1.1集合的概念讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1 集合的概念 讲义 目录 教学目标 1 知识点梳理 1 知识点1 集合与元素的定义 1 知识点2 集合中元素的三大特性 1 知识点3 元素与集合的关系 2 知识点4 常用数集 2 知识点5 集合的表示方法 2 知识点6 集合的分类 2 知识点7 集合相等 2 随学随练 2 典型题型（例题+举一反三，基础至中等） 2 题型1 判断元素能否构成集合 3 题型2 判断是否为同一集合 3 题型3 判断元素与集合的关系 3 题型4 根据元素与集合的关系求参数 4 题型5 利用集合元素的互异性求参数 4 题型6 自然语言表示集合 5 题型7 描述法表示集合 5 题型8 列举法表示集合 5 题型9 根据集合中元素的个数求参数 6 题型10 利用集合中元素的性质求集合元素个数 6 题型11 列举法求集合中元素的个数 6 题型12 集合的分类 7 题型13 根据集合相等关系进行计算 7 课后练习 8 答案与详细解析 9 本章复习小结 12 教学目标 课标要点 · 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； · 掌握集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； · 会用自然语言、列举法、描述法表示集合； · 记住常用数集符号：； · 区分有限集、无限集、空集； · 能利用集合相等、元素互异性求解参数，并检验。 学习重难点 重点： · 集合的概念与元素三要素； · 元素与集合关系；列举法、描述法表示集合。 难点： · 利用互异性求参数，解后检验； · 区分数集与点集，读懂描述法中代表元素。 知识点梳理 知识点1 集合与元素的定义 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，集合常用大写字母表示；元素用小写字母表示。 知识点2 集合中元素的三大特性 1. 确定性：给定集合，任何对象都能明确判断是否属于这个集合；描述模糊的对象不能构成集合。 1. 互异性：集合中的元素互不相同，同一个元素只写一次；求参数题必检验互异性。 1. 无序性：集合中元素没有先后顺序，元素完全相同的两个集合为相等集合。 知识点3 元素与集合的关系 · 若是集合的元素，称属于，记作； · 若不是集合的元素，称不属于，记作。 知识点4 常用数集 · ：自然数集（包含0）； · （或）：正整数集； · ：整数集； · ：有理数集； · ：实数集。 知识点5 集合的表示方法 1. 自然语言法：用文字描述集合； 1. 列举法：把集合元素一一列举，写在大括号内，元素之间逗号隔开； 1. 描述法：，为代表元素，是元素满足的共同特征。 知识点6 集合的分类 · 有限集：元素个数是有限个； · 无限集：元素个数无限； · 空集：不含任何元素的集合。 知识点7 集合相等 如果两个集合的元素完全相同，则称两个集合相等。 随学随练 1. 判断：“身材较高的同学”能否构成集合？ 1. 用填空： ； 。 1. 用列举法写出方程的解集：。 典型题型（例题+举一反三，基础至中等） 说明：每题例题1道，配套3道举一反三，选取近两年高一月考、期中经典题型。 题型1 判断元素能否构成集合 解题贴士 核心看确定性；标准模糊、无法判定的对象不能构成集合。 例1（24-25高一上·杭州月考）判断下列对象能否构成集合： (1) 所有大于5的正整数；(2) 本班活泼的同学。 解析： (1) 可以构成集合；标准明确，任意正整数可判断是否大于5，满足确定性； (2) 不能构成集合；“活泼”没有明确判定标准，不满足确定性。 对点练（举一反三） 1. （24-25高一上·苏州月考）下列对象能构成集合的是（） A. 好看的图书 B. 大于1小于6的整数 C. 接近0的数 D. 优秀学生 1. （24-25高一上·福州期中）判断：所有直角三角形能否构成集合，说明理由。 1. （25-26高一上·成都阶段检测）判断：本班长得很高的男生能否构成集合。 题型2 判断是否为同一集合 解题贴士 集合只看元素，与列举顺序无关；元素完全相同就是同一集合。注意区分数集和点集。 例2（24-25高一上·济南期中）判断集合与是否为同一个集合。 解析：两集合元素完全一致，由集合无序性，，是同一个集合。 对点练（举一反三） 1. （24-25高一上·石家庄月考），判断是否为同一集合。 1. （24-25高一上·郑州期中），判断是否同一集合。 1. （25-26高一上·西安阶段检测），判断是否同一集合。 题型3 判断元素与集合的关系 解题贴士 验证元素是否满足集合条件；区分符号与，熟记常用数集。 例3（24-25高一上·武汉期中）用或填空： ； 。 解析：，；是正整数集，不含0，。 对点练（举一反三） 1. （24-25高一上·长沙月考） ； 。 1. （24-25高一上·南宁期中） ； 。 1. （25-26高一上·重庆阶段检测） ； 。 题型4 根据元素与集合的关系求参数 解题贴士 元素属于集合，代入条件求解参数；最后检验集合元素互异性！ 例4（24-25高一上·厦门期中）已知，求实数的值。 解析： ① ，集合，元素互不重复，符合； ② ，解得或，集合，均满足互异性。 综上：。 对点练（举一反三） 1. （24-25高一上·天津月考）已知，求。 1. （24-25高一上·合肥期中），求。 1. （25-26高一上·昆明阶段检测），求。 题型5 利用集合元素的互异性求参数 解题贴士 集合任意两个元素不能相等；求出参数后代入检验，舍去造成元素重复的值。 例5（24-25高一上·南昌期中）集合，求需要满足的条件。 解析： 解得：。 对点练（举一反三） 1. （24-25高一上·太原月考）集合，求不能取哪些值。 1. （24-25高一上·贵阳期中）集合，求满足的条件。 1. （25-26高一上·兰州阶段检测）集合中元素互不相同，求的取值范围。 题型6 自然语言表示集合 解题贴士 读懂文字描述，区分有限、无限，转化为列举或描述法规范书写。 例6（24-25高一上·广州期中）用集合表示：大于3且小于8的所有整数。 解析：满足条件整数：；集合为。 对点练（举一反三） 1. （24-25高一上·南宁月考）列举法写出不大于3的自然数构成集合。 1. （24-25高一上·呼和浩特期中）描述法表示大于的全体实数。 1. （25-26高一上·福州阶段检测）列举法写出方程的实数解集合。 题型7 描述法表示集合 解题贴士 看清代表元素是数还是点；规范格式元素满足的条件。 例7（24-25高一上·南京期中）用描述法表示大于5的所有实数构成的集合。 解析：代表元素为实数，满足，集合：。 对点练（举一反三） 1. （24-25高一上·杭州月考）描述法写出全体偶数构成的集合。 1. （24-25高一上·济南期中）描述法写出方程的解构成集合。 1. （25-26高一上·成都阶段检测）描述法写出第四象限所有点的集合。 题型8 列举法表示集合 解题贴士 元素一一列举，放入大括号；重复元素只写一次，遵守互异性。 例8（24-25高一上·长沙期中）列举法表示：小于4的正整数组成集合。 解析：满足条件正整数：；集合。 对点练（举一反三） 1. （24-25高一上·福州月考）列举法表示：方程的解集。 1. （24-25高一上·重庆期中）列举法表示：大于小于2的整数集合。 1. （25-26高一上·西安阶段检测）列举法写出12的所有正约数构成集合。 题型9 根据集合中元素的个数求参数 解题贴士 集合元素个数对应方程解的个数；区分一次、二次方程，注意参数等于0的特殊情况。 例9（24-25高一上·天津期中）集合只有一个元素，求参数取值。 解析：时，方程无解，集合为空集； ，方程仅有解，集合只有1个元素。 故。 对点练（举一反三） 1. （24-25高一上·合肥月考）集合仅有一个元素，求。 1. （24-25高一上·沈阳期中）集合有两个元素，求的取值范围。 1. （25-26高一上·哈尔滨阶段检测）集合仅有1个元素，求的值。 题型10 利用集合中元素的性质求集合元素个数 解题贴士 枚举候选元素，利用互异性剔除重复，统计元素总数。 例10（24-25高一上·南昌期中）集合是小于5的正整数，求集合元素个数。 解析：，共个元素。 对点练（举一反三） 1. （24-25高一上·太原月考）集合，求元素个数。 1. （24-25高一上·贵阳期中）集合，求元素个数。 1. （25-26高一上·兰州阶段检测）集合，求元素个数。 题型11 列举法求集合中元素的个数 解题贴士 先列举全部候选，去掉重复元素，再计数。 例11（24-25高一上·广州期中）集合，化简并求元素个数。 解析：根据互异性去重，，一共个元素。 对点练（举一反三） 1. （24-25高一上·南宁月考）集合化简并求元素个数。 1. （24-25高一上·呼和浩特期中）集合化简求元素个数。 1. （25-26高一上·福州阶段检测）集合，化简并写出全部元素。 题型12 集合的分类 解题贴士 有限集：元素有限；无限集：元素无限；空集：不含任何元素。 例12（24-25高一上·南京期中）判断集合类别： ；；。 解析：有限集；无限集；无实数解，是空集。 对点练（举一反三） 1. （24-25高一上·杭州月考）集合，判断集合类型。 1. （24-25高一上·济南期中）集合，判断集合类型。 1. （25-26高一上·成都阶段检测）集合，判断集合类型。 题型13 根据集合相等关系进行计算 解题贴士 集合相等元素完全相同；列方程组求解，解完检验互异性。 例13（24-25高一上·厦门期中）已知集合，求。 解析：元素对应相等，，解得或。 ，集合，无重复；，集合，无重复。 综上：或。 对点练（举一反三） 1. （24-25高一上·长沙月考），求。 1. （24-25高一上·天津期中），求。 1. （25-26高一上·昆明阶段检测），求。 课后练习 1. 判断“很大的正数”能否构成集合，说明理由。 1. 用填空： ； 。 1. 已知，求的值。 1. 集合，求不能取的值。 1. 列举法写出方程的解集。 1. 集合仅有一个元素，求参数。 1. 集合有两个不同元素，求实数范围。 1. 已知集合，求。 1. 判断集合属于有限集、无限集还是空集。 1. 集合，化简并求元素个数。 答案与详细解析 随学随练解析 1. 不能；没有明确判定标准，不满足确定性。 1. ；。 1. 。 题型1解析 对点练1解析 1. B；其余描述模糊，不满足确定性。 1. 可以；任意三角形可以明确判定是否为直角三角形，满足确定性。 1. 不能；“长得很高”没有统一判定标准，不满足确定性。 题型2解析 对点练2解析 1. 不是；元素是点，是数字，元素类型不同。 1. 是同一集合；。 1. 是同一集合；集合自动去重，。 题型3解析 对点练3解析 1. ；。 1. ；。 1. ；。 题型4解析 对点练4解析 1. 。 1. ①，集合成立；②或，集合均成立。。 1. ①，集合成立；②或，集合成立。。 题型5解析 对点练5解析 1. 2. 3. 。 题型6解析 对点练6解析 1. 。 1. 。 1. 。 题型7解析 对点练7解析 1. 。 1. 。 1. 。 题型8解析 对点练8解析 1. 。 1. 。 1. 。 题型9解析 对点练9解析 1. 。 1. 或。 1. 。 题型10解析 对点练10解析 1. ，2个元素。 1. ，4个元素。 1. ，3个元素。 题型11解析 对点练11解析 1. ，共3个元素。 1. ，共2个元素。 1. 。 题型12解析 对点练12解析 1. ，有限集。 1. 无限集。 1. 无实数解，空集。 题型13解析 对点练13解析 1. 。 1. ，得；。 1. ，集合成立。。 课后练习解析 1. 不能；“很大”没有明确判定标准，不满足确定性。 1. ；。 1. ①，集合成立；②或，集合成立；。 1. 1. 。 1. 。 1. 或。 1. ，满足互异性，。 1. 方程无实数解，为空集。 1. 去重，元素个数。 本章复习小结 · 集合三要素：确定性、互异性、无序性；互异性是参数题高频陷阱，求出参数必须回代检验； · 元素与集合关系符号：、；熟记； · 集合表示方法：自然语言、列举法、描述法；看清代表元素，区分数集和点集； · 集合相等：两个集合元素完全相同； · 集合分类：有限集、无限集、空集；空集不含任何元素； · 参数类题目，一定要检验互异性，剔除造成元素重复的解。 学科网（北京）股份有限公司 $