12.2.5 斜边直角边-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

47 12.2.5 斜边直角边 01 基础达标 (1)添加 ,根据是 (2)添加 ,根据是 知识点一 利用“HL”判定两个直角三角形全等 (3)添加 ,根据是 1.如图，可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF (4)添加 ,根据是 全等的条件是 ( ) 知识点三 过一点作已知直线的垂线 A.AC=DF,BC=EF 5.如图，已知点C在直线l上， D B.∠A=∠D,AB=DE 过C点作直线CD垂直直线 C.AC=DF,AB=DE 1的步骤是： D.∠B=∠E,BC=EF (1) (2) (3) 第1题图 第2题图 易错点 判定直角三角形全等时的“HL”与 2.如图所示，∠C=∠D=90°，若要用“HL”判定 “SSA”混淆 Rt△ABC与Rt△ABD全等，则还需补充条 6.如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE 件： 交AD于点F,且BF=AC,FD=CD.求证： 3.如图，小明和小芳以相同的速度分别从A,B同 ∠DAC=∠DBF, 时出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，并 证明：AD⊥BC, 同时到达C,D.若CB⊥AB,DA⊥AB,则CB ∴.∠ADB=∠ADC=90° 与DA相等吗？为什么？ 在△BFD和△ACD中， BF=AC, FD=CD, ∠BDF=∠ADC, ∴.△BFD≌△ACD..∠DAC=∠DBF. 上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错 在哪里，并写出正确的证明过程. 知识点二判定方法的灵活选择 4.如图，AC⊥AB,BD⊥CD,请添加一个条件，使 △ABC≌△DCB. A 48 02能力提升 03思维拓展 7.如图，在Rt△ACD和Rt△BCE中，若AD=12.(1)如图①，AB⊥AD,ED⊥AD,AB=CD, BE,DC=EC,则不正确的结论是 ( AC=DE,试说明BC⊥CE的理由； A.Rt△ACD≌Rt△BCE (2)如图②，若△ABC向右平移，使得点C移 B.OA=OB 到点D,AB⊥AD,ED⊥AD,AB=CD,AD= C.E是AC的中点 DE,探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明 D.AE-BD 理由. 第8题图 第9题图 8.如图，CD⊥AB,BEI AC,垂足分别为D,E, BE,CD相交于点O.如果AB=AC,那么图中 全等的直角三角形的对数是 A.1 B.2 C.3 D.4 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE⊥BC, AC=6,EC=6,∠ACB=60°，则∠ACD的度 数为 A.45° B.30° C.20° D.15 10.如图，∠C=90°，AC=10, BC=5,AX⊥AC,点P和点 Q从A点出发，分别在线段 B AC和射线AX上运动，且 AB=PQ,则当AP= 时，△ABC与△APQ全等， 11.如图，AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°，EF 过点C,BE⊥EF于点E,DF⊥EF于点F, BE=DF.求证：△BCE≌△DCF,.△ADC≌△CBA(SSS), :12.(1).AB⊥AD,ED⊥AD ∴.∠DAC=∠BCA, ∠A=∠D=90°， .AD∥BC,.∠E=∠F 又.'AB=CD,AC=DE, 14.(1)先证AE=CF,再用“SSS”可 .∴.△ABC≌△DCE(SAS), 证△ADE≌△CBF; .∠B=∠DCE, (2)成立，理由同(1)； :∠B+∠ACB=90, (3)AD∥CB. .∴.∠ACB+∠DCE=90°， △ADE≌△CBF, .∠BCE=90°，.BCLCE; ∴.∠A=∠C,AD∥CB (2),AB⊥AD,ED⊥AD, 12.2.5斜边直角边 ∴∠A=∠CDE=90. 1.C 2.AC=AD 又，AB=CD,AD=DE, 3.CB=DA.理由： .△ABD≌△DCE 由题意易知AC=BD. .∠B=∠DCE CB⊥AB,DA⊥AB :∠B+∠ADB=90°， ∴.∠DAB=∠CBA=90°. ..∠ADB+∠DCE=90°. 在Rt△DAB和Rt△CBA中， .∠CFD=90°，∴.BD⊥CE BD-AC 方法技巧专题证明三角形 AB-BA 全等的解题思路 ∴.Rt△DAB≌Rt△CBA(HL). 1.证明：：DE=BF, ∴.CB=DA. .DE一EF=BF一EF， 4.(1)AB=DC HL; 即DF=BE (2)AC=DB HL; 在△ABE和△CDF中， (3)∠ABC=∠DCB AAS; (AB=CD (4)∠ACB=∠DBC AAS. BE-DF, 5.(1)以点C为圆心，以任意长为半 LAE-CE 径画弧交直线（于A,B两点； ,∴.△ABE≌△CDF(SSS) (2)分别以点A,B为圆心，大于 2.证明：在△ABD和△CDB中， 专AB长为半径画弧，两孤相交 ∠ABD=∠CDB BD-DB 于D点； ∠ADB=∠CBD (3)过点C,D作直线CD,则直线 ,∴.△ABD2△CDB(ASA) CD⊥l. 3.证明：BE=CF, 6.不正确.直角三角形全等的判定 .BE+EC=CF+EC. 中没有“SSA”,而应该是“HL”. 即BC=EF 正确的证明过程： 在Rt△ABC和Rt△DFE中， .ADI BC. (AB=DF .∠ADB=∠ADC=90. BC=FE' 在Rt△BFD和Rt△ACD中 ∴.Rt△ABC≌Rt△DFE(HL). BF=AC 4.证明：∠1=∠2， FD-CD .∠ABE=∠DBC. ∴.Rt△BFD≌Rt△ACD(HL). 在△ABE和△DBC中， ∴.∠DAC=∠DBF, AB-DB 7.C8.C9.B10.5或10 ∠ABE=∠DBC, 11.证明：连接AC, BE=BC 在Rt△ABC和Rt△ADC中， .∴△ABE≌△DBC(SAS) .AB-AD,AC-AC, 5.证明：由∠ECB=70°得∠ACB ∴.Rt△ABC≌Rt△ADC(HL), =110°， ∴.BC=DC ∴.∠ACB=∠D=110°. BE⊥EF,DF⊥EF, AB∥DE,.∠CAB=∠E. ∴.∠E=∠F=90 在△ABC和△EAD中， 在Rt△BCE和Rt△DCF中 ∠ACB=∠D (BC=DC ∠CAB=∠E BE-DF AB-EA ∴.Rt△BCE≌Rt△DCF(HL). .△ABC≌△EAD(AAS). 43 方法技巧专题全等 ·∠BAD=∠CAE,AB=AC, 三角形的基本模型 ∠ABD=∠ACE, 1.证明：BC∥DE .∴.△ABD2△ACE(ASA), ∴.∠ABC=∠D. ∴.AD=AE 在△ABC和△EDB中， 8.证明：(1)：AC∥DE :AB=ED,∠ABC=∠D,BC ∴∠ACB=∠E,∠ACD=∠D, =DB, ∠ACD=∠B,∴.∠D=∠B, .△ABC≌△EDB(SAS), 在△ABC和△CDE中， .∠A=∠E ·∠ACB=∠E,∠B=∠D,AC 2.证明：AE∥BF =CE, ∴.∠A=∠FBD. ∴.△ABC≌△CDE(AAS), CE∥DF,∴.∠D=∠ACE ..BC=DE; .AB=CD, (2)∠BCD=140°. ∴.AB+BC=CD+BC, 9.证明：FB=CE, 即AC=BD. ∴，FB+FC=CE+FC,即BC 在△ACE和△BDF中， =EF. ·∠A=∠FBD,AC=BD, AB∥ED,AC∥FD ∠ACE=∠D, ∴.∠B=∠E,∠ACB=∠DFE, ∴.△ACE≌△BDF(ASA), 在△ABC和△DEF中， ..AE=BF. ∠B=∠E,BC=EF,∠ACB 3.答案不唯一，如添加∠BAC =∠DFE, =∠DAC. ∴.△ABC≌△DEF(ASA),.AC 理由：在△ABC和△ADC中， =DF. :∠B=∠D,∠BAC=∠DAC,10.证明：设AD,BE交于点F AC=AC, .AB⊥BC,CEI BC, ∴.△ABC≌△ADC(AAS). .∠ABD=∠C=90 4.证明：BD⊥AC,CE⊥AB, 在△ABD和△BCE中， ·∠ADB=∠AEC=90 AB=BC,∠ABD=∠C,BD 在△ADB和△AEC中， =CE, :∠ADB=∠AEC,AD=AE, .△ABD≌△BCE(SAS) ∠A=∠A, ∴.∠A=∠CBE. .∴.△ADB≌△AEC(ASA), ∠CBE+∠ABE=90°， ..AB=AC, .∴.∠A十∠ABE=90°， 又AD=AE,.AB-AE=AC 则∠AFB=90°，AD⊥BE 一AD,即BE=CD. 实践操作尺规作图与网格作图 5.证明：AC=BD,.AC+CD= 1.D2.D3.略 BD+CD,即AD=BC 4.(1)略； 在△AED和△BFC中， (2)AF⊥CD.理由： :∠A=∠B,AD=BC,∠ADE .AB=AE,BC=ED, =∠BCF, ∠B=∠E, .△AED≌△BFC(ASA), ∴.△ABC≌△AED(SAS), :DE=CF. ..AC=AD, 6.证明：，BE⊥AC,CD⊥AB, ∠CAF=∠DAF,AF=AF, .∠BEA=∠CDA=90°， ∴.△ACF≌△ADF(SAS), 在△ABE和△ACD中， ∴.∠AFC=∠AFD=90°， :∠BEA=∠CDA,∠A=∠A, AF⊥CD. BE-CD. 5.略. ∴.△ABE≌△ACD(AAS), 12.3等腰三角形 ..AB=AC. 12.3.1等腰三角形的性质 7.证明：.AB⊥AC,AD⊥AE, 1.D2.D3.75°4.75 .∠BAC=∠DAE=90°， 5.A6.B7.B8.63°或27 .∠BAC-∠DAC=∠DAE-9.C10.B11.3412.40 ∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 13.证明：：AB=AC=AD, 在△ABD和△ACE中， ∴.∠C=∠ABC,∠D=∠ABD, 名 .∠ABC=∠CBD+∠D, ..∠B=60°， :AD∥BC,∠CBD=∠D, 当BP=BQ时，△PBQ是等边 ∴.∠ABC=∠D+∠D=2∠D, 三角形，则6一t=2t, 又∠C=∠ABC, t=2,∴当t=2时，△PBQ为等 .∠C=2∠D 边三角形， 14.AB=AC,M是边BC的15.(1)D 中点， (2)如图，△BCE即为所求作 ∴.∠AMB=90°，∠BAM=∠CAM, ∠BEM=∠AED=64°， ∴.∠EBM=26°， 本达入 ,BD平分∠ABC, ∴.∠ABC=2∠EBM=52°， 图1 图2 图3 图4 .∴.∠BAM=90 一 ∠ABM 方法技巧专题构造 =38°， 等腰三角形的常用方法 .∠BAC=2∠BAM=76°. 1.证明：过点D作DM∥AC交BC 15.(1)AD∥BE,∴.∠A=∠B, 于点M. 在△ADC与△BCE中， ∴.∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E. (AD=BC AB=AC,∠B=∠ACB. ∠A=∠B, ∴.∠B=∠DMB.∴.BD=MD. AC=BE BD=CE,∴.MD=CE. ∴.△ADC≌△BCE(SAS): 在△DMF和△ECF中， (2)由(1)知△ADC≌△BCE, '∠MDF=∠E .DC-CE, /MFD=∠CFE 又CF平分∠DCE, MD-CE ..CF DE,DF-EF, .∴.△DMF≌△ECF(AAS) CF=3,DF=4. .DF=EF. .DE=2DF=8, 2.证明：延长AD交BC于点F, SAOE- E·CF_8X3=12. ·∠ABD=∠FBD,BD=BD, 2 2 ∠ADB=∠FDB=90°， 12.3.1等腰三角形的判定 ∴.△ABD≌△FBD(ASA) 1.B2.C3.2cm4.C5.D .∠BAD=∠BFD. 6.证明：DE⊥AB,DF⊥BC,垂足 ∠BFD=∠CAD+∠C, 分别为点E,F, .∠BAD=∠CAD+∠C. .∠AED=∠CFD=90°， 3.证明：（截长法）在BC上取点E :D为AC的中点，.AD=DC, 使BE=BA,连DE, 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ,BD平分∠ABC, AD=DC DE-DF .∠ABD=∠EBD, 在△ABD和△EBD中， ∴.Rt△ADE≌Rt△CDF, AB=EB ∴.∠A=∠C,.BA=BC, .AB=AC,..AB=BC=AC, ∠ABD=∠EBD, BD-BD .△ABC是等边三角形. ..△ABD≌△EBD(SAS), 7.D8.B9.B10.D 1.80海里12.2或号 ∴∠BAC=∠BED=108,AB=EB, .∠DEC=72°， 13.证明：，DE∥AC,∴.∠1=∠3， .AB=AC, ·AD平分∠BAC, ∴.∠C=∠ABC=36°， ∴∠1=∠2，∴∠2=∠3， ∴∠CDE=72°， AD⊥BD,∠2+∠B=90°， ∴.∠CDE=∠CED=72°， ∠3+∠BDE=90°， .CD=CE,则BC=BE十EC= .∠B=∠BDE,∴.BE=DE AB+CD ∴△BDE是等腰三角形. 回归教材等腰三角形 14.由题意得：AP=t,BQ=2t,则 的性质与全等三角形的综合 BP=6-4, 1.证明：AB=AC,.∠B=∠C :△ABC是等边三角形， 在△ABD和△ACE中， 45