12.2 全等三角形的判定（第5课时 全等三角形的判定“HL”）（7大基础题型+2大巩固提升）（题型专练）数学华东师大版2024八年级上册

12.2 全等三角形的判定 （第5课时 全等三角形的判定“HL”） 题型一：用“HL”作为判断依据判断三角形全等 1．（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点B，F，C，E 在一条直线上，，则可得到的依据是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在和中，，，，则能直接判断的理由是（    ） A． B． C．SAS D． 6．（24-25八年级下·山西晋中·期中）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，，若，则的理由是（　　） A． B． C． D． 题型二：添加一个条件使得两三角形全等 1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，，添加下列条件，还不能使成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，已知，垂足分别为，．要根据“”判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆江津·阶段练习）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，，若要直接依据“”判定，则还需要补充的一个条件是（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，、相交于点O，．若再补充一个条件，使得能直接利用“”判定，则需要补充的条件是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知点B，C，F，E在同一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（答案不唯一）．（只需写出一个） 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点在同一直线上，并且．请你只添加一个条件（不再添加辅助线），使得．你添加的条件是 ． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，证明，则应添加的条件是 ． 题型三：利用直角三角形全等的判定求线段长度 1．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（   ）． A．2 B． C．3 D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，于点，．如果，那么（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 4．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，是的平分线，，，垂足分别是点，，且，，则的长度是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，，，于点M，于点N，，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，连接为上一点，连接且．若，则的长为 ． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，点分别在直线和上，点在上，，则 ． 10．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 题型四：利用直角三角形全等的判定求角度 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知和按如图所示的位置放置，已知，，且，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在和中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知：如图，，，，则的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．75° 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是 ． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点M，于点N．若，则的度数为 ． 8．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，在与中，，，，若则的度数为 ． 9．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在和中，，，，若，则 ． 题型五：“HL”中面积的相关应用 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，在上取一点，使得．若和的面积分别为24和14，则的面积为 ． 2．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，是的角平分线，于E，M、N分别是边、上的点，．若和的面积分别为30和16，则的面积是 ． 题型六：直角三角形全等判定中基础证明 1．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，点E，F在线段上，，，，求证：． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图所示，和中，于点，于点，且，，求证：． 4．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 5．（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知A、F、B、D在同一直线上，且，，，与相交于点O．求证：． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，于点，，，求证：． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在和中，点在边上，，，，求证：． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 题型七：直角三角形全等判定中解答题综合 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知平分，于E，于F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，点B在线段上，点E在线段上，为的高，，． (1)求证：； (2)如图：于F，于G，探究与的关系，并证明你的结论． 4．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． (1)求证：； (2)若，，请求出的长． 5．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)若，，，求四边形的面积； (2)请在；中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 7．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，于点平分． (1)求证：是等腰三角形； (2)，求的长． 8．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点D、E分别在边上，，，且． (1)求证：； (2)连接，如果．求证：点F在的垂直平分线上． 9．（24-25八年级上·全国·期中）已知，平分． (1)如图①，若，，求证：平分； (2)如图②，若，求证：． 题型一：直角三角形全等判定中动点问题 1．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当 时，以点为顶点的三角形和全等． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等． 3．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 4．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，直线l经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为，则与全等时，t的值为 ． 5．（24-25八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，，，，点在线段上，以每秒2cm的速度从点出发向运动，到点停止运动，点在射线上运动，且，当点的运动时间为 秒时，才能和全等． 6．（24-25八年级上·四川广元·阶段练习）如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以1厘米每秒的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动 秒时，三角形与点P、N、B为顶点的三角形全等（时间不等于0）． 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒． 题型二：直角三角形全等判定解答压轴题 1．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）在中，，，作等腰，使． (1)如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示； (2)如图，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若与的面积相等，则的度数为多少？ 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，延长至使得，过作且满足，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，作的平分线交于点，若为中点， 连接，求的度数． 3．（2025·山东济南·一模）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，，若点在的平分线所在的直线上． (1)如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且． 求证：； 求证：点在的垂直平分线上； ___________； (2)如图，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，则___________； (3)如图，过点的直线，若，，点在内部，且点到三边的距离相等，则点到直线的距离是___________． 5．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【探究发现】 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是______； (2)【反思感悟】 问题：如图，在四边形中，，是上一点，，．则与的数量关系是______；依据是______； (3)【拓展迁移】 问题：如图，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 6．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在复习角平分线的课上，老师要求从定义、性质、判定、应用四个环节进行研究． (1)【定义】如图1，平分，__________________ (2)【性质】如图1，射线上有一点，，，垂足分别为．求证： 证明：平分， ， ， ， ， ， ． 简单归纳： 平分 ___________ ___________（请补充完成上述填空） (3)【判定】如图2，是内一点，，，垂足分别为，，且．求证：点在的平分线上． (4)【应用】在（3）的情况下，点与点重合时如图3，若，试判断与的位置关系． 1．（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图所示，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，能用“”判定和全等的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，在直角三角形中，，根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（   ） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 6．（24-25八年级上·河南商丘·期末）在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，于点E，，且，则的度数为 ． 8．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在等腰中，，是边的中点，过点作，连接．若，，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为 ． 10．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，若，，则的长为 ． 11．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，，，于点E，于点F．求证：． 12．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，幸福小区里有两个长度相同的滑梯和靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，已知，求两个滑梯底部的长度． 13．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． 求证： (1)． (2)． 14．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，，，E是上的一点，且，． (1)求证： ； (2)若，，求的长． 15．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在中，为的中点，于于，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2 全等三角形的判定 （第5课时 全等三角形的判定“HL”） 题型一：用“HL”作为判断依据判断三角形全等 1．（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项C正确． 【详解】解：由图示知，嘉淇第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定. 根据是三角形的高，得到，故可根据可以判定． 【详解】解：∵是三角形的高， ∴， ∵，， ∴（）， 故选A． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 4．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点B，F，C，E 在一条直线上，，则可得到的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题目中的条件，可以写出判断的依据，即可解答．解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法． 【详解】解：， ， 故选：D． 5．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在和中，，，，则能直接判断的理由是（    ） A． B． C．SAS D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定方法是解题的关键．对于直角三角形和斜边和一组直角边对应相等，可以用判定两个三角形全等． 【详解】解：， 和均为直角三角形， 其中和为斜边，和为直角边， 在和中， ， 能直接判断的理由是． 故选：A． 6．（24-25八年级下·山西晋中·期中）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理“”即可求证，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， 故选：． 7．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，，若，则的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中 ， ∴． 故选：C． 题型二：添加一个条件使得两三角形全等 1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，，添加下列条件，还不能使成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据，可得，再加上公共边，然后结合全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：， ， A．添加可得，可利用判定，故此选项不合题意； B．添加可利用判定，故此选项不合题意； C．添加不能判定，故此选项符合题意； D．添加可利用判定，故此选项不合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，已知，垂足分别为，．要根据“”判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法“”，根据直角三角形中一组直角边相等，只需要添加斜边相等即可，掌握判定方法“”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要根据“”判定，则需要添加斜边， 故选：． 3．（24-25八年级上·重庆江津·阶段练习）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．本题要判定，已知，，则，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：， ，即． A、添加，可根据判定，故正确，不符合题意； B、添加，可根据判定，故正确，不符合题意； C、添加，可根据判定，故正确，不符合题意； D、添加，不能判定，故错误，符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，，若要直接依据“”判定，则还需要补充的一个条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．用“”判定，只需要满足斜边和直角边对应相等的两直角三角形全等即可． 【详解】解：添加条件：， ∵ 在和中， ， ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，、相交于点O，．若再补充一个条件，使得能直接利用“”判定，则需要补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，． 根据可以推出两三角形全等，可判断A；根据可以推出两三角形全等，可判断B；根据可以推出两三角形全等，可判断C；根据与 不是对应边，不能推出两三角形全等，可判断D． 【详解】 解：A、在和中 ，正确，故本选项符合题意； B、在和中 ，故错误，，故本选项不符合题意； C、∵在和中， ， 故错误，本选项不符合题意； D、在和中， ，，，但与 不是对应边， ∴和不全等， 故错误，本选项不符合题意； 故选：A． 6．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知点B，C，F，E在同一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（答案不唯一）．（只需写出一个） 【答案】 【分析】由已知，，可根据全等三角形的判定，只需补充或或其中一个都行，答案不唯一． 本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定的一般方法：、、、、，根据已知和图形添加正确的条件是解答的关键． 【详解】可添加，由，，，根据可判定， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点在同一直线上，并且．请你只添加一个条件（不再添加辅助线），使得．你添加的条件是 ． 【答案】（或或） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定． 根据全等三角形的判定求解． 【详解】解：∵点在同一直线上，并且， ∴， ∴， 又， 添加，可根据使得； 添加，可根据使得； 添加，可根据使得， 故答案为：（或或）． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，证明，则应添加的条件是 ． 【答案】答案不唯一，如． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定．根据全等三角形的判定求解． 【详解】解：∵， ∴， 又， 添加条件，可根据证明； 添加条件，可根据证明； 添加，可根据证明； 添加，可根据证明， 故答案为：答案不唯一，如． 题型三：利用直角三角形全等的判定求线段长度 1．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（   ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，由线段的和差关系得到的长，即可得到的长，进而可得的长． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，于点，．如果，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 证出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故选：A． 4．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，是的平分线，，，垂足分别是点，，且，，则的长度是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．利用全等三角形的判定推出，得到，，进而得到，得到，再利用即可求解． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ，， ， 又， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 故选：A． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 连接，过作于，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接，过作于， 平分，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 与的差为， ， ， 故选：A 6．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，，，于点M，于点N，，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的证明及性质，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题关键． 先证明，得到，进而可求解． 【详解】解：∵于点M，于点N， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 7．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意证明，可得，根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 解得： 故选：B． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，连接为上一点，连接且．若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，根据“”证即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，点分别在直线和上，点在上，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质．先判定，从而得出，则． 【详解】解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 10．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由是边上的高，推导出 ，即可证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】∵在中，是边上的高，是边上一点， ∴于点， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：4． 题型四：利用直角三角形全等的判定求角度 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知和按如图所示的位置放置，已知，，且，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，全等三角形的判定与性质，先根据三角形内角和性质列式计算得，结合，，，证明，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在和中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据判定后可得，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， 则中，． 故选：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴均为直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的定义是关键．根据全等得出是的平分线，可得，再利用余角性质得到结果即可． 【详解】解：∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知：如图，，，，则的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理求解，再证明得到即可； 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴ 故选：B． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，通过证明三角形全等得到对应角相等，再根据直角三角形的性质以及角之间的关系求出的度数即可. 【详解】解：， 是直角三角形 在和中 又 故答案为： ． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点M，于点N．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：. 8．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，在与中，，，，若则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先证明，则有，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在和中，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查直角三角形全等的判定：，还有直角三角形两锐角互余的性质．根据“”可以证明，则，根据余角的性质即可求得的度数． 【详解】解：在和中， ，，， ， ， ． 故答案为：． 题型五：“HL”中面积的相关应用 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，在上取一点，使得．若和的面积分别为24和14，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判断和性质．过点作交于点，证明，，进而得到，求解即可．解题关键是构造全等三角形． 【详解】解：过点作交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵，， ∴，； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 2．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，是的角平分线，于E，M、N分别是边、上的点，．若和的面积分别为30和16，则的面积是 ． 【答案】23 【分析】本题主要考查角平分线，三角形全等和性质的综合，理解并掌握角平分线上点到角两边的距离相等，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 如图所示（见详解），过点作于，是的角平分线，于，可证，同理可证，设，和的面积分别为和，列方程即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是的角平分线，于， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 设，和的面积分别为和， ∴，解方程得，， ∴， ∴， 故答案为：23． 题型六：直角三角形全等判定中基础证明 1．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键．由，可得出，即可证明； 【详解】证明：， ，即， 又， ， 在和中， ， ． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，点E，F在线段上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，由，得到，由即可证明问题． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图所示，和中，于点，于点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练运用证明全等三角形成为解题的关键． 先说明和为直角三角形，然后运用即可解答． 【详解】证明：，， 和为直角三角形． 在和中， ， ． 4．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可解答． 【详解】证明： 与分别为边上的中线， ，， ， ， 在和中， ， ． 5．（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法． 先证明，根据即可证明． 【详解】证明： ∵，， ∴ 在和中 ∵， ∴（）． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知A、F、B、D在同一直线上，且，，，与相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先根据得出，再根据可证． 【详解】证明：， ，即， ， 在和中， ， ． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，于点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，直接利用可证明． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在和中，点在边上，，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定，全等三角形的常用方法有：、、、及，熟练掌握并灵活运用适当判定方法是解题关键．直接利用证明即可． 【详解】证明：在和中，， ∴． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，进而可得，即可得证； （2）连接，证明，得出，由，可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，，且，点E在边上，，垂足为F，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 题型七：直角三角形全等判定中解答题综合 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知平分，于E，于F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)22 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，利用证明， 是解题的关键． （1）根据已知条件可得和是直角三角形，然后利用即可证明； （2）利用证明 ，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分于点于点， ， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ． （2）解：∵于点于点， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ， ， 由（1）知，， ， ∵， ． 2．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出是解题关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质求出，由直角三角形的性质求出，即可得出所求． 【详解】（1）证明：∵． ∴和是直角三角形， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，点B在线段上，点E在线段上，为的高，，． (1)求证：； (2)如图：于F，于G，探究与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)且，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用证明，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由，可得，再证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵为的高， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：且，证明如下： ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 综上所述，与的关系为且． 4．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． (1)求证：； (2)若，，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出，结合其性质及等量代换确定，即可证明； （2）根据全等三角形的性质结合图形即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． ，， ， ，即， ． （2）解：由（1）得，， ， ． 而，，， ， 答：的长为3． 5．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据角平分线的性质得，然后证明，即可解决问题； （2）根据三角形的面积公式即可解决问题． 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到． 【详解】（1）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，，，， ， ， ． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)若，，，求四边形的面积； (2)请在；中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 【答案】(1)四边形的面积为； (2)选择作为条件，作为结论，证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于，则，根据等腰三角形的性质得，然后证明，故有的面积的面积，从而，再求出的面积即可求解； （）分选择作为条件，作为结论和选择作为条件，作为结论，通过全等三角形的判定与性质即可求证． 【详解】（1）解：如图，过作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴， ∵的面积， ∴四边形的面积； （2）解：）如图，选择作为条件，作为结论，理由如下： 过作于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ）如图，选择作为条件，作为结论，理由如下： 过作于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，于点平分． (1)求证：是等腰三角形； (2)，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． （1）利用证明，推出，即可证明结论成立； （2）利用证明，推出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点D、E分别在边上，，，且． (1)求证：； (2)连接，如果．求证：点F在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据直角三角形的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，结合即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点F在的垂直平分线上． 9．（24-25八年级上·全国·期中）已知，平分． (1)如图①，若，，求证：平分； (2)如图②，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点E作于点F，由平分可得，利用可证得，即可得到结论成立； （2）延长和相交于点M，由，平分可得是等腰三角形，即，再由得，利用可证得，即可得到结论成立． 【详解】（1）证明：如图：过点E作于点F，则， 平分，，且， ，， 又， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，延长和相交于点M， ，平分， ，， 是等腰三角形，即， 又， ，即， 在和中， ， ， ． 题型一：直角三角形全等判定中动点问题 1．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当 时，以点为顶点的三角形和全等． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是分情况讨论，根据全等三角形对应边相等求出的长度，进而得出的值． 因为，所以分两种情况讨论：和，根据全等三角形对应边相等求出的长，再结合点的运动速度求出． 【详解】解： 情况一：， 此时， 已知，点的速度是，的长度就是点运动的路程，则， 把代入，可得（秒）； 情况二： 此时． 已知，， 把代入，可得（秒）． 综上，当或4时，以点为顶点的三角形和全等． 故答案为：2或4． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等． 【答案】中点或点C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，再分两种情况：当时，当时，分别利用全等三角形的判定定理证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 当时， 在和中， ， ∴， 当时， 在和中， ， ∴， 综上所述，P点运动到中点或点C位置时，才能使与全等， 故答案为：中点或点C． 3．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 【答案】4或或16 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，分情况讨论是解题的关键．分类讨论，分四种情况分析，①点P在上，点Q在上；②点P、Q都在上；③点P到上，点Q在上；④当点Q到A点，点P在上，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵与全等， ∴斜边=斜边， 分四种情况： 当点P在上，点Q在上，如图： ∵， ∴, ∴， 当点P、Q都在上时，此时P、Q重合，如图： ∵， ∴， ∴， 当点P到上，点Q在上时，如图： ∵， ∴， ∴，不符合题意， 当点Q到A点，点P在上时，如图： ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的运动时间等于4或或16秒时，与全等， 故答案为：4或或16． 4．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，直线l经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为，则与全等时，t的值为 ． 【答案】2或或8 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①如图1，当Q在上，点P在上时，作，， 由题意得，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ∴，， 当时， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 综上所述：当或或8时，与全等． 故答案为：2或或8． 5．（24-25八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，，，，点在线段上，以每秒2cm的速度从点出发向运动，到点停止运动，点在射线上运动，且，当点的运动时间为 秒时，才能和全等． 【答案】或 【分析】根据全等三角形的判定条件（），分两种情况讨论：当时和当时，结合点的运动速度求出运动时间．本题考查了直角三角形全等的判定（），即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；分情况讨论与、与分别相等的两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：， ， 当时，， ∴， ∴秒． 当时，， ∴ ∴秒． 故答案为：或 ． 6．（24-25八年级上·四川广元·阶段练习）如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以1厘米每秒的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动 秒时，三角形与点P、N、B为顶点的三角形全等（时间不等于0）． 【答案】4或8或 【分析】本题考查了三角形全等的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 首先要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ②当P在线段上，时，与全等， 这时，因此时间为0秒；（不符合题意，舍去） ③当P在上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ④当P在BQ上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）， 故答案为：4或8或． 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒． 【答案】或或 【分析】本题考查去啊能三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． 根据运动过程和三角形全等，分类讨论，确定点的位置，从而可得运动路程，除以运动速度，即可得运动时间． 【详解】解：根据题意，进行分类讨论如下： 当点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒） ∴的值为或或， 故答案为：或或． 题型二：直角三角形全等判定解答压轴题 1．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）在中，，，作等腰，使． (1)如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示； (2)如图，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若与的面积相等，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)若与的面积相等，则的度数为或 【分析】（1）先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，根据与互余得，再根据即可得出答案； （2）过点作于点，根据等腰三角形性质，先证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出结论； （3）依题意有以下两种情况：当与都是锐角三角形时，过点作于点，过点作于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，即当是锐角三角形，是钝角三角形时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，再根据得，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ， 与互余， ， ， 故答案为：； （2）证明：过点作于点，如图所示： 在中，， ， ， 在中，， 在中，于点， ， 与互补， ， ， 即， ， 于点于点， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）若与的面积相等，则的度数为或，理由如下： 依题意有以下两种情况： 当与都是锐角三角形时， 过点作于点，过点作于点，如图所示： ， ， 与的面积相等， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即； 当是锐角三角形，是钝角三角形时， 过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： ， ， 与的面积相等， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即 ， ， 综上所述：若与的面积相等，则的度数为或． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，延长至使得，过作且满足，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，作的平分线交于点，若为中点， 连接，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，三角形外角性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，则，即可作答． （2）先得，再结合，以及外角性质，得，则，又因为为中点，故， ∴，运用三角形内角和性质，得．即． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）解：∵是的平分线， ∴， 由（1）得 ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 即， ∴， 则， ∴． 即． 3．（2025·山东济南·一模）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1)；见解析 (2)成立，； (3)，见解析 【分析】（1）由，可得是等边三角形，得到，然后由直角三角形的性质即可求解； （2）在的延长线上截取，连接，可证，得到，从而得到，即可求证； （3）在上截取，连接，可证得，即可求证． 【详解】（1）解：之间的数量关系．理由如下： ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 证明：在上截取，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，，若点在的平分线所在的直线上． (1)如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且． 求证：； 求证：点在的垂直平分线上； ___________； (2)如图，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，则___________； (3)如图，过点的直线，若，，点在内部，且点到三边的距离相等，则点到直线的距离是___________． 【答案】(1)见解析；见解析；； (2)； (3)． 【分析】本题考查了线段垂直平分线判定，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练使用各性质定理是解题的关键． （）证出； 由角平分线性质可得出，证明，得到，即可证明点在的垂直平分线上； 由得出，即可得出； （）先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； （）画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图， ∵点D在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上； 解：由知， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当点在内部时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点到直线的距离是． 5．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【探究发现】 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是______； (2)【反思感悟】 问题：如图，在四边形中，，是上一点，，．则与的数量关系是______；依据是______； (3)【拓展迁移】 问题：如图，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 【答案】(1) (2)，全等三角形的对应边相等 (3)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，，即可得证； （2）证明和都是直角三角形，再证明，即可得解； （3）过点作于点，由题意可得为直角三角形，证明为等腰直角三角形，得出，同（1）证明：，得出，，即可得解． 【详解】（1）解：，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 于点，于点， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 与的数量关系是；依据是全等三角形的对应边相等， 故答案为：；全等三角形的对应边相等； （3）解：过点作于点，如图所示： 在中，， 是直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中，，且， 同（1）证明：， ∴，， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在复习角平分线的课上，老师要求从定义、性质、判定、应用四个环节进行研究． (1)【定义】如图1，平分，__________________ (2)【性质】如图1，射线上有一点，，，垂足分别为．求证： 证明：平分， ， ， ， ， ， ． 简单归纳： 平分 ___________ ___________（请补充完成上述填空） (3)【判定】如图2，是内一点，，，垂足分别为，，且．求证：点在的平分线上． (4)【应用】在（3）的情况下，点与点重合时如图3，若，试判断与的位置关系． 【答案】(1) (2)，， (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的性质求解即可； （3）根据题意证明出，得到，即可证明； （4）延长与相交于，由角平分线得到，然后等量代换得到，证明出，进而求解即可． 【详解】（1）解：平分， ∴； （2）解：平分，，， ； （3）证明：∵，， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴点在的平分线上； （4）解：，理由如下， 延长与相交于， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 即． 1．（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图所示，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握、、、 等判定定理及“不能判定全等”是解题的关键． 依据全等三角形的判定定理（、、、 等 ），对每个选项添加条件后能否判定进行分析． 【详解】解：已知，为公共边，，根据“”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ），可得，故A项不符合题意． 虽然，为公共边，，但“”不能判定两个三角形全等，所以无法判定，故B项符合题意． 因为，，为公共边，根据“”（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 ），可知，故C项不符合题意． 由于，，为公共边，依据“”（三边对应相等的两个三角形全等 ），可得，故D项不符合题意． 故选：B ． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，能用“”判定和全等的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法即可直接得出答案． 【详解】解：A. ∵， ∴，故此选项符合题意； B. ，结合，能运用“”判定和，故此选项不符合题意； C. ∵，， ∴，故此选项不符合题意； D. ∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，在直角三角形中，，根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，，根据角平分线的性质，，再逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∴，A不符合题意；C不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，D不符合题意； 无法证明，B符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的全等，四边形的内角和定理解答即可． 本题考查了直角三角形的全等，四边形的内角和定理，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（   ） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，如等．结合已知条件，根据“”判定三角形全等即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时，在和中， ， ∴； ②当时，在和中， ， ∴． 综上所述，当与全等时，的长度为6或12． 故选：B． 6．（24-25八年级上·河南商丘·期末）在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质．利用“”得到，利用全等三角形对应边相等得到，最后根据，等量代换即可确定出的长．熟练掌握三角形全等的判定定理及性质定理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，于点E，，且，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，，求得，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在等腰中，，是边的中点，过点作，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/77度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，过点A作交延长线于F，则可得到，进而得到，再证明得到的度数，进而求出的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．先证明，从而推出，最后利用求得答案． 【详解】解：连接，如图， ，，， ， ， ，， ， ∴． 故答案为：3． 10．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质；由为角平分线，利用角平分线定理得到，再由，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得出，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，由，即可求解． 【详解】解：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， 故答案：. 11．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，，，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，平行线的判定，关键是利用证明解答． 根据等式的性质得出，进而利用证明，则，即可解答． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴ ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，幸福小区里有两个长度相同的滑梯和靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，已知，求两个滑梯底部的长度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，得到，即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 在和Rt中， ， ． ， ， ， 两个滑梯底部的长度为． 13．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． 求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可． （2）根据全等三角形的性质得，然后求出即可． 【详解】（1）解：， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． （2）， ∴， ， ， ， ， ∴． 14．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，，，E是上的一点，且，． (1)求证： ； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，理解并掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据已知可得到从而利用判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由求得的长即可得到答案． 【详解】（1）∵，， ， ， ． （2）由， 得， 又∵，， ． 15．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在中，为的中点，于于，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的判定求出，根据等腰三角形的性质及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵为的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 $$