精品解析：上海市莘光学校2024-2025学年上学期八年级9月学情自测数学试题

2024学年第一学期八年级数学九月节点作业 一、选择题： 1. 使二次根式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 若关于x的方程有实根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 某种商品计划经过2个月的时间将售价提高，设每月平均的增长率为x，那么列出方程是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 方程没有根的判别式； B. 两条平行直线被第三条直线所截，则一对内错角的平分线互相平行； C. 三角形的一个外角大于任意一个内角； D. 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线是它的对称轴． 6. 如图，在中，，，点在内，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 7. 计算：__________． 8. 的倒数是________． 9. 计算：__________． 10. 的有理化因式可以是________． 11. 不等式的解集为：________． 12. 最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 13. 方程的根是________． 14. 在实数范围内因式分解：___________. 15. 如果二次三项式能分解成两个相同的一次因式，那么_________． 16. 将命题“等边对等角”改写成“如果......那么......”的形式___________ 17. 若等腰三角形的一边长为，另一边长为，那么这个三角形的周长为________． 18. 如图，正方形ABCD中，点E是DC边上一点，DE=6，EC=3，点F在直线AB上，当线段CF的长为________时，把线段AE绕点A旋转，使点E恰好落在点F处. 三、简答题： 19. 计算： 20. 计算： 21. 解方程：2x2﹣4x﹣1＝0． 22. 在实数范围内因式分解：． 23. 按要求完成各题： （1）用配方法解方程： （2）在实数范围内因式分解： 四、解答题： 24. 已知：，，求代数式的值． 25. 某小区居委会为了方便居民的电瓶车充电，准备利用一边靠墙（墙长15米）的空旷场地利用栅栏围成一个面积为80平方米的电瓶车充电区，如图，为了方便进出，在垂直于墙的两边空出两个宽各为2.5米的出入口，一共用去栅栏21米，请问长方形的充电区的相邻两边长分别是多少米？ 26. 已知的两边、是关于的方程的两个实数根，第三边，若是等腰三角形，求的值． 27. 如图，已知为等边三角形，点D为上任意一点，连接． （1）在BD左侧，以为一边作等边三角形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证： 28. 已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边中点，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F （1）当点E在AC边上时（如图1），求证CE=BF （2）在（1）的条件下，求证： （3）当∠EDF绕D点旋转到图3的位置即点E、F分别在AC、CB边的延长线上时，上述（2）结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期八年级数学九月节点作业 一、选择题： 1. 使二次根式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得． 2. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】将各选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可判断出答案． 【详解】解：A、，，被开方数相同，是同类二次根式，故此选项符合题意； B、，与被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、，与被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、，与被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意． 3. 若关于x的方程有实根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】需注意方程未限定为一元二次方程，应分二次项系数为0和不为0两种情况讨论，再合并m的取值范围． 【详解】解：分两种情况讨论： 当，即时，方程为，有实根，符合题意； 当，即时，方程为一元二次方程， ∵ 方程有实根， ∴ ， 即， ， 解得． 结合，得此时的取值范围为且． 综上，的取值范围是． 4. 某种商品计划经过2个月的时间将售价提高，设每月平均的增长率为x，那么列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设商品原售价为单位1， ∵每月平均增长率为x， ∴1个月后售价为，2个月后售价为 ∵2个月后售价提高，即售价为， ∴ 可列方程． 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 方程没有根的判别式； B. 两条平行直线被第三条直线所截，则一对内错角的平分线互相平行； C. 三角形的一个外角大于任意一个内角； D. 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线是它的对称轴． 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：方程的根的判别式，存在判别式，是假命题． B选项：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，其平分线分得一组的内错角也相等，故两平分线互相平行，是真命题． C选项：三角形的一个外角仅大于与它不相邻的任意一个内角，并非大于任意一个内角，是假命题． D选项：等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，中线是线段，不是对称轴，是假命题． 6. 如图，在中，，，点在内，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形性质求底角，结合已知角相等进行等量代换得到，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 二、填空题： 7. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算根号内的乘方和减法运算，再对结果开平方即可得到最终答案． 【详解】解：． 8. 的倒数是________． 【答案】 【解析】 【分析】求给定数的倒数，写出倒数形式后进行分母有理化即可得到结果． 【详解】解：根据倒数的定义，的倒数为， 因此的倒数是. 9. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 的有理化因式可以是________． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据有理化因式定义，利用平方差公式构造即可得到结果． 【详解】解：互为有理化因式的两个含根式的代数式相乘，积不含有根式， 对于，由平方差公式，可得配对因式为， 计算乘积得：， 乘积为有理数，不含根式，因此是的有理化因式． 11. 不等式的解集为：________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断不等式中的系数的正负，利用不等式的性质变形，再对结果分母有理化即可得到解集． 【详解】解：∵， ∴， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得， 对右侧分母有理化，分子分母同乘，得 ， ∴不等式的解集为． 12. 最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简同类二次根式的定义，可得两个根式的被开方数相等，据此列方程求解，验证后即可得到结果． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴二者被开方数相等，列方程得， 移项合并得， 解得， 验证：当时，，，满足二次根式有意义的条件，因此． 13. 方程的根是________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】将原方程移项整理后，用因式分解法即可求出方程的根． 【详解】解：移项得 . 提取公因式因式分解得 . ∴ 或 . 解得 ，． 14. 在实数范围内因式分解：___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可． 【详解】解：解一元二次方程0 ∴ 故答案为： 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法以及实数范围内分解因式，根据题意得出方程的根是解决问题的关键． 15. 如果二次三项式能分解成两个相同的一次因式，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】二次三项式能分解为两个相同的一次因式，说明它是完全平方式，利用完全平方公式的结构特征即可求出的值． 【详解】解：∵二次三项式能分解成两个相同的一次因式， ∴是完全平方式， 根据完全平方公式，可得中间项， ∴． 16. 将命题“等边对等角”改写成“如果......那么......”的形式___________ 【答案】如果一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等. 【解析】 【分析】将题中的已知条件扩充后放在“如果......”里面，结论放在“那么......”里面即可得出. 【详解】解：命题“等边对等角”的已知条件是“等边”，改写在“如果......”里面就是“如果一个三角形中有两条边相等”，结论是“对等角”，改写在“那么......”里面就是“那么这两条边所对的角也相等”. 故答案为如果一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等. 【点睛】本题考查命题的扩充改写，先要明确命题中的已知条件和结论，然后根据已经学过的知识将已知和结论的描述语言进行适当扩充. 17. 若等腰三角形的一边长为，另一边长为，那么这个三角形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：若为腰长，为底边长， ∵，，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴该情况不能构成三角形，舍去； 若为腰长，为底边长， ∵，，满足三角形三边关系， ∴三角形周长为：． 18. 如图，正方形ABCD中，点E是DC边上一点，DE=6，EC=3，点F在直线AB上，当线段CF的长为________时，把线段AE绕点A旋转，使点E恰好落在点F处. 【答案】或. 【解析】 【分析】根据勾股定理求AE的长，然后以点A为圆心，AE的长为半径画圆，交直线AB与点F出，从而求CF的长度. 【详解】解：由题意可知：∠D=90°，AD=DE+EC=9 ∴ 根据题意以点A为圆心，AE的长为半径画圆， 当点F在A点上方时，如图：连接CF 此时BF= ,BC=9 ∴ 当点F在B点下方时，如图，连接CF 此时BF= ,BC=9 ∴ 综上所述：CF=或. 【点睛】本题主要考查旋转的性质及正方形的性质，利用勾股定理求边长是解题的关键． 三、简答题： 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的异分母二次根式减法，再将除法转化为乘法，最后通过分母有理化化简得到结果． 【详解】解： 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】分离系数和被开方数分别进行乘除运算，再将结果化为最简二次根式． 【详解】解：原式 21. 解方程：2x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】x1=，x2=． 【解析】 【分析】用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解：∵2x2﹣4x﹣1=0， ∴2x2﹣4x=1， 则x2﹣2x=， ∴x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=， 则x﹣1=±， ∴x1=，x2=． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程, 解题时要注意解题步骤的准确使用, 把左边配成完全平方式, 右边化为常数. 22. 在实数范围内因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】令原式，将之看作关于的一元二次方程，先求方程的根，再分解因式． 【详解】解： 令， ， 解得， ， 因此． 23. 按要求完成各题： （1）用配方法解方程： （2）在实数范围内因式分解： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：整理原方程得， 二次项系数化为1得， 配方得， 即， 开平方得， 解得； 【小问2详解】 解：令，原式变形为 ， 将代回，得． 四、解答题： 24. 已知：，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先把的值化简，然后求出，，再把原式化简，最后整体代入，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 25. 某小区居委会为了方便居民的电瓶车充电，准备利用一边靠墙（墙长15米）的空旷场地利用栅栏围成一个面积为80平方米的电瓶车充电区，如图，为了方便进出，在垂直于墙的两边空出两个宽各为2.5米的出入口，一共用去栅栏21米，请问长方形的充电区的相邻两边长分别是多少米？ 【答案】8米和10米 【解析】 【分析】令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边为长，设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边为x米，平行于墙的一边为米，根据长方形的面积列出关于x的一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边为x米，平行于墙的一边为米， 由题意可得，， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，， 答：长方形的充电区的相邻两边长分别是8米和10米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 26. 已知的两边、是关于的方程的两个实数根，第三边，若是等腰三角形，求的值． 【答案】 的值为24或25 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：①，再由根与系数的关系得出的值；②或，代入方程中即可得出的值． 【详解】解：①当时， 此时方程有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴该方程为，解得， ∴的三边长为5，5，4，可以构成三角形，符合题意； ②当或时， 代入方程中，得，解得， ∴该方程为， 解得，，或，， ∴的三边长为4，4，6，可以构成三角形，符合题意； 综上所述，的值为24或25． 27. 如图，已知为等边三角形，点D为上任意一点，连接． （1）在BD左侧，以为一边作等边三角形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证： 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别以B、D为圆心的长为半径画弧，交点为E，连接、即可； （2）由等边三角形的性质和边角边可证明，即可证明． 【小问1详解】 解： 如图，即为所求； 【小问2详解】 证明： ∵是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，手拉手模型证全等，熟悉等边三角形的性质和全等的判定和性质是解题的关键． 28. 已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边中点，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F （1）当点E在AC边上时（如图1），求证CE=BF （2）在（1）的条件下，求证： （3）当∠EDF绕D点旋转到图3的位置即点E、F分别在AC、CB边的延长线上时，上述（2）结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意证明四边形ECFD为矩形，△DFE中DF=FB，从而求解即可；（2）在图1，图2中分别进行证明，在图1中证明四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；在图2中利用三角形全等的判定证明△CDE≌△BDF，利用中线的性质得到，从而得到；（3）不成立；同（2），在图3中得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF-S△CFE=S△ABC．． 【详解】解： （1）由图可知： ∴四边形ECFD是矩形 ∴EC=DF，∠DFB=90° ∵Rt△ABC中，AC=BC， ∴ ∴DF=FB ∴DE=DF ∴CE=BF （2）如图1， ∵D是AB的中点 ∴AD=BD 由（1）可知 ∴△AED≌△DFB ∴DE=DF ∴四边形CEDF是正方形．设△ABC的边长AC=BC=a，则正方形CEDF的边长为a． ∴S△ABC=a2，S正方形DECF=（a）2=a2 即S△DEF+S△CEF=S△ABC； 如图2所示：连接CD； ∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点， ∴∠B=45°，∠DCE=∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=AB=BD， ∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°， ∵∠EDF=90°， ∴∠1=∠2， 在△CDE和△BDF中， ， ∴△CDE≌△BDF（ASA）， ∴ 又∵D为AB中点， ∴ ∴S△DEF+S△CEF=S△ADE+S△BDF=S△ABC； （3）不成立；S△DEF-S△CEF=S△ABC；理由如下：连接CD， 如图3所示： 同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135° ∴S△DEF=S五边形DBFEC， =S△CFE+S△DBC， =S△CFE+S△ABC， ∴S△DEF-S△CFE=S△ABC． ∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF-S△CEF=S△ABC． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $