第2章有理数的运算分层作业-2026-2027学年人教版数学七年级上册

第2章有理数的运算分层作业-2026-2027学年数学七年级上册人教版 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•湛江校级期末）348000用科学记数法可表示为（　　） A．348×103 B．34.8×104 C．3.48×105 D．0.348×106 2．（2026秋•碑林区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．有理数可分为正有理数和负有理数 B．两数相减，差一定小于被减数 C．绝对值等于其本身的数只有0和1 D．一个数和它的相反数可能相等 3．（2026秋•碑林区校级月考）已知|m|＝3，|n|＝2，且m＜n，则m+n的值是（　　） A．5 B．﹣1 C．﹣1或﹣5 D．﹣1或5 4．（2025秋•山西校级期末）将七进制数（123）7，转化为十进制的结果为（　　） A．223 B．42 C．63 D．66 5．（2026秋•合肥月考）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，且a+b＜0，，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A，B两点之间，且靠近点A D．A，B两点之间，且靠近点B 6．（2026秋•睢阳区月考）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是最大的负整数，则的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．4 二．填空题（共6小题） 7．（2026秋•两江新区校级同步）最大的负整数与的倒数的和是___________________ ． 8．（2026•榆树市开学）一个自然数四舍五入到万位后是500万，这个数最大可能是____________ ，最小可能是____________ ． 9．（2026秋•新城区校级月考）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，﹣2，﹣1，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是_____ ．（写出一个符合题意的数即可） 10．（2026秋•金堂县校级月考）若|a|＝5，|b|＝3，且|a+b|＝﹣（a+b），则a﹣b的值为__________ ． 11．（2025秋•福山区期末）定义：对于一个有理数，我们把[x]称为x的有缘数．若x≥0，则，若x＜0，则．计算[3]+[﹣2]的结果为_____ ． 12．（2025秋•扶绥县校级月考）规定三数a，b，c之间的一种运算：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． 根据上述规定，填空：（3，27）＝_____ ，（5，1）＝_____ ，_______ ． 三．解答题（共6小题） 13．（2026秋•新城区校级月考）计算： （1）﹣36﹣（﹣28）+（﹣14）+42； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 14．（2026•郑州校级开学）一条环形跑道长400m．乙从起点出发，以4m/s的速度跑步；50秒后甲从同一起点沿同一方向以6m/s追赶． （1）甲出发后多少秒第一次追上乙？追上时在起点前方多少米处？ （2）第一次追上后，甲立即反向仍以6m/s跑，乙继续保持原方向和速度．再过多少秒两人第一次相遇？相遇点在起点前方多少米处？ 15．（2026春•道外区期末）下面是李老师今年8月份收入和支出的记录． 8月10日领取工资2400元；8月13日交电话费88元； 8月15日交水电费120元；8月24日买服装花467元； 8月26日收到稿费450元；8月30日得加班费100元； 8月份伙食费合计800元． （1）领取工资2400元记作：+2400元，请你将李老师的其它收支用正数和负数记录在下表中． 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 __________ ________ _________ _________ _________ _________ _________ （2）李老师8月份一共收入多少钱？ （3）李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？ 16．（2026•海港区校级模拟）如图，现有4张写着不同运算的卡片A，B，C，D．乙同学随机想一个有理数，让甲同学选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．例如，乙同学想的有理数为﹣2，随后，甲同学将﹣2按A→C→B→D的顺序进行运算，列式为[（﹣2+3﹣2）×（﹣3）]2． （1）计算：[（﹣2+3﹣2）×（﹣3）]2； （2）当乙同学想的有理数为2时，甲同学按D→C→_____ →_____ ——的顺序进行运算，列式运算的结果为﹣3，请通过计算说明甲同学选择的运算顺序． 17．（2025秋•普陀区期中）两个非零有理数a、b组成一个有理数对（a，b），如果a与b的和、差、积、商的结果同号，那么我们称有理数对（a，b）为“保号数对”；如果a与b的和、差、积、商的结果同号且均为整数，那么我们称有理数对（a，b）为“严格保号数对”． （1）分别判断（18，12）和是否为“保号数对”； （2）如果（a，3）和（60，a+15）均为“严格保号数对”，求a的值； （3）当（a，b）和（b，c）均为“保号数对”时，试说明（a，c）也为“保号数对”的理由． 18．（2024秋•甘井子区期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“﹣3的4次商”，一般地，把写作aⓝ，读作“a的n次商”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：5②＝ _____ ， ___________________ ； （2）下列关于除方说法中，错误的是 _____ （只有一个错误答案）． A．当m≠0时，m②＝1 B．当m≠0时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商（a≠0，n≥3），写成乘方（幂）的形式为：aⓝ＝ ____________________ ； （4）比较：（﹣2）⑧_____ 4⑤；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：． 第2章有理数的运算分层作业-2026-2027学年数学七年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•湛江校级期末）348000用科学记数法可表示为（　　） A．348×103 B．34.8×104 C．3.48×105 D．0.348×106 【解答】解：348000＝3.48×105， 故选：C． 2．（2026秋•碑林区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．有理数可分为正有理数和负有理数 B．两数相减，差一定小于被减数 C．绝对值等于其本身的数只有0和1 D．一个数和它的相反数可能相等 【解答】解：A、有理数可分为正有理数、0和负有理数，错误，不符合题意； B、两数相减，差不一定小于被减数，例如1﹣（﹣1）＝2＞1，错误，不符合题意； C、绝对值等于其本身的数有0和所有正数，错误，不符合题意； D、因为0的相反数等于0本身，所以一个数和它的相反数可能相等，正确，符合题意． 故选：D． 3．（2026秋•碑林区校级月考）已知|m|＝3，|n|＝2，且m＜n，则m+n的值是（　　） A．5 B．﹣1 C．﹣1或﹣5 D．﹣1或5 【解答】解：∵|m|＝3，|n|＝2， ∴m＝±3， ∵|n|＝2， ∴n＝±2， ∵m＜n，则： 当m＝﹣3，n＝2， ∴m+n＝﹣3+2＝﹣1， 当m＝﹣3，n＝﹣2， m+n＝﹣3+（﹣2）＝﹣5． 故选：C． 4．（2025秋•山西校级期末）将七进制数（123）7，转化为十进制的结果为（　　） A．223 B．42 C．63 D．66 【解答】解：将七进制数转换为十进制可得： ＝1×49+2×7+3 ＝49+14+3 ＝66， ∴十进制结果为66， 故选：D． 5．（2026秋•合肥月考）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，且a+b＜0，，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A，B两点之间，且靠近点A D．A，B两点之间，且靠近点B 【解答】解：根据题意可知，a＞0且b＞0或a＜0且b＜0， 又∵a+b＜0， ∴a＜0且b＜0， ∴原点O的位置在点A的右边． 故选：A． 6．（2026秋•睢阳区月考）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是最大的负整数，则的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．4 【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是最大的负整数， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝﹣1， ∴． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 7．（2026秋•两江新区校级同步）最大的负整数与的倒数的和是　　 ． 【解答】解：最大的负整数是﹣1，的倒数是， 所以， 故答案为：． 8．（2026•榆树市开学）一个自然数四舍五入到万位后是500万，这个数最大可能是　5004999　 ，最小可能是　4995000　 ． 【解答】解：用“四舍”法得到500万，说明原数的万级是500，千位数字小于5，最大取4，剩余的百位、十位、个位都取最大的数字9， 因此这个数最大是5004999． 用“五入”法得到500万，说明原数的万级是499，千位数字大于等于5，最小取5，剩余的百位、十位、个位都取最小的数字0， 因此这个数最小是4995000． 故答案为：5004999，4995000． 9．（2026秋•新城区校级月考）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，﹣2，﹣1，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是　0　 ．（写出一个符合题意的数即可） 【解答】解：根据题意可知，填写如下：， ∴横向和为：1+0+（﹣1）＝0，纵向和为：2+0+（﹣2）＝0，满足题意． 故答案为：0． 10．（2026秋•金堂县校级月考）若|a|＝5，|b|＝3，且|a+b|＝﹣（a+b），则a﹣b的值为　﹣8或﹣2　 ． 【解答】解：∵|a|＝5， ∴a＝±5， ∵|b|＝3， ∴b＝±3， ∵|a+b|＝﹣（a+b）， ∴a+b≤0， ∴a＝﹣5，b＝±3， ∴当a＝﹣5，b＝3时，a﹣b＝﹣5﹣3＝﹣8， 当a＝﹣5，b＝﹣3时，a﹣b＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2， 综上，a﹣b的值为：﹣8或﹣2， 故答案为：﹣8或﹣2． 11．（2025秋•福山区期末）定义：对于一个有理数，我们把[x]称为x的有缘数．若x≥0，则，若x＜0，则．计算[3]+[﹣2]的结果为　3　 ． 【解答】解：根据题意可知，， ， ∴[3]+[﹣2]＝0+3＝3． 故答案为：3． 12．（2025秋•扶绥县校级月考）规定三数a，b，c之间的一种运算：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． 根据上述规定，填空：（3，27）＝　3　 ，（5，1）＝　0　 ，　﹣2　 ． 【解答】解：由题意得： ∵33＝27，50＝1，， ∴（3，27）＝3；（5，1）＝0；． 故答案为：3，0，﹣2． 三．解答题（共6小题） 13．（2026秋•新城区校级月考）计算： （1）﹣36﹣（﹣28）+（﹣14）+42； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【解答】解：（1）原式＝﹣36+28﹣14+42 ＝（﹣36﹣14）+（28+42） ＝﹣50+70 ＝20； （2）原式＝2.375﹣0.25﹣3.375﹣2.75 ＝（2.375﹣3.375）+（﹣0.25﹣2.75） ＝﹣1﹣3 ＝﹣4； （3）原式 ＝20﹣18+21 ＝23； （4）原式＝﹣81 ＝﹣36﹣27 ＝﹣63； （5）原式＝﹣1 ＝﹣1 ＝﹣1﹣8 ＝﹣9； （6）原式＝（9+2﹣19）×（﹣4） ＝﹣8×（﹣4） ＝32． 14．（2026•郑州校级开学）一条环形跑道长400m．乙从起点出发，以4m/s的速度跑步；50秒后甲从同一起点沿同一方向以6m/s追赶． （1）甲出发后多少秒第一次追上乙？追上时在起点前方多少米处？ （2）第一次追上后，甲立即反向仍以6m/s跑，乙继续保持原方向和速度．再过多少秒两人第一次相遇？相遇点在起点前方多少米处？ 【解答】解：（1）由题意得，乙提前跑的路程为4×50＝200（m）， 甲、乙的速度差为6﹣4＝2（m/s）， ∴甲第一次追上乙的时间为200÷2＝100（s）， ∴此过程甲跑的总路程为6×100＝600（m）， ∵环形跑道长400m， ∴追上时在起点前方600﹣400＝200（m）处； （2）∵第一次追上后两人反向行驶， ∴第一次相遇时路程和为跑道一圈的长度400m， ∵甲、乙的速度和为6+4＝10（m/s）， ∴相遇时间为400÷10＝40（s）， ∴乙跑了4×40＝160（m）， ∴相遇点距离起点200+160＝360（m）． 15．（2026春•道外区期末）下面是李老师今年8月份收入和支出的记录． 8月10日领取工资2400元；8月13日交电话费88元； 8月15日交水电费120元；8月24日买服装花467元； 8月26日收到稿费450元；8月30日得加班费100元； 8月份伙食费合计800元． （1）领取工资2400元记作：+2400元，请你将李老师的其它收支用正数和负数记录在下表中． 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 　+2400　 　﹣88　 　﹣120　 　﹣467　 　+450　 　+100　 　﹣800　 （2）李老师8月份一共收入多少钱？ （3）李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？ 【解答】解：（1）填表如下： 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 +2400 ﹣88 ﹣120 ﹣467 +450 +100 ﹣800 （2）2400+450+100＝2950元， 答：李老师8月份一共收入2950元； （3）， 答：李老师这个月的总支出占总收入的50%． 16．（2026•海港区校级模拟）如图，现有4张写着不同运算的卡片A，B，C，D．乙同学随机想一个有理数，让甲同学选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．例如，乙同学想的有理数为﹣2，随后，甲同学将﹣2按A→C→B→D的顺序进行运算，列式为[（﹣2+3﹣2）×（﹣3）]2． （1）计算：[（﹣2+3﹣2）×（﹣3）]2； （2）当乙同学想的有理数为2时，甲同学按D→C→B →A ——的顺序进行运算，列式运算的结果为﹣3，请通过计算说明甲同学选择的运算顺序． 【解答】解：（1）原式＝[（﹣1）×（﹣3）]2 ＝32 ＝9； （2）若选择D→C→A→B的顺序可得： （22﹣2+3）×（﹣3） ＝（4﹣2+3）×（﹣3） ＝5×（﹣3） ＝﹣15； 若选择D→C→B→A的顺序可得： （22﹣2）×（﹣3）+3 ＝（4﹣2）×（﹣3）+3 ＝2×（﹣3）+3 ＝﹣6+3 ＝﹣3； 故甲同学选择的运算顺序为D→C→B→A， 故答案为：B，A． 17．（2025秋•普陀区期中）两个非零有理数a、b组成一个有理数对（a，b），如果a与b的和、差、积、商的结果同号，那么我们称有理数对（a，b）为“保号数对”；如果a与b的和、差、积、商的结果同号且均为整数，那么我们称有理数对（a，b）为“严格保号数对”． （1）分别判断（18，12）和是否为“保号数对”； （2）如果（a，3）和（60，a+15）均为“严格保号数对”，求a的值； （3）当（a，b）和（b，c）均为“保号数对”时，试说明（a，c）也为“保号数对”的理由． 【解答】解：（1）∵18+12＝30，18﹣12＝6，18×12＝216，18÷12＝1.5， 18和12的和、差、积、商的结果同号， ∴（18，12）是“保号数对”． ∵，； ∴不是“保号数对”； （2）已知（a，3）和（60，a+15）均为“严格保号数对”， 和：a+3，差：a﹣3，积：3a，商：，四者同号且为整数， ∴|a|＞3， ∵为整数， ∴a是3的整数倍； 又（60，a+15）为“严格保号数对”， 和：60+（a+15）＝a+75，差：60﹣（a+15）＝45﹣a，积：60（a+15），商：，四者同号且为整数， 由商为整数，得a+15是60的约数； 分两种情况：若和与差均为正，则a+75＞0，45﹣a＞0，a+15＞0，即﹣15＜a＜45， ∵|a|＞3， ∴﹣15＜a＜﹣3或3＜a＜45； 若和与差均为负，则a+75＜0，45﹣a＜0，a+15＜0，即a＜﹣75且a＞45，无解． 60的正约数有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，对应a+15的可能值为这些约数， 故a的可能值为：1﹣15＝﹣14（舍去，因a＞3）， 2﹣15＝﹣13（舍去）， 3﹣15＝﹣12， 4﹣15＝﹣11（舍去）， 5﹣15＝﹣10（舍去）， 6﹣15＝﹣9， 10﹣15＝﹣5（舍去）， 12﹣15＝﹣3（舍去）， 15﹣15＝0， 20﹣15＝5（a＝5，检查：和8正，差2正，积15正，商非整数，舍去）， 30﹣15＝15（a＝15，检查：和18正，差12正，积45正，商5整数，符合； 和60+30＝90正，差60﹣30＝30正，积60×30＝1800正，商整数，符合）， 60﹣15＝45（a＝45，检查：和48正，差15正，积135正，商15整数，符合； 和60+60＝120正，差60﹣60＝0（舍去，因差需非零）， 故a＝15或﹣12或﹣9． （3）∵（a，b）是“保号数对”，和、差、积、商同号， 故（商同号）， 即a与b同号， 因（b，c）是“保号数对”，和、差、积、商同号， 故（商同号）， 即b与c同号， 由a与b同号，b与c同号，得a与c同号， ∴和：a+c，因a与c同号，和的符号与a（或c）相同； 差：a﹣c，因a与c同号，差的符号与a（或c）相同； 积：ac，因a与c同号，积为正； 商：，因a与c同号，商为正； 和、差、积、商均与a（或c）同号，故符号相同， 因此（a，c）是“保号数对”． 18．（2024秋•甘井子区期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“﹣3的4次商”，一般地，把写作aⓝ，读作“a的n次商”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：5②＝ 　1　 ， 　　 ； （2）下列关于除方说法中，错误的是 C （只有一个错误答案）． A．当m≠0时，m②＝1 B．当m≠0时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商（a≠0，n≥3），写成乘方（幂）的形式为：aⓝ＝ 　（）n﹣2 ； （4）比较：（﹣2）⑧　＝　 4⑤；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：． 【解答】解：（1）5②＝ 5÷5＝1， ， 故答案为：1，； （2）A．当m≠0时，m②＝m÷m＝1，故选项A正确，不符合题意； B．当m≠0时，（）③＝（）÷（）÷（）＝1÷（）＝﹣m，故选项B正确，不符合题意； C．正数的n次商结果是正数，但n为偶数时，负数的n次商结果是正数，故选项C错误，符合题意； D．n次商等于它本身的数是1，正确，故选项D正确，不符合题意． 故答案为：C； （3）由除方的定义，知aⓝ＝（）n﹣2， 故答案为：（）n﹣2； （4）因为（﹣2）⑧＝（）6，4⑤＝（）3， 所以（﹣2）⑧， 故答案为：＝； （5） ＝12+1÷23×（）4+48÷42 ＝1248÷16 ＝123 ＝15． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $