12.2.5 斜边直角边（第3课时：尺规作图与三角形全等结合 ） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

12.2.5 斜边直角边（第3课时：尺规作图与三角形全等结合 ） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点；（2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 5．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 6．已知锐角∠AOB，如图， （1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作， 交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接OM，MN． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A．MC＝DN B．△COM≌△COD C．若OM＝MN．则∠AOB＝20° D．MN＝3CD 二、填空题 7．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为______． 8．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    9．如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 10．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是______．    三、解答题 11．如图，已知，用尺规完成以下基本作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)先作的平分线，交边于点；再作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点； (2)在（1）的条件下，连接，则与的位置关系是 ，数量关系是 ． 12．如图，已知，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)求作，使，你的依据是________；（填“SSS、SAS、ASA或AAS”） (2)分别求作和的平分线，两平分线交于点O； (3)在（2）的条件下，若，则的度数为________．（直接写出结果） 13．如图，为外部一点，连接，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； (3)求． 14．如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.2.5 斜边直角边（第3课时：尺规作图与三角形全等结合） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点；（2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹，结合全等三角形的判定是解答的关键． 【详解】解：由作图痕迹，得，，， ∴． 2．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 3．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】以为圆心，长为半径画弧，与射线有1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误； ②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确； ③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确； 故选：B． 4．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．由全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、C选项中的条件没有边的长度，因此不能画出唯一的，故A、C不符合题意； B选项只是知道两边的长度，不能画出唯一的； D．已知两角和这两角的夹边，能够画出唯一的，故D符合题意． 故选：D． 5．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 6．已知锐角∠AOB，如图， （1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作， 交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接OM，MN． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A．MC＝DN B．△COM≌△COD C．若OM＝MN．则∠AOB＝20° D．MN＝3CD 【答案】D 【分析】利用作法得到MC＝CD＝DN，则可对A选项进行判断；OM＝ON＝OC＝OD，根据全等三角形的判定方法，则可对B选项进行判断；当OM＝MN时，△MON为等边三角形，则可对C选项进行判断；利用两点之间线段最短可对D选项进行判断． 【详解】解：由作法得MC＝CD＝DN，所以A选项的结论正确； 当OM＝MN， 而OM＝ON， ∴此时△MON为等边三角形， ∴∠MON＝60°， ∴∠AOB＝∠MON＝20°，所以C选项的结论正确； 由题意得：OM＝OC＝OD， 在△COM和△COD中， ， △COM≌△COD（SSS），所以B选项正确； ∵MC+CD+DN＞MN， ∴3CD＞MN，所以D选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 二、填空题 7．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为______． 【答案】52° 【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：由作图可知，OD=OE=OF，EF=DE， ∴△ODE≌△OFE（SSS）， ∴∠EOD=∠EOF=26°， ∴∠BOD=2∠AOB=52°， 故答案为：52°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，基本作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 9．如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 10．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是______．    【答案】或 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 三、解答题 11．如图，已知，用尺规完成以下基本作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)先作的平分线，交边于点；再作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点； (2)在（1）的条件下，连接，则与的位置关系是 ，数量关系是 ． 【答案】(1) 解：如图所示，、为所求． (2)；． 【分析】（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则为所求；以点、点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点、，连接，交边于点，交边于点，则为所求． （2）根据角平分线的定义和垂直平分线的定义可得，即可得解与的位置关系是平行；证明即可证明与是对应边，数量关系是相等． 【详解】（1）略 （2）解：且，理由如下： 如图所示，连接，与的交点为， 是的角平分线， ， 的垂直平分线交于点，交于点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 综上，；． 【点睛】本题主要考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图是解题关键． 12．如图，已知，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)求作，使，你的依据是________；（填“SSS、SAS、ASA或AAS”） (2)分别求作和的平分线，两平分线交于点O； (3)在（2）的条件下，若，则的度数为________．（直接写出结果） 【答案】(1) 解：图形如下： SSS (2) 解：如图所示： (3) 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，三角形内角和定理： （1）根据三条对应边相等可得到两个三角形全等， 据此可画出全等三角形； （2）根据角平分线的性质可作出图形； （3）根据角平线的性质以及三角形内角和可求出角度； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）首先根据的长度确定，然后以点为圆心，的长为半径，画圆，以点为圆心，的长为半径画圆，两个圆的交点为一点，此时三角形的三条对应边分别相等，两个三角形全等，故答案为：SSS； （2）以点B为圆心，以定长为半径画圆，交分别于点M、N， 再分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画圆，交点为一点Q，连接并延长， 用同样的方法可求出点P，连接并延长，此时的延长线与的延长线交于一点O，即为所求； （3）解：∵， ∴， 由（2）可得分别是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，为外部一点，连接，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； (3)求． 【答案】(1)解：如图，点M即为所求． (2)①；② (3) 【分析】（1）根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以； （2）①根据（1）中的尺规作图，可得答案；②结合全等三角形的判定可得答案； （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，数形结合表示出计算即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：①通过作图可以得到：； ②结合作图得， 又∵， ∴判定的依据是； （3）解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴ ． 14．如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【答案】任务1： ①如图1，即为所求； ②； 任务2：①90； ②． 【分析】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 【详解】解：任务一： ① 略 ②依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ②， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $