第3章 整式及其加减 单元复习（6大知识点+13大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版七年级数学上册

第3章 整式及其加减 知识点1：代数式的概念与书写规范 　　　代数式定义：用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式；单独的一个数或一个字母也是代数式。 　　　代数式书写规范 书写规则 示例 数与字母相乘，乘号省略 写成 数写在字母前面 写成 带分数与字母相乘化假分数 写成 除法写成分数形式 写成 字母与字母相乘省略乘号 写成 　　　代数式意义：根据生活实际，把代数式中的字母和运算符号赋予具体含义，即可用语言叙述代数式的意义。 知识点2：列代数式与代数式的值 　　　列代数式：把与数量有关的词语用代数式表示出来叫列代数式，关键要准确理解“和、差、积、商、倍、几分之几”等运算关系。 　　　代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照运算关系计算出的结果叫代数式的值。 　　　求值步骤：第一步代入，第二步计算；简记为“一化、二代、三计算”，代入时字母换成数值，运算符号与顺序不变。 知识点3：单项式与多项式 　　　单项式：数或字母的积叫单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；数字因数为系数，所有字母指数之和为次数，非零常数的次数为0。 　　　多项式：几个单项式的和叫多项式，其中每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项；次数最高项的次数叫多项式的次数，含几项叫几项式。 　　　整式：单项式与多项式统称整式。 类型 特征 示例 单项式 不含加减运算，是积的形式 、 多项式 是几个单项式的和，必含加减 整式 单项式与多项式的统称，分母不含字母 是整式 　　　按某字母降幂（升幂）排列：把多项式按某一字母的次数从高到低（从低到高）排列。 知识点4：同类项与合并同类项 　　　同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项；几个常数项也是同类项。 　　　合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母连同它的指数不变。 　　　合并步骤：①找出同类项并做好标记；②把各同类项的系数相加；③字母和字母的指数保持不变。 知识点5：去括号法则 　　　去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内每一项，再把所得积相加。 　　　符号规律：括号外是正数，去括号后括号内各项符号不变；括号外是负数，去括号后括号内各项符号都改变。 　　　依据：乘法分配律；多层括号由内向外依次去括号。 知识点6：整式的加减 　　　运算法则：几个整式相加减，如果有括号先去括号，再合并同类项。 　　　化简求值：先去括号、合并同类项，再代入字母的值计算，简记为“一化、二代、三计算”。 　　　应用：整式加减可解决周长面积、分段计费、行程工程、利润折扣等实际问题。 【基础必考题型】 【题型1】代数式的概念与书写规范 1.核心知识点: 　　代数式定义；书写规范（乘号省略、数在字母前、除法写成分数）；等号、不等号连接的式子不是代数式。 2.解题方法技巧: 　　①判断代数式：等号、不等号连接的式子不是代数式，含运算符号或单独数、字母的是代数式。 ②书写规范逐一检查：省略乘号、数前字母后、带分数化假分数、除法写成分数。 【例题1】.（25-26七年级上·河北沧州·期中）下列代数式中，符合书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写要求，包括数字应写在字母前、乘号省略、系数1省略等． 根据代数式的书写要求逐一判断即可． 【详解】解：代数式书写时，数字应写在字母前，乘号通常省略，系数1或应省略数字1． A中，应写为，不符合要求； B中，应写为，不符合要求； C中，应写为，不符合要求； D中，书写正确，符合要求； 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·河南开封·期中）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的书写，根据代数式的书写规则，逐一进行判断即可． 【详解】解：应写出，故①错误； ，书写正确，故②正确； ，应写成：，故③错误； ，书写正确，故④正确； ，书写错误，故⑤错误； 应写成，故⑥错误； 则符合代数式书写要求的有2个． 故选：A． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列式子中属于代数式的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式，掌握代数式的定义是解题的关键． 代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式． 【详解】解：代数式定义为由数字、字母和运算符号组成的式子，不含关系符号， 选项A含“=”，是方程； 选项B含“>”，是不等式； 选项C含“≠”，是不等式； 选项D仅含数字、字母和运算符号“+”和“×”，属于代数式． 故选D． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·湖北孝感·期中）给出下列数与式子：①；② ；③；④；⑤；⑥0．其中是代数式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的判断，根据代数式的定义，代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，即可作答． 【详解】解：①；② ；③；④；⑤；⑥0中，①②⑤⑥是代数式，共4个，③中含有等号，④中含有不等号，均不是代数式； 故选C． 【题型2】列代数式及其实际意义 1.核心知识点: 　　列代数式；代数式意义理解；和差积商关系；两位数、座位排数、促销折扣等模型。 2.解题方法技巧: 　　①先找出数量关系，再用字母表示未知量，按顺序列式。 　　②两位数表示为十位数字+个位数字；连续自然数、座位排数找相邻项规律。 　　③拆解代数式结构按运算顺序理解实际意义，结合情境分析先后顺序，如表示先减30再打九折。 【例题2】.（25-26七年级上·福建福州·期末）代数式的意义是（    ） A．，两数的差 B．，两数的平方差 C．与的差的平方 D．与的平方的差 【答案】C 【分析】本题考查代数式的意义，正确掌握运算顺序是解题的关键． 按照代数式的运算顺序进行语言叙述即可求解． 【详解】解：代数式的运算顺序是先计算与的差，再对差进行平方， 其意义为与的差的平方． 故选：C． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·山西朔州·期末）同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．如“”可以表示一个长是，宽是的长方形的面积．请你再对“”赋予一个实际意义：__________． 【答案】 已知一支钢笔的单价为元，购买支钢笔的总花费可表示为（答案不唯一） 【分析】表示与的乘积，只需构造实际生活中具有3倍数量关系的场景即可． 【详解】解：根据代数式的意义，表示乘以，结合实际生活可构造符合要求的实例，例如：已知一支钢笔的单价为元，购买支钢笔的总花费可表示为，符合题意，实例不唯一． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·福建龙岩·开学考试）比少5的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列代数式即可． 【详解】解：比少5的数为． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）今年11月1日湘潭地区早晚温差为，最高气温为，则最低气温为________． 【答案】 【分析】根据温差的定义，温差为最高气温与最低气温的差，变形即可得到最低气温的表达式． 【详解】解：∵ 温差 最高气温 最低气温，已知温差为，最高气温为， ∴ 最低气温 ． 【题型3】单项式的有关概念 1.核心知识点: 　　单项式系数、次数；单独数或字母是单项式；含加减的不是单项式。 2.解题方法技巧: 　　①系数看数字因数（含符号）；次数是所有字母指数之和。 ②是数不是字母；常数项次数为0；分母含字母的不是单项式。 【例题3】.（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式． 【详解】解：A、是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； B、的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求； C、，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； D、是与的积，符合单项式的定义，符合要求． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 【答案】B 【详解】解：． ∵该式的数字因数为9， ∴系数为9，故A选项错误； ∵该代数式是数字与字母的乘积， ∴它是单项式，属于整式，故B选项正确，D选项错误； ∵所有字母的指数和为， ∴次数为4，故C选项错误． 【变式题3-2】.（25-26六年级上·山东烟台·期末）代数式，，，，，，中，单项式的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查单项式的判断，解题的关键是掌握单项式的定义：只含有数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．据此逐个判断所给的代数式是否为单项式，统计单项式个数后即可得出答案． 【详解】解：中的分子是和的形式，不是单项式； 是数与字母的积，是单项式； 中是常数，该式是数与字母的积，是单项式； 中的分母含字母，不是单项式； 是单独的一个数，是单项式； 是单独的一个字母，是单项式； 是三个单项式的和，不是单项式； 综上所述，单项式有、、、，共个． 故选：A． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）下列说法正确的是（） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．单项式的次数是2 D．单项式系数为 【答案】D 【详解】解：是常数，不含字母，则次数为0，故A错误； 单项式的数字因数是，即系数是，故B错误； 单项式中所有字母的指数和为，次数是3，故C错误； 单项式的数字因数为，即系数为，故D正确． 【题型4】多项式的有关概念 1.核心知识点: 　　多项式项、常数项、次数、项数；几次几项式；升降幂排列。 2.解题方法技巧: 　　①多项式的次数是次数最高项的次数，不是各项次数之和。 ②按某字母降幂排列时，先找含该字母的各项，再按次数从高到低排列，常数项放最后。 【例题4】.（2026七年级上·全国·专题练习）下列式子：①，②，③ ，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，逐一判断每个式子是否可表示为单项式的和． 【详解】解：① ，是单项式和的和，因此是多项式； ②分母中含有字母，是分式，不是多项式； ③ 是单项式、和的和，因此是多项式； ④是单项式； ⑤是常数，是单项式； ⑥分母中含有字母，不是多项式； 综上，属于多项式的有①③． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）的次数最高项是___，项数是___． 【答案】 【分析】先计算多项式中每个单项式的次数，比较得到次数最高项，数出单项式的个数即可得到项数． 【详解】解：分别计算多项式中每个项的次数： ∵常数项的次数为，的次数为，的次数为，的次数为， ∴比较得， ∴次数最高项是，该多项式共包含个单项式，因此项数是． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·江西吉安·期末）多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．因为多项式为五次三项式，故需满足最高次项次数为5且所有三项系数均非零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于的五次三项式， ∴，且， ∴，且， ∴， 故选：D． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和项数，列出方程求解和的值． 本题考查了多项式的项数和次数，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：由题可知次数为3， 则第一项的次数， 解得, 由项数为2，且第一项系数3和第三项系数1均不为零， 故第二项系数， 解得, 因此, 故答案为． 【题型5】同类项与合并同类项 1.核心知识点: 　　同类项判定；合并同类项法则；由同类项求参数。 2.解题方法技巧: 　　①同类项：字母相同且对应字母指数相同，与系数、字母顺序无关。 ②合并时系数相加、字母及指数不变；由同类项建立等量关系求未知字母。 【例题5】.（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）下列选项中是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】同类项需满足所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、与所含字母相同，但是字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意； B、与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意； C、与所含字母均为，且的指数均为1，是同类项，故此选项符合题意； D、与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意． 【变式题5-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）请写出不同于的一个同类项______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】明确同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，根据同类项定义求解即可． 【详解】解：根据同类项定义，与的同类项需满足字母为x，y，且的指数为，的指数为，例如（或等，答案不唯一）． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）若与是同类项，则的值是________． 【答案】 4 【详解】∵ 与 是同类项， ∴ 相同字母的指数相等， 可得 ，，解得 ， ∴ ． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【培优高频题型】 【题型6】整式加减的化简求值 1.核心知识点: 　　先化简再求值；去括号、合并同类项；代入计算。 2.解题方法技巧: 　　①“一化、二代、三计算”：先化简为最简形式，再代入数值。 ②代入负数、分数要加括号；利用非负性（）先求字母值。 【例题6】.（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将原式去括号合并得到最简结果，再将与的值代入计算即可求出值． 【详解】， 将代入得： 原式． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·北京·期中）先化简，后求值：，其中 【答案】， 【分析】先根据整式加减运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 【变式题6-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【分析】先根据绝对值的非负性求出、的值，然后通过去括号和合并同类项化简原式，最后将、的值代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵ ， 又∵，， ∴原式 ． 【变式题6-3】.（26-27七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的化简求值，先去括号合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【题型7】整体代入求值 1.核心知识点: 　　整体思想；把已知代数式整体代入；乘法公式变形。 2.解题方法技巧: 　　①把、等看作整体，整体代入目标式。 ②先变形目标式，使其含有已知整体，再代入求值，避免求单个字母。 【例题7】.（25-26七年级下·云南昭通·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先把条件式变形为，再把要求的代数式整理为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值是5，求代数式的值． 【答案】或9 【分析】先根据相反数、倒数、绝对值的定义得到，，，再代值计算即可． 【详解】解：∵x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值是5， ∴，，， ∴， 当时， ； 当时， ． 综上所述，代数式的值为或9． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）已知互为相反数且不为互为倒数，是绝对值为2的负有理数，求的值． 【答案】 【分析】首先根据相反数、倒数、绝对值的定义可知，，，且，进而得到，然后代入求值即可． 【详解】解：∵互为相反数且不为，互为倒数，是绝对值为2的负有理数， ∴，，，且， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（24-25六年级上·北京·期中）当时，代数式的值为，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据题意得到，再整体代入所求代数式中进行求解即可． 【详解】解：当时，代数式的值为， ∴， 即， ． 【题型8】程序框图与数值转换机 1.核心知识点: 　　程序运算；代数式求值；循环规律；分类判断。 2.解题方法技巧: 　　①按流程图顺序逐步代入计算，注意判断条件决定下一步。 ②循环型程序先算几次找出周期，再求第次结果；涉及分支判断时分情况讨论。 【例题8】.（25-26七年级上·陕西渭南·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【答案】(1) (2)输出的值为 【分析】本题考查程序框图与代数式求值： （1）根据程序框图，列出代数式即可； （2）把代入（1）中的代数式进行求解即可． 【详解】（1）解： ． 所以用含的代数式表示输出的结果为． （2）解：当输入的值为时，输出的值为． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·陕西汉中·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值： （1）根据流程图，列出代数式即可； （2）把代入（1）中的代数式进行求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当时，． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图一个“数值转换机”的示意图． (1)输出的结果为_____；（用含的代数式表示） (2)当输入时，求输出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，程序流程图与代数式求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用． （1）根据程序流程图的顺序列代数式即可； （2）把代入（1）中所求代数式计算，即可得答案． 【详解】（1）解：∵输入， ∴输出的结果为． 故答案为 （2）解：当时，． ∴求输出的值为． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）密码是数学施展的“魔法”．它应用精妙的数学变换，将空中传输的通信内容转化为唯有掌握特定“密钥”才能解读的密文，从而保护信息的安全．一般来说，一个密码系统由明文、加密规则和密文三个基本要素构成，如图①所示． 小明将明文藏在图③中． 他以密文的形式发给妈妈．设定加密规则：信息的每一行从左向右数，取第行的第个字，用表示所取汉字的密文．例如，密文表示“妈”． (1)小明想将明文“想，您”加密，则密文是____________________． (2)小明将原密文用图②所示的加密规则转换成了新密文． ①请将“努，力”转换成新密文； ②若妈妈收到新密文“，，”，请帮她翻译． 【规则评价】 (3)图④是小明设计的另一种对加密的规则．请判断该加密规则是否合理，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②“我，能，学”． (3) 不合理．理由见解析 【分析】（1）定位文字图中“想”“您”所在行与列，写出对应密文坐标； （2）①先写出原文字对应密文，代入加密公式计算新密文；②把新密文代入反解，得到原密文后定位汉字翻译； （3）分奇偶讨论与的奇偶性，判断解密时是否唯一，说明规则合理性． 【详解】（1）解：根据密文定义（第行第个字表示为）： “想”在第2行第3个字，密文为； “您”在第2行第4个字，密文为． （2）解：①“努”的密文是，转换成新密文为，即； “力”的密文是，转换成新密文为，即． 故“努，力”的新密文为， ②由可得，解得， ∴原密文为， ∴第4行的第1个字为“我”； 由可得，解得， ∴原密文为， ∴第6行的第2个字为“能”； 由可得，解得， ∴原密文为， ∴第5行的第6个字为“学”． 综上所述，妈妈收到的新密文“，，”翻译为“我，能，学”． （3）解：不合理．理由如下：若为奇数，是偶数；若为偶数，则还是偶数． 故在进行新密文解密时，对应的值可能不唯一． 例如，为6时，可以是4也可以是3， ∴意思不具有唯一性，可以将修改为． 【题型9】整式加减中的错看问题 1.核心知识点: 　　整式加减；由错误结果还原；加减法互逆运算。 2.解题方法技巧: 　　①误把加法看成减法（或反之），先由错误结果还原出未知多项式。 ②再按正确运算重新计算；注意每个多项式当作整体加括号。 【例题9】.（25-26七年级上·湖南湘西·开学考试）军军在一次计算中把错写成了，计算结果比原来（   ） A．增加了3 B．减少了3 C．增加了9 D．减少了9 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据题意列式求解即可． 【详解】解： ． ∴计算结果比原来增加了9． 故选：C． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·河北邯郸·期中）已知两个整式和，其中，小明在计算的值时，不小心将错看成，得到的结果是． (1)求多项式 (2)当，时，请帮他求出正确的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式的化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，则，据此根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据（1）所求，先求出的结果，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， 当，时，． 【变式题9-2】.（24-25七年级上·上海·阶段检测）马虎同学在计算一个多项式减去另一个多项式时，错将减号抄成了加号，于是他得到的结果是，请问如果不抄错，正确答案该是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据题意可求出多项式，再正确列出算式计算即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴正确答案为：． 【变式题9-3】.（26-27七年级上·上海·单元测试）有这样一道题：当，时，求整式 的值，马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 【答案】这个整式的值与a、b取值无关， 理由：原式， ， ， ． 所以这个整式的值与a、b取值无关、所以两人做出的结果一样. 【详解】略 【压轴素养题型】 【题型10】整式加减中的无关项问题 1.核心知识点: 　　合并同类项；取值与某字母无关的条件；恒成立。 2.解题方法技巧: 　　①先化简，令含该字母项的系数为0，求出参数。 ②“与取值无关”即合并后含项的系数和为0；再代入求代数式的值。 【例题10】.（26-27七年级上·上海·单元测试）若整式与的和的值与所取的值无关，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握合并同类项法则等知识．先化简代数式，根据题意可知含项的系数为，进而求得的值，再代入即可求解． 【详解】解： ∵整式与的和的值与所取的值无关， ∴， ∴， ∴． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，利用合并同类项运算法则进行化简即可； （2）由（1）可知，令，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）可知：， 的值与的取值无关， ， 解得． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 【答案】(1)二次三项式 (2) (3) 【分析】（1）依据多项式的次数与项数的定义进行判断，多项式的次数为最高次项的次数，项数为多项式中单项式的个数． （2）代入给定的与的值得到多项式和，再通过合并同类项完成整式的加法运算． （3）先求出与的差，根据差中不含某一项则该项系数为的性质，求出和的值，进而计算的值． 【详解】（1）解：∵多项式，且， ∴该多项式的最高次是2，包含3个单项式， ∴多项式A是二次三项式 （2）解：当，时 ， （3）解： ∵与的差中不含项和项， ∴，， 解得，， ∴． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，其中． (1)当，时，求证； (2)当时，若是一个与无关的定值，求的值． 【答案】(1) 证明：，且， ， ， ， ， ； (2)． 【分析】本题考查了代数式的运算、不等式的判断以及定值问题的求解，熟练运用代数式变形和等式性质是解答本题的关键． （1）将代入的表达式，结合的条件，通过作差法得到的表达式，再根据判断差的符号； （2）由出发，通过代入、整理得到与、的关系式，再根据是与无关的定值，利用系数为零的条件求解的值． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 整理，得， ， ， ，即， ， 是一个与无关的定值， ， 解得． 【题型11】数与图形的规律探究 1.核心知识点: 　　由特殊到一般；数列规律；图形规律；杨辉三角等数学文化；用含的式子表示。 2.解题方法技巧: 　　①观察相邻项的差、倍数关系，找出第项的一般表达式；符号交替项用。 ②数出前几个图形对应数量，找数量随序号的变化规律，写出第个图形的代数式，再代入求指定序号的值。 【例题11】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）观察下图，找出小正方体个数与露在外面的面数变化的规律，将表格填写完整． 小正方体的个数 1 2 3 4 … … a 露在外面的面数 5 9 … … 【答案】 小正方体的个数 1 2 3 4 … … a 露在外面的面数 5 9 … … 【分析】根据题意可得露在外面的面数＝顶面数＋侧面数，据此列式求解即可． 【详解】解：①4个正方体的立体包含一个顶面和4组侧面，也就是（个）面； ②先从个面中减去顶面：（个），再根据一个正方体有4个侧面，用除法得出正方体的个数：（个）； ③露在外面的面数＝顶面数＋侧面数，顶面数是1，当小正方体的个数为时，侧面数是小正方体个数的倍即，此时露在外面的面数为． 【变式题11-1】.（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知等式，找到等式和序号的对应关系即可求解； （2）根据已知等式，找出规律即可； （3）先代入，再利用裂项相消的方法求解即可． 【详解】（1）解：观察等式可知，第5个等式：． （2）解：观察等式可知，第个等式：． （3）解：由题意得： ． 【变式题11-2】.（2026·江西九江·模拟预测）将边长为1的正方形纸片按图①的方法进行对折，记第1次对折后得到的图形的面积为；第2次按图②的方法对折，记第2次对折后得到的图形的面积为；第3次按图③的方法对折，记第3次对折后得到的图形的面积为；…，依此规律，第n次对折后得到的图形的面积S为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意求出前三次对折后的面积，再归纳规律即可解答． 【详解】解：由题意可知， ， ， …， ，即选项B符合题意． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形．．．按此规律，第100个图案中有（     ）个正三角形． A．400 B．401 C．402 D．410 【答案】C 【分析】先求出前四个图形的正三角形个数，总结出规律即可求解． 【详解】解：第一个图形，正三角形的个数为， 第二个图形，正三角形的个数为 第三个图形，正三角形的个数为， 第四个图形，正三角形的个数为， 则第个图形，正三角形的个数为：, 当时，， ∴第100个图案中有个正三角形． 【题型12】整式的加减实际应用 1.核心知识点: 　　分段计费、行程工程、利润折扣；列代数式并化简求值。 2.解题方法技巧: 　　①先读懂题意，分类分析（如分段水费），用代数式表示各段费用。 ②化简要完整，再代入具体数值比较方案优劣或求总费用。 【例题12】.（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）古代神话中，有一条千年神龙守护着一堆龙珠（龙珠不可分割，只能是自然数颗）．神龙每苏醒一次，执行如下一次操作：吃掉现存龙珠的三分之一，再吐出2颗新的龙珠．经过4次苏醒后，神龙身边只剩下颗龙珠．那么，最初神龙守护的龙珠有多少颗？ 【答案】最初神龙守护的龙珠有颗 【分析】设最初神龙守护的龙珠有颗，吃掉后，剩颗，再加颗，那么每次操作前龙珠的数量（每次操作后龙珠的数量），从第次苏醒后连续向前推算次，每次结果都必须是自然数，最后求出最初龙珠数量即可． 【详解】解：由题意得经过4次苏醒后，神龙身边只剩下颗龙珠， （颗）， 故经过3次苏醒后，神龙身边只剩下颗龙珠， （颗）， 故经过2次苏醒后，神龙身边只剩下颗龙珠， （颗）， 故经过1次苏醒后，神龙身边只剩下颗龙珠， （颗）， 答：最初神龙守护的龙珠有颗． 【变式题12-1】.（24-25七年级上·山东聊城·期末）为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【答案】(1)①；②； (2)①在甲商店购买更优惠；②最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球（获赠40个毽球），在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 【分析】（1）根据两种优惠方案列式即可； （2）①将代入（1）所得式子分别计算比较即可；②先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球，即可求出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【详解】（1）解：①若在甲商店购买，所需总费用为元； ②若在乙商店购买，所需总费用为元； （2）（2）①当时，（元）， （元）， ∵， ∴在甲商店购买更优惠； ②∵可以在甲、乙两个商店中分别购买， ∴先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球， ∵在甲商店购买40个足球的费用为（元），再在乙商店购买剩余的40个毽球的费用为（元）， ∴总花费为（元）， ∵， ∴最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球，在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·广东清远·期末）七年级学生计划去某科技馆研学，科技馆有两种购票方案： 方案一：每人收费60元； 方案二：固定基础费用500元，然后再每人收费40元． (1)若学生人数为x，请分别用含x的代数式表示方案一和方案二的费用； (2)当学生人数为30时，哪种方案的费用更优惠？ 【答案】(1)方案一的费用为元；方案二的费用为元； (2)方案二更优惠 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合学生人数为x，以及方案一和方案二的收费方式进行列式，即可作答． （2）分别算出当学生人数为30时，方案一和方案二的费用，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：∵学生人数为x， ∴方案一的费用为元；方案二的费用为元； （2）解：由（1）得方案一的费用为元；方案二的费用为元； 当时，则（元）， （元）， ∵， ∴当学生人数为30时，方案二的费用更优惠． 【变式题12-3】.（25-26七年级上·贵州毕节·期末）如图，某地对一个长方形广场进行扩建，扩建后的广场的形状仍是长方形．（单位：） (1)求广场扩建部分（空白部分）的面积．（用含x的代数式表示） (2)若，则广场扩建部分的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）将扩建后的长方形广场的面积减去原长方形广场的面积即可； （2）代入到（1）中的代数式即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得广场扩建后的长是，宽是， 所以广场扩建部分的面积是． 答：广场扩建部分的面积是． （2）解：当时，． 答：广场扩建部分的面积是平方米． 【题型13】整式的加减新定义题 1.核心知识点: 　　阅读理解新定义；把新运算转化为整式运算；多结论判断。 2.解题方法技巧: 　　①精读题干，提取新运算规则，把符号转化为整式的加减运算。 　　②代入验证各结论，逐条判断正误；注意运算顺序与符号变化。 【例题13】.（25-26七年级下·四川成都·期中）定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“近似完全平方数”，记．例如：，则39是一个“近似完全平方数”，且．若两位数k是最小的“近似完全平方数”，则k的值为；若两位数k是“近似完全平方数”且满足，则k的最大值为________． 【答案】 12或97 【分析】第一问根据“近似完全平方数”定义，从小到大对两位数逐一验证，即可得到最小的“近似完全平方数”；第二问，结合定义得到与的关系式，根据是两位数确定的最大可能取值，验证得到符合条件的最大。 【详解】解：第一问，求最小的“近似完全平方数”： 为正整数，从小到大验证两位数： 当时，不存在正整数使得，不符合定义； 当时，不存在正整数使得，不符合定义； 当时，取，满足，符合定义，故最小的“近似完全平方数”为； 第二问，由题意，原式应为，根据定义：，，代入得： 整理得： 因为是两位数，所以，解得： 要使最大，则需最大，取，代入得： 又因为，得 联立，解得正整数解为或，符合正整数要求，故符合条件； 故答案为：12，97 【变式题13-1】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）定义：若一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为（为整数，且），满足，则这个三位数叫做“杨山数”．例如：三位数，因为，所以它是“杨山数” (1)三位数是“杨山数”吗？请说明理由； (2)设一个“杨山数”为，请用含的代数式表示，并证明一定能被整除； (3)请写出所有百位数字为的“杨山数”． 【答案】(1) 解：是． 理由：对于三位数，， ∵， ∴， 故是“杨山数”； (2) 解：∵三位数的百位是、十位是、个位是， ∴， 证明：∵是“杨山数”， ∴，即， 则 又∵，且为整数， ∴是整数， 因此一定能被整除； (3). 【分析】（）提取的百位、十位、个位数字，代入“杨山数”的核心等式，验证等式是否成立； （）先写出三位数的通用表达式，再利用“杨山数”的条件消去，化简后判断式子是否为的倍数； （）固定百位数字为，结合得到与的关系，再根据数字的取值范围确定所有符合条件的组合. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴根据，得，即， ∵是的整数，是的整数，且(已满足)， ∴当时，，数为； 当时，，数为； 当时，，数为； 当时，，数为； 当时，，数为； 当时，(不符合，舍去)； 所以百位数字为的“杨山数”有： 【变式题13-2】.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）新定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“和积数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“和积数”． (1)判断与3是否互为“和积数”，并说明理由． (2)若有理数与互为“和积数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数，设的“和积数”为；的倒数为；的“和积数”为；的倒数为；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值． 【答案】(1)与3互为“和积数”，理由： ∵， ∴ ∴与3互为“和积数” (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算、代数式求值、数字类规律探究，掌握“和积数”的定义是解题关键． （1）根据“和积数”的定义，计算两数的和与积，比较是否相等即可判断． （2）根据“和积数”定义得到，相反数定义得到，将代数式化简后整体代入求值． （3）先求出前几个数，找出循环规律，再根据周期计算的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵有理数与互为“和积数”，与互为相反数 ∴， （3）解：当时，由“和积数”定义得 解得 是的倒数，故 由“和积数”定义得 解得 是的倒数，故 由“和积数”定义得 解得 是的倒数，故 由此可得这组数以为一个周期循环 ∵ ∴ 【变式题13-3】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）阅读并完成相关问题： 阅读：定义：如果一个正的三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，那么这样的三位数叫做“配合数”． 观察：因为，所以550是“配合数”，且； 因为，所以231是“配合数”，且； 因为，所以473是“配合数”，且；… 发现：“配合数”都能被11整除． (1)试说明143为“配合数”，并以此为例验证上述发现是正确的． (2)设三位数是一个“配合数”，请说明上述发现是正确的． 【答案】(1) ∵， ∴143是“配合数”， ∵， ∴； (2) ∵三位数是一个“配合数”， ∴， ∴， ∴， ∴“配合数”都能被11整除． 【分析】本题主要考查了整式的加减的应用： （1）根据“配合数”的定义解答即可； （2）根据“配合数”的定义可得，进而得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 易错点 　　　书写不规范：数与字母相乘漏写数字、数字写在字母后、带分数未化假分数、除法未写成分数形式。 　　　整式概念混淆：把误当整式；忽略是数不是字母；误把含加减的式子当单项式。 　　　同类项判断出错：只看字母相同就误判为同类项，忽略相同字母的指数也要相同；常数项误判为不同类。 　　　去括号变号出错：括号前是负号时只变第一项符号，未把括号内各项都变号。 　　　合并同类项丢字母：合并时只把系数相加，漏掉字母或改变字母的指数；化简后忘记代入求值。 重点 　　　代数式的概念与书写规范，能准确列代数式并说出实际意义。 　　　单项式系数、次数，多项式项、次数、常数项及升降幂排列。 　　　同类项的判定与合并，去括号法则，整式的加减运算。 　　　整式加减的化简求值，整体代入与无关项问题的处理。 难点 　　　整式加减与规律探究、几何图形的综合，用含的式子表达一般规律。 　　　整体思想、错看还原、无关项恒成立等综合问题，推理与代数变形能力要求高。 　　　分段计费、行程工程、利润折扣等实际应用，把文字情境抽象为整式模型。 　　　新定义题与多结论判断题，需要阅读理解、代入验证与分类讨论。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列代数式的书写格式规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写规范，需根据代数式书写规则判断每个选项是否规范即可． 【详解】解：代数式书写规范要求：带分数应化为假分数，乘号应省略，除号应写成分数线，数字应写在字母前； A中是带分数，未化成假分数，不规范； B中含乘号和除号，未省略乘号且除号未写成分数线，不规范； C中数字在字母后面，不规范； D中是分数系数，乘号省略，书写规范； 故选D． 2．式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式的判断，判断每个式子是否为整式，再统计整式的个数．整式包含单项式与多项式，分母含有字母的式子不属于整式． 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，且分母中含有字母的式子不是整式． ∴是多项式，属于整式． 分母含字母，不是整式． 是多项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 分母含字母，不是整式． 0是单独的数，属于单项式，即整式． ∴整式共有4个． 故选：C 3．若与为同类项，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】利用同类项的定义得到的值，再通过变形所求代数式，整体代入计算结果． 【详解】解：与是同类项， ∴， ． 二、填空题 4．已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则的值为________． 【答案】 【分析】根据相反数和倒数的定义，分别得到和的值，代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵、互为相反数， ∴， ∵、互为倒数， ∴， 将，代入，得 ． 5．若与是同类项，则______． 【答案】64 【分析】根据同类项的定义，可得相同字母的指数相等，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：与是同类项，根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同． ，， 将，代入得： ． 6．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第17个图案中的“”的个数是______个． 【答案】 【分析】通过观察前4个图案中六边形的个数，发现后一个图案比前一个图案多3个六边形，从而归纳出第个图案中六边形个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：观察图形可知：第1个图案中六边形的个数为； 第2个图案中六边形的个数为； 第3个图案中六边形的个数为； 第4个图案中六边形的个数为； …… ∴第个图案中六边形的个数为； 当时，六边形的个数为． 三、解答题 7．先化简，再求值：，其中， 【答案】化简得，值为 【分析】根据整式的加减运算法则，去括号，合并同类项，即可得到化简后的结果，将数值代入化简后的代数式计算即可得到答案． 【详解】解： 将，代入上式，得：． 8．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，是最大的负整数，求的值． 【答案】的值为或 【分析】结合最大负整数的特殊属性先确定各字母的对应取值，再分情况代入代数式完成计算． 【详解】解：由题意得：，，，，． 当时，， 当时，， 综上，的值为或． 9．如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对面上的两个数相等，回答下列问题： (1) ， ； (2)已知代数式， ①在（1）的条件下，求的值； ②若的值与的取值无关，则 ． 【答案】(1) (2) ① ② 【分析】（1）根据正方体相对面上的两个数相等求解即可； （2）①根据整式的加减法运算法则化简并求值即可；②根据若的值与的取值无关，令的系数和为即可求值. 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：①∵， ∴ ， 当时； 上式； ②∵， 的值与的取值无关， ∴， 解得：. 10．如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人． (1)观察上图，根据规律将表格补充完整． 餐桌数量 1 2 3 4 5 … 可坐人数 4 6 8 … (2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐（    ）人． 【答案】(1)10；12 (2) 【分析】（1）根据所给图形的规律解答即可； （2）从规律中抽象出n张餐桌的表达式，1张时 ，2张时 ，依此类推可得规律，据此解答． 【详解】（1）解：由图得：4张餐桌可坐人数： ，5张餐桌可坐人数： ； （2）解：推导n张餐桌的表达式：由规律可知， n张餐桌可坐人数为 ； 综上所述可得，按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐人 ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 整式及其加减 知识点1：代数式的概念与书写规范 　　　代数式定义：用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式；单独的一个数或一个字母也是代数式。 　　　代数式书写规范 书写规则 示例 数与字母相乘，乘号省略 写成 数写在字母前面 写成 带分数与字母相乘化假分数 写成 除法写成分数形式 写成 字母与字母相乘省略乘号 写成 　　　代数式意义：根据生活实际，把代数式中的字母和运算符号赋予具体含义，即可用语言叙述代数式的意义。 知识点2：列代数式与代数式的值 　　　列代数式：把与数量有关的词语用代数式表示出来叫列代数式，关键要准确理解“和、差、积、商、倍、几分之几”等运算关系。 　　　代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照运算关系计算出的结果叫代数式的值。 　　　求值步骤：第一步代入，第二步计算；简记为“一化、二代、三计算”，代入时字母换成数值，运算符号与顺序不变。 知识点3：单项式与多项式 　　　单项式：数或字母的积叫单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；数字因数为系数，所有字母指数之和为次数，非零常数的次数为0。 　　　多项式：几个单项式的和叫多项式，其中每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项；次数最高项的次数叫多项式的次数，含几项叫几项式。 　　　整式：单项式与多项式统称整式。 类型 特征 示例 单项式 不含加减运算，是积的形式 、 多项式 是几个单项式的和，必含加减 整式 单项式与多项式的统称，分母不含字母 是整式 　　　按某字母降幂（升幂）排列：把多项式按某一字母的次数从高到低（从低到高）排列。 知识点4：同类项与合并同类项 　　　同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项；几个常数项也是同类项。 　　　合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母连同它的指数不变。 　　　合并步骤：①找出同类项并做好标记；②把各同类项的系数相加；③字母和字母的指数保持不变。 知识点5：去括号法则 　　　去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内每一项，再把所得积相加。 　　　符号规律：括号外是正数，去括号后括号内各项符号不变；括号外是负数，去括号后括号内各项符号都改变。 　　　依据：乘法分配律；多层括号由内向外依次去括号。 知识点6：整式的加减 　　　运算法则：几个整式相加减，如果有括号先去括号，再合并同类项。 　　　化简求值：先去括号、合并同类项，再代入字母的值计算，简记为“一化、二代、三计算”。 　　　应用：整式加减可解决周长面积、分段计费、行程工程、利润折扣等实际问题。 【基础必考题型】 【题型1】代数式的概念与书写规范 1.核心知识点: 　　代数式定义；书写规范（乘号省略、数在字母前、除法写成分数）；等号、不等号连接的式子不是代数式。 2.解题方法技巧: 　　①判断代数式：等号、不等号连接的式子不是代数式，含运算符号或单独数、字母的是代数式。 ②书写规范逐一检查：省略乘号、数前字母后、带分数化假分数、除法写成分数。 【例题1】.（25-26七年级上·河北沧州·期中）下列代数式中，符合书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·河南开封·期中）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式题1-2】.（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列式子中属于代数式的是（） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·湖北孝感·期中）给出下列数与式子：①；② ；③；④；⑤；⑥0．其中是代数式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【题型2】列代数式及其实际意义 1.核心知识点: 　　列代数式；代数式意义理解；和差积商关系；两位数、座位排数、促销折扣等模型。 2.解题方法技巧: 　　①先找出数量关系，再用字母表示未知量，按顺序列式。 　　②两位数表示为十位数字+个位数字；连续自然数、座位排数找相邻项规律。 　　③拆解代数式结构按运算顺序理解实际意义，结合情境分析先后顺序，如表示先减30再打九折。 【例题2】.（25-26七年级上·福建福州·期末）代数式的意义是（    ） A．，两数的差 B．，两数的平方差 C．与的差的平方 D．与的平方的差 【变式题2-1】.（25-26七年级上·山西朔州·期末）同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．如“”可以表示一个长是，宽是的长方形的面积．请你再对“”赋予一个实际意义：__________． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·福建龙岩·开学考试）比少5的数是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）今年11月1日湘潭地区早晚温差为，最高气温为，则最低气温为________． 【题型3】单项式的有关概念 1.核心知识点: 　　单项式系数、次数；单独数或字母是单项式；含加减的不是单项式。 2.解题方法技巧: 　　①系数看数字因数（含符号）；次数是所有字母指数之和。 ②是数不是字母；常数项次数为0；分母含字母的不是单项式。 【例题3】.（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 【变式题3-2】.（25-26六年级上·山东烟台·期末）代数式，，，，，，中，单项式的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式题3-3】.（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）下列说法正确的是（） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．单项式的次数是2 D．单项式系数为 【题型4】多项式的有关概念 1.核心知识点: 　　多项式项、常数项、次数、项数；几次几项式；升降幂排列。 2.解题方法技巧: 　　①多项式的次数是次数最高项的次数，不是各项次数之和。 ②按某字母降幂排列时，先找含该字母的各项，再按次数从高到低排列，常数项放最后。 【例题4】.（2026七年级上·全国·专题练习）下列式子：①，②，③ ，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 【变式题4-1】.（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）的次数最高项是___，项数是___． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·江西吉安·期末）多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 【题型5】同类项与合并同类项 1.核心知识点: 　　同类项判定；合并同类项法则；由同类项求参数。 2.解题方法技巧: 　　①同类项：字母相同且对应字母指数相同，与系数、字母顺序无关。 ②合并时系数相加、字母及指数不变；由同类项建立等量关系求未知字母。 【例题5】.（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）下列选项中是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式题5-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）请写出不同于的一个同类项______． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）若与是同类项，则的值是________． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【培优高频题型】 【题型6】整式加减的化简求值 1.核心知识点: 　　先化简再求值；去括号、合并同类项；代入计算。 2.解题方法技巧: 　　①“一化、二代、三计算”：先化简为最简形式，再代入数值。 ②代入负数、分数要加括号；利用非负性（）先求字母值。 【例题6】.（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·北京·期中）先化简，后求值：，其中 【变式题6-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中，满足． 【变式题6-3】.（26-27七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【题型7】整体代入求值 1.核心知识点: 　　整体思想；把已知代数式整体代入；乘法公式变形。 2.解题方法技巧: 　　①把、等看作整体，整体代入目标式。 ②先变形目标式，使其含有已知整体，再代入求值，避免求单个字母。 【例题7】.（25-26七年级下·云南昭通·期中）已知，求代数式的值． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值是5，求代数式的值． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）已知互为相反数且不为互为倒数，是绝对值为2的负有理数，求的值． 【变式题7-3】.（24-25六年级上·北京·期中）当时，代数式的值为，求代数式的值． 【题型8】程序框图与数值转换机 1.核心知识点: 　　程序运算；代数式求值；循环规律；分类判断。 2.解题方法技巧: 　　①按流程图顺序逐步代入计算，注意判断条件决定下一步。 ②循环型程序先算几次找出周期，再求第次结果；涉及分支判断时分情况讨论。 【例题8】.（25-26七年级上·陕西渭南·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·陕西汉中·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图一个“数值转换机”的示意图． (1)输出的结果为_____；（用含的代数式表示） (2)当输入时，求输出的值． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）密码是数学施展的“魔法”．它应用精妙的数学变换，将空中传输的通信内容转化为唯有掌握特定“密钥”才能解读的密文，从而保护信息的安全．一般来说，一个密码系统由明文、加密规则和密文三个基本要素构成，如图①所示． 小明将明文藏在图③中． 他以密文的形式发给妈妈．设定加密规则：信息的每一行从左向右数，取第行的第个字，用表示所取汉字的密文．例如，密文表示“妈”． (1)小明想将明文“想，您”加密，则密文是____________________． (2)小明将原密文用图②所示的加密规则转换成了新密文． ①请将“努，力”转换成新密文； ②若妈妈收到新密文“，，”，请帮她翻译． 【规则评价】 (3)图④是小明设计的另一种对加密的规则．请判断该加密规则是否合理，并说明理由． 【题型9】整式加减中的错看问题 1.核心知识点: 　　整式加减；由错误结果还原；加减法互逆运算。 2.解题方法技巧: 　　①误把加法看成减法（或反之），先由错误结果还原出未知多项式。 ②再按正确运算重新计算；注意每个多项式当作整体加括号。 【例题9】.（25-26七年级上·湖南湘西·开学考试）军军在一次计算中把错写成了，计算结果比原来（   ） A．增加了3 B．减少了3 C．增加了9 D．减少了9 【变式题9-1】.（25-26七年级上·河北邯郸·期中）已知两个整式和，其中，小明在计算的值时，不小心将错看成，得到的结果是． (1)求多项式 (2)当，时，请帮他求出正确的值． 【变式题9-2】.（24-25七年级上·上海·阶段检测）马虎同学在计算一个多项式减去另一个多项式时，错将减号抄成了加号，于是他得到的结果是，请问如果不抄错，正确答案该是多少？ 【变式题9-3】.（26-27七年级上·上海·单元测试）有这样一道题：当，时，求整式 的值，马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 【压轴素养题型】 【题型10】整式加减中的无关项问题 1.核心知识点: 　　合并同类项；取值与某字母无关的条件；恒成立。 2.解题方法技巧: 　　①先化简，令含该字母项的系数为0，求出参数。 ②“与取值无关”即合并后含项的系数和为0；再代入求代数式的值。 【例题10】.（26-27七年级上·上海·单元测试）若整式与的和的值与所取的值无关，求的值． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，其中． (1)当，时，求证； (2)当时，若是一个与无关的定值，求的值． 【题型11】数与图形的规律探究 1.核心知识点: 　　由特殊到一般；数列规律；图形规律；杨辉三角等数学文化；用含的式子表示。 2.解题方法技巧: 　　①观察相邻项的差、倍数关系，找出第项的一般表达式；符号交替项用。 ②数出前几个图形对应数量，找数量随序号的变化规律，写出第个图形的代数式，再代入求指定序号的值。 【例题11】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）观察下图，找出小正方体个数与露在外面的面数变化的规律，将表格填写完整． 小正方体的个数 1 2 3 4 … … a 露在外面的面数 5 9 … … 【变式题11-1】.（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 【变式题11-2】.（2026·江西九江·模拟预测）将边长为1的正方形纸片按图①的方法进行对折，记第1次对折后得到的图形的面积为；第2次按图②的方法对折，记第2次对折后得到的图形的面积为；第3次按图③的方法对折，记第3次对折后得到的图形的面积为；…，依此规律，第n次对折后得到的图形的面积S为（     ） A． B． C． D． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形．．．按此规律，第100个图案中有（     ）个正三角形． A．400 B．401 C．402 D．410 【题型12】整式的加减实际应用 1.核心知识点: 　　分段计费、行程工程、利润折扣；列代数式并化简求值。 2.解题方法技巧: 　　①先读懂题意，分类分析（如分段水费），用代数式表示各段费用。 ②化简要完整，再代入具体数值比较方案优劣或求总费用。 【例题12】.（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）古代神话中，有一条千年神龙守护着一堆龙珠（龙珠不可分割，只能是自然数颗）．神龙每苏醒一次，执行如下一次操作：吃掉现存龙珠的三分之一，再吐出2颗新的龙珠．经过4次苏醒后，神龙身边只剩下颗龙珠．那么，最初神龙守护的龙珠有多少颗？ 【变式题12-1】.（24-25七年级上·山东聊城·期末）为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·广东清远·期末）七年级学生计划去某科技馆研学，科技馆有两种购票方案： 方案一：每人收费60元； 方案二：固定基础费用500元，然后再每人收费40元． (1)若学生人数为x，请分别用含x的代数式表示方案一和方案二的费用； (2)当学生人数为30时，哪种方案的费用更优惠？ 【变式题12-3】.（25-26七年级上·贵州毕节·期末）如图，某地对一个长方形广场进行扩建，扩建后的广场的形状仍是长方形．（单位：） (1)求广场扩建部分（空白部分）的面积．（用含x的代数式表示） (2)若，则广场扩建部分的面积是多少平方米？ 【题型13】整式的加减新定义题 1.核心知识点: 　　阅读理解新定义；把新运算转化为整式运算；多结论判断。 2.解题方法技巧: 　　①精读题干，提取新运算规则，把符号转化为整式的加减运算。 　　②代入验证各结论，逐条判断正误；注意运算顺序与符号变化。 【例题13】.（25-26七年级下·四川成都·期中）定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“近似完全平方数”，记．例如：，则39是一个“近似完全平方数”，且．若两位数k是最小的“近似完全平方数”，则k的值为；若两位数k是“近似完全平方数”且满足，则k的最大值为________． 【变式题13-1】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）定义：若一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为（为整数，且），满足，则这个三位数叫做“杨山数”．例如：三位数，因为，所以它是“杨山数” (1)三位数是“杨山数”吗？请说明理由； (2)设一个“杨山数”为，请用含的代数式表示，并证明一定能被整除； (3)请写出所有百位数字为的“杨山数”． 【变式题13-2】.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）新定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“和积数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“和积数”． (1)判断与3是否互为“和积数”，并说明理由． (2)若有理数与互为“和积数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数，设的“和积数”为；的倒数为；的“和积数”为；的倒数为；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值． 【变式题13-3】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）阅读并完成相关问题： 阅读：定义：如果一个正的三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，那么这样的三位数叫做“配合数”． 观察：因为，所以550是“配合数”，且； 因为，所以231是“配合数”，且； 因为，所以473是“配合数”，且；… 发现：“配合数”都能被11整除． (1)试说明143为“配合数”，并以此为例验证上述发现是正确的． (2)设三位数是一个“配合数”，请说明上述发现是正确的． 易错点 　　　书写不规范：数与字母相乘漏写数字、数字写在字母后、带分数未化假分数、除法未写成分数形式。 　　　整式概念混淆：把误当整式；忽略是数不是字母；误把含加减的式子当单项式。 　　　同类项判断出错：只看字母相同就误判为同类项，忽略相同字母的指数也要相同；常数项误判为不同类。 　　　去括号变号出错：括号前是负号时只变第一项符号，未把括号内各项都变号。 　　　合并同类项丢字母：合并时只把系数相加，漏掉字母或改变字母的指数；化简后忘记代入求值。 重点 　　　代数式的概念与书写规范，能准确列代数式并说出实际意义。 　　　单项式系数、次数，多项式项、次数、常数项及升降幂排列。 　　　同类项的判定与合并，去括号法则，整式的加减运算。 　　　整式加减的化简求值，整体代入与无关项问题的处理。 难点 　　　整式加减与规律探究、几何图形的综合，用含的式子表达一般规律。 　　　整体思想、错看还原、无关项恒成立等综合问题，推理与代数变形能力要求高。 　　　分段计费、行程工程、利润折扣等实际应用，把文字情境抽象为整式模型。 　　　新定义题与多结论判断题，需要阅读理解、代入验证与分类讨论。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列代数式的书写格式规范的是（   ） A． B． C． D． 2．式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 3．若与为同类项，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 二、填空题 4．已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则的值为________． 5．若与是同类项，则______． 6．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第17个图案中的“”的个数是______个． 三、解答题 7．先化简，再求值：，其中， 8．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，是最大的负整数，求的值． 9．如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对面上的两个数相等，回答下列问题： (1) ， ； (2)已知代数式， ①在（1）的条件下，求的值； ②若的值与的取值无关，则 ． 10．如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人． (1)观察上图，根据规律将表格补充完整． 餐桌数量 1 2 3 4 5 … 可坐人数 4 6 8 … (2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐（    ）人． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $