第2章一元二次方程 分层作业-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第2章一元二次方程分层作业-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共6小题） 1．（2026秋•江阳区校级月考）把一元二次方程x（4x﹣1）＝2x+3化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．4，1，3 B．4，﹣3，﹣3 C．4，﹣2，3 D．1，﹣3，﹣3 2．（2025秋•金水区校级期末）根据下列表格的对应值：由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 3．（2026秋•临洮县校级月考）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+y+3＝0 B．3x2﹣2＝0 C． D．5x+3＝0 4．（2026秋•沈阳单元）若m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则代数式2022﹣2m2+8m的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．（2025秋•汕尾期末）2025年苏超联赛取得巨大成功，受其影响我市准备组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A． B．x（x+1）＝28 C． D．x（x﹣1）＝28 6．（2026秋•锦江区校级月考）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长80米，宽50米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为2000平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（　　） A．（80﹣x）（50﹣x）＝2000 B．（80﹣2x）（50﹣x）＝2400 C．（80﹣2x）（50﹣x）＝2000 D．（80﹣x）（50﹣2x）＝2000 二．填空题（共6小题） 7．（2026秋•托克逊县月考）已知x＝2是方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根，则k＝_____ ． 8．（2026秋•姜堰区月考）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a+b+2026的值是_________ ． 9．（2026春•湖州期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在3×3积幻方中，9个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“3×3积幻方”只呈现了4个小方格中的数，则其中x的值是_______ ． 10．（2026秋•锦江区校级月考）若一元二次方程3x2+mx+n＝0的两个实数根为﹣1和2，则二次三项式3x2+mx+n可以因式分解为________________ ． 11．（2026秋•同步）如图，将图（1）的正方形纸片剪成四块，再用这四块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图（2）无缝隙、不重叠的矩形，则____________________ ． 12．（2026秋•同步）对关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）给出下列说法：①若a+c＝0，则方程必有两个实数根；②若a+b+c＝0，则方程必有两个实数根；③若b＝2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若b2﹣5ac＜0，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是________ ． 三．解答题（共8小题） 13．（2026秋•商河县校级月考）解下列一元二次方程： （1）2x2＝32； （2）x2+6x+4＝0； （3）4（x2﹣x）＝﹣1； （4）2x2﹣x+1＝0； （5）（x﹣1）2＝3x﹣3； （6）x2﹣5x﹣6＝0． 14．（2026秋•龙岗区月考）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根．若两个实数根分别为x1，x2． （1）x1+x2＝ _________ ，x1x2＝ _______ ； （2）若，求a的值． 15．（2026春•海淀区校级期末）已知关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0根为正整数，求整数m的值． 16．（2026•东坡区校级模拟）春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆．某水果商从农户手中购进A、B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果进货价为25元/件，销售价为40元/件，B种糖心苹果进货价为18元/件，销售价为30元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价） （1）水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件数； （2）水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元？ 17．（2026秋•丹徒区月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发， （1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）点P，Q之间的距离是否可以为？请说明理由． 18．（2026秋•同步）阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式2x2﹣x+2+y2的最小值，过程如下： 原式＝2（x2x）+2+y2 ＝2（x2x）+2+y2 ＝2（x2x）2+y2 ＝2（x）2+y2． ∵2（x）2≥0，y2≥0， ∴2（x）2+y2， ∴2x2﹣x+2+y2的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． （1）﹣x2+4x﹣1的最大值为 _____ ； （2）求4x2+2y2﹣4y﹣4x+15的最小值． 19．（2023春•鲤城区校级期中）请阅读下列材料：x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以，把代入已知方程，得，化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0，这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_____________ ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根．（直接写出结果） 20．（2024秋•濂溪区校级期中）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2﹣4x﹣12＝0（x＞0）的正确构图是 _____ .（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ ____________________ ）＝1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ____________________ ，解得原方程的一个根为 __________________ ； 【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a＝_______ ，b＝_____ ，求得方程的正根为 ________ ． 第2章一元二次方程分层作业-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2026秋•江阳区校级月考）把一元二次方程x（4x﹣1）＝2x+3化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．4，1，3 B．4，﹣3，﹣3 C．4，﹣2，3 D．1，﹣3，﹣3 【解答】解：x（4x﹣1）＝2x+3， 4x2﹣x＝2x+3， 4x2﹣x﹣2x﹣3＝0， 4x2﹣3x﹣3＝0， ∴二次项系数是4、一次项系数是﹣3、常数项是﹣3， 故选：B． 2．（2025秋•金水区校级期末）根据下列表格的对应值：由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0， x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0， ∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0， 即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2， 故选：B． 3．（2026秋•临洮县校级月考）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+y+3＝0 B．3x2﹣2＝0 C． D．5x+3＝0 【解答】解：根据一元二次方程的定义逐项分析判断如下： A、∵x2+y+3＝0含两个未知数， ∴A不符合一元二次方程要求． B、∵3x2﹣2＝0是只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程， ∴B符合要求． C、∵分母含未知数， ∴C不符合一元二次方程要求． D、∵5x+3＝0未知数最高次数为1， ∴D不符合一元二次方程要求． 故选：B． 4．（2026秋•沈阳单元）若m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则代数式2022﹣2m2+8m的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根， ∴m2﹣4m+2＝0， ∴m2﹣4m＝﹣2， 2022﹣2m2+8m＝2022﹣2（m2﹣4m）＝2022﹣2×（﹣2）＝2026． 故选：D． 5．（2025秋•汕尾期末）2025年苏超联赛取得巨大成功，受其影响我市准备组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A． B．x（x+1）＝28 C． D．x（x﹣1）＝28 【解答】解：根据题意得：， 即． 故选：C． 6．（2026秋•锦江区校级月考）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长80米，宽50米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为2000平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（　　） A．（80﹣x）（50﹣x）＝2000 B．（80﹣2x）（50﹣x）＝2400 C．（80﹣2x）（50﹣x）＝2000 D．（80﹣x）（50﹣2x）＝2000 【解答】解：∵长方形场地的长为80米，宽为50米，绿化带的宽度为x米， ∴被分成六块的活动场所可合成长为（80﹣2x）米，宽为（50﹣x）米的长方形， 由题意得：（80﹣2x）（50﹣x）＝2000， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．（2026秋•托克逊县月考）已知x＝2是方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根，则k＝　1　 ． 【解答】解：将x＝2代入原方程，得22﹣2k﹣2＝0， 整理得2﹣2k＝0， 解得k＝1． 故答案为：1． 8．（2026秋•姜堰区月考）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a+b+2026的值是　2025　 ． 【解答】解：根据根与系数的关系可得 ， ∴a+b+2026＝﹣1+2026＝2025． 故答案为：2025． 9．（2026春•湖州期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在3×3积幻方中，9个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“3×3积幻方”只呈现了4个小方格中的数，则其中x的值是　16　 ． 【解答】解：9个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等． 根据题意，可得x（x﹣14）＝（x+16）×1， 去括号，得x2﹣14x＝x+16， 移项，得x2﹣14x﹣x﹣16＝0， 合并同类项，得x2﹣15x﹣16＝0， 因式分解，得（x﹣16）（x+1）＝0， 解得x1＝16，x2＝﹣1， ∵9个小方格中的正整数互不相等， ∴x＝16，即x的值是16． 故答案为：16． 10．（2026秋•锦江区校级月考）若一元二次方程3x2+mx+n＝0的两个实数根为﹣1和2，则二次三项式3x2+mx+n可以因式分解为　3（x+1）（x﹣2）　 ． 【解答】解：由题意可得： ∴，， 解得m＝﹣3，n＝﹣6， ∴3x2+mx+n＝3x2﹣3x﹣6＝3（x2﹣x﹣2）＝3（x+1）（x﹣2）． 故答案为：3（x+1）（x﹣2）． 11．（2026秋•同步）如图，将图（1）的正方形纸片剪成四块，再用这四块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图（2）无缝隙、不重叠的矩形，则　　 ． 【解答】解：根据题意得：（a+b）2＝（a+b+b）b， ∴a2+2ab+b2＝ab+2b2， ∴a2+ab﹣b2＝0． 方程两边同时除以a2，得：（）21＝0， 令t，则t2﹣t﹣1＝0， 解得：t1，t2， ∵a，b均为正数， ∴t， 即． 故答案为：． 12．（2026秋•同步）对关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）给出下列说法：①若a+c＝0，则方程必有两个实数根；②若a+b+c＝0，则方程必有两个实数根；③若b＝2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若b2﹣5ac＜0，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是　①②③　 ． 【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）， ①若a+c＝0，a＝﹣c， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2+4c2≥0，则方程必有两个实数根，正确，符合题意； ②若a+b+c＝0，c＝﹣a﹣b， ax2+bx+c＝0（a≠0）变为ax2+bx﹣a﹣b＝0， a（x2﹣1）+b（x﹣1）＝0， a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）＝0， （x﹣1）（ax+a+b）＝0， ， 则方程必有实数根1，正确，符合题意； ③若b＝2a+3c， Δ＝（2a+3c）2﹣4ac， ＝4a2+12ac+9c2﹣4ac， ＝4（a+c）2+5c2， a≠0，当c＝0，Δ＝4a2＞0， 当a≠0，c≠0时4（a+c）2≥0，5c2＞0 Δ＝4（a+c）2+5c2＞0， 则方程有两个不等的实数根，正确，符合题意； ④若b2﹣5ac＜0，b2＜5ac， Δ＝b2﹣4ac＜5ac﹣4ac＝ac， 无法确定Δ的值，原说法错误，不符合题意． 故答案为：①②③． 三．解答题（共8小题） 13．（2026秋•商河县校级月考）解下列一元二次方程： （1）2x2＝32； （2）x2+6x+4＝0； （3）4（x2﹣x）＝﹣1； （4）2x2﹣x+1＝0； （5）（x﹣1）2＝3x﹣3； （6）x2﹣5x﹣6＝0． 【解答】解：（1）2x2＝32； x2＝16， x＝±4， x1＝4，x2＝﹣4； （2）移项可得： x2+6x＝﹣4， x2+6x+9＝﹣4+9， （x+3）2＝5， ， 或， ； （3）原方程化简可得： 4x2﹣4x+1＝0， （2x﹣1）2＝0， ； （4）2x2﹣x+1＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0， ∴方程没有实数根； （5）（x﹣1）2＝3x﹣3， （x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x﹣4）＝0， x﹣1＝0或x﹣4＝0， x1＝1，x2＝4； （6）因式分解可得： （x﹣6）（x+1）＝0， x﹣6＝0或x+1＝0， x1＝6，x2＝﹣1． 14．（2026秋•龙岗区月考）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根．若两个实数根分别为x1，x2． （1）x1+x2＝ 　2a﹣1　 ，x1x2＝ a2 ； （2）若，求a的值． 【解答】解：（1）由题知， 因为x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根， 所以． 故答案为：2a﹣1，a2． （2）因为， 所以， 则（2a﹣1）2﹣2a2＝17， 解得a1＝﹣2，a2＝4． 因为Δ＝[﹣（2a﹣1）]2﹣4a2≥0， 解得a， 所以a＝﹣2． 15．（2026春•海淀区校级期末）已知关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0根为正整数，求整数m的值． 【解答】（1）证明：当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，x＝1； 当m≠0时， ∵Δ＝[﹣（2m+2）]2﹣4×m×（m+2） ＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8m ＝4＞0， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）解：当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，x＝1； 当m≠0时，原方程整理可得：（mx﹣m﹣2）（x﹣1）＝0， x1，x2＝1， ∵方程的两个根均为正整数，m为整数， ∴当m＝1时，x1＝3，x2＝1； 当m＝2时，x1＝2，x2＝1． 故整数m的值为0或1或2． 16．（2026•东坡区校级模拟）春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆．某水果商从农户手中购进A、B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果进货价为25元/件，销售价为40元/件，B种糖心苹果进货价为18元/件，销售价为30元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价） （1）水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件数； （2）水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元？ 【解答】解：（1）设购进A种糖心苹果x件，B种糖心苹果y件， 由题意得：， 解得：， 答：购进A种糖心苹果60件，B种糖心苹果100件； （2）设将B种糖心苹果的销售价定为每件a元，则每天的销售量为[4+（30﹣a）×2]件， 由题意得：（a﹣18）[4+（30﹣a）×2]＝96， 整理得：a2﹣50a+624＝0， 解得：a1＝24，a2＝26（不符合题意，舍去）， 答：将销售价定为每件24元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元． 17．（2026秋•丹徒区月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发， （1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）点P，Q之间的距离是否可以为？请说明理由． 【解答】解：（1）设点P，Q移动的时间为x秒，则0＜x≤4， ∵AP＝xcm，BQ＝2xcm， ∴PB＝AB﹣AP＝（6﹣x）cm． ∵△PBQ的面积等于8cm2， ∴根据题意列一元二次方程得，． 整理得，2x2﹣12x+8＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 经检验，x1，x2均符合题意． 故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2． （2）∵∠B＝90°， ∴PB2+BQ2＝PQ2． 即得一元二次方程，． 整理得，5x2﹣12x+30＝0． ∵（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0， ∴方程无实数根． 故点P，Q之间的距离不可能为． 18．（2026秋•同步）阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式2x2﹣x+2+y2的最小值，过程如下： 原式＝2（x2x）+2+y2 ＝2（x2x）+2+y2 ＝2（x2x）2+y2 ＝2（x）2+y2． ∵2（x）2≥0，y2≥0， ∴2（x）2+y2， ∴2x2﹣x+2+y2的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． （1）﹣x2+4x﹣1的最大值为 　3　 ； （2）求4x2+2y2﹣4y﹣4x+15的最小值． 【解答】解：（1）﹣x2+4x﹣1 ＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）﹣1 ＝﹣（x﹣2）2+3， ∵﹣（x﹣2）2≤0， ∴﹣（x﹣2）2+3≤3， ∴﹣x2+4x﹣1的最大值为3， 故答案为：3； （2）4x2+2y2﹣4y﹣4x+15 ＝（4x2﹣4x+1）+（2y2﹣4y+2）+12 ＝（2x﹣1）2+2（y﹣1）2+12， ∵（2x﹣1）2≥0，（y﹣1）2≥0， ∴（2x﹣1）2+2（y﹣1）2+12≥12． ∴4x2+2y2﹣4y﹣4x+15的最小值是12． 19．（2023春•鲤城区校级期中）请阅读下列材料：x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以，把代入已知方程，得，化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0，这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：y2﹣y﹣2＝0　 ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根．（直接写出结果） 【解答】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y， 把x＝﹣y代入x2+x﹣2＝0， 得y2﹣y﹣2＝0， 故答案为：y2﹣y﹣2＝0； （2）设所求方程的根是y，则y， 所以x， 把x代入方程2x2﹣7x+3＝0，得 2（）2﹣7•3＝0， 化简，得3y2﹣7y+2＝0； （3）一元二次方程整理后可得：a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0， ∵令y﹣1＝x， ∴y＝x+1， 则方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根比 ax2+bx+c＝0（a≠0）两根大1， 所以方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根分别是4、﹣1． 20．（2024秋•濂溪区校级期中）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2﹣4x﹣12＝0（x＞0）的正确构图是 　②　 .（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ x　 ）＝1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 　（x+x）2＝4×1+（）2 ，解得原方程的一个根为 　　 ； 【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a＝　±2　 ，b＝　3　 ，求得方程的正根为 　1或3　 ． 【解答】解：【理解应用】∵x2﹣4x﹣12＝0， ∴x（x﹣4）＝12， ∴很容易观察出构图是②， 故答案为：②； 【类比迁移】2x2+3x﹣2＝0， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个根为； 故答案为：x，（x+x）2＝4×1+（）2，； 【拓展应用】∵x2+ax＝b， ∴x2+ax＝b， ∴x（x+a）＝b， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是（x+x+a）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×4×b+a2， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴b＝3，a2＝4， 解得：b＝3，a＝±2， 当a＝2时，（x+x+2）2＝4×3+4，2x+2﹣4，x＝1，方程的一个正根为1； 当a＝﹣2时，（x+x﹣2）2＝4×3+4，2x﹣2＝4，x＝3，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为：±2，3，1或3． 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