专题02 有理数的运算（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材人教版

专题02 有理数的运算 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 有理数的加减法 考点二 有理数的乘除法 考点三 有理数的乘方 考点四 有理数混合运算 考点五 科学记数法与近似数 05 重难题型突破 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数的加法运算律 题型三 省略加号的和的形式 题型四 有理数的加减混合运算 题型五 有理数加减法实际应用 题型六 倒数的定义 题型七 有理数乘除混合运算 题型八 有理数乘除中的简便运算 题型九 有理数乘除法实际应用 题型十 有理数混合运算 题型十一 有理数的乘方运算 题型十二 乘方的应用 题型十三 程序图与有理数的运算 题型十四 科学记数法 题型十五 算24点 题型十六 近似数 题型十七 含乘方的有理数混合运算 题型十八 裂项相消法 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 《有理数的运算》在期中占分约25%～35%，是整张试卷"计算能力"的试金石：命题以混合运算（先乘方→再乘除→后加减→括号优先）为骨架，穿插符号法则（奇负偶正、与的区别）、运算律简算（分配律漏乘是头号丢分点）、科学记数法（带"万/亿"先还原）三大支柱，再披上生活情境（里程/温差/误差）、数轴式子符号判断、新定义运算、偶次方非负性和等外衣；学生失分高度集中在"算成""减法只变第一个符号""乘除混合乱约分""科学记数法超范围""不会用非负性"，因此复习必须把符号意识、运算顺序、简算规范练成肌肉记忆，再辅以情境翻译和数形结合，确保计算题不跳步、应用题先定正负基准再列代数和。 题型兼顾基础计算、概念辨析、实际情境应用题，难题多为数轴动点、规律探究类综合题，命题重视计算步骤和简便运算，符号判断、乘方概念混淆、运算顺序失误是学生主要失分点。 识记 ①能准确复述运算法则，有理数加法法则：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大数符号，大减小；相反数相加得0；有理数减法法则：减一个数等于加它的相反数；有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数乘0都得0；有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；会辨认指数与底数； ②能说出混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号里面；含绝对值：先化简绝对值，再参与运算； ③能说出各运算律，加法交换、结合律；乘法交换、结合、分配律； ④能表示科学记数法与近似数。 理解 ①理解加减不是两套规则，而是一套，减法可统一成“加相反数”；乘除法也可以统一成一种运算，乘除的符号是“计数”不是“感觉”：多个数相乘，不用一个个乘，先算负因数个数（偶正奇负），0一出现结果直接归零； ②理解乘方最考“底数”，的底数是，结果是；的底数是，结果是。括号改变底数，指数只管“重复乘几次”。负数奇次幂负、偶次幂正； ③混合运算不是背顺序，是防跳步：先乘方→再乘除→后加减→括号最优先，同级从左到右；运算律是“看结构再动手”，带分数先拆成整数与真分数的和再分配；小数化分数、同号分组、凑整、同分母结合； ④科学记数法是“移位记数”：不是背格式，而是把小数点移到只剩一位整数，的指数 = 原数和规范数之间移了几位；带“万/亿”先还原成普通数再移，负号挂最外面； ⑤近似数是“精度即信息”：和数值一样但精度不同，末尾不能删；精确到哪一位，看最后一位落在什么数位。 应用 ①能正确、快速完成三步以上的有理数混合运算（含括号、绝对值、乘方），做到先定符号再定顺序； ②能运用运算律进行简便计算，并写出关键步骤； ③能完成新定义运算与程序框图类求值题：读懂规则→正确代入→按顺序计算→回头 检验； ④能把运算技能迁移到实际问题（温差、盈亏、水位变化）与含绝对值的综合计算中。 考点一 有理数的加减法 ⚠️概念辨析 （1）有理数加法法则 口诀：同号加绝对值，异号大减小，符号跟大的走。 （2）有理数减法法则 减法转化为加法：，减去一个数，等于加上这个数的相反数。 口诀："减变加，数变反"，一步都不能少。 （3）有理数加减混合运算（省略加号形式） 步骤： 1. 统一成加法； 2. 省略加号（写成代数和形式）； 3. 灵活结合计算。 （4）运算律 加法交换律： 加法结合律： 简算策略： - 同号结合：正数归正、负数归负 - 凑整结合：和为0、和为整十整百 - 同分母结合：分数加减先找同分母 ⚠️避坑指南 考点二 有理数的乘除法 ⚠️概念辨析 （1）有理数乘法符号法则 口诀：同号得正，异号得负，一数碰0结果就是0。 （2）多个有理数相乘 先数负因数个数，再定符号： - 负因数个数偶数 → 结果正 - 负因数个数奇数 → 结果负 - 只要有一个因数为0 → 结果直接是0（不用数了） （3）有理数除法法则 ①转化为乘法：除以一个数，等于乘这个数的倒数， ②直接定符号再除 - 同号相除 → 正 - 异号相除 → 负 - 0不能作除数 （4）有理数乘除混合运算 1. 统一化为乘法（除法变乘倒数） 2. 确定符号（数负因数个数） 3. 从左到右依次计算（不能跳步约分！） （5）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 ⚠️易混易错 考点三 有理数的乘方 ⚠️概念辨析 求个相同因数乘积的运算叫乘方。 其中，为底数，为指数，为幂。 ⚠️记忆口诀 （1）括号决定底数 口诀："括号包住谁，谁就是底数；没括号，负号在外面等。" （2）符号法则 （3）的周期性 （4）偶次方的非负性 ⚠️易混易错 考点四 有理数混合运算 ⚠️概念辨析 第一：先算括号里（含小括号、中括号），由内到外 第二：先算乘方、开方 第三：再算乘除（从左到右） 第四：最后算加减（从左到右） 同级运算一律从左到右，不可跳步、不可乱交换 考点五 科学记数法与近似数 ⚠️记忆口诀 1.科学记数法 （1）标准形式 整数位数 原数小数点左移到只剩一位整数 （2）带“万/亿/万亿”的处理 口诀：万 ，亿 ，万亿，先乘再移小数点。 2.近似数 （1）四舍五入法 （2）精确度判断 判断方法：看最后一位数字所在的数位。 ⚠️易混易错 题型一 有理数的加法运算 典例1 （26-27七年级上·河北保定·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 💡破题要诀 1. 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加； 2. 异号两数相加：取绝对值较大数的符号，大绝对值减小绝对值；互为相反数相加得0； 3. 一个数同0相加，仍得这个数。 迁移应用 1．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或1 C．1或 D．5或 【答案】A 【分析】先根据绝对值的定义推导a、b的所有可能取值，再结合计算即可． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴或，， ∴或． 2．（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据有理数加法的交换律，结合律，有理数的加法法则解答即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． （6）解：原式 ． （7）解：原式 ． （8）解：原式 ． 题型二 有理数的加法运算律 典例1 （26-27七年级上·天津·阶段检测）下列变形中，运用加法运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】加法交换律、结合律变形时，加数的符号与数值均不改变，据此判断各选项正误． 【详解】解：A选项，，交换加数时符号错误，不符合题意， B选项，，先交换与的位置，再将与结合，符合加法运算律，符合题意， C选项，，改变了加数的数值，不符合题意， D选项，，结合后符号错误，不符合题意． 💡破题要诀 交换律 ，结合律 目的：重新分组，简化计算，优先四类组合：相反数结合、同号结合、同分母结合、凑整结合。 迁移应用 1．（26-27七年级上·甘肃临夏·阶段检测）计算（能用简便方法的用简便方法） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3)18 (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型三 省略加号的和的形式 典例1 （26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）把写成省略加号的和的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把写成省略加号的和的形式为. 💡破题要诀 法则：减去一个数 = 加上这个数的相反数 把加减法统一成加法，再写成省略加号、括号的和式。 读法：两种读法 1. 看成和式：负几、正几、负几……的和 2. 运算读法：几加几减几 口诀：减变加，数变号；去掉括号，保留数字前面的符号。 迁移应用 1．（26-27七年级上·安徽池州·阶段检测）算式写成省略加号和括号的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·期中）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 3．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）将式子写成省略括号的和的形式________． 【答案】 【详解】解：． 题型四 有理数的加减混合运算 典例1 （26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式根据有理数减法法则变形后，再运用加法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 💡破题要诀 1. 将所有减法转化为加相反数； 2. 去掉括号和前面加号，保留每个数字前的符号； 3. 用加法交换、结合律分组简算。 重点：交换数字位置，必须连带前面符号一起移动！ 迁移应用 1．（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）计算 (1)． (2)； 【答案】(1)1 (2)8 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)10 (2) (3)2 (4) 【分析】（1）先化减为加，再利用有理数的加法运算律进行简便运算即可； （2）先化简绝对值，再利用有理数加减运算法则计算即可； （3）直接运用有理数的加法运算律进行简便运算即可； （4）先化减为加，再利用有理数的加法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型五 有理数加减法实际应用 典例1 （26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）工厂生产袋装大米，标准质量为10千克，超过标准记正数，不足记负数．抽检6袋大米记录如下（单位：千克）： (1)抽检的大米中，最重一袋比最轻一袋多多少千克？ (2)求这6袋大米的总质量． 【答案】(1)0.7千克 (2)59.7千克 【分析】（1）超出最多的一袋是多0.3千克，不足最多的一袋为少0.4千克，用即可得到最重一袋比最轻一袋多的重量． （2）用标准质量乘以6，再依次加减抽检的6袋大米的超出或不足部分，即可求出大米的总质量． 【详解】（1）解：超出最多的一袋是多0.3千克，不足最多的一袋为少0.4千克， 所以最重一袋比最轻一袋多： （千克）． （2）解： （千克）． 💡破题要诀 用正数表示增加、上升、超过；负数表示减少、下降、不足，把实际变化翻译成有理数加减算式，再用加减混合运算求解。 题型1：气温变化问题 特征：给出初始温度，多次升温、降温，求最终温度。 公式：最终温度 = 初始温度 + 所有温度变化量 题型2：水位变化 特征：以警戒水位/昨日水位为基准，记录每日水位涨跌。 三类问法： ① 求某日水位；② 判断哪天水位最高、最低；③ 水位总变化。 注意：每日变化是相对前一天，不是相对基准！ 题型3：称重、质量偏差问题 特征：标准质量，记录每袋超出（+）或不足（-）的质量。 总质量 = 标准总质量 + 所有偏差的和 题型4：收支问题 收入为正，支出为负；最终结余=初始金额+全部收支之和。 题型5：路程/爬行问题 小虫来回爬行，向前为正，向后为负。 两个问题： 1. 最终位置：所有数相加； 2. 总爬行路程：全部取绝对值再相加（极易混淆！） 迁移应用 1．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）某语音转文字模型开展识别测试，规定基准正确字数为200字，超出基准的记作正数，不足基准的记作负数．连续10轮测试结果记录如下（单位：字）：，，，，，，，，，． (1)求这10轮测试中，识别正确字数最多的一轮与最少的一轮相差多少字？ (2)求这10轮测试中平均每轮识别正确多少字？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用记录数字里最大的数减去最小的数即可； （2）先算出10个记录数字的总和，除以10得到平均超出（或不足）基准的字数，再加上基准200字，即可求出平均每轮正确字数． 【详解】（1）解：（字）； 答：识别正确字数最多的一轮与最少的一轮相差字； （2）解：（字）， （字）， （字）． 答：这10轮测试中平均每轮识别正确字． 2．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）某停车场从早上到晚上营业，下表是工作人员分五个时段记录的某天车辆进出情况（表示进入停车场，表示离开停车场，单位：辆）： 时段 一 二 三 四 五 进出数量 (1)第三时段结束时，该停车场内的车辆比早上开门时多了还是少了？多（少）多少辆？ (2)晚上关门时，停车场内还剩28辆车，则当天早上开门时停车场内原有多少辆车？ 【答案】(1)该停车场内的车辆比早上开门时少了14辆 (2)当天早上开门时停车场内原有33辆车 【分析】（1）根据有理数的加法进行计算即可求解； （2）先计算五个时段该停车场内的车辆累计变化量，结合题意可得当天早上开门时停车场内的车辆数． 【详解】（1）第三个时段结束时，该停车场内的车辆累计变化量为． 答：该停车场内的车辆比早上开门时少了14辆． （2）五个时段该停车场内的车辆累计变化量为． 因为晚上关门时，停车场内还剩28辆车， 所以早上开门时停车场内车辆总数为． 答：当天早上开门时停车场内原有33辆车． 3．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）2026年3月，“张雪机车”在国际顶级赛事中连续两次获得冠军，让中国摩托行业站上了世界巅峰．某摩托车厂本周内计划每日生产200辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)本周三生产了_____辆摩托车，产量最多的一天比产量最少的一天多生产了_____辆； (2)本周总生产量是多少？本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？ (3)请你赋予表格不同于本题的生活情境，并提出一个相关的问题．（不要求作答） 【答案】(1)， (2)本周总生产量是1409辆，与计划生产量相比是增加了 (3)示例：某水果店一周内计划每日卖出100斤草莓，实际每日销量和计划销量的差值如下表（超过计划的记为正，不足的记为负），请问本周总销量是多少？（答案不唯一，符合题意即可） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 【分析】（1）根据正负数的应用及表格计算即可； （2）用本周7天的计划总产量加上差值，进而判断即可； （3）只要设定类似“以固定值为标准，用正负数表示实际量与标准量的偏差”的生活场景，提出合理问题即可． 【详解】（1）解：每日计划生产200辆，周三增减为， 因此实际产量为辆． 由表格可知最大值为（周四），最小值为（周日）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产了辆． （2）解：本周7天的计划总产量为辆． ， 因此实际总生产量为辆． ∵， ∴总生产量比计划生产量增加了． （3）略． 题型六 倒数的定义 典例1 （26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组数中，互为倒数的是（     ） A． 和 B． 和 C． 和 4 D．以上三组都互为倒数 【答案】D 【分析】乘积是 1 的两个数互为倒数，据此解答即可． 【详解】解：， ， ， 由此得三组数的乘积都等于 1，所以三组数都互为倒数． 💡破题要诀 乘积为1的两个数互为倒数。 迁移应用 1．（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）的倒数是（     ） A． B．4 C． D．25 【答案】B 【分析】根据倒数的定义：乘积是的两个数互为倒数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴的倒数是． 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（     ） A．互为倒数的两个数乘积是1 B．倒数等于它本身的数只有1 C．任何有理数都有倒数 D．绝对值最小的整数是1 【答案】A 【分析】根据倒数的定义，绝对值意义，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵互为倒数的两数乘积为， ∴ A正确； ∵倒数等于自身的数为， ∴ B错误； ∵是有理数且没有倒数， ∴ C错误； ∵绝对值最小的整数是， ∴ D错误． 3．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测） 的倒数是______，相反数是______，绝对值是______． 【答案】 【详解】解： 的倒数是，相反数是，绝对值是． 题型七 有理数乘除混合运算 典例1 （26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加减法计算； （2）先确定结果的符号，再按照顺序计算； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律，最后算加减． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 💡破题要诀 1. 乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0得0； 2. 除法：除以一个不为0的数 = 乘这个数的倒数； 核心转化：全部变乘法，除法化倒数； 3. 符号口诀：负因数个数，奇负偶正（不含0的前提下）； 4. 运算顺序：从左往右；有括号先算括号内；同级不能随便跳顺序。 迁移应用 1．（26-27七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2．（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解：． 3．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）解决下列问题： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【分析】（1）去括号，从左到右依次计算． （2）带分数化为假分数，除法转化为乘法，再约分． （3）运用乘法分配律展开计算． （4）带分数化为假分数，除法转化为乘法． （5）逆用乘法分配律，提取公因数． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ． （4）解：， ， ， ． （5）解：， ， ， ， ． 题型八 有理数乘除中的简便运算 典例1 （26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数加减法法则即可解答； （2）利用乘法分配律简便运算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 💡破题要诀 1. 除法变乘法（乘倒数）；带分数化成假分数； 2. 观察式子，判断用交换结合律，还是分配律； 3. 移动数字连带前面符号； 4. 确定符号：负因数个数，奇负偶正。 迁移应用 1．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第________步开始出现错误，本题运算的正确结果是________； (2)第①步的变形依据是________；（填选项） A．加法交换律    B．乘法交换律    C．加法结合律    D．乘法结合律 (3)计算：． 【答案】(1)⑤； (2)A (3) 【详解】（1）解：原式① ② ③ ④ ⑤； 根据正确解题过程可得：⑤，； （2）解：第①步的变形依据是加法交换律； （3）解： ． 2．（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用有理数加减法则，去括号后进行加减运算； （2）先把小数化为分数，利用加法交换律、结合律分组简便计算； （3）按照有理数混合运算顺序，先乘除，后加减； （4）运用乘法分配律展开计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型九 有理数乘除法实际应用 典例1 （26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）小麦是某省北部农村的主要农作物，今年小麦大丰收，现粮仓里有10袋小麦，已知每袋小麦的标准重量为． (1)求10袋小麦的标准总重量； (2)粮仓里10袋小麦的实际称重记录如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 称重（） 91 91 91.5 89 91.2 91.3 88.7 88.8 91.8 91.1 以上10袋小麦的实际总重量与标准总重量相比，是多还是少?如果多，多多少?如果少，少多少? （i）小想是一位小学生，他的方法是： ________（），没有计算器，小想算得很辛苦，几次结果都不一样，请你带小想算出结果； （ii）小梦是一位中学生，她引入正负数后，算得比较轻松．请你像小梦一样，写出解答过程． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）∵每袋小麦的标准重量为， ∴超过标准重量记为正数，不足记为负数， ∴， 答：这10袋小麦的实际总重量比标准总重量多，多． 【分析】（1）直接利用乘法计算即可； （2）（i）先列式，再结合加法运算律进行简便运算即可；（ii）超过标准重量记为正数，不足记为负数，再列式计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解：（i） . （ii）略 💡破题要诀 正数表示盈利、上升、增加；负数表示亏损、下降、减少。 抓住数量关系：总量 = 单量 × 数量；单量 = 总量 ÷ 数量。 题型1：盈亏问题（必考大题） 利润为正，亏损为负，总盈亏=每件盈亏×件数。 题型2：增长率/变化率问题 增长为正，下降为负。变化量=原有量 × 变化率。 题型3：平均量问题（除法应用） 已知一组数据总和，求平均值：平均值=总和÷个数。 迁移应用 1．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）超市购进8筐白菜，以每筐千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： ，，，，，，，． (1)这8筐白菜一共多少千克？ (2)超市计划这8筐白菜按每千克2元销售，为促销超市决定打9折销售，求这8筐白菜现价比原价便宜了多少钱？ 【答案】(1)这8筐白菜一共234.5千克 (2)便宜了46.9元 【分析】（1）先将记录的数据相加，再加上标准总重量即可求解； （2）用白菜的总重量乘以原价的即可求解． 【详解】（1）解： （千克）， 答：这8筐白菜一共234.5千克； （2）解： （元）， 答：这8筐白菜现价比原价便宜了46.9元． 2．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小江家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶路程与标准的偏差（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 记录值（km） (1)这七天中，路程最多的一天比最少的一天多走多少； (2)这七天平均每天行驶了多少？ 【答案】(1)路程最多的一天比最少的一天多走 (2)这七天平均每天行驶 【分析】（1）找到表格里最大的偏差 30 和最小的偏差，用 30 减去，算出路程最多一天比最少一天多走 48 千米． （2）把 7 个偏差数字相加得到总和 70，用 70 除以 7 得到平均每天多出 10 千米，再加上基准 50 千米，得到七天平均每天行驶 60 千米． 【详解】（1）解：最大数为+30，最小数为−18， ， 答：路程最多的一天比最少的一天多走． （2）解：先算 7 个偏差的总和： ， 平均每天多出的路程： 平均每天行驶路程： 答：这七天平均每天行驶． 3．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）公路养护小组乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：  ，，，，，，. (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)养护过程中，最远处离出发点有多远？ (3)若汽车行驶每百千米耗油量为10升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)正西方向，距离出发地3千米 (2)11千米 (3)升 【分析】（1）将各数相加，得正即在东方，得负即在西方，继而求得答案； （2）根据记录求得每次离开出发地的位置，进而即可求解． （3）首先求各个数的绝对值之和，再由汽车行驶每百千米耗油量为升，即可求得答案． 【详解】（1）解：（千米）． 答：养护小组最后到达的地方在出发点的西面，距出发点3千米． （2）解：，，，，，， ∵ 故养护过程中，最远处离出发点有11千米． （3） （升． 答：这次养护小组的汽车共耗油升． 题型十 有理数混合运算 典例1 （26-27七年级上·陕西渭南·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 💡破题要诀 1. 看：有没有乘方、括号、绝对值 2. 定：运算顺序 3. 化：除法变乘倒数、小数分数按需转化 4. 算：优先简算；先定符号，再算绝对值 5. 查：检查符号、乘方底数。 迁移应用 1．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)0 (3)45 (4) (5)0 (6) 【分析】（1）依题意，根据有理数的加减法法则进行计算即可； （2）原式根据有理数的减法法则变形后，再根据加法交换律和结合律进行计算即可； （3）原式运用乘法分配律进行简算即可； （4）原式先将除法转换为乘法，再约分计算即可； （5）根据有理数乘法法则进行计算即可； （6）原式先将除法转换为乘法，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式； （6）解：原式 ． 2．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）我们规定“※”是一种新的数学运算符号，即．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)10 (2)25 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解： 3．（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）【新定义】对于有理数a，b，定义一种新运算“※”：．例如：． (1)计算：； (2)嘉嘉说：“这种新运算满足交换律，即对于任意有理数a，b，都有．”淇淇说：“你说得不对！”请你通过计算与的值，判断谁的说法正确． 【答案】(1) (2)淇淇的说法正确， ，， 故， 故 ∴淇淇的说法正确． 【详解】（1）解： （2）略 题型十一 有理数的乘方运算 典例1 （26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）式子可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘法以及乘方的意义化简原式即可． 【详解】解：，即选项B符合题意． 💡破题要诀 1. 正数的任何次幂都是正数； 2. 负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 3. 0的正整数次幂等于0；1的任何次幂为1；-1奇次幂-1，偶次幂1。 迁移应用 1．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列各组数中，相等的一组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：A、，，两者不相等，故不符合题意； B、，，结果不同，故不符合题意； C、，，结果相等，故符合题意； D、，，数值不同，故不符合题意； 2．（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘方和乘法的意义进行解答即可． 【详解】解：根据乘方的定义，m个2相乘的结果是， 根据乘法的意义，求n个相同加数3的和，结果是， 两部分相加最终结果为． 3．（26-27七年级上·吉林·期中）在中，负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据乘方、相反数以及绝对值化简的方法进行分析判断即可． 【详解】解：， 其中负数有和，共2个． 题型十二 乘方的应用 典例1 （26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）系列纸张以面积约平方米的纸为基础，纸是纸的一半，纸是纸的一半，纸是纸的一半．以此类推．如图所示，大多数印刷厂用的纸每平方米重克，那么一张纸重约为（     ） A．5克 B．10克 C．20克 D．80克 【答案】A 【分析】根据题中纸是纸的一半，纸是纸的一半，纸是纸的一半，则纸是纸的一半，直接计算即可． 【详解】解：一张纸重约为（克）． 💡破题要诀 这类问题都是成倍增长/成倍衰减， 初始量为，变化次，每次变为原来的倍 最终量：。 迁移应用 1．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满五进一，即“结绳计数”．某天两同学背单词比赛，图①是同学背诵的单词的数量，图②是同学背诵的单词数量．则在这一天，同学比同学多背诵的单词数量是（     ） A．0个 B．9个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先根据含乘方的有理数的运算法则分别求出两位同学背诵的单词数量，即可求出结论． 【详解】解：由题意得：同学背诵的单词数量是， 同学背诵的单词数量是， 则同学比同学多背诵的单词数量是． 2．（26-27七年级上·河北·期中）我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，在电子计算机中用的是二进制，只用两个数码0和1，如：二进制中等于十进制的数5；二进制等于十进制的数23．那么二进制中的101011等于十进制中的数______． 【答案】43 【分析】本题考查有理数的混合运算，认真观察已知给出的两个式子，得出规律，再计算． 【详解】解：二进制． 二进制中的101011等于十进制中的数43． 3．（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）【阅读材料】浮萍是一种生长很快的水生植物．某池塘中的浮萍，每天覆盖的面积都是前一天的2倍．已知第1天浮萍覆盖的面积为，第2天为，第3天为，第4天为，…… 【解决问题】 (1)用幂表示第8天浮萍覆盖的面积，并计算出结果； (2)第几天浮萍覆盖的面积为？ (3)若第20天浮萍恰好长满整个池塘，那么第几天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半？ 【答案】(1)第8天浮萍覆盖的面积为，结果是； (2)第10天浮萍覆盖的面积为； (3)第19天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半． 【分析】（1）先总结出第n天浮萍的覆盖面积是，把代入规律计算即可； （2）根据计算即可； （3）根据乘方的意义作答即可． 【详解】（1）解：第1天面积是， 第2天是， 第3天是， ∴第n天浮萍的覆盖面积是， 当时，； （2）解：∵面积为，， ∴， 即， ∴； （3）解：∵浮萍每天覆盖面积是前一天的2倍，第20天长满池塘， ∴第20天的面积第19天的面积， 即第19天的面积就是第20天满池面积的一半， ∴第9天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半． 题型十三 程序图与有理数的运算 典例1 （26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，A，B，C，D四张卡片各代表一种运算，例如，5按顺序运算，可列式为：，8按顺序运算，可列式为．则按顺序运算的结果为（     ） A．19 B．21 C．23 D．25 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以列出算式，计算即可．理解题目提示的运算顺序是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ∴经过顺序的运算结果为． 💡破题要诀 程序框图题本质：按流程图规定的运算顺序，代入数字一步步计算。 关键：看清输入值、运算式子、判断条件、输出/返回循环。 两大类：一次计算型（无循环）、循环计算型（满足条件重新返回）。‌ 解题四步模板 1. 读框图：理清流程，圈出运算式、判断条件、循环走向； 2. 代数值：把输入数代入，按有理数运算法则计算； 3. 做判断：分支题看条件；循环题判断是否要返回重算； 4. 写结果，循环题记得核对每一步中间结果。 迁移应用 1．（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若输入，则输出的结果是（     ） A．2 B． C．26 D． 【答案】C 【分析】把代入程序计算，直至结果大于10输出． 【详解】解：输入，则， ， ，此时输出，故输出26． 2．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）按图中程序计算，若输出，且x为整数，则________ ． 【答案】或 【详解】解：， 则， 当是循环所得时，， 则， 当是循环所得时，， 因为x为整数，故不符合题意， 综上可知，或 3．（2026七年级上·浙江·专题练习）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________； (2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________ 【答案】 /0.5 1 0 2或7/7或2 【分析】（1）根据题目中的数值转换机，可以写出相应的输出结果； （2）根据题意，利用分类讨论的方法，可以计算出相应的输入数据． 【详解】（1）解：由题意得， 当输入数值是时，，，输出的数值为； 当输入数值是4时，，，，输出的数值为1， 当输入数值是15时， ，，，的相反数是0，，输出的数值为0； （2）解：当按照绝对值输出结果为2时， ∴绝对值为2的非正数是，的相反数为2， ∵， ∴输入数据为2或者7， 当按照倒数输出结果为2时，取倒数后应该为，取相反数前为，一个数减去5后结果为，这个数一定是一个分数，而不可能为整数，因此这种情况时，输入的数据不可能是正整数； 综上，小明输入的正整数是2或7． 题型十四 科学记数法 典例1 （26-27七年级上·河北保定·阶段检测）一个数用科学记数法表示为，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将的小数点向右移动位即可． 【详解】解：． 💡破题要诀 标准形式 整数位数 原数小数点左移到只剩一位整数 迁移应用 1．（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）2026年夏粮大丰收，全国夏粮产量首次突破3000亿斤，其中3000亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数． 【详解】解：3000亿． 2．（26-27七年级上·山东·阶段检测）是一款基于混合专家架构的大语言模型，拥有庞大参数量，知识储备深厚，当前最新版本参数规模为亿．数据亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据科学记数法的一般形式为（，n为整数）确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：亿． 3．（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）2026年7月10日，国家统计局公布全国夏粮总产量达亿斤，历史首次突破亿斤大关．数据亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【详解】解：亿 ． 题型十五 算24点 典例1 （26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）2026年3月，鼓楼实验中学成功举办第三届“数学节”，一个趣味数学游戏是“快算24”，其规则是：随机抽取4个整数，用加减乘除四种运算符号和括号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．小龙参加“快算24”时，抽到的4个数分别是4，5，，11，请你写出一个算式，使其结果为24：_____________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理数的四则运算法则进行求解． 【详解】解：根据题意得，，满足题意， ∴算式为． 💡破题要诀 给定4个数字，每个数字必须用且只用1次，使用加、减、乘、除、乘方、括号，算出结果等于24。 常用核心算式（优先凑这几组） ，，，，， ，，，。 迁移应用 1．（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 2．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）四个有理数3，2，2，1，可通过加、减、乘、除、乘方等运算，使其结果等于24．请写出三个这样的不同的算式． 【答案】；； 【分析】根据有理数的混合运算即可得到答案，运算时注意正确的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号的先算括号里的． 【详解】解：算式1：， 算式2：， 算式3：． 3．（26-27七年级上·陕西·期中）现有4张写着不同数字的卡片，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，则积的最大值是______；从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，则商的最小值是______； (2)从中取出2张卡片，使这两张卡片上的数字经过一次运算后得到的结果最大，你所选择的数字是______，结果的最大值是______； (3)用这4张卡片上的数字写出一个结果为24或的算式．（写出一个符合要求的即可） 【答案】(1)    (2)和    (3) 【分析】（1）积最大，两因数需同号；商最小，除数和被除数需异号； （2）要使经过一次运算后得到的结果最大，应选择乘方运算结果会最大； （3）用4张卡片上的数字写出一个结果为24的算式，且每张卡片上的数字只能用一次，可以考虑，卡片中只有，应凑出一个即可． 【详解】（1）解：从中取出2张卡片，要使这2张卡片上数字的积最大，应选择卡片和卡片，最大值为；要使这2张卡片上数字的商最小，应选择卡片和卡片，则商的最小值是． （2）从中取出2张卡片，使这两张卡片上的数字经过一次运算后得到的结果最大，应选择卡片和卡片，； （3）用这4张卡片上的数字写出一个结果为24或的算式：． 题型十六 近似数 典例1 （26-27七年级上·山东·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．近似数与近似数的精确度相同 B．我国陆地领土万平方千米中的万是准确数 C．近似数万与近似数的精确度相同 D．近似数万与近似数的精确度相同 【答案】D 【分析】逐个分析选项，判断每个数精确到哪一位，区分准确数与近似数． 【详解】解：A、近似数精确到十分位，近似数18精确到个位，精确度不同，此选项不符合题意； B、我国陆地领土960万平方千米中的960万是近似数，不是准确数，此选项不符合题意； C、近似数7万精确到万位，近似数70000精确到个位，精确度不同，此选项不符合题意； D、近似数2.1万精确到千位，近似数精确到千位，精确度相同，此选项符合题意． 💡破题要诀 1. 看清要求：精确到哪一位； 2. 找到这一位，观察它后一位数字； 3. 四舍五入；大数、科学记数法先还原再判断数位。 迁移应用 1．（辽宁大连市金普新区2026-2027学年七年级上学期10月学情自测数学试卷）小商店9月份（30天）的利润是6500元，则小商店9月份平均每天的利润大约为___________元（结果精确到个位）． 【答案】217 【分析】先用除法计算出小商店9月份平均每天的利润，再根据四舍五入的方法求解即可． 【详解】解：（元）． 2．（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）将数5.678用四舍五入法精确到0.01为______． 【答案】5.68 【分析】精确到0.01，需要对千分位上的数字进行四舍五入，根据四舍五入法则即可得到结果． 【详解】解：5.678的千分位数字是8，，向百分位进1， ∴5.678用四舍五入法精确到0.01为5.68． 3．（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·期中）一个三位小数四舍五入保留两位小数时，它的值约是，这个三位小数最大是_____． 【答案】 【分析】四舍五入保留两位小数得到，“四舍”得到近似数时原数更大，因此只需在四舍的情况中求最大的三位小数． 【详解】解：当原三位小数通过“四舍”得到时， ∵ 四舍规则要求千分位上的数小于，舍去后不改变前两位小数， ∴ 千分位最大取，前两位小数为，这个三位小数是． 当原三位小数通过“五入”得到时，原数的前两位为，整体小于，因此这个三位小数最大是． 题型十七 含乘方的有理数混合运算 典例1 （辽宁大连市金普新区2026-2027学年七年级上学期10月学情自测数学试卷）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 💡破题要诀 1. 找所有乘方，分清底数，算出幂（重点区分负号是否在括号内） 2. 处理括号，由内向外 3. 计算乘除，同级从左往右 4. 计算加减 5. 检查符号。 迁移应用 1．（26-27七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 2．（26-27七年级上·安徽合肥·阶段检测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 3．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)25 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十八 裂项相消法 典例1 请你观察： ， ， ；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)猜想并写出：______； (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算： （1）根据题目中的等式，可以写出相应的猜想； （2）根据题目中的式子，通过裂项求和法可以求得所求式子的值； （3）根据题目中式子的特点，先提，再通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ； （3） ． 💡破题要诀 把一项拆成两个分数的差，相加时中间项相互抵消，只剩首尾少数几项，快速求和。 基础公式：。 迁移应用 1．（25-26七年级上·贵州六盘水·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢? 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_____，是第_____个数； （2）我们知道：，，，那么： 用含有的式子表示你发现的规律_____． 【方法展示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： ． 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第次倒出的水量是升水的.按照这种倒水方式，这1升水能否倒完?说明理由． 【答案】 （1），11 （2） （3） （4）这1升水不能倒完，说明如下． 由题意可知，第一次倒出升水；第二次倒出升水； 第三次倒出升水；；第n次倒出升水； 那么总共倒出的水量为 ， ∵n为正整数， ∴，则， ∴这1升水不能倒完． 【分析】本题考查了数字规律的探索以及运用裂项相消法进行求和，解决本题的关键是通过对数列各项的分析找到规律并应用到实际计算中． 【探索活动】（1）观察分数的分母，得到数字规律即可求解； （2）根据题目所给规律总结即可． 【实践应用】（3）运用裂项相消法进行求和即可． 【问题解决】（4）根据题意，依次表示出每次倒出的水量，然后将它们相加，看总和是否等于1升来判断水能否倒完即可． 【详解】解：【探索活动】 （1）观察这组分数， 分子都为1，分母分别为，，，，， ∴根据规律第6个数的分母是， ∴第6个数是， 由此发现规律是第n个数的分母为， 令，即， 解得或（为正整数，舍去）， ∴是第11个数； 故答案为：；11； （2）用含有n的式子表示规律为． 故答案为：． 【实践应用】 （3） ． 【问题解决】 （4）略 2．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）在计算 时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项相消”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项相消”法解下面各题： (1)通过观察，计算 的值 ．（直接写出结果） (2)计算： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： . 3．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数四则混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将分母写成两个连续整数的积的形式即可找出规律； （2）从前面几个式子中找出规律，用n表示即可； （3）利用拆项求求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， … 第8个数：； 是第个数， 故答案为：；． （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律：， 故答案为：． （3） ． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（辽宁大连市金普新区2026-2027学年七年级上学期10月学情自测数学试卷）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项错误； D、，选项正确． 2．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知：，则L=（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘方的定义，加法的意义计算即可求解． 【详解】解：． 3．（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）下列各组数中，互为倒数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：A、，则与不互为倒数，故本选项错误； B、，则与不互为倒数，故本选项错误； C、，则与不互为倒数，故本选项错误； D、，则与互为倒数，故本选项正确． 4．（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）我国天问二号探测器探测目标轨道距太阳约3.74亿千米，下列说法正确的是（     ） A．3.74亿 B． C．3.74亿是一个七位数 D．近似数3.74亿精确到了百分位 【答案】B 【详解】解：A、3.74亿，本选项说法错误； B、3.74亿，本选项说法正确； C、3.74亿，是一个九位数，本选项说法错误； D、近似数3.74亿中，数字4位于百万位，因此精确到百万位，不是百分位，本选项说法错误． 5．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）一个数的倒数等于它的本身，则这个数是（     ） A．1 B． C．0 D．1和 【答案】D 【详解】解：，， 故一个数的倒数等于它本身，则这个数是1，． 6．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）下列各组数中，数值相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：A、，，数值不相等，不符合题意； B、，，数值不相等，不符合题意； C、，，数值相等，符合题意； D、，，数值不相等，不符合题意. 7．（湖南长郡雨花外国语学校教育集团2026-2027学年九年级上学期第一次阶段练习数学试题）一只蚂蚁沿数轴从点向某一个方向移动了个单位长度到达点，若点表示的数是，则点所表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：点A向右移动个单位长度到达点和点A向左移动个单位长度到达点，根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：若点A向右移动个单位长度到达点，则点A表示的数为， 若点A向左移动个单位长度到达点，则点A表示的数为， 综上所述，点所表示的数是或． 8．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）如下是小明对一道题的解题过程： ……第①步 ……第②步 ……第③步 下列判断正确的是（     ） A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【答案】B 【详解】解： ； 故原计算中，第①步没有运用乘法交换律，第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误，导致第③步的结果也错误； 故只有选项B正确． 9．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）把写成省略括号和加号的形式是_______． 【答案】 【详解】解：． 10．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）化简：______________． 【答案】 【分析】根据有理数的除法法则，约分即可得到结果． 【详解】解： ． 11．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）的底数为_________，指数为_________． 【答案】 5 【详解】解：的底数为，指数为5． 12．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）已知，求___________． 【答案】 【详解】解：由绝对值的非负性可得：，， 得， 所以． 13．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）请将“、、、”这四个数运用加、减、乘、除运算得出（可以加括号），写出个运算结果为的算式________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解： ． 14．（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，“，，”表示先逆时针方向旋转5个小格，再顺时针旋转2个小格，再逆时针旋转3个小格；如果一组开锁密码为“，，”，此时标记线对准的刻度线表示数为__________． 【答案】1 【详解】解：， 即此时标记线对准的刻度线表示数为1． 15．（26-27七年级上·广东深圳·阶段检测）将，，，0，1，2，3，4这8个数分别填入如图所示的“幻圆”的8个“圆圈”中，每个数只用一次，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的4个数的和都相等，其中，1，4已填入相应位置，则图中a与b所表示的两个数的和为______. 【答案】 【分析】先计算这8个数的总和为4，再得到每一组四个数的和为2，据此求出与表示的这两个数的和即可． 【详解】根据题意得：这8个数的总和为： 大圆上、小圆上的四个数的和都相等， ∴每个圆中的4个数之和为2， ． 16．（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）如图所示，根据程序计算，若输入m的值是1，则输出的值为__________． 【答案】10 【详解】解：输入m的值是1，则，重新输入； 输入m的值是4，则，重新输入； 输入m的值是7，则，输出． 17．（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）如图，数轴上的点A的初始位置表示的数为1，现在点A作如下移动：第1次从点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去． （1）表示的数为______； （2）如果点与原点的距离不小于25，则n的最小值是______． 【答案】 7 16 【分析】序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加，于是可得到表示的数为；表示的数为，表示的数为；表示的数为，表示的数为；则可判断点与原点的距离不小于时，的最小值是． 【详解】解：第一次点向左移动个单位长度至点，则表示的数，； 第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为； ； 则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为； 表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为； 所以点与原点的距离不小于， 那么的最小值是． 18．（26-27七年级上·山东威海·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 19．（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）某初中数学小组学完有理数加法章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式 ＝________ ＝…… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式_____； (2)题干中横线上空缺的计算结果是_____； (3)按小亮的方法计算：． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据加法法则，省略掉括号即可； （2）根据有理数的加法法则进行计算即可； （3）将带分数化为整数和真分数的和的形式，利用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：原式 0 （3）解： 20．（26-27七年级上·云南曲靖·阶段检测）2026年暑期，某市博物馆举办了“古代科技展”．小明记录了参观当天展馆内人数的变化情况（规定进馆为正，出馆为负）．上午开馆后，记录如下（单位：人）：，，，，， (1)经过上述六次记录后，展馆内的人数比开馆时增加了多少人？ (2)若展馆最多容纳500人，上述记录过程中，展馆内人数是否超过最大容量？ 【答案】(1)增加了110人 (2)没有超过最大容量 【分析】（1）把6次记录的进出馆人数相加，即可求解； （2）计算每次记录时馆内的人数，根据馆内人数最多时与展馆最多容纳人数相比，即可判断． 【详解】（1）解： （人）． 答：经过上述六次记录后，展馆内人数比开馆时增加了110人． （2）解：∵开馆后，第1次记录时人数是120人，第2次记录时人数是（人），第3次记录时人数是（人），第4次记录时人数是（人）， 第5次记录时人数是（人），第6次记录时人数是（人）， ∴人数最多是第5次记录时的人数人， ∵， ∴没有超过最大容量． 21．（26-27七年级上·云南曲靖·阶段检测）某校七年级同学小明在“节约用电”主题活动中，记录了家中一周的用电情况（以每天5度电为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数）．记录如下（单位：度）：，，，0，，， (1)这七天中，用电量最多的一天比用电量最少的一天多用了多少度电？ (2)求这七天小明家总共用电多少度． 【答案】(1)1.1度 (2)35度 【分析】（1）计算出用电量最多的一天为度，用电量最少的一天为度，即可求解； （2）计算出一周超出标准的用电度数和标准的用电度数，即可求解． 【详解】（1）解：用电量最多的一天为度， 用电量最少的一天为度， （度） 答：最多的一天比最少的一天多用了1.1度电． （2）解： ， （度） 答：这七天小明家总共用电35度． 22．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）定义了一种非零有理数运算“”，解答下列问题： 【观察运算】 ①．        ②． ③．    ④． (1)根据以上运算，归纳“”运算的法则： 文字语言：两个非零有理数进行运算时，同号得 ，异号得 ，并把 ； 符号语言：已知两个非零有理数和，其中，，．当时， ； 当时， ． 【运用法则】 (2)利用上述法则，分别计算和，你有什么发现？ 【探究规律】 (3)请你验证下列等式是否成立： ①． ② ③． 你有什么发现？试着用字母表示你发现的规律． 【答案】(1)正，负，绝对值相加；；． (2)，即“”运算满足交换律． (3)等式都成立：“”运算满足结合律，即． 【分析】根据新定义的法则进行解答即可． 【详解】（1）解：根据以上运算，归纳“”运算的法则： 文字语言：两个非零有理数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； 符号语言：已知非零有理数和，其中，，．当时，； 当时，． （2）解：，， 由上可知，，即“”运算满足交换律． （3）解：， ， ∴成立． ， ， ∴成立， ， ， ∴成立． 综上可知，“”运算满足结合律，即． 23．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是______；______；______． (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______（正数、0、负数）？ (3)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ 【答案】(1)，， (2)负数 (3)输入（为非负整数） 【分析】（1）根据“有理数转换器”分别计算即可得出结果； （2）观察流程图的输出端，输出前的最后一步运算只有两种情况，分别分析即可得出结果； （3）要使输出结果是0，根据（2）的分析，最后一步必须是“绝对值”运算，其绝对值的结果为0，故进入“绝对值”框之前的数必须是0，分两种情况：当这个0是由“相反数”框产生的；当这个0是由“输入”或者“加上”产生的，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：输入时，，条件成立， 执行运算，， ∵，是正数， ∴输出的结果为； 输入时，， ∵， ∴输出的结果为； 输入时，， ∵， ∴输出的结果为； （2）解：观察流程图的输出端，输出前的最后一步运算只有两种情况： 当中间结果为正数时，输出其倒数，因为正数的倒数仍然是正数，所以此时输出的是正数； 当中间结果为非正数(负数或0)时，输出其绝对值，因为任何有理数的绝对值都是非负数(即正数或0)，所以此时输出的是正数或0； 综上所述，输出结果只能是正数或0，绝对不可能是负数； （3）解：要使输出结果是0，根据（2）的分析，最后一步必须是“绝对值”运算，其绝对值的结果为0，故进入“绝对值”框之前的数必须是0， 当这个0是由“相反数”框产生的，根据0的相反数是0，可得进入“相反数”框之前的数也必须是0， 当这个0是由“输入”或者“加上”产生的， 当直接输入0时，，走“否”的路径，相反数是0，绝对值是0，输出是0； 当输入一个数，经过一次或多次“加上”后变为， 若经过一次“加上”后变为，则输入的数为， 若经过两次“加上”后变为，则输入的数为， …， 故输入的数可以是的任意正整数倍， 综上所述，输入的数可以是，也可以是的倍数，即输入（为非负整数）． 24．（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）【阅读材料】学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作数轴上表示数a与0的两点间的距离，这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数a与b的两点间的距离，若表示数a的点是点P，表示数b的点是点Q，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数7与5的两点间的距离； 的意义为数轴上表示数2与的两点间的距离； 【知识应用】 (1)数轴上表示的点和表示10的点之间的距离可以表示为______；结果为______； 【知识拓展】 定义：数轴上两点P、Q到原点O的距离之差的绝对值，称为P、Q两点的绝对距离，记作． 【拓展应用】 (2)已知点A表示－4，点B表示2． ①______，______，A、B两点的绝对距离______； ②点C为数轴上一点（不与原点重合），且，请你求出点C表示的数； (3)点M在点N左侧，且，若，点M表示的数______． 【答案】(1)，结果为16 (2)①；②点表示的数为 (3)点表示的数为 【分析】（1）根据定义进行求解即可； （2）① 先求A，B到原点距离，代入定义计算绝对距离； ② 利用等式求出，再列绝对值方程，分类求解点即可； （3）说明，M、N互为相反数，结合与位置求即可． 【详解】（1）解：数轴上表示的点和表示10的点之间的距离可以表示为，结果为； （2）解：①点表示，点表示， ，， ； ②由，，得 ， 即， 设点表示的数为，则， ， 当时，，得或； 当时，，得或， 又点不与原点重合， 点表示的数为； （3）解：， ，即， 到原点距离相等， 在左侧，两点不重合， 表示的数互为相反数， 设点表示的数为，则点表示的数为， ， ，解得， 点表示的数为． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27七年级上·湖南娄底·阶段检测）已知，，且，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由绝对值的意义确定，的值，再根据题意代入即可． 【详解】解：，， ，， ， ∴， 当时，，此时； 当时，，此时． 即的值为或． 2．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）数轴上点表示的数为，，两点表示的数互为相反数，且点到点的距离是3个单位长度，则点表示的数为（     ） A． B．1 C．或 D．1或7 【答案】D 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：点A表示的数是，点B到点A的距离是3个单位长度， 所以点B表示的数是或， 因为点C表示的数和点B表示的数互为相反数， 所以当点B表示的数是时，点C表示的数是1， 当点B表示的数是时，点C表示的数是7， 综上所述，点C表示的数是1或7． 3．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）某童装店用400元购进了8套儿童服装．如果每套儿童服装的售价以55元为标准，高于55元的记作正数，低于55元的记作负数，售价记录如下：，，，，，，0，（单位：元），则卖完这8套儿童服装后该童装店（     ） A．亏损了1元 B．亏损了15元 C．盈利了15元 D．盈利了39元 【答案】D 【分析】先根据正负数的意义计算出这8套儿童服装的销售收入，再减去成本即可得到答案． 【详解】解：根据题意，销售收入为（元）， （元）． 即卖完这8套儿童服装后该童装店盈利了39元． 4．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列各对数中，数值相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】注意带负号的乘方运算中括号对运算顺序的影响，计算各选项的两个数值进行比较． 【详解】解：A选项：，，两数不相等． B选项：，，两数不相等． C选项：，，两数相等． D选项：，，两数不相等． 5．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）下列说法正确的有（     ） ①绝对值最小的有理数是，②相反数大于本身的数是负数，③两数差一定小于被减数，④数轴上原点两侧的数互为相反数，⑤两个数比较，绝对值大的反而小，⑥两个数的和是正数，那么这两个数一定是正数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①绝对值最小的有理数是，说法正确； ②正数的相反数是负数，负数的相反数为正数，的相反数为，则相反数大于本身的数是负数，说法正确； ③，，故两数差一定小于被减数，说法错误； ④原点两侧的数需满足“符号相反且绝对值相等”才是相反数，仅两侧无法保证互为相反数，说法错误； ⑤绝对值大的数反而小仅适用于负数，说法未限定条件，说法错误； ⑥，故两个数的和是正数，那么这两个数一定是正数，说法错误； 综上，正确的有①②，共个． 6．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）点在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和对于以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】由数轴确定 、 的符号与绝对值大小，再逐一判断四个结论． 【详解】解：由数轴可知：， ①∵， ∴，正确； ②∵，， ∴，错误； ③∵，， ∴，正确； ④∵，且 ， ∴，错误； ∴正确的结论是①③． 7．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）我们定义一种新运算：对于有理数m，n有．如，则式子的结果为（     ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新运算定义，将，代入公式，分步计算各部分后合并即可得到结果． 【详解】解：将，代入，得： ． 8．（26-27七年级上·河北·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 二进制数转化为十进制数为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据二进制转化为十进制的方法，可以计算出二进制数对应的十进制数． 【详解】解： ． 9．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）计算的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察算式正负交替的特点，采用分组法求和． 【详解】解：将原式前100项两两分组，得 ∵每组和为，共组， ∴前100项的和为， ∴原式． 10．（26-27七年级上·山东临沂·阶段检测）规定图形表示运算，图形表示运算，那么图形的运算结果为______． 【答案】 【详解】解：图形表示： ． 11．（26-27七年级上·山东临沂·阶段检测）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则______，第2026个格子中的数为______． 【答案】 【分析】根据题意，任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，根据有理数的加法运算列出等式，可求得的值，进而求得的值，再根据规律找到第2026个格子中的数． 【详解】解：因为任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， 所以， 所以， ， 所以， 所以，数据从左到右依次为， 第6个数与第3个数相同，第9个数与第6个数相同，所以， 所以，每3个数“”为一个循环组依次循环， 因为， 所以第2026个格子中的整数与第1个格子中的数相同，为3． 12．（26-27七年级上·安徽池州·阶段检测）在数，3，1，，4中，任意取3个不同的数相乘，其中最大的乘积是_________． 【答案】40 【分析】根据正数大于0，大于负数，以及几个有理数相乘，负号的个数为奇数个时，积为负，负号的个数为偶数个时，积为正，进行求解即可． 【详解】解：乘积最大一定为正数，当三个因数都为正数时，积为，当有两个因数为负数，另一个为最大的正数时，积为， ∵， ∴乘积最大是40． 13．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）若a，b是整数，且，则的最大值与最小值的差为_______． 【答案】10 【详解】解：已知a、b是整数，且两数乘积为，我们先找出所有满足条件的整数数对： ：此时， ：此时， ：此时， ：此时， ：此时， ：此时， 由此可得的最大值是5，最小值是， ∴的最大值与最小值的差为． 14．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费7元/箱，那么该果农本周总净收入________元？ 【答案】5840 【分析】先计算本周销售量与计划量的总差值，得到实际总销售量，再结合每箱的售价和运费计算总净收入． 【详解】解：计算一周销售量与计划量的总差值，， ∵原计划一周总销售量为箱， ∴实际总销售量为箱， ∵每箱净收入为元， ∴本周总净收入为 元． 15．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．从下到上前______个台阶上数的和为30． 【答案】40或51 【详解】解：∵前4个台阶上数的和是，任意相邻四个台阶上数的和都相等， ∴前40个台阶上数的和为， 又∵第2个到第5个台阶的数字之和是3，第3个到第6个台阶的数字之和是3，第4个到第7个台阶的数字之和是3，，，， ∴第个台阶上的数为30， 即从下到上前40个台阶或前51个台阶上的数的和为30． 16．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）阅读下面材料： 小曦在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数，，称为数列，，．计算 ，，，将这三个数的最小值称为数列，，的价值．例如，对于数列，，，因为 ，，，所以数列，，的价值为 ． 小曦进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列，，的价值为；数列，，的价值为； ……经过研究，小曦发现，对于“，，”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为． 根据以上材料，回答下列问题： （1）数列，，的价值为_______________； （2） 将，，这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，若这些数列的价值的最小值为，则的值为________________． 【答案】 或 【分析】（1）根据题干定义，直接计算三个对应值，取最小值即可． （2）根据价值最小值为的条件，分情况讨论求解，再验证排除不符合要求的结果，得到满足的的值． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴数列，，的价值为． （2）已知价值最小值为，分情况讨论， 当时，即， 若，则，解得或，均不符合，舍去， 若，则，解得或， 当时，三个数的和为，可得，此时价值最小值为0，不符合要求，舍去， 符合条件，保留； 若，，不满足条件，舍去； 当时，三个数的和为，即，解得或； 当时，存在排列使得，此时价值最小值小于1，不符合要求，舍去； 当时符合条件，保留； 综上，符合条件的的值为或． 17．（26-27七年级上·江西·阶段检测）段老师将，，，，，，，，，分别写在十张不透明的卡片上． (1)这十个数的和为________，这十个数的积为_________； (2)若从这十个数中选一个数作为底数，另选一个数作为指数，则能得到的最大的幂为________；（写结果） (3)打乱卡片的顺序后，随机发给五位同学各两张卡片．除甲以外，其余每位同学把自己拿到的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结果如表所示．则： 甲 乙 丙 丁 戊 ①甲拿的两张卡片上的数字之和为__________； ②乙拿的两张卡片上的数字之积为__________． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】（1）根据有理数的加减法和乘法运算法则进行计算即可； （2）底数和指数尽可能大，且保证结果为正即可； （3）①用十个数的和减去其他几个同学的结果即可； ②先分析丙拿的两张卡片为和，由结果的正负特征判断甲拿的两张卡片为和，进而确定戊拿的两张卡片为和，寻找剩下卡片中和为1的组合，再求两数的乘积即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：要使幂运算结果最大，则需要底数的绝对值尽可能大，且指数为最大的正偶数， ∴选择作为底数，作为指数， ∴最大的幂为； （3）解：①由（1）可知，十个数的和为， ∴甲拿的两张卡片上的数字之和为； ②∵丙拿的两张卡片上的数字之和为， ∴丙拿的两张卡片上的数字为和， ∵乙、丁、戊拿的两张卡片上的数字之和都是正数， ∴在甲手上， ∴甲拿的两张卡片上的数字为和， ∵戊拿的两张卡片上的数字之和为， ∴戊拿的两张卡片上的数字为和， 剩下卡片为，，，，其中相加为的组合为和， ∴乙拿的两张卡片上的数字为和， ∴乙拿的两张卡片上的数字之积为． 18．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下：，，，，，，， （注：向西记作“－”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)若汽车每千米耗油0.1升，出发前汽车油箱有油10升，求接送8次乘客后汽车油箱还剩多少升油？ 【答案】(1)他此时在出发地A处东边，距A处8千米 (2)接送8次乘客后汽车油箱还剩6.8升油 【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，根据正数在东，可得答案； （2）算出小王师傅总行程的距离，算出耗油量，再用10升减去耗油量可得答案． 【详解】（1）解：（千米）， ∵， ∴ 他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）解：（升）， （升）， 答：接送8次乘客后汽车油箱还剩6.8升油． 19．（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：，；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_____；②_____． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_____． (3)请利用你探究的结论计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据，化简绝对值即可； （2）根据，化简绝对值，然后再进行加减运算即可； （3）先化简绝对值，然后把相邻的前后两项相消求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 则； （3）解：∵， ∴， 则 ． 20．（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的裂项相消法，熟练掌握裂项的规律（根据分母的结构确定拆分形式与系数）并利用抵消简化计算是解题的关键． （1）①观察已知式子的拆分规律，推导的拆分形式；②利用①的拆分规律对式子裂项，再通过抵消计算结果； （2）根据已知的拆分方法（提取），对式子裂项后抵消计算； （3）先确定拆分系数，对式子裂项后抵消计算． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 21．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）小明以和为例进行了纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的探究： 因为， 而， 所以， 所以， 即， 所以． 由左侧推导可知， 所以 ． (1)请仿照上述推导过程，将下列小数化为分数．（写出推导过程） ①；②；③． (2)请计算：． (3)利用，将化为分数形式． 【答案】(1)①因为， 而， 所以， 所以， 即， 所以； ②因为， 而， 所以， 所以， 即， 所以； ③因为， 所以 ． (2) (3) 【分析】（1）仿照题目中的推导过程，将下列小数化为分数即可； （2）由（1）总结纯无限循环小数化为分数的规律，易得，然后进一步计算即可； （3）结合易得，结合，进一步求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，如果小数是纯无限循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，那么分母是由若干个9组成，9的个数与一个循环节的数字的个数相等， ∴， ∴ ； （3）∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 有理数的加减法 考点二 有理数的乘除法 考点三 有理数的乘方 考点四 有理数混合运算 考点五 科学记数法与近似数 05 重难题型突破 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数的加法运算律 题型三 省略加号的和的形式 题型四 有理数的加减混合运算 题型五 有理数加减法实际应用 题型六 倒数的定义 题型七 有理数乘除混合运算 题型八 有理数乘除中的简便运算 题型九 有理数乘除法实际应用 题型十 有理数混合运算 题型十一 有理数的乘方运算 题型十二 乘方的应用 题型十三 程序图与有理数的运算 题型十四 科学记数法 题型十五 算24点 题型十六 近似数 题型十七 含乘方的有理数混合运算 题型十八 裂项相消法 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 《有理数的运算》在期中占分约25%～35%，是整张试卷"计算能力"的试金石：命题以混合运算（先乘方→再乘除→后加减→括号优先）为骨架，穿插符号法则（奇负偶正、与的区别）、运算律简算（分配律漏乘是头号丢分点）、科学记数法（带"万/亿"先还原）三大支柱，再披上生活情境（里程/温差/误差）、数轴式子符号判断、新定义运算、偶次方非负性和等外衣；学生失分高度集中在"算成""减法只变第一个符号""乘除混合乱约分""科学记数法超范围""不会用非负性"，因此复习必须把符号意识、运算顺序、简算规范练成肌肉记忆，再辅以情境翻译和数形结合，确保计算题不跳步、应用题先定正负基准再列代数和。 题型兼顾基础计算、概念辨析、实际情境应用题，难题多为数轴动点、规律探究类综合题，命题重视计算步骤和简便运算，符号判断、乘方概念混淆、运算顺序失误是学生主要失分点。 识记 ①能准确复述运算法则，有理数加法法则：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大数符号，大减小；相反数相加得0；有理数减法法则：减一个数等于加它的相反数；有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数乘0都得0；有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；会辨认指数与底数； ②能说出混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号里面；含绝对值：先化简绝对值，再参与运算； ③能说出各运算律，加法交换、结合律；乘法交换、结合、分配律； ④能表示科学记数法与近似数。 理解 ①理解加减不是两套规则，而是一套，减法可统一成“加相反数”；乘除法也可以统一成一种运算，乘除的符号是“计数”不是“感觉”：多个数相乘，不用一个个乘，先算负因数个数（偶正奇负），0一出现结果直接归零； ②理解乘方最考“底数”，的底数是，结果是；的底数是，结果是。括号改变底数，指数只管“重复乘几次”。负数奇次幂负、偶次幂正； ③混合运算不是背顺序，是防跳步：先乘方→再乘除→后加减→括号最优先，同级从左到右；运算律是“看结构再动手”，带分数先拆成整数与真分数的和再分配；小数化分数、同号分组、凑整、同分母结合； ④科学记数法是“移位记数”：不是背格式，而是把小数点移到只剩一位整数，的指数 = 原数和规范数之间移了几位；带“万/亿”先还原成普通数再移，负号挂最外面； ⑤近似数是“精度即信息”：和数值一样但精度不同，末尾不能删；精确到哪一位，看最后一位落在什么数位。 应用 ①能正确、快速完成三步以上的有理数混合运算（含括号、绝对值、乘方），做到先定符号再定顺序； ②能运用运算律进行简便计算，并写出关键步骤； ③能完成新定义运算与程序框图类求值题：读懂规则→正确代入→按顺序计算→回头 检验； ④能把运算技能迁移到实际问题（温差、盈亏、水位变化）与含绝对值的综合计算中。 考点一 有理数的加减法 ⚠️概念辨析 （1）有理数加法法则 口诀：同号加绝对值，异号大减小，符号跟大的走。 （2）有理数减法法则 减法转化为加法：，减去一个数，等于加上这个数的相反数。 口诀："减变加，数变反"，一步都不能少。 （3）有理数加减混合运算（省略加号形式） 步骤： 1. 统一成加法； 2. 省略加号（写成代数和形式）； 3. 灵活结合计算。 （4）运算律 加法交换律： 加法结合律： 简算策略： - 同号结合：正数归正、负数归负 - 凑整结合：和为0、和为整十整百 - 同分母结合：分数加减先找同分母 ⚠️避坑指南 考点二 有理数的乘除法 ⚠️概念辨析 （1）有理数乘法符号法则 口诀：同号得正，异号得负，一数碰0结果就是0。 （2）多个有理数相乘 先数负因数个数，再定符号： - 负因数个数偶数 → 结果正 - 负因数个数奇数 → 结果负 - 只要有一个因数为0 → 结果直接是0（不用数了） （3）有理数除法法则 ①转化为乘法：除以一个数，等于乘这个数的倒数， ②直接定符号再除 - 同号相除 → 正 - 异号相除 → 负 - 0不能作除数 （4）有理数乘除混合运算 1. 统一化为乘法（除法变乘倒数） 2. 确定符号（数负因数个数） 3. 从左到右依次计算（不能跳步约分！） （5）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 ⚠️易混易错 考点三 有理数的乘方 ⚠️概念辨析 求个相同因数乘积的运算叫乘方。 其中，为底数，为指数，为幂。 ⚠️记忆口诀 （1）括号决定底数 口诀："括号包住谁，谁就是底数；没括号，负号在外面等。" （2）符号法则 （3）的周期性 （4）偶次方的非负性 ⚠️易混易错 考点四 有理数混合运算 ⚠️概念辨析 第一：先算括号里（含小括号、中括号），由内到外 第二：先算乘方、开方 第三：再算乘除（从左到右） 第四：最后算加减（从左到右） 同级运算一律从左到右，不可跳步、不可乱交换 考点五 科学记数法与近似数 ⚠️记忆口诀 1.科学记数法 （1）标准形式 整数位数 原数小数点左移到只剩一位整数 （2）带“万/亿/万亿”的处理 口诀：万 ，亿 ，万亿，先乘再移小数点。 2.近似数 （1）四舍五入法 （2）精确度判断 判断方法：看最后一位数字所在的数位。 ⚠️易混易错 题型一 有理数的加法运算 典例1 （26-27七年级上·河北保定·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加； 2. 异号两数相加：取绝对值较大数的符号，大绝对值减小绝对值；互为相反数相加得0； 3. 一个数同0相加，仍得这个数。 迁移应用 1．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或1 C．1或 D．5或 2．（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 题型二 有理数的加法运算律 典例1 （26-27七年级上·天津·阶段检测）下列变形中，运用加法运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 交换律 ，结合律 目的：重新分组，简化计算，优先四类组合：相反数结合、同号结合、同分母结合、凑整结合。 迁移应用 1．（26-27七年级上·甘肃临夏·阶段检测）计算（能用简便方法的用简便方法） (1) (2) 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 题型三 省略加号的和的形式 典例1 （26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）把写成省略加号的和的形式为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 法则：减去一个数 = 加上这个数的相反数 把加减法统一成加法，再写成省略加号、括号的和式。 读法：两种读法 1. 看成和式：负几、正几、负几……的和 2. 运算读法：几加几减几 口诀：减变加，数变号；去掉括号，保留数字前面的符号。 迁移应用 1．（26-27七年级上·安徽池州·阶段检测）算式写成省略加号和括号的形式为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·期中）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）将式子写成省略括号的和的形式________． 题型四 有理数的加减混合运算 典例1 （26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1)； (2)． 💡破题要诀 1. 将所有减法转化为加相反数； 2. 去掉括号和前面加号，保留每个数字前的符号； 3. 用加法交换、结合律分组简算。 重点：交换数字位置，必须连带前面符号一起移动！ 迁移应用 1．（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）计算 (1)． (2)； 2．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 3．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）计算 (1) (2) (3) (4) 题型五 有理数加减法实际应用 典例1 （26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）工厂生产袋装大米，标准质量为10千克，超过标准记正数，不足记负数．抽检6袋大米记录如下（单位：千克）： (1)抽检的大米中，最重一袋比最轻一袋多多少千克？ (2)求这6袋大米的总质量． 💡破题要诀 用正数表示增加、上升、超过；负数表示减少、下降、不足，把实际变化翻译成有理数加减算式，再用加减混合运算求解。 题型1：气温变化问题 特征：给出初始温度，多次升温、降温，求最终温度。 公式：最终温度 = 初始温度 + 所有温度变化量 题型2：水位变化 特征：以警戒水位/昨日水位为基准，记录每日水位涨跌。 三类问法： ① 求某日水位；② 判断哪天水位最高、最低；③ 水位总变化。 注意：每日变化是相对前一天，不是相对基准！ 题型3：称重、质量偏差问题 特征：标准质量，记录每袋超出（+）或不足（-）的质量。 总质量 = 标准总质量 + 所有偏差的和 题型4：收支问题 收入为正，支出为负；最终结余=初始金额+全部收支之和。 题型5：路程/爬行问题 小虫来回爬行，向前为正，向后为负。 两个问题： 1. 最终位置：所有数相加； 2. 总爬行路程：全部取绝对值再相加（极易混淆！） 迁移应用 1．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）某语音转文字模型开展识别测试，规定基准正确字数为200字，超出基准的记作正数，不足基准的记作负数．连续10轮测试结果记录如下（单位：字）：，，，，，，，，，． (1)求这10轮测试中，识别正确字数最多的一轮与最少的一轮相差多少字？ (2)求这10轮测试中平均每轮识别正确多少字？ 2．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）某停车场从早上到晚上营业，下表是工作人员分五个时段记录的某天车辆进出情况（表示进入停车场，表示离开停车场，单位：辆）： 时段 一 二 三 四 五 进出数量 (1)第三时段结束时，该停车场内的车辆比早上开门时多了还是少了？多（少）多少辆？ (2)晚上关门时，停车场内还剩28辆车，则当天早上开门时停车场内原有多少辆车？ 3．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）2026年3月，“张雪机车”在国际顶级赛事中连续两次获得冠军，让中国摩托行业站上了世界巅峰．某摩托车厂本周内计划每日生产200辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)本周三生产了_____辆摩托车，产量最多的一天比产量最少的一天多生产了_____辆； (2)本周总生产量是多少？本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？ (3)请你赋予表格不同于本题的生活情境，并提出一个相关的问题．（不要求作答） 题型六 倒数的定义 典例1 （26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组数中，互为倒数的是（     ） A． 和 B． 和 C． 和 4 D．以上三组都互为倒数 💡破题要诀 乘积为1的两个数互为倒数。 迁移应用 1．（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）的倒数是（     ） A． B．4 C． D．25 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（     ） A．互为倒数的两个数乘积是1 B．倒数等于它本身的数只有1 C．任何有理数都有倒数 D．绝对值最小的整数是1 3．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测） 的倒数是______，相反数是______，绝对值是______． 题型七 有理数乘除混合运算 典例1 （26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 💡破题要诀 1. 乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0得0； 2. 除法：除以一个不为0的数 = 乘这个数的倒数； 核心转化：全部变乘法，除法化倒数； 3. 符号口诀：负因数个数，奇负偶正（不含0的前提下）； 4. 运算顺序：从左往右；有括号先算括号内；同级不能随便跳顺序。 迁移应用 1．（26-27七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）计算 (1) (2) (3) (4) 2．（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 3．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）解决下列问题： (1) (2) (3) (4) (5) 题型八 有理数乘除中的简便运算 典例1 （26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算： (1)； (2)． 💡破题要诀 1. 除法变乘法（乘倒数）；带分数化成假分数； 2. 观察式子，判断用交换结合律，还是分配律； 3. 移动数字连带前面符号； 4. 确定符号：负因数个数，奇负偶正。 迁移应用 1．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第________步开始出现错误，本题运算的正确结果是________； (2)第①步的变形依据是________；（填选项） A．加法交换律    B．乘法交换律    C．加法结合律    D．乘法结合律 (3)计算：． 2．（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）简便运算： (1)； (2)． 3．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 题型九 有理数乘除法实际应用 典例1 （26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）小麦是某省北部农村的主要农作物，今年小麦大丰收，现粮仓里有10袋小麦，已知每袋小麦的标准重量为． (1)求10袋小麦的标准总重量； (2)粮仓里10袋小麦的实际称重记录如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 称重（） 91 91 91.5 89 91.2 91.3 88.7 88.8 91.8 91.1 以上10袋小麦的实际总重量与标准总重量相比，是多还是少?如果多，多多少?如果少，少多少? （i）小想是一位小学生，他的方法是： ________（），没有计算器，小想算得很辛苦，几次结果都不一样，请你带小想算出结果； （ii）小梦是一位中学生，她引入正负数后，算得比较轻松．请你像小梦一样，写出解答过程． 💡破题要诀 正数表示盈利、上升、增加；负数表示亏损、下降、减少。 抓住数量关系：总量 = 单量 × 数量；单量 = 总量 ÷ 数量。 题型1：盈亏问题（必考大题） 利润为正，亏损为负，总盈亏=每件盈亏×件数。 题型2：增长率/变化率问题 增长为正，下降为负。变化量=原有量 × 变化率。 题型3：平均量问题（除法应用） 已知一组数据总和，求平均值：平均值=总和÷个数。 迁移应用 1．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）超市购进8筐白菜，以每筐千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： ，，，，，，，． (1)这8筐白菜一共多少千克？ (2)超市计划这8筐白菜按每千克2元销售，为促销超市决定打9折销售，求这8筐白菜现价比原价便宜了多少钱？ 2．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小江家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶路程与标准的偏差（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 记录值（km） (1)这七天中，路程最多的一天比最少的一天多走多少； (2)这七天平均每天行驶了多少？ 3．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）公路养护小组乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：  ，，，，，，. (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)养护过程中，最远处离出发点有多远？ (3)若汽车行驶每百千米耗油量为10升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？ 题型十 有理数混合运算 典例1 （26-27七年级上·陕西渭南·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 💡破题要诀 1. 看：有没有乘方、括号、绝对值 2. 定：运算顺序 3. 化：除法变乘倒数、小数分数按需转化 4. 算：优先简算；先定符号，再算绝对值 5. 查：检查符号、乘方底数。 迁移应用 1．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）我们规定“※”是一种新的数学运算符号，即．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 3．（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）【新定义】对于有理数a，b，定义一种新运算“※”：．例如：． (1)计算：； (2)嘉嘉说：“这种新运算满足交换律，即对于任意有理数a，b，都有．”淇淇说：“你说得不对！”请你通过计算与的值，判断谁的说法正确． 题型十一 有理数的乘方运算 典例1 （26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）式子可表示为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 正数的任何次幂都是正数； 2. 负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 3. 0的正整数次幂等于0；1的任何次幂为1；-1奇次幂-1，偶次幂1。 迁移应用 1．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列各组数中，相等的一组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·吉林·期中）在中，负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十二 乘方的应用 典例1 （26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）系列纸张以面积约平方米的纸为基础，纸是纸的一半，纸是纸的一半，纸是纸的一半．以此类推．如图所示，大多数印刷厂用的纸每平方米重克，那么一张纸重约为（     ） A．5克 B．10克 C．20克 D．80克 💡破题要诀 这类问题都是成倍增长/成倍衰减， 初始量为，变化次，每次变为原来的倍 最终量：。 迁移应用 1．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满五进一，即“结绳计数”．某天两同学背单词比赛，图①是同学背诵的单词的数量，图②是同学背诵的单词数量．则在这一天，同学比同学多背诵的单词数量是（     ） A．0个 B．9个 C．4个 D．5个 2．（26-27七年级上·河北·期中）我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，在电子计算机中用的是二进制，只用两个数码0和1，如：二进制中等于十进制的数5；二进制等于十进制的数23．那么二进制中的101011等于十进制中的数______． 3．（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）【阅读材料】浮萍是一种生长很快的水生植物．某池塘中的浮萍，每天覆盖的面积都是前一天的2倍．已知第1天浮萍覆盖的面积为，第2天为，第3天为，第4天为，…… 【解决问题】 (1)用幂表示第8天浮萍覆盖的面积，并计算出结果； (2)第几天浮萍覆盖的面积为？ (3)若第20天浮萍恰好长满整个池塘，那么第几天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半？ 题型十三 程序图与有理数的运算 典例1 （26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，A，B，C，D四张卡片各代表一种运算，例如，5按顺序运算，可列式为：，8按顺序运算，可列式为．则按顺序运算的结果为（     ） A．19 B．21 C．23 D．25 💡破题要诀 程序框图题本质：按流程图规定的运算顺序，代入数字一步步计算。 关键：看清输入值、运算式子、判断条件、输出/返回循环。 两大类：一次计算型（无循环）、循环计算型（满足条件重新返回）。‌ 解题四步模板 1. 读框图：理清流程，圈出运算式、判断条件、循环走向； 2. 代数值：把输入数代入，按有理数运算法则计算； 3. 做判断：分支题看条件；循环题判断是否要返回重算； 4. 写结果，循环题记得核对每一步中间结果。 迁移应用 1．（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若输入，则输出的结果是（     ） A．2 B． C．26 D． 2．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）按图中程序计算，若输出，且x为整数，则________ ． 3．（2026七年级上·浙江·专题练习）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________； (2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________ 题型十四 科学记数法 典例1 （26-27七年级上·河北保定·阶段检测）一个数用科学记数法表示为，则这个数是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 标准形式 整数位数 原数小数点左移到只剩一位整数 迁移应用 1．（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）2026年夏粮大丰收，全国夏粮产量首次突破3000亿斤，其中3000亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·山东·阶段检测）是一款基于混合专家架构的大语言模型，拥有庞大参数量，知识储备深厚，当前最新版本参数规模为亿．数据亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）2026年7月10日，国家统计局公布全国夏粮总产量达亿斤，历史首次突破亿斤大关．数据亿用科学记数法表示为______． 题型十五 算24点 典例1 （26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）2026年3月，鼓楼实验中学成功举办第三届“数学节”，一个趣味数学游戏是“快算24”，其规则是：随机抽取4个整数，用加减乘除四种运算符号和括号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．小龙参加“快算24”时，抽到的4个数分别是4，5，，11，请你写出一个算式，使其结果为24：_____________________． 💡破题要诀 给定4个数字，每个数字必须用且只用1次，使用加、减、乘、除、乘方、括号，算出结果等于24。 常用核心算式（优先凑这几组） ，，，，， ，，，。 迁移应用 1．（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 2．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）四个有理数3，2，2，1，可通过加、减、乘、除、乘方等运算，使其结果等于24．请写出三个这样的不同的算式． 3．（26-27七年级上·陕西·期中）现有4张写着不同数字的卡片，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，则积的最大值是______；从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，则商的最小值是______； (2)从中取出2张卡片，使这两张卡片上的数字经过一次运算后得到的结果最大，你所选择的数字是______，结果的最大值是______； (3)用这4张卡片上的数字写出一个结果为24或的算式．（写出一个符合要求的即可） 题型十六 近似数 典例1 （26-27七年级上·山东·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．近似数与近似数的精确度相同 B．我国陆地领土万平方千米中的万是准确数 C．近似数万与近似数的精确度相同 D．近似数万与近似数的精确度相同 💡破题要诀 1. 看清要求：精确到哪一位； 2. 找到这一位，观察它后一位数字； 3. 四舍五入；大数、科学记数法先还原再判断数位。 迁移应用 1．（辽宁大连市金普新区2026-2027学年七年级上学期10月学情自测数学试卷）小商店9月份（30天）的利润是6500元，则小商店9月份平均每天的利润大约为___________元（结果精确到个位）． 2．（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）将数5.678用四舍五入法精确到0.01为______． 3．（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·期中）一个三位小数四舍五入保留两位小数时，它的值约是，这个三位小数最大是_____． 题型十七 含乘方的有理数混合运算 典例1 （辽宁大连市金普新区2026-2027学年七年级上学期10月学情自测数学试卷）计算： (1)； (2)． 💡破题要诀 1. 找所有乘方，分清底数，算出幂（重点区分负号是否在括号内） 2. 处理括号，由内向外 3. 计算乘除，同级从左往右 4. 计算加减 5. 检查符号。 迁移应用 1．（26-27七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 2．（26-27七年级上·安徽合肥·阶段检测）计算 (1) (2) 3．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十八 裂项相消法 典例1 请你观察： ， ， ；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)猜想并写出：______； (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 💡破题要诀 把一项拆成两个分数的差，相加时中间项相互抵消，只剩首尾少数几项，快速求和。 基础公式：。 迁移应用 1．（25-26七年级上·贵州六盘水·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢? 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_____，是第_____个数； （2）我们知道：，，，那么： 用含有的式子表示你发现的规律_____． 【方法展示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： ． 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第次倒出的水量是升水的.按照这种倒水方式，这1升水能否倒完?说明理由． 2．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）在计算 时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项相消”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项相消”法解下面各题： (1)通过观察，计算 的值 ．（直接写出结果） (2)计算： (3)计算： 3．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（辽宁大连市金普新区2026-2027学年七年级上学期10月学情自测数学试卷）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知：，则L=（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）下列各组数中，互为倒数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）我国天问二号探测器探测目标轨道距太阳约3.74亿千米，下列说法正确的是（     ） A．3.74亿 B． C．3.74亿是一个七位数 D．近似数3.74亿精确到了百分位 5．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）一个数的倒数等于它的本身，则这个数是（     ） A．1 B． C．0 D．1和 6．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）下列各组数中，数值相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．（湖南长郡雨花外国语学校教育集团2026-2027学年九年级上学期第一次阶段练习数学试题）一只蚂蚁沿数轴从点向某一个方向移动了个单位长度到达点，若点表示的数是，则点所表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 8．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）如下是小明对一道题的解题过程： ……第①步 ……第②步 ……第③步 下列判断正确的是（     ） A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 9．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）把写成省略括号和加号的形式是_______． 10．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）化简：______________． 11．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）的底数为_________，指数为_________． 12．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）已知，求___________． 13．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）请将“、、、”这四个数运用加、减、乘、除运算得出（可以加括号），写出个运算结果为的算式________ 14．（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，“，，”表示先逆时针方向旋转5个小格，再顺时针旋转2个小格，再逆时针旋转3个小格；如果一组开锁密码为“，，”，此时标记线对准的刻度线表示数为__________． 15．（26-27七年级上·广东深圳·阶段检测）将，，，0，1，2，3，4这8个数分别填入如图所示的“幻圆”的8个“圆圈”中，每个数只用一次，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的4个数的和都相等，其中，1，4已填入相应位置，则图中a与b所表示的两个数的和为______. 16．（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）如图所示，根据程序计算，若输入m的值是1，则输出的值为__________． 17．（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）如图，数轴上的点A的初始位置表示的数为1，现在点A作如下移动：第1次从点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去． （1）表示的数为______； （2）如果点与原点的距离不小于25，则n的最小值是______． 18．（26-27七年级上·山东威海·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 19．（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）某初中数学小组学完有理数加法章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式 ＝________ ＝…… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式_____； (2)题干中横线上空缺的计算结果是_____； (3)按小亮的方法计算：． 20．（26-27七年级上·云南曲靖·阶段检测）2026年暑期，某市博物馆举办了“古代科技展”．小明记录了参观当天展馆内人数的变化情况（规定进馆为正，出馆为负）．上午开馆后，记录如下（单位：人）：，，，，， (1)经过上述六次记录后，展馆内的人数比开馆时增加了多少人？ (2)若展馆最多容纳500人，上述记录过程中，展馆内人数是否超过最大容量？ 21．（26-27七年级上·云南曲靖·阶段检测）某校七年级同学小明在“节约用电”主题活动中，记录了家中一周的用电情况（以每天5度电为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数）．记录如下（单位：度）：，，，0，，， (1)这七天中，用电量最多的一天比用电量最少的一天多用了多少度电？ (2)求这七天小明家总共用电多少度． 22．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）定义了一种非零有理数运算“”，解答下列问题： 【观察运算】 ①．        ②． ③．    ④． (1)根据以上运算，归纳“”运算的法则： 文字语言：两个非零有理数进行运算时，同号得 ，异号得 ，并把 ； 符号语言：已知两个非零有理数和，其中，，．当时， ； 当时， ． 【运用法则】 (2)利用上述法则，分别计算和，你有什么发现？ 【探究规律】 (3)请你验证下列等式是否成立： ①． ② ③． 你有什么发现？试着用字母表示你发现的规律． 23．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是______；______；______． (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______（正数、0、负数）？ (3)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ 24．（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）【阅读材料】学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作数轴上表示数a与0的两点间的距离，这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数a与b的两点间的距离，若表示数a的点是点P，表示数b的点是点Q，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数7与5的两点间的距离； 的意义为数轴上表示数2与的两点间的距离； 【知识应用】 (1)数轴上表示的点和表示10的点之间的距离可以表示为______；结果为______； 【知识拓展】 定义：数轴上两点P、Q到原点O的距离之差的绝对值，称为P、Q两点的绝对距离，记作． 【拓展应用】 (2)已知点A表示－4，点B表示2． ①______，______，A、B两点的绝对距离______； ②点C为数轴上一点（不与原点重合），且，请你求出点C表示的数； (3)点M在点N左侧，且，若，点M表示的数______． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27七年级上·湖南娄底·阶段检测）已知，，且，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）数轴上点表示的数为，，两点表示的数互为相反数，且点到点的距离是3个单位长度，则点表示的数为（     ） A． B．1 C．或 D．1或7 3．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）某童装店用400元购进了8套儿童服装．如果每套儿童服装的售价以55元为标准，高于55元的记作正数，低于55元的记作负数，售价记录如下：，，，，，，0，（单位：元），则卖完这8套儿童服装后该童装店（     ） A．亏损了1元 B．亏损了15元 C．盈利了15元 D．盈利了39元 4．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列各对数中，数值相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）下列说法正确的有（     ） ①绝对值最小的有理数是，②相反数大于本身的数是负数，③两数差一定小于被减数，④数轴上原点两侧的数互为相反数，⑤两个数比较，绝对值大的反而小，⑥两个数的和是正数，那么这两个数一定是正数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）点在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和对于以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 7．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）我们定义一种新运算：对于有理数m，n有．如，则式子的结果为（     ） A．7 B． C． D． 8．（26-27七年级上·河北·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 二进制数转化为十进制数为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 9．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）计算的值等于（     ） A． B． C． D． 10．（26-27七年级上·山东临沂·阶段检测）规定图形表示运算，图形表示运算，那么图形的运算结果为______． 11．（26-27七年级上·山东临沂·阶段检测）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则______，第2026个格子中的数为______． 12．（26-27七年级上·安徽池州·阶段检测）在数，3，1，，4中，任意取3个不同的数相乘，其中最大的乘积是_________． 13．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）若a，b是整数，且，则的最大值与最小值的差为_______． 14．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费7元/箱，那么该果农本周总净收入________元？ 15．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．从下到上前______个台阶上数的和为30． 16．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）阅读下面材料： 小曦在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数，，称为数列，，．计算 ，，，将这三个数的最小值称为数列，，的价值．例如，对于数列，，，因为 ，，，所以数列，，的价值为 ． 小曦进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列，，的价值为；数列，，的价值为； ……经过研究，小曦发现，对于“，，”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为． 根据以上材料，回答下列问题： （1）数列，，的价值为_______________； （2） 将，，这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，若这些数列的价值的最小值为，则的值为________________． 17．（26-27七年级上·江西·阶段检测）段老师将，，，，，，，，，分别写在十张不透明的卡片上． (1)这十个数的和为________，这十个数的积为_________； (2)若从这十个数中选一个数作为底数，另选一个数作为指数，则能得到的最大的幂为________；（写结果） (3)打乱卡片的顺序后，随机发给五位同学各两张卡片．除甲以外，其余每位同学把自己拿到的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结果如表所示．则： 甲 乙 丙 丁 戊 ①甲拿的两张卡片上的数字之和为__________； ②乙拿的两张卡片上的数字之积为__________． 18．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下：，，，，，，， （注：向西记作“－”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)若汽车每千米耗油0.1升，出发前汽车油箱有油10升，求接送8次乘客后汽车油箱还剩多少升油？ 19．（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：，；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_____；②_____． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_____． (3)请利用你探究的结论计算： 20．（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 21．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）小明以和为例进行了纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的探究： 因为， 而， 所以， 所以， 即， 所以． 由左侧推导可知， 所以 ． (1)请仿照上述推导过程，将下列小数化为分数．（写出推导过程） ①；②；③． (2)请计算：． (3)利用，将化为分数形式． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $