山东烟台市莱州市第一中学2023-2024学年高三第二次质量检测数学试题

高三数学第二次质量检测(数学) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知，则z的虚部为 A.   B.   5 C.   D.  5i 2.设是函数的导函数，的图像如图所示，则的解集是 A.   B.   C.   D.   3.两个单位向量与满足，则向量与的夹角为 A.    B.    C.    D.    4.已知，则 A.   B.   C.   D.   5.已知函数的极小值为a，极小值点为b，零点为c，若底面半径为1的圆锥的高，则该圆锥的体积为 A.   B.   C.   D.   6.某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数。若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的 A.   B.   C.   D.   7.已知，则的大小关系为   A.   B.   C.   D.   8.如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第n个正方形的面积为，则     A. 1011 B. C. 1012 D. 二、多项选择题：本大题共4小题，共24分。 9.已知且，则     A. ab的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为6 D. 的最小值为4 10.已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是   A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 11.已知O为坐标原点，点，点为单位圆上的动点，OA绕原点逆时针旋转到OP，再将OP绕原点逆时针旋转到，则   A. 存在3个使得 B. 存在6个使得 C. 存在4个使得 D. 存在4个使得 12.已知函数和都是偶函数，当时，，则下列正确的结论是     A. 当时， B. 若函数在区间上有两个零点、，则有 C. 函数在上的最小值为 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.设为等比数列的前n项和，，，则__________. 14.在矩形ABCD中，O为对角线的交点，E为BC上一点，且向量在向量上的投影向量为，，则 15.已知函数的图像与直线连续的三个公共点从左到右依次为，若，则 16.记的内角的对边分别为，已知，P为内一点，若点P满足，且，则的最大值为 四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题12分 如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱若侧面水平放置时，液面恰好过AC、BC、、的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少? 18.本小题12分 已知函数在一个周期内的图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像. 求的解析式； 在中，若，求 19.本小题12分 如图，为了方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线为两边夹角为的公路长度均超过千米，在两条公路上分别设立游客上下点，从观景台P到建造两条观光线路，测得千米，千米 ①求线段MN的长度； ②若，求两条观光线路PM与PN之和的最大值 20.本小题12分 如图，第n个图形是由棱长为的正方体挖去棱长为n的正方体得到的，记其体积为 ①求证： ②求和： 21.本小题12分 对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为数列的k阶差分数列，其中，且 ①已知数列的通项公式，试判断、是否为等差数列或等比数列，并说明理由； ②若数列的首项，且满足，求数列的通项公式及其前n项和 22.本小题12分 已知函数、 ①当时，求函数的单调区间； ②若曲线在点处的切线l与曲线切于点，求的值； ③若恒成立，求的最大值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了复数的相等和共轭复数，属于基础题． 利用复数的运算法则进行化简，然后利用复数的相等和共轭复数即可得出答案．  【解答】 解：， 设，、， 则， 所以，解得 故选 2.【答案】C  【解析】解：由函数图象可知当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 故的解集是 故选： 根据函数图象判断函数值的正负，根据函数的单调性判断导数值的正负，即可求得答案． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题． 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查向量的数量积的概念及其运算、利用向量的数量积求向量的模、利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 求出，，代入公式，即可求出结果. 【解答】 解：因为两个单位向量与满足， 所以， ， 设向量与的夹角为， 所以， 因为，所以 故选 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查同角三角函数公式的应用，属于基础题. 由，可得，且，又由，解得的值，从而得到的值，由可得结果. 【解答】 解：因为， 所以，且， 又由， 所以， 解得或不符合题意舍去， 所以， 所以， 故选 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及零点、圆锥的体积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用导数判断原函数的单调性，进而可得a，b，令，可得c，h，结合锥体的体积公式运算求解． 【解答】 解：由题意可知的定义域为，且， 令，解得，则有： 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 函数的极小值，极小值点， 令，解得，即，， 该圆锥的体积为 故选： 6.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查函数模型及其应用，指数型函数模型的应用等知识，属于基础题． 由条件可得，即，然后当时，将整体代入求解即可． 【解答】 解：由题意得，即， 当时，， 前6小时共能过滤掉污染物， 也即前6小时共能过滤掉污染物的， 故选： 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查利用比较大小，考查指数函数的单调性，考查分析与计算能力，属于基础题． 求出a，b，c的范围，即可得出答案． 【解答】 解：对于a，由，则，故 对于b，，故 对于c，由于，则，从而可得， 同理，，则，从而可得， 所以有， 综上有： 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了等比数列的通项公式和分组求和，属于中档题． 根据图形规律可知是以公比为2，首项为1的等比数列，进而根据，并项求和即可． 【解答】 解：第一个正方形的边长为，面积为， 第二个正方形的边长为，面积为， 第三个正方形的边长为，面积为， 进而可知：是以公比为2，首项为1的等比数列， 所以，， 由于， 所以 故选： 9.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 根据，利用基本不等式对各选项逐项判定，即可求出结果. 【解答】 解：因为，所以当且仅当，时，等号成立，A错误； 因为当且仅当，时，等号成立，所以，B正确； ，当且仅当时等号成立，C正确； 令，，则，所以的最小值不是4，D错误. 故选： 10.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题主要考查直线与直线的位置关系，考查直线与平面的位置关系，考查平面与平面的位置关系，属于中档题. 根据题意逐一判断选项即可. 【解答】 解：当，时，或或l与相交，A不一定成立; 当，，则，B一定成立， 当，，且，m，，则与可能相交，可能平行，不一定垂直，则C不一定成立; 当，，且，，则与可能相交，D不一定成立. 故选 11.【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查任意角的三角函数的定义、二倍角公式，三角函数的图像与性质，属于中档题. 根据任意角的三角函数的定义，得出关于的方程，对各选项逐项判定，即可求出结果. 【解答】解：A选项，若，则， 即或， 又， 所以，，，故A正确； B选项，若，则 或， 所以或或， 因为，所以共6个解，故B正确； C选项，若，则 或， 所以或， 因为，所以共四个解，故C正确； D选项，若，则 或， 所以，所以共两个解，故D错误. 故选 12.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查函数的周期性，单调性，最值，零点问题，属中档题. 【解答】 解：函数的图象关于y轴和直线对称，因此是周期为2的周期函数. 对于A，由函数和二次函数的对称轴重合，解析式正确. 对于B，在同一坐标系中画出函数与的图象，两图象交于， ，点A关于直线的对称点为，，，， 不正确. 对于C，函数在上单调递增，上单调递减，在或时有最小值， 而分母中的函数在上单调递增， 当时，在上的最小值是， 正确. 对于 ，又函数在上单调递减， 正确. 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题． 设公比为q，由可解得，代入求和公式即可得出结果． 【解答】 解：设等比数列的公比为q， 由，得，则， 由等比数列求和公式可知 故答案为： 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查投影向量与平面向量的基本定理，考查直观想象的核心素养，是基础题. 由投影向量得，再由向量运算得出，可得的值. 【解答】 解：在矩形ABCD中， 因为向量在向量上的投影向量为， 所以， 又， 所以， 所以 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想，属于中档题. 作图，根据题意可得，设，则，由此可得，，进一步化简可得，即可得解. 【解答】 解：如图，轴，轴，点B，点C为函数图象与x轴的交点， 轴，D为BC的中点， 函数的最小正周期为，即， 又， 则， 由对称性可知，， 设，则， 所以，， 所以，， 则 故答案为： 16.【答案】  【解析】解：由，得， 即， 整理可得， 故点P在的平分线上，同理可得点P在的平分线上， 所以点P为的内心． 如图，延长BP，交AC于点D，过点P作，，垂足分别为E，F， 设，， 由，得， 由D，A，C三点共线得， 所以 因为，所以， 代入得，当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为 故答案为： 由三角形内心的性质与半角公式求解． 本题考查了向量的数乘运算，单位向量的定义，向量加法的平行四边形法则，三点共线的充要条件，考查了计算能力，是中档题． 17.【答案】解：当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面ABFE为梯形， 设的面积为S，则， ， 当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h， 则有，，， 故当底面ABC水平放置时，液面高为   【解析】本题主要考查棱柱的体积计算，属于基础题. 利用水的体积不变，结合棱柱体积公式列出方程即可求解. 18.【答案】解：由图象可知，所以 又因为最高点是，所以，， 即， 又因为，所以时，， 所以 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数的图象． 因为，所以 又，所以， 所以，所以 由余弦定理，得， 所以  【解析】本题考查的知识要点：由部分图象求三角函数解析式，正弦函数的图象的平移变换，余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 由的图象可得，从而可求出，再将点坐标代入中可求出的值，从而可求得，再由三角函数图象变换规律可求出的解析式； 由可求出角A，然后利用余弦定理可求得 19.【答案】解：在中，由余弦定理得， ， 所以线段MN的长度为3千米． 设，因为，所以， 在中，由正弦定理得， 所以，， 因此 ， 因为，所以 所以当，即时，取到最大值 答：两条观光线路PM与PN之和的最大值为6千米．  【解析】本题考查正、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，尤其是辅助角公式要熟练应用，属于中档题. 根据，，，用余弦定理即可求出MN； 设，，用正弦定理求出，，则，由的取值范围，即可求解. 20.【答案】解：棱长为的正方体的体积为， 棱长为n的正方体的体积为， 所以 由可知， 则 又， 所以， 即  【解析】本题考查利用递推关系求数列的通项公式以及数列求和问题，属于一般题. 由递推关系求解通项公式； 结合中的通项公式，采用分组求和的方式进行求解，化简后可得证. 21.【答案】解：由题意，， 当时，， 因为， 所以是首项为4，公差为2的等差数列. 所以同时是等差数列和等比数列. 由于 ， 所以两边同除以，可得 ， 故数列是首项为，公差为的等差数列，从而，的通项公式是 ，前n项和①， 2T②， ①-②，则 所以  【解析】本题主要考查等差数列和等比数列的证明，并考察了数列通项公式的求法，以及前n项和的求法，属于中档题. 依题意，，可知是等差数列.由 ，可知既是等差数列也是等比数列. 由已知得，由，两边同除以，可知是等差数列，先求出的通项公式，再求出，再利用错位相减法求出 22.【答案】解：，则 令，得，所以在上单调递增． 令，得，所以在上单调递减． 因为，所以，所以l的方程为 ， 依题意，， 于是l与抛物线相切于点， 则，得 所以，， 设，则需证明恒成立． 易得 当时， 因为，所以此时在上单调递增． ①若，则当时满足条件，此时； ②若，取且， 此时，所以不恒成立，不满足条件； 当时， 令，得由，得； 由，得 所以在上单调递减，在上单调递增． 要使得“恒成立”，必须有： “当时，”成立． 所以， 则 令，，则 令，得； 由，得； 由，得 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时， 从而，当，时，的最大值为 综上，的最大值为  【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于较难题． 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； 求出函数的导数，根据切线方程求出a，b，c的值即可； 设，求出函数的导数，通过讨论，，，根据函数的单调性求出的最大值即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $