微专题拓展19 奔驰定理、三角形四心、隐圆模型（10大题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习

微专题拓展19 奔驰定理、三角形四心、隐圆模型 目录 01 解题方法总结 2 方法总结一．四心的概念介绍： 2 方法总结二．奔驰定理---解决面积比例问题 2 方法总结三．三角形四心与推论： 3 方法总结四．隐圆问题 3 02 重难点题型梳理 4 题型一：奔驰定理 4 题型二：外心问题 5 题型三：内心问题 5 题型四：重心问题 6 题型五：垂心问题 6 题型六：数量积隐圆 7 题型七：平方和隐圆 7 题型八：定幂方和隐圆 8 题型九：与向量模相关构成隐圆 8 题型十：线段比定值隐圆（阿氏圆） 9 03 课后拓展精练 10 方法总结一．四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 方法总结二．奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点． 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为． 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故． 方法总结三．三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 方法总结四．隐圆问题 1、平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆 2、若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。 3、若为定点，，则的轨迹为圆． 4、一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆．当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线． 题型一：奔驰定理 【典例1】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【变式1-1】已知点是所在平面内一点，，延长交于，则与的面积之比为（   ） A．5：2 B．1：4 C．5：8 D．4：1 【变式1-2】在△ABC中，O为△ABC所在平面内的一点，且，则值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式1-3】（2026·高三·四川成都·阶段检测）点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则（    ） A． B． C． D． 题型二：外心问题 【典例2】设O为的内心，，，，则 （    ）. A． B． C． D． 【变式2-1】（多选题）在中，已知，若为的外心，则下列说法正确的是（   ） A． B．为定值 C．若，且，则 D．的最小值为 【变式2-2】设的外心为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知为的外心，为内一点，且，若，，则______． 题型三：内心问题 【典例3】已知中，，，点I是的内心.若有，则_________． 【变式3-1】在中，角，，的对边分别为，，，若，且为的内心，且，则________． 【变式3-2】在中，，点为内心．设，若，则_____． 【变式3-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．点M是的内心．若，则的最小值为______，的最小值为______． 题型四：重心问题 【典例4】G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角______. 【变式4-1】（2026·高三·广东·阶段检测）如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则__________. 【变式4-2】已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则与的面积之比为__________. 【变式4-3】在中，G为的重心，且，，则________． 题型五：垂心问题 【典例5】已知为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知是的垂心，且，则角的值为______. 【变式5-2】已知为的垂心，，，若，则______． 【变式5-3】已知H是的垂心，满足，且，则__________． 题型六：数量积隐圆 【典例6】（2026·江苏·一模）已知是同一平面内的三个向量，其中是互相垂直的单位向量，且，则的最大值为 . 【变式6-1】向量满足：，，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D．4 【变式6-2】（2026·辽宁鞍山·一模）已知平面向量，，满足，若，则的最小值为     A． B． C． D．0 【变式6-3】设平面向量、、，满足，与的夹角为，，则关于的叙述正确的是（　　） A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 【变式6-4】已知、、是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是______. 题型七：平方和隐圆 【典例7】已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是_______________ ． 【变式7-1】（2026·高三·重庆·阶段检测）已知是单位向量，满足，则的最大值为________． 题型八：定幂方和隐圆 【典例8】已知平面向量，，满足，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式8-1】已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【变式8-2】已知， ， 是平面向量， 是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ________ ． 【变式8-3】（2026·高三·上海嘉定·期中）已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为______. 题型九：与向量模相关构成隐圆 【典例9】（山东省德州市2025-2026学年高三期中考试数学试题）已知平面向量，，满足：，，，，则向量，的夹角为______；向量在向量上投影数量的取值范围是______． 【变式9-1】（2026·江苏镇江·模拟预测）已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式9-2】已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2026·浙江嘉兴·二模）已知向量，，，若且，则的最小值是______． 题型十：线段比定值隐圆（阿氏圆） 【典例10】（2026·高三·重庆·阶段检测）平面内有向量、、满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2026·高三·山东日照·期中）已知平面向量，，满足⊥，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】平面内有向量满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知平面向量，，满足，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）点G，O分别是的重心和外心，且，，则边BC的长为（） A．6 B．5 C．7 D．3 2．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 4．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 5．如图，已知是的垂心，且，则（ ） A． B． C． D． 6．在中，，点H为垂心，，，则（    ） A． B．2 C． D．4 7．已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）点O在所在的平面内，则下面四个结论正确的是（） A．若，则点O是的外心 B．若，则点O为的垂心 C．若动点P满足，，则P的轨迹一定通过的内心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 9．（多选题）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ） A．若，则为的垂心 B．若，则为的外心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 10．（多选题）已知，则下列正确的是（   ） A．若满足条件，则为的重心 B．若满足条件，则动点经过的内心 C．若满足条件，则动点经过的外心 D．若满足条件，则动点经过的垂心 11．已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为______ 12．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则_____. 13．已知P是的外心，且，则 __________． 14．已知的外心为，，则________． 15．如图，P为的内心，，、、的面积分别为、、，且.若，则的最大值为_____. 16．已知平面向量，，满足，，则的最小值为_____． 17．已知平面向量满足，，若向量满足，向量满足，则的最大值为____________. 18．已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________. 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $微专题拓展19奔驰定理、三角形四心、隐圆模型 目录 01解题方法总结 .2 方法总结一，四心的概念介绍： ..2 方法总结二.奔驰定理一解决面积比例问题， 2 方法总结三.三角形四心与推论： .3 方法总结四.隐圆问题 .3 02重难点题型梳理 题型一：奔驰定理 题型二：外心问题 .7 题型三：内心问题 .11 题型四：重心问题 ..14 题型五：垂心问题 ...16 题型六：数量积隐圆 .18 题型七：平方和隐圆 ...22 题型八：定幂方和隐圆 .23 题型九：与向量模相关构成隐圆 .25 题型十：线段比定值隐圆（阿氏圆） .29 03课后拓展精练。 .32 1/49 01 解题方法总结 C。面。面面面面面 方法总结一.四心的概念介绍： (1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1. (2)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等. (3)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 (4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直. 方法总结二.奔驰定理-解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点， 己知△ABC的顶点Ax,),B(:,),C(x,),则△ABC的重心坐标为 G(++,当+么+) 3 3 注意：(1)在△4BC中，若0为重心，则OA+0B+0C=0 (2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等. 4G-148+4C 重心的向量表示： 奔驰定理：S:OA+SaOB+S。OC=0,则△40B、△MA0C、△B0C的面积之比等于 13:九2：2 奔驰定理证明：如图，令0A=0A，OB=OB,OC=0C,即满足A+OB+OC=0 SA40B=1S△40c=1 SABOC 1 S40g不，a4ocA,SaoG3h,故a0eSac:Sae=名：：. 2/49 方法总结三.三角形四心与推论： (1)O是△ABC的重心：S△Boc:S△coM:S△MB=1:1:1台OA+OB+OC=0 (2)O是△ABC的内心：S△mc:S△co4:SMOR=a:b:c台aOA+bOB+cOC=0 (3)O是△ABC的外心： SAmc:SAco SAon=sin2A:sin2B:sin 2Csin2A04+sin2BOB+sin 2COC=0 (4)O是△ABC的垂心： SAmoc SAco:SAOB =tan A:tan B:tan C tan 404+tan BOB+tan COC=0 方法总结四.隐圆问题 λ+1AB2 1、平面内，若A,B为定点，且PA·PB=入，则P的轨迹是以M为圆心 4 为半径的圆 入-AB2 2 2、若A,B为定点，P满足PA2+PB2=入，则P的轨迹是以AB中点M为圆心， 2 为半径 的圆。 (1-1AB230 3、若A,B为定点， 则P的轨迹为圆。 4、一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1>0，元≠)的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆. 当2=1时，点P的轨迹是线段AB的中垂线. 3/49 02 重难点题型梳理 面原面面面面。虚面 题型一：奔驰定理 【典例1】奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB的面积分别记为S、S2、S, 则S·0A+S,0B+S,·OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与 “奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且 20A+30B+40C=0,则anA=() V6 A. C36 4 D.6 【答案】B 【解析】O是△ABC的垂心，延长CO交AB与点P, 8:8-}0cBn即设0cAP-mP=tm4:nB,月理S:8=m:mc ..S S2:S3=tan A:tan B:tanC,S04+S0B+SOC=0 .tan 4.04+tan B.OB+tan C.OC=0,204+30B+40C=0, .'tan A:tan B tanC=2:3:4, 不妨设tanA=2k,tanB=3k,tanC=4k,其中k≠0， 4/49 tanA-tm[x-(B+C)]--tan(B+C)--tanB+tnC 1-tan Btan C' 2k= 3k+4k 1-12k2, 化简整理得K2-3 解得k=6 (负值舍)， 所以aA=2k=y6 故选：B 【变式1-1】已知点P是△ABC所在平面内一点，3PA+4PB+AC=0,延长AP交BC于D,则△ABP与 △PDC的面积之比为() A.5:2 B.1:4 C.5:8 D.4:1 【答案】C 【解析】因为3PA+4PB+AC=0,AC=PC-PA, 所以3PA+4PB+PC-PA=0. 解得2PA+4PB+PC=0 因为A,P,D共线，所以设PD=2PA, 因为B,D,C共线，所以设PD=xPB+yPC,且x+y=1, 因为2PA=-4PB-PC,即PA=-2Pi-号Pc, 所以PD=PA=-2PB-2PC】 2 因为及，D,C共线，所以系数和为1，即2以-子l, =1,即2=5 解得一2 即PD=-子PA,所以AP:PD=5:2 5 国为2Pi+4PB+PC-0PM=PD, 所u2币4m+-0 解得-5PD+4PB+PC=0, 即5PD=4PB+PC,即PD=PB+Pc, 5 所以BD:DC=1:4, 5/49 设S。AB即=S, 因为AP:PD=5:2所以5mS 5 因为BD:DC=l:4所以Sc=45Bn=4×2s 5 SABP= S 5 因此SPc8 8, 则选项C正确， B 值为(） 【变式1-2】在△MBC中，0为△MBC所在平面内的一点，且20A+30B+50C=0:则Swc A.2 B.5 C.3 D.2 【答案】A ------D 【解析】 E 如图所示，分别延长O4、0C到D、E,使OD=20A,OE=5OC, 以OE、OD为边作平行四边形，连接FO, 因为20A+30B+50C=0, 所以0D+OE+30B=0,即0F=-30B 设点A到OC的距离为d,因为A为OD中点， 由几何关系可得点F到OC的距离为2d, 2d 则点B到OC的距离为3， 6/49 S40C= .oC.d 2 3 所 0c.2 1 2, 2 3 故选：A 【变式1-3】(2026高三·四川成都阶段检测)点P是△ABC所在平面内的点，且有PA+7PB+5BC=0, 直线AP,CP分别交BC,AB于点D,E,记△ACD,△APE的面积分别为S,S2,则S:S=() 1 16 A.25 B.25 e 4 D.35 【答案】D 【解析】 E 由PA+7PB+5BC-0可得PA+7PB+5(PC-PB)=0,即PA+2PB+5PC-0, 设PA=xPD,PC=yPE,因为B,D,C三点共线，则存在实数2，使得PB=PD+(1-)PC, 将PA=xPD,PC=yPE代入PA+2PB+5PC=0可得 xPD+2[2PD+(l-)yPE]+5yPE-0,即(x+2)PD+[5y+21-)y]PE=0, 由于 不共线，则x+21=0 ，解得 2 PD,PE 2(1-)y+5y=0 x=-7 即PA=-7PD,PA=7PD, 同理，设PC=uPE,则PA=-2PB-5PE, 因为儿E,B三点共线，所以-2-5弘=1→4=？，即P风-P网。 又由三角函数的诱导公式可得sin∠CPA=sin∠CPD 所以S:S,=Sm+S 2 P-PCsin.∠Cra+2 PCPDsin∠cPp 2 24 SAPE PE Pisin LAPE 351 7149 故选：D 题型二：外心问题 【典例2】设O为△ABC的内心，AB=4C=13,BC=10,A0=mAB+nAC(m,neR),则m+n= （). 入品 3 C.18 5 B.18 D.36 【答案】B 【解析】取BC的中点E,连AE, 因为AB=AC=13'aC=10所以4B⊥BC =12 所以△ABC的内心O在线段AE上，OE为内切圆的半径， 因为SAARC=SAAOB+SAAOC+SAC, 所以A5-BC=oE-(aB+AC+BC. 2 所以x12x10-=0E-3+13+10),有0E-号 3 所以40=AE-0E=12-10_26 33 所以40=3E, 18 又-+a.所以40-84+34C 36 又已知0=m+nAC,所以m=n= 369 所以m+n=1 18 A B E 故选：B 8/49 【变式2-1】（多选题）在△ABC中，己知AB=8,AC=6,若O为△ABC的外心，则下列说法正确的是 () A.04+OB)B=0 B.BC.OA为定值 C.若AO=mAB+nAC,且AB·AC=36,则4m+n=1 D.OA的最小值为4 【答案】ABD 【解析】如图：M是AB的中点，所以OM⊥AB M 40AB=-(AM+M0列AB=AM.B=A,同理40.AC=)Ac 因为4B=8,4C=6,所以40.B=×82=32,40.4C=×62=18 对A选项， (OA+OB-AB=(OA+0B-(OB-0A=10B郦OA=0,A正确； 对B选项，BC.OA=(AC-AB)OA=AC.OA-AB.OA=-AO.AC+AO.AB =4+h研=8-6)=14（定值），故B正确： 对C选项，已知AO=mAB+nAC,两边分别点乘AB, 0.5=m形-花+nC.孤：硒=m武+36,64m+36M=2:即16m+9n=8@ 同理对AO=mAB+nAC,两边分别点乘AC, 0.4C=mB.AC+n4C.4C,所以2aC=18=36m+36,即2m+2m=1② 16m+9n=8 联立0②2+2，解得m-分n=0,则4m+n=21C错误， 时选项D,设R=O由正弦定理4B=2R:inC'即g=2R.smC,R sinC, 9149 因为三角形中0<sinC≤1，所以当sinC=1,即C=2时R取得最小值4，D正确 变式22】设MBC的外心为o'若40.8C+280.C+3C0.4B=0$imCY 2sin4,则 osA= () 7v5 A.24 。福 c. D 56 12 【答案】C 【解析】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C, 对于AMBC的外心O有性损40.B=之B,A0,AC-ACP. BC=AC-AB. ：40.Bc=A0.(4C-A=14C-2Bf=6-c), 同理可得80.C1=e2-a,c0.B=g-b的 将上述结果代入AO.BC+2BO.CA+3COAB=0, 得8-+2xe-+3xa-的)=0. 化简得a2+c2=2b2 sinsinC,得c= :s血C-5如A,由正弦定理0=C 2 2a,即d=2c2 将d=2e2代入a+c2=2:得3c=26,即8-0，散b=5。 . 由余弦定理，c0sA=+c2-心 2e,f代入d=2x2,8=6, 2 得cosA=+c2-a2 3c2+c2-2c21c2 2xv629 6 2bc 2 cxc v6e12 【变式23】已知o为ABC的外心，M为。AC内一点，且+BM+CM-0:若+4C-4o, 4oMs=号则M0=— 2 【答案】50.4 10/49 【解析】取线段BC的中点D则+4C-2D-40,则D=40, 则A,O,D三点共线， 因为O为△ABC的外心，则AD为△ABC的中垂线， 因为AM+BM+CM=0,所以M为△ABC的重心， 设0如则40=M.1g.DM= 3 因为40：Mi=A0.MD=4a.50=12 3 35,所以a= 5 MO-40-AM =4a-10a _2a_2 335 M B D 题型三：内心问题 【奥例】已人MBc中，B=CB-3”C=4点I是C的内心若有石=+y4C,则宁 4 【答案】 【解析】因为=xAB+yAC,则-A=x(B-团+y(C-, 整理可得（1-x-y)ZA+xB+ylC=0, 又因为点I是△ABC的内心，即点I在△ABC内， gX=S△Mc=AC_4 由奔驰定理得SAUB AB3 【变式3-1】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若acos B-bcos A=C+b,且I为△ABC 的内心，且面=B+C,则天=一 11/49 【答案】3-1 4 【解析】由acos B--bcos A=c+b可得sin Acos B-sin BcosA=sinC+sinB, 可得sin Acos B--sin BcosA-=sin(A+B)+sinB,化简得2 sin BcosA+sinB=0, 解得cosA=- ：又0<Ax即4=经 D B 如图所示，AI延长，交BC于D,过D作DEIBI,,DFIICI, SAMIC =S1,S.AIC =S22S.B=3; BD S.ADB 因为A为∠C4B的角平分线：所以DCSc BD S.IDE BD S.ADB=S.IDB=S.son-S.n5 可知DcS,所以DC 5,Sc 5,ane-S' BD=$3 CD S2 所以BC,+s,同理BCs+8 可知历=瓜+F-+店-即c+B=,.c+多历. C IB BC BC S2+S3S2+S3 IDS.cI=S.sm=S.cw+S.a.=s 可知aSc4SmS4十SM3t所以D=A S2+S3 可阳D=瓜=C+瓜，化简得瓜+C+5B=0: 2+53S2+S3S2+S3 设内切圆半径为，可得5m=,码=如， 1 2 所以arA+rC+r历=0，化简得o顶+cC+bB=0 由而-号B+c得A+历+2c-0,所以ab:e=1:A,即s咖A:s血B:nC=1号：2， 2 因为sinA=sin 32,所以sinB=5 2πV3 12/49 由0<B<π得cosB 3 4 所以sinC=sin(4+B)=sino+-sin Bc=5xE+5x人.1）_V5-5 24 4(2 8 所以 5A-59-5 2 8，解得1=3-1 4 【变式3-2】在△ABC中，AB=5,BC=3,CA=4,点I为△ABC内心.设，B∈R,若 Ci=a.CA+B.AB,则+B= 1 【答案】12 【解析】由勾股定理的逆定理知。4BC以C为直角。内切圆半径为r=?5=,12 a+b+c3+4+51, 故内切圆与BC,CA的切点D,E满足CD,CE模长均为1，于是在正方形CEID中易见 a-D+E=g@+}cai-Ci++ca-}4+Za 3 4 12 7,111 故u+B=12+3i2 1 故答案为：12 【变式3-3】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,点M是△ABC的内心.若 4ACAB=BA.BC+CB.CA,则cosA的最小值为一，cos∠BMC的最小值为 1 【答案】 5 3 【解析】由题可得4 bccos A=ac cos B+abcosC, 则由余弦定理得4hc+c2-d三d2+c2- -=aC-- -+aba+b2-c2 2bc 2ac 2ab 所以由余弦定理sA-分+c。_+C≥2热c. 2bc 66c≥6c3当且仅当6-6时，等号成立， 又m2-14,4e0,) 3 2 →0<sin 2 2 3· 因为点M是△ABC的内心，故BM,CM分别为∠ABC,∠ACB的角平分线， 13/49 B 所以2BMC=-2B+C)=子+ 22 则cos∠BMC=cos7+A）】 22)-sm2 因为0<sin4sV5 2 3，所以-，学 s-sin 4<0,即cos∠BMC的取直为灯 3 故答案为： 1 3 3 题型四：重心问题 集例4G是4BC的重心，a6,c分别是角4，B,C的对边：若aGA+6GB+。GC0,则角 【答案】30 【解析】因为G是△ABC的重心，所以有GA+GB+GC=0 又aGi+bGB+5cGC=0,所以a:5 3 c=1:1:1 设。=5则有。=b1由余弦定理，可得0sA-13-5 2V32’0°<A<180° 所以A=30°， 故答案为：30°. 14/49 B 【变式4-1】(2026高三广东阶段检测)如图，D为等边△ABC的重心，E为BC边上靠近C的四等分 点，若DE=元AB-AC,则+u=」 D为 1 【答案】2 【解析】由题意，设AB=b,AC=c, 取BC中点M:则M=)6+©)， 重心D在中线AM上，且AD:DM=2:I, 故a0-号-号6+)6+d), E为BC边上靠近C的四等分点， 即BE-BC,而BC-G-i: 4 所压-5+e-列-+子， =-而=6+子-6+-5+c=5+c 12 由DE=元AB-uAC,得： 5 5 124=12 →4= 12 因此：九+4= 151 1212-21 故答案为：一2 15/49 【变式42】己知点G是△ABC的重心，点M,N分别在AB,AC上，且满足AG=xAM+yA,其中 +y=1若M-号6，则AANG与AMBC的面积之比为 G 【答案】40.25 【解折】因为点G是。ABC的重心，所以4G-=,(AB+AC), 因为m-,所以=m,即4G长4M+4C 设C·则46得M号+号孤. 5 又因为AG=xAM+yAN,所以x= 9y= 3 4 又因为x+y=1,所以y=g ,即=4 3 则4AC-N→N=3AC, 4 311 所以△ANG与。4BC的面积之比4×34 故答案为：4 【变式43】在△ABC中，G为△ABC的重心，且AB=6,AC=8,则AG.CB=」 【答案】3 【解折】如图。设D为BC的中点：连接AD则点G在AD上，且4G=号D 3 16/49 故4G=号D-写B+AC)CB=孤-AC 所以4c-C历-（压+4CHa-4C)aB-aC）×(6-8)-8 28 故答案为： 题型五：垂心问题 【奥例已知1为ABc的垂，若-写丽+号C,则snB4C-（) c.vis 5 D 3 【答案】B 【解析】因为H是△ABC的垂心，所以BH·AC=0,AH.BC=0 因为丽-M+=号6+号C, 所以丽ac-（号+号dac-C-号.c=0, 34C .4C-4C,即aG4c-d即a4C AB ǖc-传4+号ac(ac-0-号C-亚-名44c-0, B-aC-号B-4c-ad-*4c-gad- -32d。 17/49 所以Cos∠BAC= 2 AB 3W2 2 AC 4 sin∠BAC=V-cos'2∠BMc= 2 【变式5-1】已知0是△ABC的垂心，且0A+20B+30C=0,则A角的值为一 【答案1牙 【解析】建立如图坐标系， 设Aa,0),B(0,b),C(c,0),0(0,), a+3c=0 a=-3c 0A+208+30c=0'-1+2(6-）-31=0,·6=31①， O是△ABC的垂心，.OA⊥BC, ∴.OA.BC=ac+bt=0,∴.bt=-ac②， 由02得，1=c:÷4(-3,0B0,3刘)，4=景 【变式5-2】己知H为△ABC的垂心，AB=AC=5,BC=6,若AH=mAB+nBC,则m+n= 1 【答案】32 【解析】因为AF=AB+BH,设Ai=mAB+nBC, 所以AB+B丽=mAB+nBC,故BF=(m-)AB+nBC」 其中Cos∠BAC= AB2+AC2-BC2_25+25-36_7 2AB·AC 50 -25 故ABAC=AB·ACcos∠BAC=7, 又cos∠ABC=4B+BC2-AC_25+36-259 2AB.BC 6015 18/49 故AB.BC=AB-BCcos(π-∠BAC)=-l8,同理可得4CBC=18: 而BF·AC=(m-1)AB.AC+nBC·AC=7(m-)+18n=0, AH.BC=mAB.BC+nBC'=-18m+36n=0. 7 联立方程解得m6, 32,所以m+n=2头 32 1 故答案为：32 【变式53】已知H是。Bc的垂心，满是H-4B+号4C,且团-1，则BHC 【容打月 【解析】由历=B+)4C,得4=(aH+B)+2(丽+C。 化简得AH=HB+2HC,再左右点乘HA及垂心向量公式得 -Am2=丽m+2C丽=3丽-。-1故历-C=青 故答案为：一3 题型六：数量积隐圆 【典例6】(2026江苏·一模)已知ā，b,c是同一平面内的三个向量，其中ā，b是互相垂直的单位向量，且 (a-c)(3-c=l,则ld的最大值为 【答案】√2+1 【解折】a16:a-6=0a+36-a+V5=+3=2, 由(a-c36-c)=l得： a-36-(a-36).c+d2--a-/3b-l@cos<a-36,@>+lc--2lclcos<a-/36.c>+lcP-1. :cos<a-V36,>e[-l,,则l-2≤-2cos<a-v36,c>+f≤'+2， 即-2s1≤+2，解得：2-1≤≤2+1， 19/49 的最大值为2+1 【变式1)向量m元万满足：网=月=2，m·n=-2,(团-p列(-p）=)m-n-,则最大 值为() A.2 B.√2 C.1 D.4 【答案】D 【解折】：园-问=2及mn=网问cos(元，)=-2，∴o(m川=号÷元同的夹角为120 :(@-p(日-p）-2m-小n-,c0s(m-2.i-p）=号：“m-与n-D的夹角为60 设OA=m,OB=n,OC=p,则m-p=CA,n-p=CB】 于是∠AOB=120°，∠ACB=60°.则∠AOB+∠ACB=180°， 则A、O、B、C四点共圆于圆M如图所示， 由圆的性质，∠OAB=30,当O、C、M共线时0C最大，此时A4BC为正三角形，则∠OAC=90, lod- OA OA 2 =4 cos∠AOC cos∠A0Bcos60° 2 故选：D A B 【变式62】(2026辽宁鞍山一模)已知平面向量a6,满足a---1,若a-6=,则 (2a+d⑥-c)的最小值为() A.-2 B.-V5 C.-1 D.0 20/49 【答案】B 【解析】因为平面向量a,6,e满足a6-d-1,a-6=2, ab 2 osa,)-6ii2'a6）=60 :(2a+d6-d小=+eaan}owsn5-sn0） -e+omo}m050m9-9n0-w0-5alo:1w）. 所以(2a+c)6-c的最小值为-√3 故选B 【变式6-3】设平面向量a、6、c”满足日-6，a与6的夹角为，(a-d6-d)=0,则关于的叙 述正确的是() A.无最大值，无最小值 B.有最大值，无最小值 C.无最大值，有最小值 D.有最大值，有最小值 【答案】D 【解析】如图所示，设OA=a,OB=b,0C=c, 因为(a-d6-d=CA-CB=0,:c41cB 可得点C在以AB的中点D为圆心，AB为直径的圆上， 作直线OD交圆D于点C、C,如下图所示： 21/49 B 02 ○ 当点c与点G重合时，4取得最小值，即-00-G0-5日。 当点c与点c,重合时，4取得最大值，即日-O0+DG-5日 故选：D 【变式6-4】已知ae是平面向量，e是单位向量，若非零向量。与。的夹角为3，向量6满足 6-76-)=0,则a-的最小值是 【答案】4V5-1 【解析】设a=(x,y),b=(m,n),e=(1,0),则b-7e=(m-7,nm),b-9e=(m-9,n), 则由g与的夹角为7得a-e=cos骨问， 所以x=2F+y,得y=士N5x30 由(6-7)(6-9)=0，知(m-7,n)-(m-9,n)=0, 得m2+n2-16m+63=0,即(m-8)2+n2=1, 因此，后-=Vc-m+0y-n表示圆om-8}+m=1上的点(m,m）到射线y=±√5x(x>0)上的点（化，）的 距离， 故其最小值为顶心80到别线，=土0的距高d-85=5夜去半轻1，回43- 2 22/49 180)x d 故答案为：43-1. 题型七：平方和隐圆 【典例7】已知平面上的向量PA、PB满足P+P=4,4=2,设向量PC-2P4+PB,则PC的最 小值是 【答案】2 【解析】因为AB=PB-PA,所以AB=(PB-PA=PB-2PA,PB+P, 因为p4+PB=4,AB=2, 所以4=4-2PA.PB,所以PA.PB=0, 因为PC=2PA+PB,所以PC=(2Pi+PB=4P+4PB.PA+PB2 =4p4+PB=3p+4≥4， 所以PC的最小值是2 故答案为：2 【变式7-1】2026高三·重庆阶段检测)已知a,b,G,d是单位向量，满足 a1b,m=a+2b,m-cP+1m-d=20,则c-d1的最大值为 【12 【解析】依题意，a,b可为与x轴、y轴同向的单位向量，设 a=(1,0),b=(0,1),c=(cosx,sinx),d=(cosy,siny) 23/49 ..m=(1,2)..m-+m-dp=20=(cosx-1)2+(sinx-2)+(cosy-1)2+(siny-2) 化简得：-4=cosx+2sinx+cosy+2siny 运用轴期角公式得：4=5s(g+p+5(+p)回p=方p0到 5=sin(x+o)+sin(y+)-2sin cos-y 4 2 2 cos x-y 2 即得： 2 √5sin 2 s2x-y 4 故 2 6-d司-eos-cosヅ+(6imx-smy-2-2os(-列=4-4cs2x,习 ≤4-4×4-25 55 N5 故答案为：5 题型八：定幂方和隐圆 【典例8】己知平面向量a,石，日满足=2问=6-6+=6+3=2，则222+a,c的最大值为() A B.1 c.2 D.2 【答案】C 【解析】由5+3=2两边平方可得：4=6+66.c+9e2可得26.c+32=0①， 由a-b+=2两边平方化简可得：4=d+62+2-2a-6+2a.c-2b.c即2-2a-6+2a-c-26-c+1=0②， ①@两式相加得2+a,G=2a:6-小s2d-)=,当且仅当6=2a时等号成立，此时@式整理可 得e-6G-30联0架得问-0a6=品 24/49 所以2c2+ac的最大值为2 【变式8-1】已知a,,e是平面向量，e是单位向量，若非零向量。与e的夹角为3，向量方满足 方2-66e+8=0,则0-的最小值是(). A.5-1 B.5+1 3+1 C.2 D.2-3 【答案】A 【解析】设a,b共起点，由6-66.e+8=0,可得(6-4e)6-2E)=0, 所以b-4e与b-2e垂直，如图， e e 由向量减法的几何意义可知，向量b的终点落在图中的圆上， 由题意可知a的终点在图中所示的射线上， 所以ā-b是从圆上的点到射线上的点形成的向量， 要求ā-的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径， 故a-b的最小值为3sin -1=5-1 3 2 故选：A 【变式8-2】已知a”6,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与。的夹角为4，向量6满足 -4e.6+3=0,则a-的最小值是 【答案】V2-1/-1+√2 【解析】因为E是单位向量，所以可令e=①，o),设b=(c,y), 由62-4.6+3=0，可得：x2+y2-4x+3=0,整理得：(c-2)2+y2=1, 即b的终点轨迹是以C(2,0)为圆心，半径r=1的圆 因为非零向量a与e夹角为4，所以ā的终点在射线y=x(x>0)上， 25/49 故-b1的几何意义是：射线上的点到圆上点的距离，最小值为圆心到射线的距离减去圆半径 由点到直线的距离公式，圆心c20到直线，的距离：d三。=V2, V12+(-102 垂足为（山，），在射线y=x(x>0)上，因此最小距离为：d-r=V2-1. y=x(x>0)/ C(2,0) 【变式8-3】(2026高三·上海嘉定·期中)已知ā，b均为单位向量，与ā，b共面的向量c满足 c-(a+ic+a.6=0,则9的最大值为 【答案】v2 【解析】由题可得(-d)(-b=0, 所以(c-a)1(c-b), 如图，设DA=a,DB=i,DC=c, ○ 则c-a=AC,c-b=BC,可得AC L BC, 则点C在以AB为直径的圆O上运动， 由图可得，当DC⊥AB时，DC≥DC1, 设∠ADC=0则DC=1D0+40-os9+sin0=2sm0+到 所以当0=牙时，=DC取得最大值为2 26/49 故答案为：V2 题型九：与向量模相关构成隐圆 【典例9】（山东省德州市2025-2026学年高三期中考试数学试题）已知平面向量a,b,c满足： a=60,月-3，a5=号，+6--2，则响量。6的夹角为一向量在向量。上投影数量的 取值范围是 【答案】 [ 【解析】由己知可得， d=3, 又0≤(a,s,所以a,6)= 如图，将a,b,c的起点放在坐标原点O处，OA=a,OB=b, 州40可)传 所以.a+6=0D- ) 设c=0C=(x,y), 邮6-用…-2， 27/49 整理可得， -4 33V3 所以，点ck在以D 22 为圆心，2为半径的圆上 c.a 又向量在向量，上投影数量为 =x 所以引2，解得x 7 17 所以，向量，在向量，上投影数量的取值范围是 L22 放答案为：2引 [17 【变式9-1】(2026江苏镇江模拟预测)已知a与b为单位向量，且ā⊥b,向量c满足Ic-a-b上2， 则c的可能取值有() A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】D 【解析】根据题意，设OA=a,OB=b,OC=c, 以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OB的方向为y轴的正方向建立坐标系， 则A,0),B(0,),设C(x,),则c-a-6=(x-l,y-), 若1c--b=2,则有(x-1)2+0y-1)2=4, 则C在以(，)为圆心，半径为2的圆上， 设(I,)为点M,则|OM=V2,则有，-1OM1≤1oC1≤r+1oM1, 即2-V2≤10C1<2+2, 则1c的取值范围为[2-2,2+V2] 故选：D. 【变式9-2】已知平面向量a,。满足同-月=1，且cosa=,E-a+-l,则a-6-可的最小 值为() 28/49 A.3 B昌 c D.1 【答案】D 【解析】建立平面直角坐标系，由cos(a,)= 2,得,= 3, ◆0-a=000i=6=59.， :-6n6-a+51r+0+马-1.风t-1 5网-15号1，当且收当y9时表等号，6-写号列， 2 则a6-0-x-切. 所以当x= 2时，a-6-©取得最小值-1 b 【变式9】(2026渐江器兴=模)已知响至a'6问=-2，者65-2且5e-d-k-,则 (c-a)c-b)的最小值是 【答案】 26-813 3 【解析】==2，à-6=2， ab 1 ∴.c0s<a,b>= 1ab12' <a,b>π 3 故可设a=(2,0,i=0,V5),0C=c=(x,y) 29/49 则--兮-2w-=-ly-, lzc-@Hc-Bl, x-29+分y=x-+0-5, 3x2+3y2-8V3y=0, +0-45-16 3 Γ3 即点C的轨迹是以M0,4 3)为圆心，r= 3为半径的圆， c-=(x-2,y),c-b=(x-l,y-V3), .(c-a-(c-b)=x2-3x+y2-3y+2 =-+0-5-1, 3V3 即求圆M上动点到点(2)的距离的平方的最小值减1即可， 设圆心M写，的南皮为 32 3 子+0心--1的数小值为 d-ry-1=59_4w5-1-26-8w5 33 3 故答案为： 26-8V3 3 题型十：线段比定值隐圆（阿氏圆） 【典例10】(2026高三重庆阶段检测)平面内有向量a、石、c满足问=日=4，a+6=a-=25,则 30/49 a-d+26-d的最小值是() A.46 B.4V5 c.4v5 D.4 【答案】C 【解折1因为a+6=a-6=25,所以，d+2a-6+6=-2a-6+6,则a-6=0, 故a⊥i, 因为同=4，d2+2a6+62=ad+6=20,则=2， 如下图所示，作AB=a,Ac=6,E=c,则BE=la-,CE=6-, AEAC1 延长4C至D:使得AD=44C=2AE'∠EAC=∠DAB,则ADAE2· 则有△ACEAAED,所得DE=2CE, 所以，la-+2b-d=BE+2CE=BE+DE≥BD=Va2+(46=45, 当且仅当B:D、E三点共线，且点E在线段BD上时，a-+26-取最小值45 故选：C 【变式10-1】(2026高三山东日照期中)已知平面向量a,6,满足a上6，且==4， a+6-=2,则la-+25-的最小值为() A.4V5 B.217 C.25 D.7 【答案】B 【解析】设0A=à=(4,0)，0B=b=(0,4), 则a+6=(4,4),a+b-d=2, 即C在以D(4,4)为圆心，2为半径的圆上， 31/49 B D 0 如图，取E(4,3),则CD=2DE=2,AD=2CD=4,又∠CDE=∠ADC, 所以有△DAC~△DCE,所以AC=2CE, 又因为b-d=BC,la-=4d, 所以a-d+26-=AC+2BC=2CE+2BC22BE=217 故选：B 【变式102】平面内有向量a.6,c满足d==26=2,a-6=0,则l6-+26-d的最小值是() A.2 B.25 C.25 D.2√6 【答案】B 【解析】d.b=0,则有a⊥b,如图，AB=a,AC-b,AE=c, BE-a-d,CE-B-d, B a C 延长AC至D,使得AD=4AC=2AE, AE AC 1 ∠EAC=∠DAE:AD=AE-2,则有AACE-AAED'得DE=2CE' la-d+2B-d-BE+2CE-BE+DEz BD=a+46"-25 当B,E,D三点共线且E在线段BD上时，G-+26-d的最小值是25 故选：B 【变式103】平面上到两个定点距离之比为常数（⑦>0，元≠）的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定 的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知平面向量。，方，。满足。1方， --2. 32/49 +a+-l,则+6+2k+d的最小值为() A.5 2 B.5 e四 D.7 【答案】D 【解析】由题可建立如图所示的直角坐标系，且可设ā=(2,0)，6=(0,2)，0C=c=(x,y), M(-2,0）,N(0,-2). 6 M 则由+ā+6=1→(x+2+(0y+2'=1,故点C在以D(-2,-2)为圆心，半径为1的圆上， 如图：取点(32)则P-2-DC=) DC =1=2'DW2 ∠CDE=∠NDC CN 因此DCNDEC,所以EC-2,故CN=2EC &+B+2c+=x2+(y+2)2+2(x+2)+=CN+2CM=2CE+2CM=2(CE+CM), 2， 当E,M,C三点共线且点c在线段E上时取等号， ME 因此c+b+2e+d-2(CE+CM)≥V17 故选：D 33/49 03 课后拓展精练 CC。CCO。■《 1.(2026安徽合肥模拟预测)点G,0分别是△4BC的重心和外心，且AGA0=6,4G=2,则边BC 的长为() A.6 B.5 D.3 【答案】A 【解析】 G D 如图，延长AG交BC于点D,过点O作OE⊥AC于点E,作OF⊥AB于点F. 因点G,O分别是△ABC的重心和外心，则 4G-号4D,E=4C,F=4, 则46-号D-号+40-+0 于是4G.40=(aB+A©-40=(AB刚A0eos∠0AB）+aC40cos∠04C） 司Ba+4aCWa-ar+acCP)-6 即得|AB+|ACP=36 又由4C酥2和4G=(4B+AG,可得AG-)(B+AG=4 整理得|AB+|AC+2AB·AC=36,解得AB.AC=0 BC=AC-ABBC(4C-AB)=ABP+ACP-24B.AC=36-0-6 即边BC的长为6 2.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离 是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线该定理称为欧拉线定理已知△ABC的外心为O,重心为G, 垂心为H,以下结论正确的是() A.OH=OA-OB+OC B.OH=04+0B-OC 34/49 C.OH=0A+0B+0C D.OH=OA-OB-OC 【答案】C 【解析】因为G是△ABC的重心，所以有GA+GB+GC=0, 04+OB+0C=0G+GA)+OG+GB+0G+GC)=30G+G4+GB+GC=30G 由欧拉线定理可得Gǖ=-2G0,即Oi=30G,故OH=OA+OB+0C: 3.已知点O、N、p在。ABC所在平面内，且OM=O8=OC,i+N5+NC=0, PAPB=PB.PC=PC.PA,则点O、N、P依次是△ABC的() A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 【答案】C 【解析】 B 因为OA-o8=OC,所以o到定点A,B,C的距离相等， 所以O为△ABC的外心： B 由NA+NB+NC=0,则NA+NB=-NC, 取AB的中点E,则NA+NB=2NE=CN, 所以2NE=CN,即N为CE靠近AB的三等分点， 所以N是△ABC的重心： 35/49 B 由PAPB=PB.PC=PC.PA,得(PA-PCPB=0,即AC.PB=0, 所以AC⊥PB,同理AB⊥PC,BC⊥PA,所以点P为△ABC的垂心 4.在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,P为△ABC内的一点，AP=xAB+yAC,则下列说法正确的是() A若P为C的室，则2x+y=号 B.若P为。ABC的外心，则PB.BC=32 C,若为4BC的重心，则x+y=号 D.若P为ABC的内心，则x+y日 【答案】C 【解析】如图建立平面直角坐标系，A(0,3),B(4,0),C(4,0)。 对于A:若P为aABC的重心，则P(O,) 所以AP=(0,-2),AB=（-4,-3),AC=(4,-3) 「-4x+4y=0 若=xB+yAC,则1-3x-3y=-2:解得x=y=3,所以2x+y=1,A不正确： 0 对于B:若P为△ABC的外心，其必在直线AO上， 所以PB-BC=(P0+OBBC=P0.BC+OB-BC=4x8x(-)=-32,B错误： 对于C:若P为△ABC的垂心，其必在A0上，设P(0,m),CP=(4,m) 则C7.B=(4m)(4,-3到=16-3m=0,解得m=1 3 此时P-（0}=(4-3).4C-(43), 36/49 -4x+4y=0 若 AP=xAB+yAC 则3-3y子解得y=及所以+y=号C正 18 对于D:若P为△ABC的内心，设内切圆半径为r, 则2×8x3= (5+58.得-亭则P00) 北时4-（0，-》4=(43)4c-(-)。 -4x+4y=0 若 3-=子据得=y高所以x+多D不E输： 则 AP=xAB+yAC 3 故选：C 5.如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+40C=0,则cosB=() √2 3 B.3 c 【答案】A 【解析】：O是△ABC的垂心，延长CO交AB与点P, S.BOC =S1SAOC =S2S.A0B =S3, S:8-2oc-nr日0c-AP-BP:AP=(oren∠oB)(oPam∠4oP） =tan∠BOC:tan∠AOC=tan(π-A):tan(π-B)=tanA:tanB 同理可得S:S,=tanM:tanC,S:S,:S,=tanA:tanB:tanC, S04+S2OB+S3OC=0,..tanA4.04+tanB.0B+tanC.OC=0, 37/49 04+2.0B+4.0C=0,.tan4:tanB:tanC=1:2:4, 不妨设tanA=k,tanB=2k,tanC=4k,其中k≠0， tanA-tan[x-(B+C)]--tan(B+C)--tanB+tanC 1-tanBtanC =冷社期刊=居或= 7 7 当k=一V8时，此时anM<O,anB<O,anC<0则么B、c都是纯角. 则A+B+C>π，矛盾： 数-怎则m-之很-吾-受0，g是经角：0m60 sinB 14 cosB 2 于是 ，解得 sin2B+cos2B=1 CosB=v2 3 故选：A 6、在aHBC中，A 3,点H为垂心，AB=4?ABA丽=4则BC=（） A.5 B.2 C.23 D.4 【答案】C 【解析】如图所示，因为H为△ABC的垂心，可得点H落在边AB的垂线CD上， B D 则向量A在B方向上的投影，恰好等于4C在B方向上的投影，即ACcosA, 因为AB4丽=4，可得B.AC=4,即AACc0sA=4, 又因为A=分，且4B=4可得44Ccs子4，解得4C=2,甲4C-2 又由余弦定理得BC=4B+4C-21B-ACcos4=4+2-2×4×2c0s号=12， 38/49 所以BC=2V3 7.已知平面向量a,石：。，满足同-月-2，且a+622:1a+6+1:则56+d+6+d的发小值 为() A.5 2 B.5 2 D.7 【答案】C 【解析】建立如图所示的直角坐标系： M 依题意设M0=a=(2,0),N0=i=(0,2),0C=c=(x,y),M(-2,0),N(0,-2), 则a+6+c=1→(x+2°+(y+2=1,故C在以D(-2,-2)为圆心，半径为1的圆上， DC_1=2DN_2-2,且 如：取点（多-2小则D 2 ’DC1 CDE=∠NDC DCN-ADEC'“ECDE 因此 .CN-DC-2,故CNn=2lEd +2++++CM-C+CMI FK+elEw=,囹+2 2 当E,M,C三点共线且点C在线段ME上时，等号取到， 因t5+d小+6+小 2 故选C 8.(多选题)点O在△ABC所在的平面内，则下面四个结论正确的是() A.若OA-OBHOC,则点O是。4BC的外心 39/49 AC AB BC B 若OA BA =OB AB BC BA =0,则点0为 的垂心 △ABC C.若动点P满足OP=OA+入 AB AC AB AC 2∈(0，+oo)' 则P的轨迹一定通过的内心 △ABC D.若E,F,G分别为AB,BC,AC的中点，且AC=BG=2,OAOC=0,则OEOF的最大值 5 为4 【答案】ACD 【解析】选项A:外心是三角形外接圆圆心，性质为到三个顶点距离相等， 若OA=OB=OG,说明O到4，B,C三点距离相等，因此O是。4BC的外心，A选项正确， AC AB AC AB 选项B: ACAB 是对应方向的单位向量，它们的差 ACAE沿 的外角平分线方向， BAC 由数量积为0得OA⊥该向量，故AO是∠BAC的内角平分线，同理BO是∠ABC的内角平分线， 因此O是△ABC的内心，不是垂心，B选项错误， 选项C:对等式移项得AP 两个单位向量的和沿的内角平分线方向， ∠BAC 因此P的轨迹是∠BAC的角平分线，一定过三角形内心，C选项正确， 选项D:由中点向量性质得：0E=)OA+O),0F=)(O丽+0C), 因此：oE.0F=4[(OA+oB(oB+oC] 己知 10C-0'G是4c点.故4+0C-20代入化简得0E.0F.20丽-0c+o阿 4 由OA10C,直角三角形斜边中线得0G-=24C=1,又BG=2,即oG-08=4, 代入0G-1化简最终得：0死.0F-子-2os0(0为OG与BG的夹角)， 4 当cos0=-1时，最大值为子+2- 4,D选项正确 9.（多选题)己知点O是△ABC所在平面内任意一点，下列说法中正确的是() A.若OAOB=OB-OC=OCOA,则O为△ABC的垂心 40/49 B.若0A=OB=OC,则o为。4BC的外心 C.若O为△MBC的重心，AD是BC边上的中线，则3AO=AD D.若0i+05=G0:则Sm-8m 【答案】ABD 【解析】对于A,OAOB=OBOC,则(Oi-0C0B=C10B=0,所以BO14C 同理可得，A0⊥BC,C0LAB,由此可知，O是△ABC的垂心，故A正确： 对于B,由于OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心，故B正确： 对于C,如图所示： B O为ABC的重心，AD是C边上的中我，则40-号4D,即3A0-2D,故C结深： 对于D,OA+OB=C0,即OA+OB+OC=0, 设AB的中点为E,根据向量加法的平行四边形法则，有OA+OB=2OE, 因OA+OB=CO,则得CO=2OE,说明O在AB的中线上， 同理可得，O在AC,BC的中线上，因此O是△ABC的重心， 1 根据重心的性质，有S,40m=S,amc=S.m4=S.c,故D正确 10.(多选题)已知△ABC,则下列正确的是() A.若满足条件OA+OB+OC=0,则O为△ABC的重心 B.若满足条件OP=OA+入 AB AC AB 则动点经过的内心 △ABC C.若满足条件OP=OA+刀 AB AC AB]sin B ACIsin C 则动点经过的外心 △ABC D.若满足条件OP=OA+入 AB AC AB cos B AC|cosC 则动点经 过。ABC的垂心 41/49 【答案】ABD 【解析】在A选项中，设BC中点为D,根据平面向量加法的平行四边形法则： 0B+0C=20D,又因为0A+0B+0C=0, 所以OA+20D=0,即OA=-2OD 这表明A、O、D三点共线， 且0A=20D 根据重心的定义和性质可得O为△ABC的重心，A正确， AB AC 在B选项中， AB 和4d分别是 和 方向上的单位向量， AB 设AP=2 AB AB AC 以 和 AC AB 为邻边作平行四边形， AC 则该平行四边形为菱形，根据菱形的性质，其对角线平分一组对角， 所以AP在∠BAC的平分线上，又因为内心是三角形三条角平分线的交点， 所以动点P经过△ABC的内心，B正确， AB AC 在C选项中，由正弦定理 可得： sinC sinB ABsinB=ACsinC=2RsinBsinC AB AC AB AC 则BsinB ACsinC 2RsinBsinC 2RsinBsinC 2RsinBsinC (AB+AC). 由A选项可知，BC中点为D,所以AB+AC=2AD, 所以2 RsinBsinC (4B+4C)= -AD RsinBsinC 即AP= AB AC ABsinB ACsinC 表示与共线， AP AD 所以动点P在BC边上的中线上， 因为外心是三角形三边垂直平分线的交点，而一条中线不能确定外心， 所以动点P不经过△ABC的外心，C选项错误 AB AC 在D选项中， ,因为OP=OA+入 BC=AC-AB AB cosB AC cosC 42/49 所以AP= AB AC 则BCAP=BC元 AB AC AB cosB ACcosC AB cosB ACcosC BC-AB BC-AC AB cosB ACcosC 根据向量数量积公式可得：BCAB=BC AB cos(π-B), BC-AB =-BC AB cosB,所以ABcosB C花-风C所C-网 所以BCAP=BC2 AB AC AB cosB AC cosC BC-AB BCAB 4B cosB AC cosC =-BC+BC)=0 即BCAP=O,所以BC⊥AP,即AP⊥BC, 因为垂心是三角形三条高的交点， 所以动点P经过△ABC的垂心，D正确， B D 11.己知O是△ABC内部的一点，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a=3,b=2,c=4,若 sinA.OA+sinB.OB+sinC.OC=0,则△AOB与△ABC的面积之比为 【答案】4：99 a b c inB=b 【解折】由正弦定理看BCK.可得m4=尺 K,sinc=c K 43/49 sinA.04+sinB.OB+sinC.OC=0,a=3,b=2,c=4, 代入得0.01+2.0B+4-0C)-0,因为K*0,所以3-01+2.05+4-0C-0 设0A=30A,0B=20B,0C=40C,则得0A+0B+0C=0, 则O是△4B,C的重心，从而So4%=SoG=So4G=S, 因为S=OA:0Bsim∠4OB,∠A0B=∠AOB sinLAOB OA.OB 1 2o4o8sm∠40B 30A-20丽6所以 =s S.OAB6 12.奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB的面积分别记为S、S2、S,则 S·0A+S,·0B+S,·OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与 “奔驰”轿车的0g很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且 OA+20B+40C=0,则cosB= B 22 【答案】33 【解析】：O是△ABC的垂心，∴.OB⊥AC,OC⊥AB, 44/49 :∠OBC-)-∠ACB,∠OCB=元-∠ABC, :∠B0C=R-(0BC+∠0CB=x-{合∠AB+ABC =∠ACB+∠ABC=π-∠BAC 同理可得∠AOC=π-∠ABC, 延长CO交AB于点P,则CP⊥AB P ccP:4-(OPan PoR):(oPu AOP) =tan/BOC:tan∠AOC=tan(π-A):tan(π-B)=tanM:tanB, 同理可得S:S,=tanA:tanC,.S:S,:S,=tanM:tanB:tanC, 又S·OA+S2·OB+S30C=0. .'tanA.04+tanB.OB+tanC.OC=0, 又OA+2.0B+40C=0, .'tanA4:tanB:tanC=1:2:4. 不妨设tanA=k,tanB=2k,tanC=4k,其中k≠0， :tanA=tan[π-(B+C】=-tan(B+C)= tanB+tanC 1-tanBtanC =改数能得=或= 7 万 1 当k=g时，此时anA<0,tanB<0,tanC<0' 则A、B、C都是钝角，则A+B+C>元，矛盾： 万_4>0. 故k=8:则am5=2日-3=2 ∴B是锐角，sinB>0,cosB>0. 45/49 sinB 14 sinB= 3 于是 cosB 2 ,解得 √2 sin2B+cos2B=1 cosB= 3 13.已知P是△ABC的外心，且2PA+3PB+2PC=0,则cos2A= 3 【答案】 【解析】因为P是△ABC的外心， 可设PA=PB=PC=R, cos2A=cos∠BPC, 因为2PA+3PB+2PC=0, 则3PB+2PC=-2PA, 两边同时平方：9R2+4R2+12R2cos2A=4R2, 解得：c0s2A=一4 3 14.已知△ABC的外心为O,20A+3OB=40C,则cosC= 【答案】- 4 【解析】因为O为△ABC的外心，又由2OA+3OB=4OC, 平方可得：40A+120A.0B+90B=160C, 不妨设1 OAHOBHOC=1, 1 则OA:OB=cos∠A0B=>0, 4 故∠AOB为锐角， 由于∠AOB=2∠C,或∠AOB=2(π-∠C). 又由20A+30B=40C, 可得点O在△ABC的外部，即△ABC为钝角三角形， 46/49 故∠A0B=2(π-∠C),C为钝角， 即cos2(元-C)=cos2C=2cos2C-1=4,故cosC=-V10 4 1 15.如图，P为AABC的内心，cos∠BMC=5,ABPC、△APC APB的面积分别为S,S,Se,且 S4·PA+SBPB+Sc·PC=0.若AP=xAB+yAC,则x+y的最大值为· B 【路1 【解析】由于P为△ABC的内心，故P到AB,BC,CA的距离相等，记为r, 则S,- 2- 2 由S,PA+S,PB+SePC=0可得gPA+gPi+gPC=0, 2 故ai+bP丽+eC=0:所以F-名Pm+PC xAP=xAB+yAC=xPB-PA+yPC-PA=xPB+yPC+(x+y)AP, AP=- 1-(x+y) bx a1-(x+y) 则 y，所以 a1-(x+) b+c x+y=- a+b+c* 又amac-写则r-+d--6+af-号a6-号9-0。 5 所以a≥(6+d.当且仅当6=时取等号， 5 b+c≤ b+c x+y= 21-5-10 a+b+c 10 5+13, (b++b+0)10年 47/49 故答案为： 5-V10 3 16已知平面向显。石C满足2日=受月-=1，a-6=分，则2站-+-的最小值为一 【答案】0 【解折1由于日=2内，不设4公0 B(-l,)且0i=a'OB=6'OC=c其中o为坐标原点， 又=1，则点c在以o为圆心、1为半径的圆上，设C(川，则+少=1， 2a-@+c-b=2AC+BC], 取De0则C4--1--尽 CD=/(x-2)+y=(x-2)+1-x=5-4x, 故2CA=|lcD 则2AC+BC=CD+BC≥BD=Vi0,当B,C,D三点共线时取到最小值. 故答案为：0 17.已知平面向量a.6,c满足a=2,同=2，a-6=2,若向量：满足(-a(-b)=0,向量a满足 a-d=1,则d的最大值为 【答案】V3+212+V5 【解析】设0为a与6的夹角，因为d=2,6=2,ā-b=ld×6cos0=2, 所以cos0=2,则0=60' 设oA=a=(2,0,0B=6=1,5),0c==(s),0D=a, 则c-a=(x-2,y),c-b=(x-l,y-5), 由于(e-a)(e-b)=0,展开(x-2(x-l)+y0-v3)=0, -2-0所-马 48/49 所以C(x)的轨迹是以M 33 22 为圆心，半径的圆， r=1 因为-=CD=1,所以D的轨迹是以c为圆心，半径为1的圆， 因为OM =5,所以的最大值为 0M+r+1=3+1+1=5+2 故答案为：V3+2 18.已知a.6,e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为6，向量6满足62-16e-6+63=0, 则a-的最小值是 【答案】3 【解析】设ā=(x,y),e=(（1,0),6=(m,n), 则由a对-音利ae-a问m各=9F+y,即可得k=3v 6 由62-16e.6+63=0得m2+n2-16m+63=0,即0m-82+2=1: 易知ā-b代表以(8，o)为圆心上的点到直线x=±3y的距离， ®oo线=，的随奥为4 因此a-的最小值为圆心(8,0到直线x=±3y的距离4减去半径1，为3. 故答案为：3 49/49