1.1集合讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1集合的概念及特征（精讲） 思维导图 研究的对象 概念 表示 小写拉丁字母a、b、c.… 元素 元素在不在集合中必须明确各类的标谁要明确 确定性 判断这组元素是否能构成集合 元素没有顺序之分 特征 无序性 表示只要一个集合的元素确定，与元素之间 的排列顺序无关. 集合中的每个元素不相同，不重复 互异性 判断构成集合的元素的个数 些元素组成的总体 概念 表示 大写的啦丁字母A、B、C.· 集 自然语言 用文字表达出来 表 列举法 元素一列举出来，并用0括起来，元素之间用逗号隔开 集合的概念 庭 一般地，设A是一个桑合，把桑合A中所有具有共同特征P()的元素x 描述法 所组成的聚合表示为{[xEA川P(∂】，这种表示桑合的方法称为描述法 有限集 集合的元素个数有限 集合的分类 无限集 集合中的元素个数有无限个 关系 概念 记法 读法 属于 a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于A 不属于 a不是集合A中的元素，说a不属于集合A A a不属于A 关系 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N或N Z 0 R 常用 数集 文字型-明确性-判断文字中是否出现不明确的词语 集合的判断 数字型-互异性或无序性 直接法：集合中的元素是直接给出的 元素与 集合的 推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素 关系 是否满足集合中元素所具有的特征即可 形如集合={xax2+bx+c=0元素的个数 「c≠0三无解 b=0 a=0 c=0→无数个解 集合的概念解题思路 b≠0三有一解 「△=0三一个解 a≠0△>0→两个解 △<0→无解 元素特征求出 策略：(1)根据元素的确定性，解出参数的所有可能值： (2)元素的互异性对求得的参数值进行检验 注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用 般适用于有限集合但元素个数多或者无限集合 (1)写清楚该集合代表元素的符号 描述法 (2)所有描述的内容都要写在花括号内 (3)不能出现未被说明的字母 集合表示方法 (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范 围为实数集时可以省略不写 般适用于有限集合且元素个数少 列举法 (1)求出集合的元素 (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次， (3)用花括号括起来. 考点目现 考点一集合的判断 考点二集合与元素的关系 考点三集合的表示方法 集合的概念及特征 考点四集合中元素的个数 考点五集合中互异性及应用 例题剖析 考点一集合的判断 【例1】全国商一冷出下列表述：①联合国常任理事国：②充分接近 的实数的全体；③方程 x2+x-1=0 的实数根④全国著名的高等院校以上能构成集合的是() A.①③ B.①② C.①②③ D.①②③④ 【一隅三反】 1.(2022全国·高三专题练习)下面能构成集合的是() A.中国的小河流 B.大于5小于11的偶数 C.高一年级的优秀学生 D.某班级跑得快的学生 2.(全国高三专题练习)下列说法中正确的是() A,与定点A,B等距离的点不能构成集合 B.由“title中的字母构成的集合中元素的个数为5 C.一个集合中有三个元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等边三角形 D.高中学生中的游泳能手能构成集合 3.(全国高一课时练习)下列所给对象不能构成集合的是() A.一个平面内的所有点 B.所有小于零的实数 C.某校高一(1)班的高个子学生 D.某一天到商场买过货物的顾客 考点二集合与元素的关系 【例2】（湖南高一课时练习）用符号“∈”和“”填空： (1)2N; (2)1 Z; (3)-2R: Q. 32 0 N. (60 【一隅三反】 1.(湖南高一课时练习)用符号“∈”或“”填空： 1N-3N0.3Q,5 N. 1z,-3Q,02,5R 22 0N:πR,70, cos30°_Z. 2.(湖南岳阳)下列元素与集合的关系中，正确的是() 2 A.-1EN B.0N' C.√3eg D. 3.(北京大兴)已知集合4={xx=2k,k∈Z},则（) A.-1∈A C.V2∈A D2∈A 考点三集合的表示方法 【例3】（全国高一课时练习）选择适当的方法表示下列集合： (1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A: (2)所有正奇数组成的集合B: (3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C: y=x (4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D. 【一隅三反】 1.(山东省淄博)集合 -eN1e2 ,用列举法可以表示为() 4.1,2,49y g.{1,24,56,9yc.{-6,3,-2-13,6D{-6-3,-2-12,3,6 x+y=2 2.(浙江)方程组x-y=0的解构成的集合是() 4. 8.0) c.010y D.0} 3.（·广东)把下列集合用另一种方法表示出来： {2,4,6,8,10} (1) (2)由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数： @eN13<x<7 (4)中国古代四大发明 考点四集合中元素的个数 ,12 【例4-1】(2022·湖南)集合 中含有的元素个数为() A.4 B.6 C.8 D.12 【例42】（内蒙古已知集合4=@，L列，B=(水e4ye4x+yeAx-ye4,则失合B中元素的 个数是() A.6 B.3 C.4 D.5 【一隅三反】 1.(全国高一课时练习)用“booK'中的字母构成的集合中元素个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.《糊南)已知集合1=0,1号，则东合B=-kAye4号中元素的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.街扣由实数xxF(不)，F所组成的集合，最多可含有（个元素 A.2 B.3 C.4 D.5 考点五集合互异性及其应用 【例s-1】(广西)设集合4=2，a2-a+2,1- ,若4∈A,则0的值为(). A.-1,2 B.-3 C.-1,-3,2D.-3,2 【例5-21（云南已知袋合4=ar+2x+1=0,a∈R只有-个元素，则a的取值袋合为） A.) B.0 C.{0,-1,1} D.{0,1} 【例5-3】（全国高三专题练习）设集合 ={3x-1<m,若1eA且2A,则实数m的取值范国围是(） A.2<m<5 B.2≤m<5 C.2<m≤5 D.2≤m≤5 【一隅三反】 1.陕西)设集合4=21-a-a+2,若44，则0=() A,-3或-1或2 B.-3或-1 C.-3或2 D.-1或2 2.(多选)（新已知突合M={2,3r+3x-4,+X-4,若2eM,则满足条件的实数可能 为() A.2 B.-2 C.-3 D.1 3.(多选)饲北己知集合A={x(a-)小x+(a+)x+1=0中有且仅有一个元素，那么a的可能取值 为() A.-1 B.1 C.3 D.0 1.1 集合的概念及特征(精讲) 考点一 集合的判断 【例1】(·全国·高一)给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是(       ) A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【解析】① 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合. ② 中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合. ③ 方程的实数根是确定，所以能构成集合. ④ 全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合.故选：A 【一隅三反】 1．(全国·高三专题练习)下面能构成集合的是(       ) A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数 C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生 【答案】B 【解析】由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性； 对于B，大于5小于11的偶数为，可以构成集合； 对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性； 对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性.故选：B. 2．(·全国·高三专题练习)下列说法中正确的是(       ) A．与定点A，B等距离的点不能构成集合 B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形 D．高中学生中的游泳能手能构成集合 【答案】C 【解析】对于A：与定点A，B等距离的点在线段的中垂线上，故可以组成集合，即A错误； 对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B错误； 对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等边三角形，即C正确； 对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；故选：C 3．(2022·全国·高一课时练习)下列所给对象不能构成集合的是(       ) A．一个平面内的所有点 B．所有小于零的实数 C．某校高一(1)班的高个子学生 D．某一天到商场买过货物的顾客 【答案】C 【解析】一个平面内的所有点具有确定性，符合集合定义，故A正确； 所有小于零的实数具有确定性，符合集合定义，故B正确； 某校高一(1)班的高个子学生目标不确定，不符合集合定义，故C不正确； 某一天到商场买过货物的顾客具有确定性，符合集合定义，故D正确．故选：C 考点二 集合与元素的关系 【例2】(·湖南·高一课时练习)用符号“”和“”填空： (1)______N；       (2)1______；       (3)______R； (4)______；       (5)______N；       (6)0______． 【答案】                              【解析】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断 (1)(2)(3)(4)(5)(6). 故答案为：(1)(2)(3)(4)(5)(6). 【一隅三反】 1．(·湖南·高一课时练习)用符号“∈”或“∉”填空： 1____N， －3____N， ___Q， ___N， 1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R， 0___N*， π___R， ___Q， ___Z． 【答案】     ∈     ∉     ∈     ∉     ∈     ∈     ∈     ∈     ∉     ∈     ∈     ∉ 【解析】表示自然数集；表示正整数集； 表示整数集；表示有理数集；表示实数集. 故答案为：；；；；；；；；；；；. 2．(·湖南岳阳)下列元素与集合的关系中，正确的是(       ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为﹣1是整数，不是自然数，所以A不正确； 因为0不是正整数，所以B正确； 因为是无理数，不是有理数，所以C不正确； 因为是实数，所以D不正确.故选：B 3．(北京大兴)已知集合，则 (       ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由集合，即集合是所有的偶数构成的集合. 所以，，，故选：D 考点三 集合的表示方法 【例3】(·全国·高一课时练习)选择适当的方法表示下列集合： (1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A； (2)所有正奇数组成的集合B； (3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C； (4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D． 【答案】(1)(2)(3) (4) 【解析】(1)不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：； (2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：； (3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：； (4)直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：． 【一隅三反】 1．(·山东省淄博)集合，用列举法可以表示为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为且，所以的可取值有：， 所以列举法表示集合为：，故选：B. 2．(·浙江)方程组的解构成的集合是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵∴ ∴方程组的解构成的集合是{(1，1)}故选C． 3．(广东)把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数； (3)； (4)中国古代四大发明 【答案】(1){且} (2) (3) (4){造纸术，印刷术，指南针，火药} 【解析】(1){且}. (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数： . (3). (4)中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药} 考点四 集合中元素的个数 【例4-1】(2022·湖南)集合中含有的元素个数为( ) A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B 【例4-2】(·内蒙古)已知集合，，则集合B中元素的个数是(       ) A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】集合中的元素有，，，共4个，故选：C. 【一隅三反】 1．(·全国·高一课时练习)用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(       ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】“book”中的字母构成的集合为，有3 个元素，故选：C 2．(·湖南)已知集合，则集合中元素的个数是(       ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】由集合，，根据，所以， 所以中元素的个数是3.故选：C 3．(浙江)由实数所组成的集合，最多可含有(       )个元素 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意，当时所含元素最多，此时分别可化为，，， 所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．故选：B 考点五 集合互异性及其应用 【例5-1】(·广西)设集合，若，则的值为(       )． A．，2 B． C．，，2 D．，2 【答案】D 【解析】由集合中元素的确定性知或． 当时，或；当时，． 当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求； 当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求．综上，或．故选：D． 【例5-2】(云南)已知集合只有一个元素，则的取值集合为(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】①当时，，此时满足条件； ②当时，中只有一个元素的话，，解得，综上，的取值集合为，．故选：D． 【例5-3】(全国·高三专题练习)设集合，若且，则实数的取值范围是(       ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，而且， 且，解得．故选：C． 【一隅三反】 1．(·陕西)设集合，若，则(       ) A．或或2 B．或 C．或2 D．或2 【答案】C 【解析】当时，，符合题意； 当时，或. 当时，符合题意；当时，，与集合元素的互异性矛盾.所以舍去.故或.故选：C 2．(多选)(·新疆)已知集合，，，若，则满足条件的实数可能为( ) A．2 B． C． D．1 【答案】AC 【解析】由题意得，或， 若，即， 或， 检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去． 若，即， 或， 经验证或为满足条件的实数． 故选：AC． 3．(多选)(·河北)已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为( ) A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】 当时，即，解得， 当时，代入方程解得，满足题意； 当时，方程无解，不满足题意； 当时，即，，即， 整理可得，解得，满足题意；故选：BC. 学科网（北京）股份有限公司 $