 所以展开得， 将①代入：， 化简得：， 将②代入：，整理得：， 因为，所以，从而，所以． 例4．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆及点和点． (1)求经过点与圆相切的直线方程． (2)求经过点的直线交圆于、两不同点，直线不过圆心，过点、分别作圆的切线，两切线交于点，求证：点恒在一条定直线上； (3)设为满足方程的任意一点，过点作圆的一条切线，切点为．在平面内是否存在一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)或； (2) 设，， 由，则，即，又， 则，同理，因此直线为， 由在上，得 所以恒在直线上. (3) 设，依题意，，整理得， 若存在，使为定值，而，， 于是，整理得， 即， 整理得， 要使为定值，则，解得或. 所以存在或，使为定值， 即存在使为定值，定值为； 或存在，使为定值，定值为. 【分析】（1）按切线斜率存在与否分类，借助点到直线距离公式求解. （2）设，，由、可得、 ，即可知的方程，再由点在直线上即可证结论，并确定所在的直线. （3）若，由题设可知，为了验证平面内是否存在一个点，使得为定值，可以假设存在使为定值，利用两点距离公式、圆的切线性质整理可得，要使多项式方程不受点位置影响，需使该多项式方程各项的系数为0，列方程求参数即可判断的存在性. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 点到直线的距离为1，则过点与圆相切的直线可以是； 当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得， 于是切线方程为，即， 所以过点与圆相切的直线方程是或. （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：第三问，设动点，根据比值为定值列方程并整理为含所设参数的整式方程形式，要使比值不受动点的影响只需保证相关项的系数为0，列方程组求参数判断存在性. 变式训练 变式1．（25-26高二上·湖南株洲·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，，且，点P的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)求证：当，是x正半轴上的两个不同点，且时，为定值. 【答案】(1) (2)证明：当，是x正半轴上的两个不同点， 则，且，所以，， ，， 所以， 又，所以， 所以为定值. 【分析】（1）由两点间的距离公式，建立等量关系化简即可得C的方程； （2）由两点间的距离公式，及，化简证明即可. 【详解】（1）因为已知，，， 所以，， 因为，所以， 化简得：， 所以C的方程为：. （2）略 变式2．（25-26高二上·广东·期中）已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)定值， 【分析】（1）设，结合题设列出方程即可求解； （2）设，，，联立直线与曲线的方程，结合韦达定理求得，进而求解即可. 【详解】（1）设，因为，即， 所以， 整理得， 所以曲线的方程为. （2）设，，. 联立方程组得， 所以， 则，， 因为 ， 所以， 故直线OP，OQ的斜率之积为定值，且定值为.    变式3．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆和点. (1)点在圆上运动，且为线段ME的中点，求点的轨迹曲线的方程. (2)设为（1）中曲线上任意一点，过点向圆引一条切线，切点为. （i）求的取值范围. （ii）试探究：在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在定点， 【分析】（1）应用相关点法可求出动点的轨迹曲线的方程； （2）（i）根据，只需找出的最大值和最小值即可求得； （ii）假设在轴上存在定点满足条件，据分析对恒为定值的条件，确定值即可. 【详解】（1）解：设，，则， 由点在圆上运动，得，所以， 则即为点的轨迹曲线的方程. （2）解：（i）依题意可知直线与圆相切于点， 所以， 当（为坐标原点），，三点共线时， 取得最大值7和最小值3， 所以的取值范围为. （ii）设为曲线上任意一点. 假设在轴上存在定点（异于点）满足条件， 设， 因为为圆的切线，且圆的半径为1， 所以. 若对恒为定值， 则必有，得， 所以或（舍去）， 所以在轴上存在定点，使得为定值 变式4．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点为圆上的动点，点，延长至点使得为的中点． (1)求点的轨迹方程． (2)过圆外点向圆引两条切线，且切点分别为两点，求最小值． (3)若直线l：与圆交于两点，且直线的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的值为定值，且定值为 【分析】（1）根据动点轨迹方程利用中点坐标公式可得点的轨迹方程是； （2）利用数量积定义以及基本不等式并结合即可得最小值； （3）联立直线和圆方程并利用韦达定理即可得的表达式，整理即可得出为定值. 【详解】（1）设，动点， 由中点的坐标公式解得，， 又在圆上，可得，即可得， ∴点的轨迹方程是． （2）设．则， ，， 所以： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为． （3）如下图所示： 联立方程组，得， 设，，则， ∴， 故的值为定值，且定值为． 实战演练 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知点，，动点满足，记其轨迹为，与轴交于点，过（异于点）作直线的垂线． (1)求曲线的方程； (2)记到的距离为，到的距离为，证明：为定值． 【答案】(1)且； (2) 由题设及圆的性质，显然直线斜率必存在， 如下图，不妨设，且， 则到的距离为，到的距离为， 令且，则，故， 所以，则， 综上，，为定值. 【分析】（1）利用向量加法、模长的坐标运算，即可求曲线方程； （2）根据题设，且，应用点线距离公式求、，并求出的坐标，得到关于的表达式，即可证结论. 【详解】（1）由题设，则， 所以所求曲线方程为且. （2）略 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆经过点和，并且圆心在直线上， (1)求圆的标准方程； (2)直线交圆于两点，若直线的斜率之和为0. 求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2) 设直线方程为：，由消去y并整理得：， 则有点，而直线：，同理， 于是得直线的斜率， 所以直线的斜率是定值，该定值为. 【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的圆心坐标及半径即可作答. （2）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答. 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段中垂线方程为，即， 依题意，圆C的圆心在直线上，由，得点， 因此圆C的半径， 所以圆C的标准方程是：. （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $