江苏省扬州市新华中学2026-2027学年高二上学期自主练习一数学试题

高二数学自主练习一 一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．、的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 3．直线与间的距离为（ ） A． B． C． D． 4．若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知、，若斜率存在的直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知复数满足，则在复平面内的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与，重合，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 10．下列说法中，正确的有（ ） A．直线在轴上的截距是 B．直线与直线互相垂直，则 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．实数，满足方程，则的最大值是 11．已知点在直线：上，点，在圆：上，若，且，则下列说法正确的是 A．当时，直线与圆相切 B．直线倾斜角为 C．当时，可能为 D．若，则的取值范围为 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分． 12．已知为虚数单位，则__________． 13．已知圆心为的圆经过，，且圆心在直线：上，过点作圆的一条切线，则切线长为__________． 14．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为__________． 四、解答题：本题共6题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数是纯虚数，求的值： （2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 16．（本题满分15分） 光线通过点，在直线：上反射，反射光线经过点． （1）求点关于直线对称点的坐标； （2）求反射光线所在直线的一般式方程． 17．（本题满分15分） 已知中，，． （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 18．（本题满分17分） 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）直线：与圆交于，两点，若的面积为2，求直线的方程． 19．（本题满分17分） 已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． （1）求曲线的轨迹方程； （2）过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； （3）已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学自主练习一答案 二、选择题 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B D B C A D BC ACD ABC 7.【详解】设z=x+i,由lz-2i=1,得z在复平面内对应的点(x,y)的轨迹为以(0,2)为圆心，1为半径 的圆，则z表示点z到原点(0,0)的距离，又圆心(0,2)到原点(0,0)的距离为2， 所以圆上的点到原点(0,0)的距离的最小值为2-1=1、 8.【详解】由x-2m心=0以及(2x-6)m+y-4=0得A(0,0),B(3,4)、因1x2m+(-2mx1=0,则两条直 线垂直，则PP-h=+=25,则7高式贰高)p器+) 4 5+2 25 6+号·管号底立时P=2p术-碧放r部的鼓小值是号 25 10.【详解】A.正确 B.因为a2+a=0所以a=-1或0，B错误. C.直线sina+y+2=0的斜率为k=-sina,故-l≤k≤1. 设其倾斜角为8，则0≤0<π且am0=k,所以0≤0≤或≤0<元，C正确， 方程+y-4x+1=0化为(x-2+y2=3.设P(-1,0）,则之表示直线P2的斜率，其中2为圆上 x+1 的动点.过P作圆的上方切线，设其斜率为k>0,则切线为y=k(x+).由圆心(2,0)到切线的距离等于 =5，解得k=三，所以之的最大值为 半径5，得2+1 ,D正确。 2 x+1 2 11.〖详解】对于A选项，圆心O到直线1的距离d= 5x0-x0+2, 可+y 当r=2时，r=2=d,所以直线1与圆O相切，故A选项正确： 对于B选项，因为AB=AC,所以直线OA⊥BC,又因为BCII,所以OAL1, 而直线1的倾斜角为60°，因此直线OA倾斜角为150°，故B选项正确： 对于C选项，设∠BAC=90°，r=V反，圆心O到直线BC的距离为d”,设|AM|为A点到直线BC的距离， 则IOM=d”,因为∠BAC=90°，所以△ABC为等腰直角三角形 则4MB8C作2-严，由B选项得出直线OA的方程为y=-5 x 3 联立 一3x,得出4点坐标为(5，，设直线BC方程为5x-y+c=0, y=3x+4 则圆心0到直线BC距离为d=l号，点4到直线BC的距离为AM5(-⑤)-1+d_c-4, 2 因为刿M8c昨2-a严，所以(e-4=8-2, 解得c=2,则d=9=1,d=1<反=r,故直线BC与圆相交，所以C选项正确 2 试卷第1页（共4页） 对D选项，若∠BAC=60,且AB=AC,所以△ABC为等边三角形，则 点4到直线BC的距离M仁18C,设直线8C方程为5x-y+c=-0, 测题心0到直线BC距离为=l号，1AMF5--1+d.G:4, 因为c2F-子-2-异16w91c,所以2-2c+4=3的，化简可得(e-广+3=故 r2≥1，所以r≥1，又因为d<r,得出c2<42,故c2-2c+4=3r2>3c,所以c≠4， 若c=4,则r=2,若r=2,则c=4(舍去)或c=-2,所以r∈[l,+o),故D选项错误. 三、填空题 12.【答案】-1 13.【答案】55 【详解】设圆心坐标为：C(a,b),圆的半径为r,圆的方程为：(x-a+(y-b)=r2, 因为圆过A(1,1),B(2,2),且圆心在直线1：x-y+1=0上， 0-a}+1-b)2=r2 a=-3 联立方程： （2-a2+(-2-b}2=2,解得： b=-2,所以圆的方程为：(x+3)2+(y+22=25, a-b+1=0 r=5 则PC=V3+3)2+(6+2)2=10,所以切线长为PC-Y2=V102-5=55. 14【答案19 【详解】由题意知，设B(a,a),:AB的中点M a+1a+2 2’2 在直线CM:x+2y-1=0上， 2空2×生2-10，解得a=1,B- 2 由角平分线的性质，点A关于∠ABC平分线的对称点E(m,n)在直线BC上， 席 ,解得m=2,n=1,所以E(2,1),由E和B得BE的方程y=亏x 21 m+ln+2 22 「2.1 5 由=x- X= 3”3,解得 印c号.得q-=月+旷++y4 7 (x+2y-1=0 s 点4引线院份为：名号后所8版q-店9-9 四、解答题 1【详解】)因为复数z=(m2+m-2列+4-m)归是纯症数，所以m+n2=0 4-m2≠0 由m2+m-2=(m-1)(m+2)=0,解得m=1或m=-2.当m=1时，4-m2=3≠0，符合要求： 当m=-2时，4-m2=0,不符合要求，舍去，所以m的值为1： 试卷第2页（共4页） (2)当m=-1时，复数z=-2+3i,由题意知复数z=-2+3i是关于x的方程x2+px+9=0的一个根. 因为方程x2+x+g=0的系数P,9为实数，所以方程的另外一个根是z的共轭复数z=-2-31, 所以由韦达定理可得 （-2+31+(-2-3别=-p,解得 p=4 1(-2+3i)(-2-3i)=q 9=13 16.【详解】(1)设点A(2,3)关于直线1：x+y+1=0的对称点为A(,%), -3（-)= 故AA的中点 2+3+% 在直线1上，所以 -2 解得x=-4,=-3, 2 2 2+益+3+地+1=0 2 2 即点A(2,3)关于直线1的对称点为A(4,-3) (2)由于反射光线所在直线经过点A(-4,-3)和B(1,1), 1-(-3)4 所以反射光线所在直线的斜率为k。--(4了' 侧反射光线所在直线的方程为y-1=号(x-1)即4x-5y+1=0。 17.【详解】(1)因为(4,3)，C3,-2),所以kc=2-3-5,因为4D是BC边上的高， 3-4 所以nc=-1→火知=-子，所以高D所在直线的方程为y-1=款x+2列→x+5y-3=0: 3=-2+C (2)因为点M(3,1)为边AC的中点，所以 2 →C(8,1), 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=女或产+卫=1， aa 因为直线过点C,所以1=8歌或+=1，所以k=或a=9, aa 81 1 所以过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=。x或x+y-9=0, 18.【详解】(1)设圆心M(0,),半径为r,因为圆M与直线V3x+y+2=0相切于点P(-V5,, 所以直线w=-1力。，解得6=2，所以圆心M02),所以，==5-0+0-2=2， 3=3-0 所以圆M的标准方程为x2+(y-2=4. (2)当切线斜率存在时，设斜率为k,切线方程为y-5=k(x-2),即c-y+(5-2k)=0, 由圆心到切线的距离等于半径得到02，即3-2k2P+1,解得k=7 V?+1 所以切线方程为5x-12y+50=0,当斜率不存在时直线x=2也是切线。 综上所述，切线方程为x=2或5x-12y+50=0. 试卷第3页（共4页） (3)由（1)知圆心M0,2,半径r=2,曲心到直线1：y=-3的距离为d=D-2-。5 2+12+ 所以AB上2NP2-d=2N4-d严，因为aMAB的面积S=号×AB1xd=2, +7-2→2=23 即号x2W4-×d=2→dW4-=2,解得=2，所以，25 2 →k=tV6 2 所以直线/的方程为y=士4 -x-3. 2 19.【详解】(1)设P(x,),由 网子将P芝1 P4_1 x+2乎+2即6x-2+yr=4, 曲线C的方程为(x-2)+y2=4,即曲线C是以C(2,0)为圆心，2为半径的圆， (2)设M(x,y),由题意知CM⊥DE,即∠CMA=90°，则点M的轨迹是以AC为直径的圆， 4C中点为N店，0,4C=1,所以圆N半径为宁，点M的轨达方程为：e-+户-子 11_1=3 M@的最大值：训+片子+宁4，@的最小：-- 设2(x,y),则x2+y2=18,即y2=18-x2, l0G=2C-4=(x-2}+y2-4=18-4x, 设H(m,m),l2H=(x-m)2+(y-n)2=18-2x-2y+m2+n2, 设=k,则18+m+-2-2.k, l2Gp 18-4x A 即(-2m+4k)x+(-2n)y+(18+m2+n2-18k)=0对满足x2+y2=18的所有x,y恒成立， G -2m+4k=0 m=3 m=6 则有 -2n=0 ,解得n=0或n=0, 18+m2+n2-18k=0 k=3 所以当H(3,0)时， ec-元，当H60时， 2H3 lon=3. 12c 试卷第4页（共4页）