专题04 整式的加减（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材人教版

专题04 整式的加减 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 整式的概念与判定 考点二 同类项 考点三 去括号与添括号 考点四 整式的加减运算 05 重难题型突破 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 写出满足某些特征的单项式 题型四 单项式规律题 题型五 多项式的判断 题型六 多项式的项、项数或次数 题型七 多项式系数、指数中字母求值 题型八 升（降）幂排列 题型九 整式的判断 题型十 同类项的判断 题型十一 已知同类项求参数的值 题型十二 合并同类项 题型十三 去括号 题型十四 添括号 题型十五 整式的加减运算 题型十六 整式加减中的化简求值题 题型十七 整式加减中的无关问题 题型十八 整式加减的应用 题型十九 带有字母的绝对值的化简 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 《整式的加减》是七上期中考试的计算核心，分值占比约25%~40%，主要考查概念辨析（单项式/多项式/整式的判定、系数与次数的识别）、同类项参数求解、去括号与合并同类项三大基础，以及化简求值大题、"与某字母无关"型问题、整体代入、图形周长/分段计费列式等拉分题型；期中易错集中在去括号负号处理、同类项合并误加指数、代入负数忘加括号等环节，复习应优先死磕去括号变号与化简求值步骤，稳拿概念与参数题，再练熟无关型和实际应用列式。试题常结合有理数运算设置符号陷阱，学生主要丢分点集中在去括号漏变号、系数次数判断出错，复习要强化运算步骤规范，落实符号意识与模型观念，熟练掌握先化简再求值、整体代入的代数方法。 识记 ①能说出单项式的定义，单项式的系数和次数；多项式的定义，多项式的项和次数；整式的定义； ②能说出同类项的定义； ③能说出去括号法则，添括号法则，括号前是“+”，去掉括号，括号内各项不变号；括号前是“”，去掉括号，括号内每一项全部变号；括号外有数字因数，要用分配律，乘遍括号里每一项； ④能说出合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 理解 ①理解去括号法则本质是乘法分配律； ②理解整式加减的本质：化简多项式，把复杂式子化为最简整式，方便后续代入求值。化简求值优先先化简，后代入，可以简化计算，减少运算出错； ③理解多项式不含某项”“代数式的值与字母取值无关”：含义是这一项无论字母取何值，这一项的值都是0，所以该项的系数必须等于0。 应用 ①能辨别整式、单项式、多项式；准确找出单项式的系数、次数，判定多项式是几次几项式；区分整式与分母含字母的式子； ②会判断同类项，利用同类项定义列等式，求解字母参数的值； ③熟练运用去括号、合并同类项法则进行整式加减运算；括号外有系数时，不漏乘、不错号； ④化简求值题型：先化简整式，再代入数值计算；负数、分数代入时添加括号，可结合整体代入简化运算； ⑤处理参数题型：多项式不含某一项、代数式的值与字母无关，令对应项的系数等于0，求解参数； ⑥实际问题：读懂文字、图形中的数量关系，列出整式，利用整式加减化简，解决周长、面积、销售数量等实际问题。 考点一 整式的概念与判定 ⚠️概念辨析 （1）单项式 ①概念：由数字与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。 ⚠️易混易错 ②系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 ③次数：单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。 （2）多项式 ①概念：几个单项式的和叫做多项式。 ⚠️易混易错 ②多项式的项与常数项 多项式中，每个单项式叫做多项式的项。多项式中，不含字母的项叫做常数项。 ③多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 ④多项式的命名 （3）整式：单项式与多项式统称为整式。 ⚠️易混易错 考点二 同类项 ⚠️概念辨析 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 （2）判定标准 （3）合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （4）运算步骤 考点三 去括号与添括号 ⚠️概念辨析 （1）去括号法则 （2）添括号法则 考点四 整式的加减运算 ⚠️概念辨析 （1）核心原理：整式的加减本质上是去括号 + 合并同类项。 （2）整式加减实际应用常见题型 题型一 单项式的判断 典例1 （25-26七年级上·广东·阶段检测）下列各式中，是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数与字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不是字母的乘积，不是单项式，故本选项不合题意； B、是数与字母的乘积，是单项式，故本选项符合题意； C、不是字母的乘积，不是单项式，故本选项不合题意； D、不是字母的乘积，不是单项式，故本选项不合题意． 💡破题要诀 有加减不是单项式，分母带字母不是单项式；单独数字字母，数与字母的积才是单项式。 迁移应用 1．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式． 【详解】解：A、是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； B、的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求； C、，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； D、是与的积，符合单项式的定义，符合要求． 2．（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是单独的数，属于单项式；是两个单项式的差，不属于单项式；是字母的积，属于单项式；是数与字母的积，属于单项式， ∴单项式的个数是个． 题型二 单项式的系数、次数 典例1 （26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 【答案】B 【详解】解：． ∵该式的数字因数为9， ∴系数为9，故A选项错误； ∵该代数式是数字与字母的乘积， ∴它是单项式，属于整式，故B选项正确，D选项错误； ∵所有字母的指数和为， ∴次数为4，故C选项错误． 💡破题要诀 系数：数字因数全带走，符号和别漏； 次数：字母指数加一加，省略的指数不能忘，常数零次记心头。 迁移应用 1．（26-27七年级上·重庆·期中）下列说法正确的是（     ） A．的系数是 B．是5次单项式 C．是多项式 D．的常数项是3 【答案】C 【分析】根据单项式的系数，单项式和多项式的定义及常数项等概念逐项分析即可. 【详解】解：A.的系数是，故该选项不正确，不符合题意； B.是3次单项式，故该选项不正确，不符合题意； C.是多项式，故该选项正确，符合题意； D.的常数项是，故该选项不正确，不符合题意. 2．（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）单项式的系数和次数分别是（） A．，5 B．3，5 C． ，6 D． ，3 【答案】A 【详解】解：单项式的数字因数是，所以系数是； 所有字母指数的和是，所以次数是5． 3．（26-27七年级上·四川·期中）单项式的系数是___________，次数是___________． 【答案】 3 【分析】根据单项式的系数是单项式中的数字因数，包括符号；次数是所有字母的指数之和，进行求解即可． 【详解】单项式的数字因数为，即系数是； 字母和的指数分别为2和1，其和为，即次数是3． 题型三 写出满足某些特征的单项式 典例1 （25-26七年级上·河南周口·期末）一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数和． 【详解】解：A选项：系数为2，次数为，不符合要求； B选项：系数为3，次数为2，不符合要求； C选项：系数为，次数为，符合要求； D选项：系数为，次数为1，不符合要求． 💡破题要诀 1. 审题，圈画全部限制条件 常见条件：单项式次数、系数、所含字母、系数正负、系数是整数/分数等； 2. 拆分字母指数（指数为正整数） 总次数 = 各个字母指数相加，指数必须是正整数； 3. 组合系数+字母部分，写出单项式 系数写最前面，紧跟字母及其指数； 4. 回头检验（必做） ① 核对系数，符号、数值是否符合； ② 把所有字母指数相加，验证总次数； ③ 确认只含要求的字母，不多、不少； ④ 确认是单项式（没有加减，分母无字母）。 迁移应用 1．（2026·河南许昌·一模）写出一个含有字母的单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式的定义，由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；本题只要求式子含有字母，且符合单项式定义即可，因此可以写出多种正确结果只需写出含有字母的符合定义的单项式即可． 【详解】解：根据单项式的定义，只要求式子含有字母的单项式，例如：，、等符合要求的结果都正确． 2．（25-26七年级上·北京·期末）写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，系数是单项式中的数字因数且为负数，次数是所有字母的指数之和为4，进行解答即可． 【详解】解：根据题意，系数为负数，次数为4，且含有字母和，因此可构造单项式如，其中系数为，次数为；其他符合条件的有（系数为，次数为）或（系数为，次数为）等． 故答案为：．（答案不唯一） 3．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）①含有字母；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的定义及次数的概念，解题的关键是理解单项式次数是所有字母指数的和，并据此构造符合条件的单项式． 根据单项式次数的定义，确定字母、的指数和为，再写出含有字母、的单项式即可． 【详解】解：根据单项式次数的定义，所有字母的指数和为， 可令的指数为，的指数为， 则满足条件的单项式可以为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 题型四 单项式规律题 典例1 （26-27七年级上·云南·期中）观察下列代数式：，，，，，…，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可知第n个代数式为单项式，其系数为，次数为n，据此可得答案． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推可知第个代数式是． 💡破题要诀 分拆符号、系数、字母指数，三部分单独找规律 1. 符号规律 看正负交替： - 第1项负、第2项正： - 第1项正、第2项负： 代表项数（第项）； 2. 系数绝对值规律 观察系数绝对值：等差、等比、自然数序列，写出第项的系数表达式。 3. 字母、指数规律 ① 看固定含有哪些字母； ② 单独看每个字母的指数，指数大多随项数递增； ③ 分别写出每个字母的指数关于的关系式。 4. 合并三部分 符号 × 系数绝对值 × 字母部分，得到第个单项式。 5. 检验 代入、，验证是否和题目给出的前几项一致。 迁移应用 1．（25-26七年级下·云南德宏·期末）以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】拆分单项式的系数与字母部分，分别寻找规律． 【详解】解：第1个单项式的系数为； 第2个单项式的系数为； 第3个单项式的系数为； 第4个单项式的系数为； ∴ 第个单项式的系数为， 又∵ 所有单项式的字母部分均为， ∴ 第个单项式为． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别从符号、系数绝对值、字母指数三部分归纳式子的规律即可得解． 【详解】解：由题意得，奇数项符号为正，偶数项符号为负， ∴第项的符号为， ∵各项系数的绝对值依次为，即， ∴第项的系数绝对值为， ∵第1项的指数为2，第2项为5，第3项为8，第4项的指数为，第5项为， ∴相邻两项指数差为， ∴第项的指数为， 综上所述，第个式子为． 3．（25-26七年级下·云南玉溪·期末）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察可知，第n个代数式的系数等于，据此可得答案． 【详解】解：第1个代数式为，系数， 第2个代数式为，系数， 第3个代数式为，系数， 第4个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第n个代数式的系数为，即第n个代数式是． 题型五 多项式的判断 典例1 （25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式； 是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法即可． 【详解】解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 💡破题要诀 1. 先拆分式子：把式子以、隔开，拆成多个部分； 2. 检查每一部分都必须是单项式； 3. 所有单项式合起来做加减，才是多项式； 4. 只要分母含有字母，直接排除，不是多项式。 迁移应用 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 【答案】D 【详解】解：A．的最高次项是，次数为，共有个项，是二次三项式，判断正确，不符合题意； B．单独的一个数是单项式，因此是单项式，判断正确，不符合题意； C．，是两个单项式的和，属于多项式，判断正确，不符合题意； D．中是常数，单项式的次数是所有字母的指数和，即，因此次数是不是，判断错误，符合题意． 2．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 【答案】B 【详解】解：A、单项式的次数为，不是，故A错误； B、多项式包含和两个单项式，两项的次数都为，是一次二项式，故B正确； C、单项式的系数为，故C错误； D、多项式中最高次项为，次数为，不是，故D错误． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【答案】C 【详解】解：选项A，中最高次项的次数为2，共有2个单项式，因此它是二次二项式，A错误； 选项B，单项式中，是常数，因此系数为，次数为，B错误； 选项C，单独的一个数是单项式，因此0是单项式，C正确； 选项D，的一次项为，因此一次项的系数为，D错误． 题型六 多项式的项、项数或次数 典例1 （25-26七年级上·广东·阶段检测）多项式的次数和常数项分别是（     ） A．3， B．3，7 C．4， D．2， 【答案】A 【分析】根据多项式次数、项数及常数项的定义即可求解． 【详解】多项式次数取各项次数最大值，、次数均为3，故次数为3；常数项是不含字母的项． 💡破题要诀 （1）找"项"的破题要诀："看到加减号就切一刀，切出来的每块就是一个项" （2）找"项数"的破题要诀 步骤1：用加减号切开 步骤2：数有几块 → 就是几项 步骤3：注意！常数项也算一项 （3）找"次数"的破题要诀 步骤1：找出多项式的每一项 步骤2：分别算出每一项的次数（字母指数求和） 步骤3：取最大值 → 就是多项式的次数。 迁移应用 1．（26-27七年级上·四川·期中）多项式的次数和项数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的次数与项数．根据有几个单项式，就有几项，单项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，多项式有个单项式，所以共有项； 单项式中次数最高的项是，它的次数是，即为该多项式的次数． 2．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）的次数最高项是___，项数是___． 【答案】 【分析】先计算多项式中每个单项式的次数，比较得到次数最高项，数出单项式的个数即可得到项数． 【详解】解：分别计算多项式中每个项的次数： ∵常数项的次数为，的次数为，的次数为，的次数为， ∴比较得， ∴次数最高项是，该多项式共包含个单项式，因此项数是． 3．（26-27七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）多项式的各项系数之积为__________． 【答案】3 【详解】解：多项式的各项系数之积为： . 题型七 多项式系数、指数中字母求值 典例1 （26-27七年级上·北京·期中）多项式是________次________项式． 【答案】 三 三 【详解】解：∵多项式中，的次数为 的次数为，常数项的次数为， ∴最高次数为，故为三次多项式， ∵共有项， ∴是三项式， ∴多项式是三次三项式． 💡破题要诀 多项式的"命名"规则 次数 + 项数 = 完整称呼：几次几项式，次数在前项数后。 迁移应用 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________． 【答案】 【分析】根据二次二项式的定义，最高次数为，且多项式只含两项，据此确定和的值，再计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 2．（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的次数和项数的定义，第一项的次数为，应等于6，且系数不为零． 【详解】解：多项式是关于 ， 的六次三项式，因此最高次项的次数为 6，且共有三项， 第一项 的次数为， 令，得， 所以或， 当时，第一项系数，多项式变为，只有两项，不符合三项式要求， 故， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 【答案】 【分析】多项式中次数最高项的次数为多项式的次数，二次项的数字因数为二次项的系数，求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：因为多项式的次数是5， 所以．                             因为n是该多项式二次项的系数， 所以，                                 所以． 题型八 升（降）幂排列 典例1 （25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 💡破题要诀 第1步：锁定目标字母（题目指定的那个）； 第2步：逐项找出该字母的指数； 第3步：按升/降序排列各项； 第4步：带着符号搬家（符号跟着项走！）； 第5步：检查首项符号（首项不能有"+"）。 迁移应用 1．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）把多项式按照字母升幂排列时，从左到右第二项是：_____． 【答案】 【详解】解：把多项式按照字母升幂排列为， 即从左到右第二项是． 2．（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题思路是先确定多项式中每一项的指数，再按照的指数从高到低排列各项，排列时保留各项原有的符号，不要遗漏项． 【详解】解：确定多项式中各项的指数分别为，按照的降幂排列，即按的指数从大到小排列各项， 可得 3．（2026·吉林长春·一模）将多项式按字母的降幂排列为_____． 【答案】 【详解】解：多项式按字母的降幂排列为 ． 题型九 整式的判断 典例1 （25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． 💡破题要诀 分母里不含字母的代数式，就是整式。 迁移应用 1．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【详解】解：代数式，，，，中，整式有，，，，共4个， 故选：D． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在式子，，，，中，整式的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义，整式包含单项式与多项式，单独的数、数和字母的积是单项式，几个单项式的和是多项式，等式不属于整式，据此判断各式子是否为整式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，单独的数、数与字母的积为单项式，几个单项式的和为多项式，等式不是整式， ∴在给出的式子中，是单独的数，属于单项式（整式）； 是数与字母的积，属于单项式（整式）； 是两个单项式的和，属于多项式（整式）； 是等式，不是整式； 是数与字母的积，属于单项式（整式）， ∴整式的个数有个， 故选：． 3．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式的判断，判断每个式子是否为整式，再统计整式的个数．整式包含单项式与多项式，分母含有字母的式子不属于整式． 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，且分母中含有字母的式子不是整式． ∴是多项式，属于整式． 分母含字母，不是整式． 是多项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 分母含字母，不是整式． 0是单独的数，属于单项式，即整式． ∴整式共有4个． 故选：C 题型十 同类项的判断 典例1 （26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．5 与 x 【答案】C 【分析】所含字母相同、并且相同字母的指数也相同的项是同类项，据此分析即可． 【详解】解：A、与中 x、y 的指数不同，A 错； B、与所含字母不同，B 错； C、与所含字母相同（n 的指数都是 1，m 的指数都是 2），是同类项，C 正确； D、5是常数项，与x不是同类项，D 错． 💡破题要诀 1. 圈出两组式子里面全部字母，对比字母种类是否一模一样； 2. 逐个核对相同字母的指数是否相等； 3. 两项都是常数 → 直接判定为同类项； 4. 两条条件有一条不满足，就不是同类项。 迁移应用 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项．根据定义逐项判断即可．常数项均为同类项． 【详解】解：A、和所含字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母不同，不是同类项； C、和中，不是整式，不是同类项； D、1和都是常数，是同类项． 3．（2026·上海·中考真题）下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 题型十一 已知同类项求参数的值 典例1 （26-27七年级上·四川·期中）若与是同类项，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同类项．根据同类项的定义，两个单项式是同类项需满足相同字母的指数分别相等，列出关于和的方程并求解即可． 【详解】解： 与是同类项， ，， 解得，． 💡破题要诀 1. 找准两个单项式里对应的相同字母； 2. 令相同字母的指数相等，列出方程； 3. 解方程，求出参数； 4. 检验：把求得参数代回去，核对指数是否一致。 迁移应用 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据同类项的定义求出，，代入即可求出答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴． 2．（25-26七年级上·广东·阶段检测）若与是同类项，则___________． 【答案】 【分析】由同类项定义得出的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：由与是同类项，得出， ． 3．（26-27七年级上·上海·期中）如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ . 【答案】13 【分析】根据题意可知两个单项式为同类项，根据同类项的定义，得 和 ，求得，再代入求解即可． 【详解】解：由题意，得单项式 与 是同类项， ∴，， 解得， ∴． 题型十二 合并同类项 典例1 （26-27七年级上·全国·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据同类项定义排除不能合并的错误选项，再计算剩余选项验证结果． 【详解】解：A．、不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项错误，不符合题意； C．、不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意． 💡破题要诀 第1步：找 → 找出多项式中的所有同类项； 第2步：标 → 用不同标记标出各组同类项； 第3步：移 → 利用交换律把同类项移到一起； 第4步：合 → 系数相加，字母部分照搬； 第5步：查 → 检查是否彻底合并、符号是否正确。 迁移应用 1．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 2．（25-26七年级上·山西朔州·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，与y不是同类项，因为它们所含字母不同，不能直接合并，该选项错误，不符合题意； 选项B，与是同类项，根据合并同类项法则，将同类项的系数相加，字母和指数不变，可得，而不是，该选项错误，不符合题意； 选项C，根据去括号法则，当括号前是“”号时，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变，所以，而不是，该选项错误，不符合题意； 选项D，与是同类项，根据合并同类项法则，将同类项的系数相加，字母和指数不变，可得，该选项正确，符合题意． 3．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，故A错误； ，，，故B正确； ，故C错误； ，与结果不同，故D错误. 题型十三 去括号 典例1 （26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列去括号中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号时，括号前是“−”，去括号时括号里各项都要变号法则进行解答即可． 【详解】解：A、，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C正确； D、，故选项D错误． 💡破题要诀 括号前正号，去括不变号； 括号前负号，全部都变号； 外面有数乘，分配不漏乘。 迁移应用 1．（2026·四川德阳·中考真题）下列去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则，括号前为正号去括号后各项不改变符号，括号前为负号去括号后各项改变符号，逐一计算判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项正确，符合题意， D．，故该选项错误，不符合题意． 2．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列去括号：①；②；③；④．其中正确的共有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号、加法运算律等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据整式的加减运算、去括号、加法运算律逐项判断即可． 【详解】解：①，括号前是负号，去括号后括号内各项变号，故①正确； ②，括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，故②正确； ③，应用分配律，故③正确； ④，但原式给出，故④错误． 综上，正确的共有3个． 故答案为：3． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型十四 添括号 典例1 （25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号法则与提公因式，根据添括号法则，即添括号时，括号前为负号，括号里的各项都改变符号，括号前为正号，各项不变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C错误； 选项D、根据添括号法则可得，变形符合规则，则D正确 故选：D． 💡破题要诀 1. 确定要括起来的部分； 2. 看清新添括号前面的符号； 3. 括号前为“-”，括号内每一项正负全部反转；括号前为“+”，内部各项符号保持原样； 4. 检验：去括号还原，看是否和原式一致。 迁移应用 1．（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添括号的法则：括号前是“”时，括号内各项符号不变；括号前是“”时，括号内各项符号改变，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握添括号的法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项添括号错误，不符合题意； B、，故原选项添括号正确，符合题意； C、，故原选项添括号错误，不符合题意； D、，故原选项添括号错误，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号与添括号的法则，按照去括号或添括号的法则进行即可． 【详解】解：A、，故添括号错误； B、，故添括号错误； C、，故去括号错误； D、，故去括号正确． 故选：D． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）． 题型十五 整式的加减运算 典例1 （24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 💡破题要诀 1. 去括号：有括号优先去括号。括号前正号不变号；括号前负号，内部各项全变号；括号外有数字因数，用分配律逐项相乘，不漏乘； 2. 找同类项：标记所有同类项，移动项时连带前面的符号； 3. 合并同类项：同类项系数相加减，字母、字母指数保持不变；不是同类项直接保留； 4. 整理结果：一般按某个字母升幂或降幂排列（题目无要求可不排）； 5. 检查符号、漏项、合并是否彻底。 迁移应用 1．（26-27七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： . （2） 解： . 2．（26-27七年级上·重庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．（26-27七年级上·福建·期中）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)9 (2) (3)10 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型十六 整式加减中的化简求值题 典例1 （26-27七年级上·河南·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简，再将x和y的值代入进行计算即可． 【详解】解： 将，代入，原式． 💡破题要诀 1. 化简（优先做） 有括号先去括号，再合并同类项，化为最简整式。千万不要直接把数值代入原式计算，原式复杂容易算错。 2. 代入数值 看清字母对应的数值，负数、分数代入必须加上括号。 3. 计算结果 按照有理数运算法则算出最终数值。 4. 检验：核对化简过程、代入的数据、乘方计算。 迁移应用 1．（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；10 【分析】先去括号，再合并同类项，得到最简表达式后代入数值计算． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 2．（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将原式去括号合并得到最简结果，再将与的值代入计算即可求出值． 【详解】， 将代入得： 原式． 3．（26-27七年级上·四川·期中）先化简，再求值． ，其中． 【答案】； 【详解】先根据式子，去括号，再合并同类项，最后代值即可． ； ∵，， ∴原式． 题型十七 整式加减中的无关问题 典例1 （25-26七年级上·广东珠海·期中）已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的多项式的定义，根据题意令的系数为即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的多项式不含项， ∴ 解得： 故选：D． 💡破题要诀 1. 化简整式：去括号，合并同类项，整理成标准多项式形式； 2. 分离目标字母的项，提取对应字母的系数； 3. 令该字母的系数 = 0，列方程； 4. 解方程求出参数； 5. 检验：把参数代回，含目标字母项系数为0。 迁移应用 1．（26-27七年级上·甘肃·期中）关于的多项式不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】根据多项式不含二次项，令二次项的系数等于0，建立方程求出a，b的值，最后再代入代数式计算即可． 【详解】解：关于的多项式不含二次项， 且， ∴， ∴． 2．（22-23七年级上·全国·期末）如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 【答案】， 【详解】解：原式 ； ∵多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次， ∴， ∴，． 3．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，利用合并同类项运算法则进行化简即可； （2）由（1）可知，令，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）可知：， 的值与的取值无关， ， 解得． 题型十八 整式加减的应用 典例1 （26-27七年级上·上海·单元测试）是小东做的一道整式运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面（阴影部分即为被墨水弄污的部分），求被墨水遮住的一项． 【答案】被墨水遮住的一项应是 【详解】解： ， 被墨水遮住的一项应是. 💡破题要诀 整式加减的应用，本质就是把生活/几何/实际场景翻译成代数式，再做加减化简。 万变不离其宗：列式子 → 去括号 → 合并同类项 → 化简求值。 常见应用类型 1. 几何类（周长、面积） 长方形、正方形等图形，用字母表示边长，列式计算周长或面积，再化简。 注意：周长、面积公式不能记错。 2. 销售问题 利润、售价、数量之间的关系，用整式表达收入、成本。 3. 文字数量关系：根据描述直接写出两个量的和差。 迁移应用 1．（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥，Y市需要60吨水泥．而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥．已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请求出总运费最少为多少元？         终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 【答案】 总运费最少为23400元． 【分析】设从A市仓库运到X市的水泥为吨，则从A市仓库运到Y市的水泥为吨，从B市仓库运到X市的水泥为吨，从B市仓库运到Y市的水泥为吨，根据题意，求出的范围，列出代数式，表示出总运费，即可得出结果． 【详解】解：设从A市仓库运到X市的水泥为吨，则从A市仓库运到Y市的水泥为吨，从B市仓库运到X市的水泥为吨，从B市仓库运到Y市的水泥为吨， 又因为运输到每个地方的水泥数量都为非负数， 所以， 由题意，总运费为 元； 因为， 所以当时，总运费最小为元． 答：总运费最少为23400元． 2．（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大3，个位数字比十位数字大3，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”，将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记． (1)最小的“叁叁数”是_____． (2)已知都是“叁叁数”，其中（，且a，b，c，d，均为整数），若为完全平方数，且满足除以5的余数为1，则的值为多少？ 【答案】(1)4125 (2)6314 【分析】（1）设，，则，要取最小的“叁叁数”，则a取最小值4，则b最小值为1，又各个数位上的数字均不为零且互不相等，所以d取最小值5，则c最小值为2，从而求得结果； （2）先表示出，从而得，然后求出，则有，然后可得或或或，再求出，即可求出结果． 【详解】（1）解：设， ， ∵各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴要取最小的“叁叁数”，则a取最小值4，则b最小值为1， d取最小值5，则c最小值为2， 最小的“叁叁数”是4125； （2）解：设，， ． ， ， ， ，， ， 除以5的余数为1，， 或， 当时，不是“叁叁数”舍去， 当时，， ， 或或或， 即或或或， ∵b，c均为正整数， 或（舍） ， 若为完全平方数，且满足除以5的余数为1，则s的值为6314． 3．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 【答案】(1)， (2)， ， ， ， (3) 【分析】（1）根据有理数的运算规则运算即可；平移的方框，任选与图1位置不同的位置将值代入运算即可； （2）根据图像将表示出来，再代入进行运算即可； （3）根据（2）将用表示出来，再代入求解即可． 【详解】（1）解：； 当， 则． （2）解：设，则，，． ， ， ， ； 所以，的值为． （3）解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 题型十九 带有字母的绝对值的化简 典例1 （26-27七年级上·北京·期中）有理数，，在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断，再利用有理数的加减运算法则确定符号即可； （2）根据（1）的判断，再化简绝对值，并合并同类项即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 💡破题要诀 判断字母的正负，再脱绝对值符号。 绝对值的性质：。 第1步：找 → 找出所有绝对值符号内的式子； 第2步：判 → 判断每个式子的正负（或零点）； 第3步：分 → 按正负分区讨论（零点分段法）； 第4步：脱 → 按规则去掉绝对值符号； 第5步：合 → 化简合并同类项。 迁移应用 1．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）已知，且满足，，，. (1)请将、、填入下列括号内； (2)若，试求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质，即可求解； （2）根据绝对值的性质，先求出x的值，再代入计算即可. 【详解】（1）解： ，，， ，，， ， ， 则； 、、填入括号内略； （2）解：由题可知，，， ， 原式. 2．（26-27七年级上·江苏宿迁·阶段检测）有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”或“”填空：_______，_______； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 3．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）有理数、、在数轴上的位置如图所示，且． (1)把、、、按照从大到小的顺序用“”连接起来是________； (2)填空：________；________；________；（用“”或“”或“”填空） (3)化简代数式：． 【答案】(1) (2)；； (3) 【分析】（1）根据，即可判断数轴上、、、的位置关系，再比较大小即可； （2）根据数轴上、、的位置关系，即可判断； （3）根据数轴上、、的位置关系，先去绝对值，再加减即可． 【详解】（1）解：，且在原点左边，在原点右边， ， ； （2）解：， ，， ， ； （3）解：根据数轴可得， ， ． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·广东韶关·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．x的系数为0 B．是整式 C．1是单项式 D．系数是4 【答案】C 【分析】本题考查单项式、整式的相关概念，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：x的系数为1，A选项说法错误； 整式的分母中不含字母，分母含字母，是分式不是整式，B选项说法错误； 单独的一个数是单项式，1是单项式，C选项说法正确； 的系数是，D选项说法错误． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，单独的两个数字也叫做同类项，据此逐一判断即可． 【详解】A、与都是常数，是同类项，故此选项符合题意； B、 是常数，不含字母，含字母，不是同类项，故此选项不符合题意； C、不是单项式，与不是同类项，故此选项不符合题意； D、中的指数为 ，的指数为 ，中的指数为 ，的指数为 ，相同字母指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． 4．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）定义运算“”：，下列结论正确的是（     ） A． B．不存在有理数，使 C． D．对任意有理数，都有 【答案】D 【详解】解：A． ，此选项不正确； B． ，，当即时，此选项不正确； C． ，此选项不正确； D． ，，，此选项正确． 5．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】根据不含项即该项系数为0，先合并同类项再列方程求解． 【详解】解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 6．（26-27七年级上·宁夏·期中）长方形的周长为 ，一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得一组邻边的和为，再列式计算即可求解． 【详解】解：∵长方形周长为， ∴一组邻边的和为， ∵一边长为， ∴另一边长为． 7．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可得，且，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，，故选项A、B、C不成立，不符合题意； ∵异号， ∴，故选项D成立，符合题意． 8．（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）将数，填在“○”中，位置如图所示，图中数塔的计算规则如下：将相邻两个“○”中的数相乘，得到“□”中的数，再把两个“□”中的数进行相加得到“结果”．当中间“○”中的数每增加2，且其余“○”内的数保持不变时，“结果”都会（     ） A．减少14 B．增加14 C．减少7 D．增加7 【答案】A 【分析】设中间“○”中的数为x，则左边正方形中的数为，右边正方形中的数为，计算两个数相加的结果，再计算当中间“○”中的数每增加2，此时两个数相加的结果，作差解答即可． 【详解】解：设中间“○”中的数为x，则左边“□”中的数为，右边“□”中的数为，两个数相加的结果是， 当中间“○”中的数每增加2，此时两个数相加的结果是， 根据题意，得， 所以结果减少了14． 9．（2026·河南平顶山·一模）请写出一个系数为，次数为的单项式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式系数与次数的定义求解，满足单项式系数为，次数为即可，答案不唯一． 【详解】解：系数为，次数为的单项式可以写为． 10．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）把多项式按字母的降幂排列是：_____． 【答案】 【分析】先确定多项式各项中字母的指数，再按照的指数从大到小的顺序重新排列各项即可. 【详解】解：原多项式的各项分别为，，，， 各项中的指数依次为，，，， 按字母的降幂排列得： 11．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）若与是同类项，则的值是________． 【答案】4 【详解】∵与是同类项， ∴相同字母的指数相等， ∴，， ∴， ∴． 12．（25-26七年级上·广东·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，掌握法则是解题的关键．本题把系数相加，字母和字母的指数不变即可． 【详解】解：． 13．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有一组单项式为x，，，……根据它们的规律，第n个单项式为________． 【答案】 【分析】分别观察单项式中x的次数、分母与对应序号的关系，总结规律得到结果． 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， ， 可得规律，第个单项式中，分子为，分母为， 因此第个单项式为． 14．（26-27七年级上·安徽·期中）若，则___． 【答案】2 【分析】根据绝对值的性质，在给定范围内去掉绝对值符号进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 15．（26-27七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 16．（26-27七年级上·陕西·期中）化简． (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）原式合并同类项，即可得解； （2）原式去括号合并得到最简结果，把，的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ，， 原式． 17．（26-27七年级上·北京·期中）如果，，且，求． 【答案】 【分析】将变为，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 18．（26-27七年级上·广东·期中）父亲看到嘉悦在做一道数学题：“化简：”．请帮助嘉悦完成下面这两个任务，并说明理由． (1)父亲说：“如果这个问题的标准答案是常数，你能得到a的值么？” (2)父亲又说：“若代入，则这个式子的值是，你能求出a的值么？” 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对原式进行去括号，合并同类项，根据最后的答案为常数，可知的系数为0，从而求出a的值． （2）将代入化简后的式子中，得到一个关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ∵标准答案是常数， ∴ 解得：． （2）由（1）可知：原式，把代入， 得：， 解得：． 19．（26-27七年级上·四川·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，回答下列问题： (1)将下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ___________， ___________， ___________； (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质，可得答案； （2）根据绝对值的性质，化简绝对值得，结合整式的加减运算法则，得出，再根据代数式的值与字母的取值无关，得出，最后求出m的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，， ∴，， ∴，，； （2）解： ， ∵代数式的值与字母的取值无关， ∴， 解得：． 20．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27七年级上·陕西·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．的次数为5 B．多项式的一次项是 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】单项式的系数与次数的定义：单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指所有字母指数的和．多项式的相关定义：几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项． 【详解】解：A. 的次数为4，故本选项不符合题意； B. 多项式的一次项是，故本选项不符合题意； C. 单项式的系数是1，故本选项不符合题意； D. 多项式是二次三项式，故本选项符合题意． 2．（25-26九年级下·重庆綦江·阶段检测）已知整式，其中为自然数，，其中为正整数，，，，均为整数，若，下列说法没有满足条件的单项式；时，有最小值；所有满足条件的整式有个．正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】先根据条件列举所有可能的n和系数组合，再逐一验证三个说法即可． 【详解】解：∵，，为自然数，为正整数， ∴取1，2，3，6， 若是单项式，则除最高次项外其余系数均为0，乘积， 因此没有满足条件的单项式，①正确． 当时，， ∴， 所有满足的有：或或， 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 当时，，最小值为， ∴时，有最小值为，正确； 枚举所有满足条件的整式： 时，，满足条件的整式有，，共个； 时，由得：满足条件的整式有个； 时，，即，满足条件的整式有，，，共个； 时，，即，满足条件的整式有，，，，共个， 总共有个，错误． 综上，正确的说法有个． 3．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 【答案】D 【分析】对原代数式去括号，合并同类项得到最终结果，根据结果判断代数式的值与，的关系． 【详解】解：对原代数式化简如下： 原式 ∵化简后的结果为常数，不含变量和， ∴该代数式的值与，的大小都无关，故选D． 4．（26-27七年级上·广东茂名·阶段检测）若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，，，结合判断，，负数的个数，进而求出式子的值. 【详解】解：， ，，， 原式， ， ，，中负数的个数为偶数（个或个）， ， ，，不可能全正，也不可能全负， ，，中有个负数，个正数， ， 原式． 5．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，互为相反数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的概念，得到，进而可得出答案． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴. ∴ ． 6．（26-27七年级上·江西上饶·阶段检测）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图知，，， ，，， 故A选项正确． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式M中有4个整式是单项式；②存在一个n，使得满足条件的整式M有且仅有2个；③满足条件的整式M共有10个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查整式分类，利用分类讨论思想按的不同取值枚举所有情况，再分别验证三个说法即可． 【详解】解：∵ 为自然数， 为正整数，且 ， ∴， ∴ ， 按分类讨论： 当 时，，得整式，共1个，是单项式； 当 时，，即 ，正整数 可取 ，对应整式为 ，共3个，其中1个是单项式； 当 时，，即 ，正整数 可取 ，对应整式为，，，共3个，其中1个是单项式； 当 时，，得 ，其余系数为0，对应整式 ，共1个，是单项式； 验证说法：① 单项式共有 个，故①正确； ② 各对应整式个数为 ，不存在有且仅有2个的，故②错误； ③ 整式总个数为 个，不是10个，故③错误； 综上，正确的说法共1个，故选B． 8．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）已知整式，其中，为正整数，，，…为整数，且．若满足．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且只有一个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有二次整式共有16个． 其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①由单项式定义：除最高次项外其余系数全部为0，得到后代入等式，求得与的关系，进行列举后将所有整式相加即可． ②按题意将代入条件等式中，可得、之间的关系，再进行列举即可． ③按照题意，二次整式中，，代入后，对的情况逐个枚举即可． 【详解】解：由题可知，，为正整数，，故的值为、、， 由单项式定义可知，， 代入等式左侧： ， 则， 当， ，代入整式后得到单项式， 当，，此时不是整数，舍去， 当， ，代入整式后得到单项式， 得到2个单项式，因此说法①错误． ②时，，的值为、、， 条件式子为：，为整数， 即 或， 当，或，代入整式后得到：， 当，或，代入整式后得到：，， 当，或，代入整式后得到：，； 将上述全部整式相加求和： 故说法②正确． ③当时， 二次整式，， 整式，、为整数． 条件：， 代入， ， 设（为整数），对上述等式变形得， 由绝对值的非负性可知，， 求解得； 对每个整数，的整数解为的个数， 接下来逐个枚举： 1.时：，，，共1个 2.时：，，，，共个； 3.时：，，，，共个； 4.时：，，，，共个； 5.时：，，，，共个； 6.时：，，，，共个； 7.时：，，，，共个； 8.时：，，，共个； 9.时：，，，共个； 总个数为： 说法③正确． 综上所述，正确的个数为2，选择C． 9．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知单项式与的和为单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明二者是同类项，根据同类项定义得到相同字母的指数相等，列方程求解和，再计算即可. 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， ∴，解得：， ∴. 10．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】将所求代数式变形，得到含的式子，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 11．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）小明在求一个多项式减去时，误认为加上，得到的答案是，则正确的答案是_____． 【答案】 【分析】根据题目的条件，先求出原式，再按照题目给的正确做法求出正确结果． 【详解】解：原多项式为 ， 则正确的答案是． 12．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）有理数在数轴上的表示如图所示，那么化简结果为______． 【答案】/ 【分析】由数轴可得，，进而得到，，再根据绝对值的定义化简即可． 【详解】解：由数轴可得，， ，， ． 13．（26-27七年级上·全国·单元测试）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为___________，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有___________个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出                … 【答案】 / 1351 【分析】根据所给输出的结果，发现其系数及次数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… 因为输出结果的系数依次为1，2，3，5，8，13，…，输出结果的次数依次为1，2，3，5，8，…， 所以从第2个输出的结果开始，系数与次数按偶数，奇数，奇数循环， 则， ∴从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1351个． 14．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知整式，其中，且均为整数，n为正整数．若，则满足条件的整式A共有__________个；若，则满足条件的整式共有__________个． 【答案】 【分析】第一个空直接按条件列举系数组合，统计个数；第二个空按的不同取值分类，根据条件列出所有满足，且和为的整数组合，统计总个数即可． 【详解】解：先计算第一个空： 当，时，，满足，，为整数． 满足条件的组合为：；，共个满足条件的整式． 再计算第二个空： 已知，，，所有系数为整数，为正整数，系数共个，因此最小系数和为． 计算得只能取，时最小和大于，无符合条件的整式． 1．当时： ，，得，为正整数，因此，对应个满足条件的整式． 2．当时： ，，按分类： 时，，，得，，共个； 时，，，得，，共个； 时，最小系数和为，无符合条件的组合； 因此时共个满足条件的整式． 3．当时： ，，最小系数和为，刚好等于，仅个组合满足条件，因此共个满足条件的整式． 综上，满足条件的整式总个数为． 15．（26-27七年级上·天津·期中）合并同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： =； （2）解： = =． 16．（26-27七年级上·内蒙古·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入到化简后的结果中计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 17．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）把与代入中，去括号合并后，根据结果不含项和x项，可求出a、b的值； （2）把与代入中，去括号合并后，根据的值始终为，可分别得关于a、b、c的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 18．（26-27七年级上·北京东城·阶段检测）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． (1)如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为　　　　；　 (2)如图2所示，则幻和为　　　　　； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为　　　　． 【答案】(1)15 (2) (3)0 【分析】（1）根据幻和恰好等于中心数的3倍求解即可； （2）根据幻和恰好等于中心数的3倍求解即可； （3）根据“每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”，分别列出等式，然后表示出代数式、的值，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵幻和恰好等于中心数的3倍， ∴幻和为． （2）解：∵幻和恰好等于中心数的3倍， ∴幻和为． （3）解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等， ∵， ∴，， 整理得，． ∴． 19．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）对于一个四位正整数，我们规定：个位数字比十位数字大2，千位数字比百位数字也大2，则称数为“完美数”． (1)请判断5613、7546是不是“完美数”，请说明理由； (2)一个“完美数”M的百位数字是m，个位数字是n，将“完美数”M的个位数字移到最左边，得到一个新的四位数N． ①“完美数”M是否一定能被11整除？如果能，请说明理由，如果不能，请举例说明； ②若m、n满足，求的值． 【答案】(1)5613不是“完美数”，7546是“完美数” (2)①能，理由如下： 因为“完美数”M的百位数字是m，个位数字是n， 所以“完美数”M的千位数字是，十位数字是， “完美数”M是 ， 所以“完美数”M一定能被11整除； ②或 【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可； （2）①由“完美数”的定义得“完美数”M的百位数字是m，个位数字是n，“完美数”M的千位数字是，十位数字是，“完美数”M是，化简即可求解； ②新的四位数N为，据此求出 ，由，、为0~9之间的整数得，；，；，；，，逐一求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以5613不是“完美数”； 因为，， 所以7546是“完美数”； （2）解：①略； ②新的四位数N为 ， 因为，、为之间的整数， 若，， 解得，，（不合题意，舍去） 同理，，（不合题意，舍去） 若，， 解得，， 此时 ， 若，， 解得，， 此时 ， 综上的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的加减 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 整式的概念与判定 考点二 同类项 考点三 去括号与添括号 考点四 整式的加减运算 05 重难题型突破 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 写出满足某些特征的单项式 题型四 单项式规律题 题型五 多项式的判断 题型六 多项式的项、项数或次数 题型七 多项式系数、指数中字母求值 题型八 升（降）幂排列 题型九 整式的判断 题型十 同类项的判断 题型十一 已知同类项求参数的值 题型十二 合并同类项 题型十三 去括号 题型十四 添括号 题型十五 整式的加减运算 题型十六 整式加减中的化简求值题 题型十七 整式加减中的无关问题 题型十八 整式加减的应用 题型十九 带有字母的绝对值的化简 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 《整式的加减》是七上期中考试的计算核心，分值占比约25%~40%，主要考查概念辨析（单项式/多项式/整式的判定、系数与次数的识别）、同类项参数求解、去括号与合并同类项三大基础，以及化简求值大题、"与某字母无关"型问题、整体代入、图形周长/分段计费列式等拉分题型；期中易错集中在去括号负号处理、同类项合并误加指数、代入负数忘加括号等环节，复习应优先死磕去括号变号与化简求值步骤，稳拿概念与参数题，再练熟无关型和实际应用列式。试题常结合有理数运算设置符号陷阱，学生主要丢分点集中在去括号漏变号、系数次数判断出错，复习要强化运算步骤规范，落实符号意识与模型观念，熟练掌握先化简再求值、整体代入的代数方法。 识记 ①能说出单项式的定义，单项式的系数和次数；多项式的定义，多项式的项和次数；整式的定义； ②能说出同类项的定义； ③能说出去括号法则，添括号法则，括号前是“+”，去掉括号，括号内各项不变号；括号前是“”，去掉括号，括号内每一项全部变号；括号外有数字因数，要用分配律，乘遍括号里每一项； ④能说出合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 理解 ①理解去括号法则本质是乘法分配律； ②理解整式加减的本质：化简多项式，把复杂式子化为最简整式，方便后续代入求值。化简求值优先先化简，后代入，可以简化计算，减少运算出错； ③理解多项式不含某项”“代数式的值与字母取值无关”：含义是这一项无论字母取何值，这一项的值都是0，所以该项的系数必须等于0。 应用 ①能辨别整式、单项式、多项式；准确找出单项式的系数、次数，判定多项式是几次几项式；区分整式与分母含字母的式子； ②会判断同类项，利用同类项定义列等式，求解字母参数的值； ③熟练运用去括号、合并同类项法则进行整式加减运算；括号外有系数时，不漏乘、不错号； ④化简求值题型：先化简整式，再代入数值计算；负数、分数代入时添加括号，可结合整体代入简化运算； ⑤处理参数题型：多项式不含某一项、代数式的值与字母无关，令对应项的系数等于0，求解参数； ⑥实际问题：读懂文字、图形中的数量关系，列出整式，利用整式加减化简，解决周长、面积、销售数量等实际问题。 考点一 整式的概念与判定 ⚠️概念辨析 （1）单项式 ①概念：由数字与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。 ⚠️易混易错 ②系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 ③次数：单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。 （2）多项式 ①概念：几个单项式的和叫做多项式。 ⚠️易混易错 ②多项式的项与常数项 多项式中，每个单项式叫做多项式的项。多项式中，不含字母的项叫做常数项。 ③多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 ④多项式的命名 （3）整式：单项式与多项式统称为整式。 ⚠️易混易错 考点二 同类项 ⚠️概念辨析 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 （2）判定标准 （3）合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （4）运算步骤 考点三 去括号与添括号 ⚠️概念辨析 （1）去括号法则 （2）添括号法则 考点四 整式的加减运算 ⚠️概念辨析 （1）核心原理：整式的加减本质上是去括号 + 合并同类项。 （2）整式加减实际应用常见题型 题型一 单项式的判断 典例1 （25-26七年级上·广东·阶段检测）下列各式中，是单项式的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 有加减不是单项式，分母带字母不是单项式；单独数字字母，数与字母的积才是单项式。 迁移应用 1．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二 单项式的系数、次数 典例1 （26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 💡破题要诀 系数：数字因数全带走，符号和别漏； 次数：字母指数加一加，省略的指数不能忘，常数零次记心头。 迁移应用 1．（26-27七年级上·重庆·期中）下列说法正确的是（     ） A．的系数是 B．是5次单项式 C．是多项式 D．的常数项是3 2．（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）单项式的系数和次数分别是（ ） A．，5 B．3，5 C． ，6 D． ，3 3．（26-27七年级上·四川·期中）单项式的系数是___________，次数是___________． 题型三 写出满足某些特征的单项式 典例1 （25-26七年级上·河南周口·期末）一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 审题，圈画全部限制条件 常见条件：单项式次数、系数、所含字母、系数正负、系数是整数/分数等； 2. 拆分字母指数（指数为正整数） 总次数 = 各个字母指数相加，指数必须是正整数； 3. 组合系数+字母部分，写出单项式 系数写最前面，紧跟字母及其指数； 4. 回头检验（必做） ① 核对系数，符号、数值是否符合； ② 把所有字母指数相加，验证总次数； ③ 确认只含要求的字母，不多、不少； ④ 确认是单项式（没有加减，分母无字母）。 迁移应用 1．（2026·河南许昌·一模）写出一个含有字母的单项式：________． 2．（25-26七年级上·北京·期末）写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）①含有字母；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________． 题型四 单项式规律题 典例1 （26-27七年级上·云南·期中）观察下列代数式：，，，，，…，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 分拆符号、系数、字母指数，三部分单独找规律 1. 符号规律 看正负交替： - 第1项负、第2项正： - 第1项正、第2项负： 代表项数（第项）； 2. 系数绝对值规律 观察系数绝对值：等差、等比、自然数序列，写出第项的系数表达式。 3. 字母、指数规律 ① 看固定含有哪些字母； ② 单独看每个字母的指数，指数大多随项数递增； ③ 分别写出每个字母的指数关于的关系式。 4. 合并三部分 符号 × 系数绝对值 × 字母部分，得到第个单项式。 5. 检验 代入、，验证是否和题目给出的前几项一致。 迁移应用 1．（25-26七年级下·云南德宏·期末）以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·云南玉溪·期末）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 题型五 多项式的判断 典例1 （25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式； 是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 先拆分式子：把式子以、隔开，拆成多个部分； 2. 检查每一部分都必须是单项式； 3. 所有单项式合起来做加减，才是多项式； 4. 只要分母含有字母，直接排除，不是多项式。 迁移应用 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 2．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 题型六 多项式的项、项数或次数 典例1 （25-26七年级上·广东·阶段检测）多项式的次数和常数项分别是（     ） A．3， B．3，7 C．4， D．2， 💡破题要诀 （1）找"项"的破题要诀："看到加减号就切一刀，切出来的每块就是一个项" （2）找"项数"的破题要诀 步骤1：用加减号切开 步骤2：数有几块 → 就是几项 步骤3：注意！常数项也算一项 （3）找"次数"的破题要诀 步骤1：找出多项式的每一项 步骤2：分别算出每一项的次数（字母指数求和） 步骤3：取最大值 → 就是多项式的次数。 迁移应用 1．（26-27七年级上·四川·期中）多项式的次数和项数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）的次数最高项是___，项数是___． 3．（26-27七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）多项式的各项系数之积为__________． 题型七 多项式系数、指数中字母求值 典例1 （26-27七年级上·北京·期中）多项式是________次________项式． 💡破题要诀 多项式的"命名"规则 次数 + 项数 = 完整称呼：几次几项式，次数在前项数后。 迁移应用 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________． 2．（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 3．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 题型八 升（降）幂排列 典例1 （25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 第1步：锁定目标字母（题目指定的那个）； 第2步：逐项找出该字母的指数； 第3步：按升/降序排列各项； 第4步：带着符号搬家（符号跟着项走！）； 第5步：检查首项符号（首项不能有"+"）。 迁移应用 1．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）把多项式按照字母升幂排列时，从左到右第二项是：______________________． 2．（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________________． 3．（2026·吉林长春·一模）将多项式按字母的降幂排列为_____． 题型九 整式的判断 典例1 （25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 💡破题要诀 分母里不含字母的代数式，就是整式。 迁移应用 1．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在式子，，，，中，整式的个数为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 题型十 同类项的判断 典例1 （26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．5 与 x 💡破题要诀 1. 圈出两组式子里面全部字母，对比字母种类是否一模一样； 2. 逐个核对相同字母的指数是否相等； 3. 两项都是常数 → 直接判定为同类项； 4. 两条条件有一条不满足，就不是同类项。 迁移应用 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（2026·上海·中考真题）下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 题型十一 已知同类项求参数的值 典例1 （26-27七年级上·四川·期中）若与是同类项，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 找准两个单项式里对应的相同字母； 2. 令相同字母的指数相等，列出方程； 3. 解方程，求出参数； 4. 检验：把求得参数代回去，核对指数是否一致。 迁移应用 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26七年级上·广东·阶段检测）若与是同类项，则___________． 3．（26-27七年级上·上海·期中）如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ . 题型十二 合并同类项 典例1 （26-27七年级上·全国·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 第1步：找 → 找出多项式中的所有同类项； 第2步：标 → 用不同标记标出各组同类项； 第3步：移 → 利用交换律把同类项移到一起； 第4步：合 → 系数相加，字母部分照搬； 第5步：查 → 检查是否彻底合并、符号是否正确。 迁移应用 1．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山西朔州·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十三 去括号 典例1 （26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列去括号中，正确的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 括号前正号，去括不变号； 括号前负号，全部都变号； 外面有数乘，分配不漏乘。 迁移应用 1．（2026·四川德阳·中考真题）下列去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列去括号：①；②；③；④．其中正确的共有______个． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十四 添括号 典例1 （25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 确定要括起来的部分； 2. 看清新添括号前面的符号； 3. 括号前为“-”，括号内每一项正负全部反转；括号前为“+”，内部各项符号保持原样； 4. 检验：去括号还原，看是否和原式一致。 迁移应用 1．（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )． 题型十五 整式的加减运算 典例1 （24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）化简： (1) (2) (3) 💡破题要诀 1. 去括号：有括号优先去括号。括号前正号不变号；括号前负号，内部各项全变号；括号外有数字因数，用分配律逐项相乘，不漏乘； 2. 找同类项：标记所有同类项，移动项时连带前面的符号； 3. 合并同类项：同类项系数相加减，字母、字母指数保持不变；不是同类项直接保留； 4. 整理结果：一般按某个字母升幂或降幂排列（题目无要求可不排）； 5. 检查符号、漏项、合并是否彻底。 迁移应用 1．（26-27七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）化简： (1) (2) 2．（26-27七年级上·重庆·期中）计算： (1)； (2)． 3．（26-27七年级上·福建·期中）计算 (1) (2) (3) 题型十六 整式加减中的化简求值题 典例1 （26-27七年级上·河南·期中）先化简，再求值：，其中，． 💡破题要诀 1. 化简（优先做） 有括号先去括号，再合并同类项，化为最简整式。千万不要直接把数值代入原式计算，原式复杂容易算错。 2. 代入数值 看清字母对应的数值，负数、分数代入必须加上括号。 3. 计算结果 按照有理数运算法则算出最终数值。 4. 检验：核对化简过程、代入的数据、乘方计算。 迁移应用 1．（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，． 2．（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中． 3．（26-27七年级上·四川·期中）先化简，再求值． ，其中． 题型十七 整式加减中的无关问题 典例1 （25-26七年级上·广东珠海·期中）已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 化简整式：去括号，合并同类项，整理成标准多项式形式； 2. 分离目标字母的项，提取对应字母的系数； 3. 令该字母的系数 = 0，列方程； 4. 解方程求出参数； 5. 检验：把参数代回，含目标字母项系数为0。 迁移应用 1．（26-27七年级上·甘肃·期中）关于的多项式不含二次项，求的值． 2．（22-23七年级上·全国·期末）如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 3．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 题型十八 整式加减的应用 典例1 （26-27七年级上·上海·单元测试）是小东做的一道整式运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面（阴影部分即为被墨水弄污的部分），求被墨水遮住的一项． 💡破题要诀 整式加减的应用，本质就是把生活/几何/实际场景翻译成代数式，再做加减化简。 万变不离其宗：列式子 → 去括号 → 合并同类项 → 化简求值。 常见应用类型 1. 几何类（周长、面积） 长方形、正方形等图形，用字母表示边长，列式计算周长或面积，再化简。 注意：周长、面积公式不能记错。 2. 销售问题 利润、售价、数量之间的关系，用整式表达收入、成本。 3. 文字数量关系：根据描述直接写出两个量的和差。 迁移应用 1．（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥，Y市需要60吨水泥．而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥．已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请求出总运费最少为多少元？         终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 2．（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大3，个位数字比十位数字大3，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”，将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记． (1)最小的“叁叁数”是_____． (2)已知都是“叁叁数”，其中（，且a，b，c，d，均为整数），若为完全平方数，且满足除以5的余数为1，则的值为多少？ 3．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 题型十九 带有字母的绝对值的化简 典例1 （26-27七年级上·北京·期中）有理数，，在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 💡破题要诀 判断字母的正负，再脱绝对值符号。 绝对值的性质：。 第1步：找 → 找出所有绝对值符号内的式子； 第2步：判 → 判断每个式子的正负（或零点）； 第3步：分 → 按正负分区讨论（零点分段法）； 第4步：脱 → 按规则去掉绝对值符号； 第5步：合 → 化简合并同类项。 迁移应用 1．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）已知，且满足，，，. (1)请将、、填入下列括号内； (2)若，试求的值. 2．（26-27七年级上·江苏宿迁·阶段检测）有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”或“”填空：_______，_______； (2)化简：． 3．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）有理数、、在数轴上的位置如图所示，且． (1)把、、、按照从大到小的顺序用“”连接起来是________； (2)填空：________；________；________；（用“”或“”或“”填空） (3)化简代数式：． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·广东韶关·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．x的系数为0 B．是整式 C．1是单项式 D．系数是4 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）定义运算“”：，下列结论正确的是（     ） A． B．不存在有理数，使 C． D．对任意有理数，都有 5．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 6．（26-27七年级上·宁夏·期中）长方形的周长为 ，一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）将数，填在“○”中，位置如图所示，图中数塔的计算规则如下：将相邻两个“○”中的数相乘，得到“□”中的数，再把两个“□”中的数进行相加得到“结果”．当中间“○”中的数每增加2，且其余“○”内的数保持不变时，“结果”都会（     ） A．减少14 B．增加14 C．减少7 D．增加7 9．（2026·河南平顶山·一模）请写出一个系数为，次数为的单项式：_______． 10．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）把多项式按字母的降幂排列是：_____． 11．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）若与是同类项，则的值是________． 12．（25-26七年级上·广东·阶段检测）计算：___________． 13．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有一组单项式为x，，，……根据它们的规律，第n个单项式为________． 14．（26-27七年级上·安徽·期中）若，则___． 15．（26-27七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 16．（26-27七年级上·陕西·期中）化简． (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 17．（26-27七年级上·北京·期中）如果，，且，求． 18．（26-27七年级上·广东·期中）父亲看到嘉悦在做一道数学题：“化简：”．请帮助嘉悦完成下面这两个任务，并说明理由． (1)父亲说：“如果这个问题的标准答案是常数，你能得到a的值么？” (2)父亲又说：“若代入，则这个式子的值是，你能求出a的值么？” 19．（26-27七年级上·四川·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，回答下列问题： (1)将下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ___________， ___________， ___________； (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 20．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27七年级上·陕西·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．的次数为5 B．多项式的一次项是 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 2．（25-26九年级下·重庆綦江·阶段检测）已知整式，其中为自然数，，其中为正整数，，，，均为整数，若，下列说法没有满足条件的单项式；时，有最小值；所有满足条件的整式有个．正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 4．（26-27七年级上·广东茂名·阶段检测）若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，互为相反数，则（     ） A． B． C． D． 6．（26-27七年级上·江西上饶·阶段检测）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式M中有4个整式是单项式；②存在一个n，使得满足条件的整式M有且仅有2个；③满足条件的整式M共有10个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）已知整式，其中，为正整数，，，…为整数，且．若满足．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且只有一个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有二次整式共有16个． 其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知单项式与的和为单项式，则________． 10．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，则代数式的值为________． 11．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）小明在求一个多项式减去时，误认为加上，得到的答案是，则正确的答案是_____． 12．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）有理数在数轴上的表示如图所示，那么化简结果为______． 13．（26-27七年级上·全国·单元测试）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为___________，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有___________个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出                … 14．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知整式，其中，且均为整数，n为正整数．若，则满足条件的整式A共有__________个；若，则满足条件的整式共有__________个． 15．（26-27七年级上·天津·期中）合并同类项： (1) (2) 16．（26-27七年级上·内蒙古·期中）先化简，再求值：，其中，． 17．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 18．（26-27七年级上·北京东城·阶段检测）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． (1)如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为　　　　；　 (2)如图2所示，则幻和为　　　　　； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为　　　　． 19．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）对于一个四位正整数，我们规定：个位数字比十位数字大2，千位数字比百位数字也大2，则称数为“完美数”． (1)请判断5613、7546是不是“完美数”，请说明理由； (2)一个“完美数”M的百位数字是m，个位数字是n，将“完美数”M的个位数字移到最左边，得到一个新的四位数N． ①“完美数”M是否一定能被11整除？如果能，请说明理由，如果不能，请举例说明； ②若m、n满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $