精品解析：陕西榆林市第十中学2026-2027学年九年级上学期数学第一次阶段作业检测

2026-2027学年度九年级数学第一次阶段作业检测 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 4. 为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）． A. B. C. D. 6. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 7. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 其图象开口向下 B. 其图象的对称轴是直线 C. 其最小值为 D. 当时，随的增大而减小 8. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 图象的对称轴是直线 10. 掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A. B. C. D. 11. 若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 12. 已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 一元二次方程的解为_________． 14. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 15. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 16. 若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 三、解答题（共72分） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标． 19. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出的取值范围． 20. 第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 21. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． （1）请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； （2）物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 23. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 ，乙同学的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 24. 已知抛物线的对称轴是直线． （1）求证：； （2）若关于的方程的一个根为2，求此方程的另一个根． 25. 如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空： ， ． （用含t的代数式表示）； （2）如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． （4）点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度九年级数学第一次阶段作业检测 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：方程，∵是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，∴是一元二次方程，该选项符合要求． B选项：方程，∵是分式，方程不是整式方程，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． C选项：对展开整理，得，∵未知数的最高次数是，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． D选项：方程，∵方程含有和两个未知数，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． 2. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A、对于方程，，方程没有实数根，不符合题意； B、对于方程，，方程有两个相等的实数根，符合题意； C、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 3. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 4. 为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 5. 把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移口诀“左加右减，上加下减”进行判断即可． 【详解】解：根据题意，平移后的抛物线的解析式为． 6. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 7. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 其图象开口向下 B. 其图象的对称轴是直线 C. 其最小值为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 8. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线顶点坐标为． 9. 如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与轴交点的个数、对称轴判断各项是否正确． 【详解】解：A选项：当时，，由函数图像可知，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，故A选项错误； B选项：由函数图像可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有个不相等的实数解， ，故B选项错误； C选项：二次函数的图象经过点， 当时，，故C选项错误； D选项：二次函数的图象经过点，， 抛物线的对称轴是，故D选项正确． 故选：D． 10. 掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数表达式是解题的关键．已知顶点坐标，设顶点式，将代入求出的值，即可求出函数表达式，再求出时的值，即点的坐标，则可知的长． 【详解】解：设行进高度与水平距离之间的函数关系式为， 将代入得：， 解得， ， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 点的坐标为， 的长为， 该男生此次掷实心球的成绩是． 故选：B． 11. 若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 12. 已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 14. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是，  ， 因此方程的另一个根为2． 15. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 16. 若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于方程可得 ，  ∴． 三、解答题（共72分） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， 或， ，； 【小问2详解】 解：，其中，，， 则， 原方程有两个不相等的实数根， ， ，． 18. 已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标． 【答案】抛物线解析式为，抛物线得顶点坐标为 【解析】 【分析】待定系数法求出抛物线的解析式，再化为顶点式，写出顶点坐标即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得：， 所以抛物线解析式为， 而， 所以抛物线的顶点坐标为． 19. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见解析； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，． 20. 第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】先设月平均增长率为，根据4月和6月的销售量列出方程，即可求解． 【详解】解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴． 答：吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 21. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． （1）请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； （2）物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元 【解析】 【分析】（1）根据“单价每涨1元，销量少2本”,用基础销量减去涨价减少的销量，列出一次函数； （2）单本利润=售价进价，总利润单本利润销量，得到二次函数；二次函数开口向下，对称轴左侧随增大而增大，结合售价上限，取时利润最大． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即：． 【小问2详解】 解：， ，开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ， ∴当时，W最大， 此时（元）， 答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】（1）证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 23. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 ，乙同学的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确；不正确 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键，用公式法求解要将一元二次方程先化为一般式，再运用公式法求解． （1）先将3移项，得，此时，计算，所以此一元二次方程有两个不相等的实数根，据此判断甲同学和乙同学的答案； （2）先移项得，左边提公因式，再利用提公因式法解此方程即可． 【小问1详解】 解：甲同学的解法错误，乙同学的解法错误， 故答案为：不正确，不正确； 【小问2详解】 移项，得， ， 或， 解得． 24. 已知抛物线的对称轴是直线． （1）求证：； （2）若关于的方程的一个根为2，求此方程的另一个根． 【答案】（1） 已知抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴． （2） 方程的另一个根为 【解析】 【分析】（1）根据对称轴直线的计算方法列式得到，由此即可求解； （2）把代入，结合（1）得到，，，则，由此解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于的方程的一个根为2， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， ∴方程的另一个根为． 25. 如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空： ， ． （用含t的代数式表示）； （2）如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． （4）点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）；； （2）1秒后 （3）解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； （4）当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【解析】 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【小问1详解】 解：由题意，得， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $