精品解析：江苏泰州市第二中学2026-2027学年高二上学期第一次限时练习数学试题

泰州二中高二第一次限时练习数学 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 过，两点的直线的倾斜角是（ ） A. 45 B. 60 C. 120 D. 135 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据两点坐标求出直线斜率，进而根据求出直线的倾斜角. 【详解】已知，，则， 设直线的倾斜角为，则，得. 故选：A 2. 直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合直线的一般式方程平行条件建立关于的方程，可求． 【详解】解：因为直线与直线平行， 所以， 所以或， 当时，直线与直线重合，舍去， 故． 故选：B． 3. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 4. 若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为（        ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形可得，由两点坐标得，结合直线与半圆相切得，，由此即可得解. 【详解】如图所示： 直线过定点，曲线与轴负半轴交于点， 设直线与曲线（半圆）相切于点， 若直线与曲线有两个交点， 则， 而， 若与半圆（圆心，半径）相切， 则圆心到直线的距离满足，解得，即， 综上所述，实数k的取值范围为. 故选：D. 5. 已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线、所过定点、，分析可知，，即，求出点的轨迹方程，利用圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】直线的方程可化为，由可得， 所以，直线过定点， 直线的方程可化为，由可得， 所以，直线过定点， 对于直线、，因为，则，即， 设线段的中点为，设点， 由直角三角形的几何性质可得， 即，化简可得， 所以，点的轨迹为圆， 因为，所以，圆与圆外离， 所以，，， 因此，的取值范围是. 故选：B. 6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可. 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，则. 点P在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离. 故点P到直线的距离的范围为. 则. 【点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 7. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可. 【详解】设中点为C，则， ∵， ∴，∴， ∵，即， 又∵直线与圆交于不同的两点， ∴，故， 则， . 故选：C． 8. 2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆半径为2，点为圆上两点，且，则线段旋转后（始终在圆上），该线段扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积，求出点到的距离，故线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切，记旋转前和旋转后的切点分别为，求出矩形的面积，从而得到的面积；求出等边三角形的面积，求出扇形的面积，从而得到的面积；求出三角形的面积，求出扇形的面积，从而得到的面积.则可得到阴影部分的面积. 【详解】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积， 点到的距离， 故线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切， 记旋转前和旋转后的切点分别为，矩形的面积为， 故；等边三角形的面积为， 扇形的面积为，故； 三角形的面积为， 扇形的面积为，故. 故阴影部分面积. 故选：C． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 方程与方程可表示同一直线 C. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D. 过两点，的直线都可用方程表示 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，先求斜率，进而可得倾斜角；对于B，注意区分方程与方程的不同之处，对于C，设直线l：，进而可得截距，根据题意进行求解即可，对于D，根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于选项A：直线的斜率， 所以倾斜角为，故A正确； 对于B，表示过点，斜率为的直线，但不含点， 而表示过点，斜率为的直线，且含点，故B错误； 对于C：因为直线经过点，故斜率存在且不为0， 设直线为，令，则；令，则， 因为在，轴上截距互为相反数，则， 解得或， 所以直线方程为或，故C错误； 对于D，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两点，的直线，故D正确. 故选：AD. 10. 已知是圆上的两点，则下列结论中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若点到直线的距离为，则 C. d，则的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，运用余弦定理即可求解；对于选项B，利用垂径定理即可求解；对于选项C，将转化为，到直线的距离之和的倍即可求解；对于选项D，利用数量积公式即可求解. 【详解】依题意，如图所示： 对于选项A，若，在中，， 所以， 所以，故A错误； 对于选项B，若点到直线的距离为， 由垂径定理易得，即， 解得，故B正确； 对于选项C，， 其几何意义为，到直线的距离之和的倍， 设中点为，则有（梯形中位线）， 因为，所以， 所以在直角三角形中，， 所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，即， 所以的圆心到直线的距离为， 所以， 所以，故C错误； 对于选项D，因为， 所以当的夹角为时取得最小值，故D错误. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线上任意一动点，则（ ） A. 曲线与直线有个公共点 B. 曲线上任意两点距离最大值为 C. 的最大值为 D. 曲线所围成图形面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】联立曲线与直线的方程，根据公共解的个数判断A选项；求出曲线与轴的交点坐标，数形结合可判断B选项；利用圆的参数方程结合三角函数的有界性可判断C选项；求出曲线在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积，结合对称性可计算判断D选项. 【详解】曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 在曲线上任取一点，则该点关于轴的对称点为， 因为，即点也在曲线上， 所以，曲线关于轴对称，同理可知，曲线关于轴、原点对称，作出曲线的图形如下图所示： 对于A选项，由，得， 所以，即，可得或（舍去）， 故，所以曲线与直线只有个公共点，A错； 对于B选项，在曲线的方程中，令，可得，解得或， 所以，曲线交轴于点、、， 结合图形可知，曲线上任意两点距离最大值为，B对； 对于C选项，当取最大值，则必有，， 此时点必在第一象限或两坐标轴正半轴上， 设，，其中， 由可得，所以， 所以， 因为，则，故， 故，即的最大值为，C对； 对于D选项，设圆的圆心为，该圆的半径为， 因为，故是边长为的等边三角形， 所以圆在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积为， 所以曲线所围成图形面积为，D对. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点（-1,3）且平行于直线的直线方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知直线的斜率及所过的点，由点斜式则所求直线为，整理即可得其一般式. 【详解】由直线的斜率为，结合题意，知：所求直线为， ∴整理可得：. 故答案为：. 13. 已知点，，若圆上有且只有一点，使得，则实数的一个取值为___________.（写出满足条件的一个即可） 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据题意，分析圆的圆心坐标以及半径，设中点为，由的坐标分析的坐标以及的值，可得以为直径的圆，进而分析，原问题可以转化为圆与圆相切，结合圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由题知，圆， 即，圆心为，半径， 设中点为，因，， 则，， 以为直径的圆为， 因为圆上有且只有一点，使得， 则圆与圆相切， 又， 即有或， 解得或. 故答案为： 14. 已知动圆，则圆在运动过程中所经过的区域的面积为______；为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点为A、B，当时，的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分析可得动圆的圆心，半径，在以圆心，半径的圆上，圆在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积；由倍角公式及几何关系可得，分析的范围结合换元法即可求． 【详解】动圆的圆心，半径， 令，则由得在以圆心，半径的圆上． 圆在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积， 即； 到直线的距离， 由，则，即， ， 令，则，则， 由对勾函数在上单调递增，故， 有. 所以的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题，本题为8小题.共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知点，求 （1）过点A，B且周长最小的圆的标准方程； （2）过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）所求的圆，即以AB为直径的圆，求出圆心和半径，可得结果； （2）解法一：求出的垂直平分线的方程是，又圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是，，可得圆的标准方程；解法二：利用待定系数法求解． 【小问1详解】 当为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小． 即的中点为圆心，半径， 则圆的标准方程为． 【小问2详解】 解法一：的斜率为，则的垂直平分线的方程是，即， 由圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是． ． 故所求圆的标准方程是． 解法二：待定系数法 设圆的标准方程为， 则 故所求圆的标准方程为． 16. 已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)． （1）求边AC和AB所在直线的方程； （2）求AC边上的中线BD所在直线的方程； （3）求AC边上的中垂线的方程． 【答案】（1）直线：，直线： （2）2x－y＋10＝0 （3）2x＋y＋6＝0 【解析】 【分析】（1）由截距式写出直线方程并整理，求出斜率，用斜截式写出方程后整理； （2）求出中点的坐标，由两点式得直线方程并整理； （3）再求出直线的斜率，得中垂线斜率，写出点斜式方程并整理． 【小问1详解】 解：由已知直线方程为，即， ，直线方程为，即； 【小问2详解】 由已知，，即， 所以中线方程为，整理得； 【小问3详解】 ，所以边中垂线斜率为， 中垂线方程为，即． 17. 在平面直角坐标系中，已知圆，且圆被直线截得的弦长为2. （1）求圆的标准方程； （2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程； （3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或或或；（3） 【解析】 【分析】（1）将圆方程整理为标准方程形式，可知，得到圆心坐标和半径；由垂径定理可利用弦长构造出关于的方程，解方程求得，从而得到标准方程；（2）分为直线过原点和不过原点两种情况，分别假设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果；（3）设，根据且可整理出点轨迹方程为：；根据在圆上，则两圆有公共点，根据圆与圆位置关系的判定可构造不等式，解不等式求得结果. 【详解】（1）圆方程可整理为： 圆的圆心坐标为，半径 圆心到直线的距离： 截得的弦长为：，解得： 圆的标准方程为： （2）①若直线过原点，可假设直线方程为：，即 直线与圆相切 圆心到直线距离，解得： 切线方程为： ②若直线不过原点，可假设直线方程为：，即 圆心到直线距离，解得：或 切线方程为或 综上所述，切线方程为或或 （3）假设 ，即 又直线与圆相切，切点为 即：，整理得： 又在圆上 两圆有公共点 ，解得： 即的取值范围为： 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的应用问题；关键是明确直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径之间的大小关系来确定；圆与圆的位置关系通过圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来确定. 18. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3） 设直线的方程为， 由得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 【解析】 【分析】（1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. 【小问3详解】 略 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，和 【解析】 【分析】（1）代入和的公式，即可求解； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． 【小问3详解】 易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰州二中高二第一次限时练习数学 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 过，两点的直线的倾斜角是（ ） A. 45 B. 60 C. 120 D. 135 2. 直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 3. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为（        ） A. B. C. D. 5. 已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆半径为2，点为圆上两点，且，则线段旋转后（始终在圆上），该线段扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 方程与方程可表示同一直线 C. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D. 过两点，的直线都可用方程表示 10. 已知是圆上的两点，则下列结论中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若点到直线的距离为，则 C. d，则的最大值为 D. 的最小值为 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线上任意一动点，则（ ） A. 曲线与直线有个公共点 B. 曲线上任意两点距离最大值为 C. 的最大值为 D. 曲线所围成图形面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点（-1,3）且平行于直线的直线方程为_____________． 13. 已知点，，若圆上有且只有一点，使得，则实数的一个取值为___________.（写出满足条件的一个即可） 14. 已知动圆，则圆在运动过程中所经过的区域的面积为______；为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点为A、B，当时，的取值范围为______. 四、解答题，本题为8小题.共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知点，求 （1）过点A，B且周长最小的圆的标准方程； （2）过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程. 16. 已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)． （1）求边AC和AB所在直线的方程； （2）求AC边上的中线BD所在直线的方程； （3）求AC边上的中垂线的方程． 17. 在平面直角坐标系中，已知圆，且圆被直线截得的弦长为2. （1）求圆的标准方程； （2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程； （3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围. 18. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $