第2章 3 一元二次方程的根与系数的关系&4 一元二次方程的应用（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

课堂训练 第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 知识梳理 有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等，并且有一个角是直角两四 针对训练 1.D2.A3.C4.矩形5.75 6.解：，四边形ABCD是矩形，∴.CD=AB=8,BC=AD=15.,∠ABC=90°，∴.AC= √AB+BC=17.:0是AC的中点，M是AD的中点.∴0C=2AC=8.5,DM= 之AD=7.5,OM是△ACD的中位线.0M=合CD=.:四边形0MDC的周长为 OM+DM+CD+OC=4+7.5+8+8.5=28. 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识梳理 相等垂直 针对训练 1.C2.B3.B4.C5.35 6.解：(1)5030(2)四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,BD=2OB.在Rt△AOB 中，AB=50,OA=30,∴.OB=√AB2-OA2=40.∴.BD=2OB=80. 第2课时菱形的判定 知识梳理 相等相等垂直 针对训练 1.D2.C3.OA=OC(答案不唯一)4.四边相等的四边形是菱形 5.证明：，AE⊥BC,CF⊥AB,∴.SOABCD=BC·AE=AB·CF.AE=CF,∴.BC= AB.,.□ABCD是菱形 6.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..∠ADB=∠CBD.BD平 分∠ABC,∠ABD=∠CBD.∠ABD=∠ADB..AB=AD.□ABCD是菱形. (2)口ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,BO=DO.,EC=BC,.OC是△BDE的中位线. ∴.OC∥DE..DE⊥BD.∴∠BDE=90. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 知识梳理 直角相等一半 针对训练 1.C2.C3.D4.A5.56.35° 7.证明：.四边形ABCD是矩形，.AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.，PB=PC, ∴.∠PBC=∠PCB.∴.∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB,即∠ABP=∠DCP. ∴.△ABP≌△DCP(SAS).∴.PA=PD. 第2课时矩形的判定 知识梳理 平行四边形直角相等 针对训练 1.D2.C3.C4.有三个角是直角的四边形是矩形5.90° 6.(1)证明：，AB=CD,AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边形..AC=2OA,BD= 2OD.,OA=OD,∴AC=BD.∴.四边形ABCD是矩形.(2)解：由(1)可知四边形 ABCD是矩形，.∠BAD=90°.，OA=OD,∠AOD=60°，.△AOD是等边三角形 ∴.OD=AD=5.∴.BD=2OD=10.∴.AB=√BD2-AD=5W3. —43 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 知识梳理 直角相等相等垂直平分 针对训练 1.B2.B3.B4.D5.(-2,2)6.2 7.证明：：四边形ABCD是正方形，∴.AD=DC,∠ADC=90°.∠ADE+∠CDF= 90°.AE⊥DP,CF⊥DP,.∠AED=∠DFC=90°..∠CDF+∠DCF=90°. ∠AED=∠DFC, ∴.∠ADE-∠DCF.在△ADE和△DCF中，∠ADE=∠DCF,∴.△ADE≌△DCF(AAS) AD-DC, 第2课时正方形的判定 知识梳理 邻边直角矩形垂直直角菱形 针对训练 1.D2.D3.正方形4.∠ABC=90(答案不唯一) 5.(1)证明：连接AC,交BD于点O.,四边形ABCD为菱形，∴AO=CO,BO=DO,AC ⊥BD.BE=DF,BO+BE=DO+DF,即EO=FO..四边形AECF是菱形.∴AE =AF...∠AFE=∠AEF=45°..∠EAF=180°-∠AFE-∠AEF=90°..四边形 AECF为正方形.(2)解：20 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识梳理 一整式常数项二次项系数一次项系数 针对训练 1.A2.B3.C4.-115.-1(答案不唯一，k≠1即可) 6.解：(1)设其中一个数为x.根据题意，可列方程为x(5一x)=6.(2)设长方体铁盒底 面的宽为xcm.根据题意，可列方程为6x(x十5)=750. 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识梳理 相等 针对训练 1.C2.A3.B4.-2<x<-15.2 6.解：(1)3-1120.36-0.011.61.7(2)x的值约为1.7. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 知识梳理 完全平方式一半 针对训练 1.A2.A3.m≤14.534 5.解：(1)移项，得5x2=80.两边都除以5，得x2=16.两边开平方，得x=士4..x1=4, x2=一4.(2)两边都除以2，得(x一1)2=9.两边开平方，得x一1=士3..x1=4,x2= -2.(3)配方，得x2+6x十32=6+32，即(x+3)2=15.两边开平方，得x+3=士√15. ∴x1=-3十√15，x2=-3-√15.(4)移项，得x2-3x=一2.配方，得x2-3x十 (号)》”=-2+（号）广，即(x一号）广=子两边开平方，得x一多=土分=26=1 第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程 知识梳理 一半 44 针对训练 1.D2.B3.x2-4x-2=02222262+√62-√6 4.解：1)两边都除以2，得x+受=子配方，得2+受+（什）°=合+（分），即 (红+号)°-6两边开平方，得x+子=士是.函=号函=-1.(2)两边都除以3， 得x-2x+号=0.移项，得2-2x=-子配方，得2-2x+1=-号+1，即(x 1少-导两边开平方，得一1=士9=1+号=1-怎（3)丙边都除以，得 2-号-是=0，移项得2-号x=是配方，得-是+(）°=是+()月， 即（一）广=器两边开平方，得x一是=士=3+，=3二区 4 4 (④)整理，得2：十7x=7.两边都乘2，得2十14x=14.配方，得x+14x+7-14+ 72,即(x+7)2=63.两边开平方，得x十7=士3√7..x1=一7+3V7,x2=-7-3V7. 第3课时用公式法求解一元二次方程 知识梳理 不相等相等一品设有 针对训练 1.B2.B3.B4.5二35-3255.8 2 2 6.解：(1)将原方程化为一般形式，得x2一3x十3=0.这里a=1,b=一3，c=3.,b2- 4ac=(-3)2-4X1×3=-3<0.原方程没有实数根.(2)这里a=2,b=-√2，c= 1.0-4ac=(-②2-4X合×1=0，x--《②±0-，即西=4=E. 2x 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 知识梳理 00 针对训练 1.C2.C3.B4.0或2 5.解：1)原方程可变形为x(5x+3)-0.x-0,或5x十3-0.=0，=-号 (2)原方程可变形为x(x一2)一3(x一2)=0.'.(x一2)(x一3)=0.∴.x一2=0，或x一3 =0..x1=2,x2=3.(3)原方程可变形为(x-1)2-2(x-1)=0..(x-1)(x-1-2) =0,即(x-1)(x-3)=0.x-1=0,或x-3=0.∴.x1=1,x2=3.(4)原方程可变形 为3(x-5)2-(x十5)(x-5)=0..(x-5)(3.x-15-x-5)=0,即(x-5)(2x-20)= 0..x-5=0,或2x-20=0.∴x1=5,x2=10. 3一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 -台 针对训练 1.D2.D3.A4.12 5.解：(1)将原方程化为一般形式，得x2-√2x-3=0.这里a=1,b=一√2，c=-3.4 =b-4ac=(-√2)2-4×1×(-3)=14>0，.方程有两个实数根.∴.x1十x2=√2， x1x2=一3.(2)将原方程化为一般形式，得x2-x-5=0.这里a=1,b=一1，c=-5. △=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-5)=21>0,.方程有两个实数根.∴.x+x2=1, x2=-5. 6.解：(1)：方程x2-3x+2m=0有两个不相等的实数根，△=（-3)2-4×2m>0, 45 解得m<号.(2)由题意，得十=3，=2m”十=1十1,3=2m十1， 解得m=1. 4一元二次方程的应用 第1课时行程、几何图形及动点问题 针对训练 1.B2.C3.A4.0.4 5.解：设经过xs后，△PBQ的面积是10cm.由题意，得2×4x(6一x)=10,解得 =1,x2=5(不合题意，舍去).答：经过1s后，△PBQ的面积是10cm2. 第2课时平均变化率及营销问题 知识梳理 a(1±x)2=b 针对训练 1.B2.(a-25)(400-10a)=50030或35 3.解：设该社区的图书借阅总量从8月份至10月份的月平均增长率是x.根据题意，得 2000(1十x)2=2880,解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）.答：该社区的 图书借阅总量从8月份至10月份的月平均增长率是20%. 4.解：(1)(200-x)(x-120)(2)由题意，得(200-x)(x-120)=1500,解得x1= 150,x2=170.答：每件商品的售价定为150元或170元时，商场销售该商品每天的盈利 可达到1500元. 第三章图形的相似 1相似多边形 第1课时成比例线段与相似多边形 知识梳理 铝是前后c旨相等比 针对训练 1.C2.A3.364.(1)1.5(2)8(3)2 5.解：(1)48° BC CD 3 2 (2)四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',·BC=C7=2 ∴BC=号B=12,CD=号CD'=15, 第2课时等比性质 知识梳理 b 针对训练 1.B2.A3.C4.(1)2(2)25.3 6解号-异6。-号3-子@=号是-+月-7- m m m 2 g8号=g0。-1x名2=安 22· 7.解：铝品-品-号“CC=号：△MBrC的周长为 90 cmA'B'+BAC-90 cm.B+BC+AC-(AB+BA'C)- 60cm..△ABC的周长为60cm. 2探索三角形相似的条件 第1课时利用两角判定三角形相似 知识梳理 相等 一 46 针对训练 1.B2.D3.D4.5 5.证明：DE∥BC,EF∥AB,.∠AED=∠C,∠A=∠FEC.∴.△ADEc∽△EFC. 6.解：∠C=∠D,∠APC=∠BPD,△APCn△BPD.光-，即即2 6 4· .BD=3. 第2课时利用两边及夹角判定三角形相似 知识梳理 夹角 针对训练 1.C2.A3.544.9 5证明：AB/CD,∠B=∠D.:AB=2CD,BE=2DP,铝-器=2.△ABE p△CDF 6.证明：AD=5,BD=3,AE=4,CE=6,∴AB=AD+BD=8,AC=AE+CE=10. 荒=告=合0=安荒-0又：∠A=∠A,△ADB△MCB 第3课时利用三边判定三角形相似 知识梳理 成比例 针对训练 1.D2.C3.相似4.90° 5.证明：D,E,F分别是OA,OB,OC的中点，∴.DE,EF,DF分别是△OAB,△OBC, △0AC的中位线DE=合AB,EF=宁BC,DF=子AC÷器既-=宁 .△DEFC∽△ABC. 6(1证明：BC=14,BD=,CD=BC-BD=10.~品=0-品=台， .△ABD∽△DCE.(2)解：△ABD∽△DCE,.∠B=∠C..AC=AB=8. 第4课时黄金分割 针对训练 1.B2.D3.C4.B 5解：0-6=号，AC=0emAB=1065-1DmBC=AC-AB=20 10(√5-1)=(30-105)cm. 3相似三角形判定定理的证明 第1课时平行线分线段成比例 知识梳理 成比例成比例 针对训练 1.c2.B3.号 4.2.8 5解：(ID:AD∥BE∥CR,小能-器，即号=∴EF=婴.DP=DE+ER= 号(2：AB:AC=2:5AB:BC=28AD∥BE∥C,∴瓷-8票=号， DE=号EF=6, 6解AE=CE器-号怎=号：EF∥AB∴怎-既=号BP=号C =6DE∥BC80-是=号BD=号AB=2 47 第2课时相似三角形判定定理的证明 针对训练 1.B2.B3.C4.∠AOB=∠DOC5.3 6.证明：答案不唯一，如：选择①.AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90°..∠B+ ∠BAD=90°.∠BAC=90°，∴.∠B+∠C=90°..∠BAD=∠C..△ABD∽ △CAD. 7.证明：.AD是△ABC的中线，.BD=CD.BD=PD·AD,CD=PD·AD ÷020:∠CDA-∠PDc,△ADC∽△CDP 4相似三角形的性质 第1课时相似三角形中的对应线段之比 知识梳理 相似比 针对训练 1.A2.A37.54.(2(②2a 5,解：∠AED=∠B,∠EAD=∠BAC,∴△ADE∽AACB.AF平分∠BAC,∴A9 =AD 即十G子.GF=2. 4 第2课时相似三角形的周长与面积之比 知识梳理 相似比平方 针对训练 1.B2.A3.24.245.2 6.(1)证明：：∠A=∠D,∠AOB=∠DOC,.△AOB∽△DOC.(2)解：，△AOB∽ △D0c,ga (8)=是g=景5w=号 7.解：：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC,AD∥BC.∴.∠ADF=∠EBF, ∠DAF=∠BEF..△AFD∽△EFB.BE:CE=3·1,∴.BE:BC=3:4..BE: A0-8器-（船）-普em的s-2m 5图形的位似 第1课时位似图形及其性质与画法 知识梳理 位似多边形位似中心 针对训练 1.D2.A3.C4.50 5.解：1如图，△ABG即为所求.(2)号 第2课时平面直角坐标系中的位似变化 知识梳理 | 针对训练 1.D2.C3.B4.(-9,0) -483一元二次方程的根与系数的关系 √知识梳理 根与系数 如果方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个实数根01，x2,那么1十x2= ,C1x2= 的关系 (1)在运用方程的根与系数的关系时，要先将方程化为一般形式； 易错警醒 (2)在利用方程的根与系数的关系求方程中的字母参数时，要保证b2一4ac≥0 针对训练 1.若a,b是方程x2一x一2=0的两个根， (2)3x2+5=4x2-x. 则ab的值为 A.1 B.-1C.2 D.-2 2.一元二次方程2x2-4x-1=0的两个实 数根的和是 A.-2 D.2 3.已知实数x1,x2满足x1十x2=9,x1x2= 6.已知关于x的一元二次方程x2一3x十 20,则以x1,x2为根的一元二次方程是 2m=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求实 A.x2-9x十20=0B.x2+9x+20=0 数m的取值范围； C.x2+9x-20=0D.x2-9x-20=0 (2)若方程的两个实数根x1,x2满足x1十 4.已知关于x的方程x2+kx一3=0有一根 x2=x1x2+1,求实数m的值. 为一3，则另一根为，k的值为 5.利用根与系数的关系，求下列方程的两 个根x1,x2的和与积： (1)x2-3=√2x; ·14· 4一元二次方程的应用 第1课时 行程、几何图形及动，点问题 √知识梳理 动点问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数，把图中变化的线 动点问题 段用未知数表示出来，再根据题目给出的等量关系列出方程 列一元二次方程解决 (1)设未知数；(2)审题、找等量关系；(3)列出符合题意的方程；(4)解方 实际问题的一般步骤 程，检验解是否符合题意；(5)作答 针对训练 1.如图，在一个半径为6cm的圆形纸片上4.如图，东西方向上的A,C两地相距 挖去一个半径为rcm的圆，余下圆环的 10km,甲以16km/h的速度从A地出 面积为11πcm,则根据题意可列方程为 发向正东方向前进，同时乙以12km/h 的速度从C地出发向正南方向前进.若 A.2π(6-r)=11π 经过th,甲、乙两人的距离BD=6km, 6 cm B.π(62-x2)=11π 则t的值为 cm C.π(6-r)2=11π 5.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB= D.πr2=11π 6cm,BC=10cm,点P从点A开始，沿 2.汽车在公路上行驶，它行驶的路程s() AB边向点B以1cm/s的速度移动，点 和时间t(s)之间的关系式为s=3+18t, Q从点B开始，沿BC边向点C以 则行驶120m需要的时间为 4cm/s的速度移动.点Q到达点C后， A.10s B.s C.4s D.3s 点P,Q同时停止运动.设点P,Q从点 A,B同时出发，经过多少秒后，△PBQ 3.如图，已知线段AB的长为6，点C在线 的面积是10cm2? 段AB上，且AC<BC,以AC,BC为边 分别作正方形ACFG和正方形CBDE. 若两个正方形的面积之和为20，则AC 的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.2或4 甲B 1北 (第3题图) (第4题图) ·15· 第2课时平均变化率及营销问题 √知识梳理 设原来的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量 平均变化率问题 关系为 营销问题 (1)利润=售价一成本；(2)利润率=利润÷成本×100% √针对训练 1.一种药品的原价为每盒25元，经过两次4.商场购进的某种新商品每件的进价为 降价后每盒16元，设两次降价的百分率 120元，在试销期间发现，当每件商品的 均为x,则下列方程正确的是 ( 售价为130元时，每天可销售70件；当 A.25(1-2x)2=16 每件商品的售价高于130元时，每涨价 B.25(1-x)2=16 1元，日销售量就减少1件.请解答下列 C.16(1+2x)2=25 问题： D.16(1+x)2=25 (1)设每件商品的售价定为x元，则每天 2.某商店以每件25元的价格购进一批商 可销售 件商品，每件可盈利 品，当每件商品的售价为a元时，可卖出 元；（用含x的代数式表示） (400一10a)件.若商店计划盈利500元， (2)在销售正常的情况下，每件商品的售 则可列方程为 价定为多少时，商场销售该商品每天 a的值为 的盈利可达到1500元？ 3.为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励 居民到社区阅览室借阅图书，并统计每 月的图书借阅总量（单位：本）.该阅览室 在8月份的图书借阅总量是2000本，10 月份的图书借阅总量是2880本.求该 社区的图书借阅总量从8月份至10月 份的月平均增长率， ·16·