精品解析：河南省许昌市建安区第三高级中学2025-2026学年上学期九年级月考数学试题

2025-2026学年第一学期九年级月考数学试题 一、选择题（每小题3分，10小题共30分） 1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法将方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 2027 B. C. 2023 D. 3. 若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6 5. 若实数a在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 6. 已知抛物线，若当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕直角顶点按顺时针方向旋转，得到，点落在的延长线上．若，，点，是，的中点，则的长是（ ） A. B. 4 C. 3 D. 5 8. 如图，中，直径，，平分交圆于点，则（ ） A. 5 B. C. D. 4 9. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上．已知点的坐标为，点的坐标为．若将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点P从的顶点A出发，沿直线运动到上一点，再从该点在三角形的内部沿直线运动到边上，设点P运动的路程为x，,图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则边的长为( )． A. B. 2 C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，5小题共15分） 11. 写出一个当 x 0 时， y随x 的增大而增大的函数：___． 12. 2025年宪法日的主题是“学习宣传贯彻习近平法治思想，推动宪法深入人心”，我市某校从政治组挑选了甲、乙、丙、丁四名老师担任宣讲员，从中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为 __． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为2，则k的值为______． 14. 如图，在扇形中，点是的中点，点是的中点，连接，，若，，则阴影部分的面积是____________． 15. 如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是______ ，此时的长为_____． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏．将两张相同形状大小的卡片球上分别标上A哪吒、B敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上C太乙真人、D申公豹、E李靖，放入不透明的乙袋中． （1）从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是__________； （2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片．求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率__________．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程) 18. 如图，在中，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，点在上，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． （3）若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 20. 某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为元时，每天可销售件；当每件的销售价每增加元，每天的销售数量将减少件． （1）销售量与售价有怎样的函数关系？写出的取值范围 （2）售价与销售该纪念品每天获得的利润有怎样的函数关系？当取何值时利润最大并求出最大利润． （3）当每天获得的利润不低于元时，售价的取值范围 21. 数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图），木架水平放置，即绳轮与水平面相切于点E，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳与相切于点C，过切点E的直径与交于点A（图中点O，A，E，D，C在同一平面内）． （1）连接，求证：． （2）该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心O与D处锭子之间的水平距离在与之间时，纺线较为舒适．若，请判断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由．（参考数据：，最后结果精确到个位） 22. 如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从D点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点K（与相距）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标． （1）求线段的函数表达式（写出x的取值范围）． （2）当时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标． （3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．猜想a关于的函数类型，并用一个比较接近的函数关系式来表达它们的函数． 23. 在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转. （1）初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由； （2）继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2. ①求证：四边形为菱形； ②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级月考数学试题 一、选择题（每小题3分，10小题共30分） 1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别；根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形不是中心对称图形是轴对称图形，不符合题意， B选项图形是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C选项图形是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意， D选项图形是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 2. 用配方法将方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 2027 B. C. 2023 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出、的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 与 比较，得，， ∴ ． 故选：B． 3. 若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，判断出反比例函数图象所在象限及增减性，即可求解； 根据反比例函数 的性质，，故当 时 ，当 时 ；分别计算三点纵坐标值，再比较大小． 【详解】解：∵ 点 、、 在反比例函数 上， ∴ ；； ∵ ∴ 故选： D． 4. 某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．根据统计图可知，试验结果在 0.17 附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为 0.17 者即为正确答案． 【详解】解：A、在＂石头、剪刀、布＂的游戏中，小明随机出的是＂剪刀＂的概率为，故A选项不符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项不符合题意； C、暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6 的概率为，故D选项符合题意． 故选：． 5. 若实数a在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是根据数轴上a的值，来确定判别式的大；根据一元二次方程的根的判别式，并且结合数轴上a的大小，确定出判别式的大小，即可判断出方程的根的情况 ． 【详解】解：∵一元二次方程， ， 由数轴可得， ， ， ， 方程没有实数根． 故选：． 6. 已知抛物线，若当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键．根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：抛物线上，开口向下，对称轴为直线， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， ， 故选：D． 7. 如图，将绕直角顶点按顺时针方向旋转，得到，点落在的延长线上．若，，点，是，的中点，则的长是（ ） A. B. 4 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理；先利用勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出，然后连接、，再根据旋转的性质求出，，再利用勾股定理列式求解即可． 【详解】连接，， ，， ， 是的中点，点是的中点， ， 绕点顺时针旋转得到，点，是，的中点， ∴ 又， 是等腰直角三角形， 故选：A． 8. 如图，中，直径，，平分交圆于点，则（ ） A. 5 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键；过点D作的垂线，交延长线于E，利用题中条件和圆的性质，证明，推出，，再利用勾股定理求的长． 【详解】如图，连接，过点D作的垂线，交延长线于E，则， 为的直径， ， 又，， ， 平分， ， 又在中，，， ， ， 又在中，，， ， 又，， ， ， ，， ， 由勾股定理得，， 即，解得， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上．已知点的坐标为，点的坐标为．若将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得绕点顺时针旋转次，回到起始位置，第次旋转结束时点的坐标与第一次旋转结束时点的坐标相同，如图所示即为点的坐标，求出，得到，根据旋转的性质得到，，，，得出的横坐标为，纵坐标为，即可得到第次旋转结束时，点的对应点的坐标为． 【详解】解：， 绕点顺时针旋转次，回到起始位置， ， 第次旋转结束时点的坐标与第一次旋转结束时点的坐标相同， 如图所示即为点的坐标， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 由旋转的性质可知，，，， 的横坐标为，纵坐标为， ， 第次旋转结束时，点的对应点的坐标为， 故选：A． 10. 如图1，点P从的顶点A出发，沿直线运动到上一点，再从该点在三角形的内部沿直线运动到边上，设点P运动的路程为x，,图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则边的长为( )． A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、函数图像、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，发现点P的运动轨迹成为解题的关键． 分、、三种情况分析说明是等腰直角三角形、，然后再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：当时，即点P与点A重合，此时，， ∴， ∵， ∴,即， ∴,即是等腰直角三角形， ∴, 当时，开始，即， ∵， ∴， 当后，由，即沿的垂直平分线运动到的中点， 当时，点P到达的中点，即, ∴,即， ∴． 故选D． 二、填空题（每小题3分，5小题共15分） 11. 写出一个当 x 0 时， y随x 的增大而增大的函数：___． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意和反比例函数的性质可以写出一个符合要求的函数解析式，本题得以解决． 【详解】解：当时，随的增大而增大， 此函数的解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，注意本题答案不唯一． 12. 2025年宪法日的主题是“学习宣传贯彻习近平法治思想，推动宪法深入人心”，我市某校从政治组挑选了甲、乙、丙、丁四名老师担任宣讲员，从中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，列出表格，如下： 甲 乙 丙 丁 甲 乙，甲 丙，甲 丁，甲 乙 甲，乙 丙，乙 丁，乙 丙 甲，丙 乙，丙 丁，丙 丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁 一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种， 所以恰好选中甲和丙的概率为． 故答案为： 13. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为2，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点D到的距离为a， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 14. 如图，在扇形中，点是的中点，点是的中点，连接，，若，，则阴影部分的面积是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，证明，推出，推出，可得结论． 【详解】解：连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 15. 如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是______ ，此时的长为_____． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】由题意可得是等腰直角三角形，得出，可得当时，最小，即最小，只要利用勾股定理和等面积法求出即可求出的最小值；作辅助线如图，可得四边形是矩形，推出，，等面积法求出，勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质得出，，进而可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，最小，即最小，如图， ∵正方形中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 此时， 过点G作，，垂足分别为H、I，过点F作于P，如图， ∵，， ∴，， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；6． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线、熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的方法．根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）根据方程的特点利用因式分解法来解答，先对其变形，再结合提公因式进行因式分解可得，至此问题即可迎刃而解； （2）先确定方程中的a、b、c分别是什么数，再求判别式判别式的值，然后根据求根公式解方程即可. 【小问1详解】 解：， 移项，得， 提公因式，得， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 这里， ∴， ∴， ∴． 17. 春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏．将两张相同形状大小的卡片球上分别标上A哪吒、B敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上C太乙真人、D申公豹、E李靖，放入不透明的乙袋中． （1）从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是__________； （2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片．求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率__________．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及卡片人物恰好哪吒和李靖的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种， ∴卡片人物恰好是哪吒的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：，共1种， ∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率为 18. 如图，在中，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，点在上，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接, ， ， ， ， ， ∴， ， ， 又是的半径， 是的切线： （2） 【解析】 【分析】（1）先由等边对等角得到，，再由三角形内角和定理得到，，则由平角的定义可得，据此可证明是的切线； （2）先证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，得到，则，证明四边形为矩形，得到，则，据此根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ， 四边形为矩形， ， ， 的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，求弧长，正确作出辅助线是解题的关键。 19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． （3）若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 （3），，， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式，可求出点a的值，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的解析式； （2）由，，再结合函数图象即可得解； （3）由题意可得，设，即，再由列出一元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或； 【小问3详解】 解：对于， 当时，， 当时，则，解得， ∴直线与轴、轴的交点坐标为、， ∴； ∴， 设，即， ∴， 解得：或， ∴，， 同理可得：，， 综上所述，点的坐标为，，，． 20. 某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为元时，每天可销售件；当每件的销售价每增加元，每天的销售数量将减少件． （1）销售量与售价有怎样的函数关系？写出的取值范围 （2）售价与销售该纪念品每天获得的利润有怎样的函数关系？当取何值时利润最大并求出最大利润． （3）当每天获得的利润不低于元时，售价的取值范围 【答案】（1）； （2），当时，利润最大为元； （3）不存在售价，使每天获得的利润不低于元． 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，二次函数与不等式，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握． （1）根据“当每件的销售价每增加元，每天的销售数量将减少件”可先求出销售量减少的件数，再用减去减少的件数即可求解，注意销售量，可求出售价的取值范围； （2）每件纪念品的利润为元，则销售该纪念品每天获得的利润为，即可得到售价与销售该纪念品每天获得的利润的函数关系，再根据一元二次函数的性质即可求出最大利润； （3）根据题意建立一元二次不等式，通过分析一元二次方程的解和一元二次函数的图象可知，不存在售价，使每天获得的利润不低于元． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 当售价为元时，销售价增加了元， 当每件的销售价每增加元，每天的销售数量将减少件， 销售量减少了件， 当售价为元时，销售量为， ， ， 解得，， ， 销售量与售价的函数关系为； 【小问2详解】 解：依题意，每件纪念品的利润为元， 销售该纪念品每天获得的利润为：， 对于二次函数，二次项系数，函数图象开口向下，对称轴为， ， 当时，有最大值， 将代入， 可得（元）， 故售价与销售该纪念品每天获得的利润的函数关系为，当时，利润最大为元； 【小问3详解】 解：由（2）知，利润， 利润不低于元，即， ， 移项得，，即， 两边同时除以得，， 对于一元二次方程，其中， 判别式， 一元二次方程无实根， 又一元二次函数开口向上，且与轴没有交点， 一元二次不等式的解集为空集， 不存在售价，使每天获得的利润不低于元． 21. 数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图），木架水平放置，即绳轮与水平面相切于点E，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳与相切于点C，过切点E的直径与交于点A（图中点O，A，E，D，C在同一平面内）． （1）连接，求证：． （2）该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心O与D处锭子之间的水平距离在与之间时，纺线较为舒适．若，请判断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由．（参考数据：，最后结果精确到个位） 【答案】（1） 证明：切于点C， ． ， ． ， ， ． （2）使用该纺车纺线时舒适， 理由：如图，连接， 切于点E，切于点C， ，， ，， ， ， 作的垂直平分线交于F，连接， 则， ∴， ， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ， 使用该纺车纺线时舒适． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，等于三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握切线的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据切于点C，得出，根据等腰三角形的性质得出．根据，得出，最后证明结论即可； （2）连接，证明，得出，作的垂直平分线交于F，连接，根据等腰三角形的性质得出，证明为等腰直角三角形，得出，，求出，即可得出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从D点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点K（与相距）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标． （1）求线段的函数表达式（写出x的取值范围）． （2）当时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标． （3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．猜想a关于的函数类型，并用一个比较接近的函数关系式来表达它们的函数． 【答案】（1） （2）的横坐标为22.5，成绩未达标 （3）a与成反比例函数关系， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，反比例函数的应用，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题． （1）根据图像得出点的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式； （2）将代入二次函数解析式，由解出x的值，比较即可得出结果； （3）计算可得，即可猜想a与成反比例函数关系，则可得到答案． 【小问1详解】 解：由图2可知：， 设的解析式为， 将代入，得： ， 解得， ∴线段的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，抛物线解析式为， 当时， 解得（舍去）， ∴的横坐标为． ∵， ∴成绩未达标． 【小问3详解】 解：∵， ， ∴, ∴猜想a与成反比例函数关系． ∴设 将代入得解得， ∴． 23. 在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转. （1）初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由； （2）继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2. ①求证：四边形为菱形； ②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ （2）解：①过点Q作于点K，作于点L． ∵四边形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ， ∴，， ∴， ∵四边形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∵矩形和的宽相等，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴是菱形； ②四边形的最大面积为20，最小面积为16 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，矩形的性质，菱形的判定，勾股定理． （1）由矩形的性质可得，，从而通过“”证明，即可得到； （2）①过点Q作于点K，作于点L．由矩形和矩形得到，，因此四边形是平行四边形．通过“”证明，得到，从而得证是菱形； ②由菱形的面积公式可得，而在中，，因此当为最大值时，有最大值，当为最小值时，有最小值．而随着矩形纸片的旋转，逐渐减小，当时为最小值，然后逐渐增大．当点F与点C重合时或点E与点B重合时， 有最大值；当点N与点K重合时，，为最小值．分别求解即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∵在中，， ∴当为最大值时，有最大值，当为最小值时，有最小值． ∵随着矩形纸片的旋转，逐渐减小，当时为最小值，然后逐渐增大． 如图①，当点F与点C重合时，有最大值，此时点A与点Q，点D与点K重合， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴ ∴， ∴ ， 或如图②，当点E与点B重合时，有最大值，此时点D与点G，点N重合 同理设，， 在中，，即， 解得， ∴， ∴ ∴ ， 即菱形面积的最大值为20； 如图③，当点N与点K重合时，，为最小值，此时， ∴ 即菱形面积的最小值为16； 综上所述，四边形的最大面积为20，最小面积为16． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $