精品解析：河南许昌市建安区部分校2026-2027学年第一学期九年级数学学情自测试题

九年级数学月考卷 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是二次函数，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 4. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 对于二次函数y＝2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（　　） A. 图象开口向下 B. 当x＞1时，y随x的增大而减小 C. 图象的对称轴是直线x＝﹣1 D. 当x＜1时，y随x的增大而减小 7. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以的速度沿边、边向终点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点P、Q的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为，其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共5小题，每题3分） 11. 请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________． 12. 若二次函数与轴有两个交点，则的取值范围是___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为_____． 14. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 15. 如图所示，线段与x轴平行，点B在点A右侧，，点A是直线上的点，设点A的横坐标为m．若线段与抛物线有且仅有一个公共点，则m的取值范围为______________． 三、解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 18. 已知二次函数．回答下列问题： （1）该函数图象的顶点坐标为___________，对称轴为直线___________，函数图象与轴的交点坐标为___________； （2）在如图的坐标系中画出该二次函数的图象； （3）二次函数的图象可由抛物线向___________平移___________个单位长度得到； （4）根据图象，当时，的取值范围是___________． （5）若点与是此二次函数图象上的点，则，，的大小关系为___________．（用“>”连接） 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴正半轴交于点，且连接，若为上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，，若，求点的坐标． 22. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程（）的正确构图是___________．（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（___________）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程：___________，解得原方程的一个根为___________． （3）【拓展应用】一般地，对于形如()的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，按照上述方法，求此方程的正根． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，且自变量时，函数值为0； （1）求该二次函数的表达式； （2）求该二次函数图象的顶点坐标，并直接写出当时，函数值的取值范围； （3）若点和点是该二次函数图象上两个不同的点，且，判断与是否相等并说明理由；若不相等，请写出二者之间的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学月考卷 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于A选项，∵当时，方程二次项系数为0， ∴不是一元二次方程． 对于B选项，∵方程的未知数为， ∴不是关于的方程． 对于C选项，整理得， ∵仅含未知数，的最高次数为2，二次项系数不为0， ∴是关于的一元二次方程． 对于D选项，整理得， ∵当时，二次项系数为0，方程为一元一次方程， ∴不一定是一元二次方程． 2. 若是二次函数，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为x cm， ∴该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm． 依题意得：（45-2x）（25-2x）=625． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】观察抛物线开口方向、对称轴位置及与轴交点位置. 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上，，. 6. 对于二次函数y＝2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（　　） A. 图象开口向下 B. 当x＞1时，y随x的增大而减小 C. 图象的对称轴是直线x＝﹣1 D. 当x＜1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】先将二次函数化为顶点式，然后再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：二次函数y＝2（x+1）（x﹣3）可化为y＝2（x﹣1）2﹣8的形式， ∵二次函数的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣8， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小． 故答案为D． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式的形式是解答本题的关键． 7. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将代入给定的高度与时间的关系式，解一元二次方程，结合时间的实际意义判断解的有效性. 【详解】解：∵，， ∴， 整理得， 因式分解得， 解得，，均符合飞行时间的实际意义. 8. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数关系列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 10. 如图，在四边形中，，，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以的速度沿边、边向终点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点P、Q的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为，其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】判断点Q在上，求得，得到四边形是平行四边形，即可判断①正确；利用三角形面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可判断②错误；分两种情况讨论，可判断③正确． 【详解】解：①当时，点Q运动的距离为，则点Q在上， 此时，，如图， ， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，①正确； ②当时，点Q在上， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的最大面积为，不符合题意，②错误； ③当点Q在上时，的面积为时， 则， 解得（不符合题意，舍去）或； 当点Q在上时， ∵，， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， ∴③正确； 综上，正确的只有①③，共2个． 二、填空题（共5小题，每题3分） 11. 请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴为轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可. 【详解】解：设函数的表达式为y=ax2+bx+c， ∵图象的对称轴为y轴， ∴对称轴为x==0， ∴b=0， ∴满足条件的函数可以是：.（答案不唯一） 故答案是：y=x2（答案不唯一） 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 12. 若二次函数与轴有两个交点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数与轴有两个交点，说明对应一元二次方程有两个不相等的实数根，根的判别式大于，列出不等式求解即可. 【详解】解：∵二次函数与轴有两个交点， ∴对应一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】利用配方法求出抛物线的顶点坐标，根据矩形的性质解答． 【详解】解：y=x2-2x+3=（x-1）2+2， 则抛物线的顶点坐标为（1，2）， ∴当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最小值为2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∴对角线BD的最小值为2， 故答案为2． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，正确求出抛物线的顶点坐标、掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 14. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程、三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解一元二次方程得到可能的腰长，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：， ， 解得 或 ， 当腰长为3时，三边为3、3、6， ∵ ，不构成三角形； 当腰长为4时，三边为4、4、6，满足三角形三边关系， ∴周长为 ． 故答案为：14． 15. 如图所示，线段与x轴平行，点B在点A右侧，，点A是直线上的点，设点A的横坐标为m．若线段与抛物线有且仅有一个公共点，则m的取值范围为______________． 【答案】且 【解析】 【分析】先根据题意得出点B的坐标，联立方程组求出二次函数与一次函数的交点，再分为线段的端点A和端点B在二次函数的图象上这两种情况，分别分析，结合函数图象和线段的移动轨迹，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点A的坐标为， ∵线段与x轴平行，点B在点A右侧，， ∴点B的坐标为， 联立得：， 整理得：， 解得：， 即、时， 若线段的端点A在抛物线上， 当时，点B的坐标为， 当时，， 即当时，线段的端点B在抛物线上， 此时线段与抛物线有两个公共点， ∴， 当时，点B的坐标为， 当时，， 即当时，线段的端点B不在抛物线上， 此时线段与抛物线有一个公共点， 若线段的端点B在抛物线上， ， 解得：（舍去）； 当时，线段与抛物线有一个公共点， 当时，线段的端点B在抛物线上， 当时，线段与抛物线有一个公共点， 当时，线段与抛物线有两个公共点， 当时，线段与抛物线有一个公共点， 当时， 线段的端点A在抛物线上， 综上所述，m的取值范围为且． 三、解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法，即可求解； （2）先将左边化为完全平方，再将右边移到左边，再利用平方差进行因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵是非负数， ∴． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）解方程得到，，根据方程有一个根不小于5，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 解得，， ∵原方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 18. 已知二次函数．回答下列问题： （1）该函数图象的顶点坐标为___________，对称轴为直线___________，函数图象与轴的交点坐标为___________； （2）在如图的坐标系中画出该二次函数的图象； （3）二次函数的图象可由抛物线向___________平移___________个单位长度得到； （4）根据图象，当时，的取值范围是___________． （5）若点与是此二次函数图象上的点，则，，的大小关系为___________．（用“>”连接） 【答案】（1）；；， （2） （3）左，1 （4） （5） 【解析】 【分析】（1）把二次函数解析式配方为顶点式，直接读出顶点与对称轴；令，解一元二次方程，求出抛物线与轴交点即可． （2）求出顶点、坐标轴交点等关键点坐标，描点并用平滑曲线画出抛物线即可． （3）利用抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，对比两个顶点式，确定平移方向与单位即可． （4）根据抛物线开口方向和与轴交点，观察图象，写出对应的取值范围即可． （5）根据抛物线的图象与性质，从而比较的大小即可． 【小问1详解】 解：， 顶点坐标为，对称轴为直线． 令，则， 整理得：， ． 函数图象与轴交点坐标为，． 【小问2详解】 解：取关键点：顶点，与轴交点，， 令，，得与轴交点． 在坐标系中描出这4个点，用平滑曲线连接，画出开口向下的抛物线，图略． 【小问3详解】 解：向左平移个单位，可得， 二次函数的图象可由抛物线向左平移1个单位长度得到． 【小问4详解】 解：抛物线开口向下，与轴交于，， 当时，图象在轴上方，的取值范围是． 【小问5详解】 解：抛物线对称轴为直线，开口向下， 当时，随的增大而增大， ， ． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）根据判别式可知，据此求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴ 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴正半轴交于点，且连接，若为上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得直线的表达式为，过点作交轴于点，连接，进而可得，最后问题可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵抛物线与轴交于点和点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：点，点， ， ． ， ， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的表达式为， 如图，过点作交轴于点，连接， ， ， ， ∴， 同理可得的表达式为， 联立得：， 解得，， 或． 22. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程（）的正确构图是___________．（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（___________）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程：___________，解得原方程的一个根为___________． （3）【拓展应用】一般地，对于形如()的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，按照上述方法，求此方程的正根． 【答案】（1）③ （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）将原方程整理为，可看作一个长为，宽为，面积为21的矩形，可得答案； （2）先提出x，再整理得第一步，然后得到，进而解答第三步； （3）原方程变为，可知四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，再由条件可知，，进而得，则此题可解． 【小问1详解】 ∵（）， ∴， 将看作一个长为，宽为，面积为21的矩形， ∴很容易观察出构图是③； 【小问2详解】 ， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：；解得原方程的一个根为； 【小问3详解】 由条件可知， ∴， ∴四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知，， 解得：，， ∵， ∴ 当时，， ∴，，方程的一个正根为1； 综上所述，方程的一个正根为， 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，且自变量时，函数值为0； （1）求该二次函数的表达式； （2）求该二次函数图象的顶点坐标，并直接写出当时，函数值的取值范围； （3）若点和点是该二次函数图象上两个不同的点，且，判断与是否相等并说明理由；若不相等，请写出二者之间的关系式． 【答案】（1） （2） （3）二者不相等， 【解析】 【分析】（1）根据点、纵坐标相同求出抛物线对称轴，可得，再将，代入关系式可得答案； （2）先求出二次函数的顶点坐标，再根据抛物线的对称轴，开口方向，增减性解答即可； （3）根据这两个点关于对称轴对称可得，即，再将点代入抛物线关系式得，然后求出，接下来结合可得答案． 【小问1详解】 解：∵、纵坐标相同 ∴抛物线对称轴为直线 ∴，即， 将，代入得： ，即． ∴解得： ∴该二次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵顶点横坐标为，当时， ∴顶点坐标为； 当时，； ∵， ∴当时，， 则当时，函数值的取值范围为； 【小问3详解】 解：二者不相等，关系式为：，理由如下： ∵点和点是该二次函数图象上两个不同的点， ∴，化简后得． ∵点在抛物线上， ∴． ∵， ∴且， ∴． ∵ ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $