重难点培优01 奔驰定理与“四心”问题（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦三角形四心的向量表达式及奔驰定理核心考点，按四心向量公式、奔驰定理、两者关联的逻辑层次构建知识体系，通过知识精讲梳理考点、题型深研指导方法、分层训练强化应用，帮助学生系统突破向量与几何综合难点。 讲义特色在于将四心问题与奔驰定理深度整合，采用题型分类深研与分层进阶训练，培养学生数学思维与模型观念，如内心题型中结合奔驰定理推导面积比与向量关系。设置巩固过关与创新提升双阶练习，确保复习效果，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

重难点培优01 奔驰定理与“四心”问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点01 三角形四心的向量表达式 1 知识点02 奔驰定理 2 知识点03 奔驰定理与三角形四心 3 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 三角形的重心 3 题型2 三角形的外心 6 题型3 三角形的内心 8 题型4 三角形的垂心 11 题型5 奔驰定理 13 分层进阶·双阶训练验成效 18 巩固过关 18 创新提升 18 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 三角形四心的向量表达式 1.重心向量公式 设是的重心,为平面内任意一点,则有 ①;② ③若,则动点的轨迹经过三角形的重心 ④若,则动点的轨迹经过三角形的重心 2.垂心向量公式 若是的垂心,为平面内任意一点,则有: ①;② ③,则动点的轨迹通过的垂心 3.内心向量公式 若是的垂心,则有：① ②,则动点的轨迹经过三角形的内心 4.外心向量公式 若是的外心,为平面内任意一点,则 ① ② ③,则动点的轨迹通过外心. ④若 知识点02 奔驰定理 1.定理原文 设点为内部任意一点，则：，图形形似奔驰标志，故称奔驰定理。 奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 知识点03 奔驰定理与三角形四心 1.重心 结论： 推导：重心平分三角形面积，，三者面积相等，代入奔驰定理后约去面积，直接得到等式。 2.内心 结论：（） 推导：内心到三边距离均为内切圆半径，面积比值，代入奔驰定理，约去可得。 3.外心 结论： 推导：设外接圆半径，圆心角为对应圆周角2倍，，面积比为，代入奔驰定理约去即得。 4.垂心 结论： 推导：由高线垂直关系可证，将面积比例代入奔驰定理化简得到该向量等式。 题型深研·通法变式提能力 题型1 三角形的重心 【例1】已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知点是的重心，且，．若三点共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知点为所在平面内一动点，满足：，，则点的运动轨迹一定过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式1-2】为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【变式1-3】已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为_____． 题型2 三角形的外心 【例3】已知是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【例4】已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式2-1】的外心满足，，则的面积为____________． 【变式2-2】已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题型3 三角形的内心 【例5】点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【例6】已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式3-1】已知中，，，点I是的内心.若有，则_________． 【变式3-2】A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式3-3】已知的内心为，且，则______． 题型4 三角形的垂心 【例7】在中，，点H为垂心，，，则（    ） A． B．2 C． D．4 【例8】已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 【变式4-1】若点O是锐角三角形的垂心，且，，则的面积为______. 【变式4-2】已知H是的垂心，满足，且，则__________． 【变式4-3】已知为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 题型5 奔驰定理 【例9】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【例10】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，，，则 C．若为的内心，，则 D．若为的垂心，，则 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．已知O为锐角内一点满足，且，则为（ ） A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 3．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ） A．若，则为的垂心 B．若，则为的外心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 7．（多选）在中，为内一点，若，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的重心，则 B．若点为的外心，则 C．若点为的垂心，则 D．若点为的内心，则 8．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，且，则 C．若，则为的垂心 D．若为的内心，且，则 9．在中，为内的一点．若为的重心，且，则__________． 11．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线，该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且． (1)求的值； (2)证明：； (3)若，求的值． 12．是所在平面内一点，分别为的外心和重心，且． (1)用，来表示和； (2)若的面积为3，求的面积； (3)若，求的值． 创新提升 1．已知P是的外心，且，则____ 2．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 3．如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则（   ） A． B． C． D．1 4．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知点O是内及边界上的一点，则以下说法正确的有（     ）． A．若（），则动点O的轨迹一定通过的垂心． B．若O是的外心，且，则 C．若O为的内心，，则 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 奔驰定理与“四心”问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点01 三角形四心的向量表达式 1 知识点02 奔驰定理 2 知识点03 奔驰定理与三角形四心 3 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 三角形的重心 3 题型2 三角形的外心 6 题型3 三角形的内心 8 题型4 三角形的垂心 11 题型5 奔驰定理 13 分层进阶·双阶训练验成效 18 巩固过关 18 创新提升 18 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 三角形四心的向量表达式 1.重心向量公式 设是的重心,为平面内任意一点,则有 ①;② ③若,则动点的轨迹经过三角形的重心 ④若,则动点的轨迹经过三角形的重心 2.垂心向量公式 若是的垂心,为平面内任意一点,则有: ①;② ③,则动点的轨迹通过的垂心 3.内心向量公式 若是的垂心,则有：① ②,则动点的轨迹经过三角形的内心 4.外心向量公式 若是的外心,为平面内任意一点,则 ① ② ③,则动点的轨迹通过外心. ④若 知识点02 奔驰定理 1.定理原文 设点为内部任意一点，则：，图形形似奔驰标志，故称奔驰定理。 奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 知识点03 奔驰定理与三角形四心 1.重心 结论： 推导：重心平分三角形面积，，三者面积相等，代入奔驰定理后约去面积，直接得到等式。 2.内心 结论：（） 推导：内心到三边距离均为内切圆半径，面积比值，代入奔驰定理，约去可得。 3.外心 结论： 推导：设外接圆半径，圆心角为对应圆周角2倍，，面积比为，代入奔驰定理约去即得。 4.垂心 结论： 推导：由高线垂直关系可证，将面积比例代入奔驰定理化简得到该向量等式。 题型深研·通法变式提能力 题型1 三角形的重心 【例1】已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由是的重心，得，令， 由，得，则， 又点共线，即，解得，即，所以. 故选：A 【例2】已知点是的重心，且，．若三点共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    因为点是的重心，所以， ，又，，所以， 因为三点共线，所以， 因此，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为. 【变式1-1】已知点为所在平面内一动点，满足：，，则点的运动轨迹一定过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【详解】由正弦定理可得，故， 故， 令中点为，则， 故点在直线上，故点的运动轨迹一定过的重心. 【变式1-2】为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 【变式1-3】已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】 如图，延长交于点，因为为的重心，所以点是的中点， 则， 因为三点共线，所以可设， 设，则， 所以，即， 又因为为的重心，所以， 所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 题型2 三角形的外心 【例3】已知是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为，则， 所以是的外心. 【例4】已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，即直线一定经过三角形的边上的高，即直线一定经过三角形的垂心. 故选：D. 【变式2-1】（微专题01平面向量与三角形“四心”问题）的外心满足，，则的面积为____________． 【答案】 【详解】设的中点为，则，，即， 又，所以， 三点共线且，； 设的外接圆半径为，则， ，，解得：， ，. 故答案为：. 【变式2-2】已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可知点为的中点，且是的外心， 所以，又因为，则，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C 【变式2-3】已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【详解】由已知得， 所以，所以， 所以点O是的外心， 故选:A． 题型3 三角形的内心 【例5】点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【详解】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 【例6】已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【详解】依题意，， ，由，得， 即， 记，其中分别表示方向上的单位向量，因此， 可视为以点为起点的某个菱形的对角线向量，与共线，该对角线平分， 因此平分，所以为内心. 【变式3-1】已知中，，，点I是的内心.若有，则_________． 【答案】 【详解】因为，则， 整理可得， 又因为点I是的内心，即点I在内， 由奔驰定理得． 【变式3-2】A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 【变式3-3】已知的内心为，且，则______． 【答案】 【详解】先证明奔驰定理：. 证明：延长与交于点， 则 ， 根据，有， 由共线定理有， 根据代入 ) ， 移项合并有， 所以， 在中，设、、的对边分别为、、， 因为，由奔驰定理得， 所以，故． 故． 题型4 三角形的垂心 【例7】在中，，点H为垂心，，，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】如图所示，因为为的垂心，可得点落在边的垂线上，    则向量在方向上的投影，恰好等于在方向上的投影，即， 因为，可得，即， 又因为，且，可得，解得，即， 又由余弦定理得， 所以. 【例8】已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 【答案】B 【详解】在中，由为的垂心，得， 由，得， 则，即，又， 显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件. 故选：B. 【变式4-1】若点O是锐角三角形的垂心，且，，则的面积为______. 【答案】 【详解】过点作于，因为为垂心，所以三点共线， 在中，，所以， 所以. 在中，， 所以，又，所以， 所以， 因此. 故答案： 【变式4-2】（公式定理37三角形垂心向量公式【思想方法】）已知H是的垂心，满足，且，则__________． 【答案】 【详解】由，得， 化简得，再左右点乘及垂心向量公式得 ，故. 故答案为：. 【变式4-3】已知为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是的垂心，所以， 因为， 所以， ，即，即， ， ， ， 所以， . 题型5 奔驰定理 【例9】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 【例10】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 【变式5-1】（多选）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为为的垂心，所以，A正确，B错误. 由上知， 同理，. 因为，所以， 所以，同理，， 所以. 因为，所以. 设， 因为，所以， 所以，解得，所以，C正确，D错误. 故选：AC 【变式5-2】平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以， 因为O为的内心，设，由题意， 则， 同理可得 所以根据“奔驰定理”有， 所以， 即， 所以， ． 故选：A． 【变式5-3】（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，，，则 C．若为的内心，，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由奔驰定理可知，若，则，故A正确； 对于B，在中，由，可知， 又，所以，所以，， 所以，故B错误； 对于C，由奔驰定理可知，为的内心，，则. 设内切圆半径为，故，，，所以， 由勾股定理得为直角三角形，，故C正确； 对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点， 因为为三角形的垂心，所以，.    由奔驰定理可知，. 又，所以，设，则，， 同理，设，则，， ，可得， 所以，，故D正确． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【详解】由已知，得，即，根据平行四边形法则，知（D为的中点），所以点P的轨迹必过的重心． 2．已知O为锐角内一点满足，且，则为（ ） A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】因为，可得O为三角形外心， 又因为，即， 又角为锐角，可得， 所以，故为等边三角形. 3．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是的重心，所以有， 故， 由欧拉线定理可得，即，故： 4．已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点是的重心，所以，即， ， 又不共线，所以，故. 故选：C 5．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，，即， 所以. 故选：A 6．（多选）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ） A．若，则为的垂心 B．若，则为的外心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，，则，所以， 同理可得，，由此可知，是的垂心，故A正确； 对于B，由于，所以为的外心，故B正确； 对于C，如图所示： 为的重心，是边上的中线，则，即，故C错误； 对于D，，即， 设的中点为，根据向量加法的平行四边形法则，有， 因，则得，说明在的中线上， 同理可得，在的中线上，因此是的重心， 根据重心的性质，有，故D正确. 7．（多选）在中，为内一点，若，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的重心，则 B．若点为的外心，则 C．若点为的垂心，则 D．若点为的内心，则 【答案】ABD 【详解】设BC边的中点为D，则， 因为，所以，且的重心、外心、垂心、内心均在线段AD上， 选项A：因为点为的重心，所以， 则，所以，故A正确； 选项B：若点为的外心，且， 则，故B正确； 选项C：若点为的垂心，则，即， 在，由余弦定理得， 设，则， 所以 ， 解得，则，所以，故C错误； 选项D：若点为的内心，则DP为内切圆的半径，且设为r， 则， 又， 所以，解得， 所以，即 则，即，所以，故D正确. 8．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，且，则 C．若，则为的垂心 D．若为的内心，且，则 【答案】BCD 【详解】对选项A：，则，错误； 对选项B：，， 故，，正确； 对选项C：，即，故， 同理可得，，故为的垂心，正确； 对选项D：，故，设内接圆半径为， ，，，即， 即，，正确. 故选：BCD 9．在中，为内的一点．若为的重心，且，则__________． 【答案】1 【详解】设为边的中点，因为是三角形的重心，所以， ， ， ． 10．（专题06平面向量（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）设的内心为，且满足，则的值是_____． 【答案】 【详解】如图，连接交于点，则， 于是． 又，因此 同理可得，， 所以． 由向量表示的唯一性可知，，所以． 故答案为：. 11．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线，该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且． (1)求的值； (2)证明：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）延长交于点，由于点是的重心， 可得， 所以． （2）证明：因为点是的重心，所以， 故 ， 由欧拉线定理可知，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， 即，所以，则． （3）连接，由点为重心，则为中点，由垂径定理可知，， ， 由余弦定理可得，则， 设外接圆半径为，则，即， 则， 则 ． 12．是所在平面内一点，分别为的外心和重心，且． (1)用，来表示和； (2)若的面积为3，求的面积； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由已知， 为重心，所以. . （2）由（1），所以， 所以. （3）为的外心，设中点，则， . 创新提升 1．已知P是的外心，且，则____ 【答案】 【详解】因为P是的外心且，其中各项系数为正， 所以外心在三角形内部，即为锐角三角形， 设，且， ，则， ，解得， 所以，且，则. 2．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵是的垂心，延长交与点，   ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B 3．如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】对于式子变为 两边同乘，可得，即 ，化简为， 由正弦定理得，，即 移项得到：，因为，故，故. 4．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，又， 则，，所以， 设，，则,即，， 所以，即，则， 所以， 则. 5．已知点O是内及边界上的一点，则以下说法正确的有（     ）． A．若（），则动点O的轨迹一定通过的垂心． B．若O是的外心，且，则 C．若O为的内心，，则 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为． 【答案】BCD 【详解】对于A选项，由正弦定理得，则令， 于是，其中为边中点， 因此点在边的中线所在直线上，动点的轨迹一定通过重心，故A错误； 对于B选项，由题意得，即， 设，两边同时平方得， 解得，又因为， ∴， 即，可得，B选项正确； 对于C选项，若为的内心，则，∴， 所以由余弦定理可得，C选项正确； 对于D选项，设中点为，由，得点的轨迹是以为直径的圆， 而为中点，则该圆的圆心为，半径， 又，于是点在圆上， 因此， ， 当且仅当三点共线时取等号，因此的最大值为，D选项正确. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $